lista3-cal-2008-2

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MAT A01 – CÁLCULO A 
 3a LISTA DE EXERCÍCIOS 
Atualizada em 2008.2 
 
 01.Resolva as seguintes integrais: 
1.1) dx
x
xò ÷ø
ö
ç
è
æ +- 4
5
2 2
3 1.2) ò ÷ø
ö
ç
è
æ - dx
x
x
3
 1.3) ò ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
dx
x
x 12 
1.4) dxx)3sen(ò 1.5) dxxx cossenò 1.6) dx sec25ò xxtg 
1.7) ò + dxx
x
21
 1.8) ò xx
dx
ln
 1.9) ò + 52 2x
dx 
1.10) ò + dxx
x
41
 1.11) ò + dxx
xarctg
2
3
1
 1.12) ò dxxx cos5sen 
1.13) ò dxe
x
3 1.14) ò xe
dx
3
 1.15) dx
e
e
x
x
ò
- 24
 
1.16) 
( )ò xsen
dx
32
 1.17) 
( )ò x
dx
7cos 2
 1.18) ò - x
dx
25
 
1.19) ò dxxtg 2 1.20) dxeeg xxò )]([cot 1.21) ds
s
gstgò ÷ø
ö
ç
è
æ - )
4
( cot)4( 
1.22) ò ÷ø
öç
è
æ + dxxx 12 1.23) ò
+
dx
x
x
32 2
 1.24) ò
+
dx
x
x
13
2
 
125) ò dxx
x
3cos
sen 1.26) ò
-
dx
x 2916
1
 1.27) ò ++ )1( )1(cos2 xtgx
dx 
1.28) ( )dx
x
x
ò +
+
1
1ln 1.29) 
( )ò + dxx
x
22cos1
2sen 1.30) ò
+
dx
x
x
2sen1
2sen 
1.31) ò dx
x
x
3 4 3cos
3sen 1.32) ò
-
dx
x
x
2
2
1
arccos 1.33) ò dxx
x)cos(ln 
1.34) dx
x
e x
ò 1.35) dxxe x sencosò 1.36) dxxa x 
2
ò 
1.37) ( )ò dxe x
22 1.38) dx
e
e
x
x
ò + 2
2
2
 1.39) ò
-
dx
e
e
x
x
21
 
1.40) dx
x
x
ò
+1 1.41) ò +++ dxxxx )2(3 )34(
2
 1.42) ò + xx
dx
22 cos3sen2
 
1.43) dxxx 12ò + 1.44) ò xdxx 2cos 1.45) ò dxxe x3 
1.46) ò xdx5ln 1.47) ò
-
dx
x
x
2
3
1
 1.48) dxsexx 2)(cosò 
1.49) dttgttt ))((secò 1.50) ò xdxx ln
2 1.51) ò dxex
x22 
 2 
1.52) ò xdxe
x cos 1.53) ò dxxarctg )3( 1.54) ò + dxexx
x)2( 2 
1.55) ò - dxxarcsen )2( 1.56) ò dx
xsen
x
)(2
 1.57) ò dxx)arccos( 
1.58) ò dxx)cos(ln 
 
02. Determine uma função f sabendo que f ’(x) é contínua e que: 
2.1) f(p ) = 2 e satisfaz a equação Cxcosxsendxtgx)x('f +-=ò 3 ,sendo C uma constante real. 
2.2) f (0) = 5 e satisfaz a equação ò += Cxdxx
)x('f
arctg 3 , sendo C uma constante real. 
2.3) f (0) = 1 e satisfaz a equação ò +=+ Cxdx)x('f)x( 1 2 ,sendo C uma constante real. 
03. Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se )(2
2
2
xtg
dx
yd
= . Sabendo-se que a reta tangente a essa curva no 
ponto (0,1) é paralela ao eixo Ox, determinar a equação da mesma. 
 
04.Determine o valor médio de f no intervalo indicado e os valores de x em que este ocorre: 
a) f(x) = x2 em [0,1] b) f(x) = a + b cos x em ],[ pp- , a ? 0 e b ? 0. 
c) )( )( 2
122 xaxxf -= em [-a,a], a ? 0 d) )()( 2 xsenxf = em [0, p ]. 
05. Determine a derivada 
dx
dy de cada uma das funções dadas abaixo: 
a) ò=
x
dtty
1
0> x; ln b) ( )ò +=
0
2/121
x
dtty c) ( )ò +=
2
1
2/141
x
dtty 
d) ( )ò
-
-
+=
x
x
dtty
123 e) dtey
x
x
tò -=
2
2
 f) 0dt sen
00
=+ òò
xy
t tdte 
g) 0)(sen 2
00
2
2
=+ òò - dttdte
xy
t h) 0=dz cos sen3
02
2 òò +-
yx
zdzz
p
 
 
06. Sendo f definida por ( ) dtduuxf
x t
ò ò ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
0 0
2 7 )( , calcule ''f . 
 
07. Mostre que a função ò=
x
a
t dttexf sen)( tem um mínimo em x = 0 e um máximo em x = p . 
 
08. Determine os pontos extremos das funções: 
a) ( )dttexF
x
tò -= -
1
22/ 1)(
2
 b) ò +
+-
=
2
0
2
2
45
)(
x
t
dt
e
tt
xF 
 
09. Calcule as seguintes integrais: 
 3 
a) ò
+-
3
1
2
23 542
dx
x
xx b) ( )ò -
0
1
32 dtttt c) dxxò
-
-
6
3
 4 
 
10. Sendo
ïî
ï
í
ì
££
££
=
2x1 ,
10 ,
)(
2
sex
xsex
xf , calcule dxxfò
2
0
)( 
 
11. Determine a área da região limitada pelas curvas: 
a) y = cosx, x = 0, x = p, y = 0 b) y = x2 + 1, y = 5 
c) y = x2 e y = 4x d) ,
1
2x
y = y = – x2, x = 1 e x = 2 
e) x = y2, x =1 e x = 4 f) y = | x2 – 4| e y = 2 
g) x = (y – 2)2 e x = y h) f(x) = x3 e g(x) = 3 x 
i) f(x)= x|x| e g(x) = x3 j) x = y2 – 2 e x = 6 – y2 
l) y = 2x, y = 2x – x2, x = 0 e x = 3. 
 
12) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano: 
 
a) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8. 
b) Limitada pela hipérbole 
x
a
y
b
1
2
2
2
2
- = e a reta x = 2a. 
c) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x. 
 
13. Resolva as seguintes integrais: 
 
ò ++ 5x2x
dx
)1 2 
 
ò +- 5x6x
dx
)2 2 ò ++
+
34x22x
5)dx(x
3) 
4) dx
x4x43
3x
2ò -+
+
 5) ò
++
+
34x22x
5)dx(x
 6) dx
)1x2(x
5x3
ò -
+
 
 7) dx
x
x
ò
+
+
12
1
 
 
8) ò
+++ )5)(3)(1( xxx
xdx
 9) ò
-- )2()1( 2 xx
dx
 
10) dx
xxx
x
ò
+-
-
44
8
23
 11) dx
x34x
13x
 ò
-
+
 12) dx
xxx
xx
ò
+--
--
)52)(1(
332
2
2
 
13) dx
xx
x
ò
++
-
86
6
24
3
 14) dx
xxx
x
ò
+++
-
44
73
23
 15) dx 
x16
168x
 
4ò -
-
 
ò
-+
+-
22
2
1)1)(x(x
3)dx2x(x
 16) 17) ò
+-
+
4x5xx
12)dx(5x
 
23
3
 
18) ò dxxxarctg )( 
19) dx
x
xò ÷ø
ö
ç
è
æ +
1
1ln 20) ò
+-
+
 
3)x2x(x
3)dx(x
 
 
21) dx
x
xx
ò
-
4
33
6
 22) ò
÷
ø
ö
ç
è
æ --- 1)2()2( 3 26 5 xx
dx
 
23) ò + dxxx 3
2
)1.( 
 4 
24) ò
+ xx
dx
32
 25) 
21
1
x
dx
x
x
ò
+
-
 26) ò
+
-
x
dx
x
x
1
1
 
27) ò dxxsen )(
3 28) ò dxxxsen )(cos)(
32 29) ò dx
xsen
x
)(
)(cos
4
3
 
30) ò dxx)2sec( 
31) ò
3 4
3
)(cos
)(
x
dxxsen
 
32) ò dxxsen )3(
2 
33) ò dxxxsen )((cos).(
22 34) ò dxxtg )(
3 35) ò
-1)(xtg
dx
 
36) n(3x).dx sen(5x).seò 37) ò (5x).dxsen(x).cos 38) ò + dxsenx
xsen
1
)(
 
39) ò dxxxtg )(sec)( 43 40) ò dxxxg )(seccos)(cot 35 41) ò dxxxtg )2sec())2(( 3 
42) ò
+- )cos()(1 xxsen
dx
 43) dx
x
xa
ò
-
2
22
 
44) dxxx 22 4 -ò 
45) ò
+ 22 1 xx
dx
 
46) dx
x
ax
ò
- 22
 
47) ò
+ 52 )x(4
dx
 
48) 
102xx. 1)+(x
dx
 
24
ò
++
 49) x4 2ò + dx 50) 
22x2x21)(x
dx
ò
+++
 
51) ò
+ 22 )9(x
dx
 52) ò
+
+
22 )9(x
1)dx(x
 53) ò
++
+
22 )102(x
3)dx(2x
 
x
 
54) dx
xxx
xxxx
ò +++
++++
22
234
)32)(1(
812114
 
 
 
RESPOSTAS 
01. 1.1) (x4 /2) + (5/x) + 4x + c 1.2) (2/3)x3/2 – 3ln|x| + c 
 1.3) (x2/2) – ln|x| + c 1.4) cx +-
3
)3cos( 
 1.5) cx +3sen)3/2( 1.6) (tgx)6/6 + c 
 1.7) (1/2)ln|1 + x2| + c 1.8) ln|lnx| + c 
 1.9) cxarctg +)5/2()52/2( 1.10) (1/2) arctgx2 + c 
 1.11) cxarctg +4
4
1 1.12) c
x
+
5ln
5 sen 
 1.13) 3ex/3 + c 1.14) ce
x
+-
-
3
3
 
 1.15) arcsen(ex/2) + c 1.16) – cotg(3x)/3 + c 
 1.17) (tg7x)/7 + c 1.18) (–1/2)ln|5 – 2x| + c 
 1.19) (–1/2)ln|cos2x| + c 1.20) ln|sen(ex)| + c 
 1.21) css +-- )4/sen(ln4)4cos(ln)4/1( 1.22) cx ++ ])1[(
3
1 2/32 
 5 
 1.23) 
2
)32( 2
12 +x + c 1.24) cx ++ ])1(2[
3
1 2/13 
 1.25) c
x
+2cos2
1 1.26) c
x
arcsen +÷
ø
ö
ç
è
æ
4
3
3
1
 
 1.27) cxtg ++ )1(2 1.28) cx ++ )1(ln
2
1 2 
 1.29) c
x
+
+ )2cos1(21 1.30) cx ++ 2sen12 
 1.31) c
x
+
3/1)3(cos
1 1.32) cx +-
3
arccos3 
 1.33) cx +)sen(ln 1.34) 2e cx + 
 1.35) - +e cxcos 1.36) c
a
a x
+
ln2
2
 
 1.37) ce
x
+
4
4
 1.38) 
2
2ln 2 xe+
 + c 
 1.39) ce x +)arcsen( 1.40) ( ) c x1
3
4 2/3 ++ 
 1.41) c
xx
+
++
3ln2
3 )34(
2
 1.42) ctgxarctg +÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
 
3
2
 
6
1 
 
1.43) ( ) ( ) ( ) cxxx ++++-+ 2/32/52/7 1
3
2
1
5
4
1
7
2 1.44) cxxsen
x
++ 2cos
4
1
2
2
 
1.45) cexe xx +- 33
9
1
3
1
 1.46) x ln(5x) – x + c 
1.47) cxxx +---- 3222 )1(
3
2
1 ou ( ) cxx +-+-- 322 1
3
1
1 
1.48) –x cotgx + ln|senx| + c 
1.49) t sect – ln|sec t + tg t| + c 1.50) cx
x
+÷
ø
ö
ç
è
æ -
3
1
ln
3
3
 
1.51) cexeex xxx ++- 2222
4
1
2
1
2
1
 1.52) ( ) cxsenxe x ++ cos
2
1
 
1.53) xarctg (3x) – 
6
1
ln(9x2 + 1) + c 1.54) x2 ex + c 
1.55) (x – 2)arcsen(x – 2) + cxx +-+- 342 1.56) – xcotg (x) + ln|sen(x)| + c 
1.57) xarccos(x) – cx +- 21 1.58) cxxsenxx ++ ))(ln(
2
1
))cos(ln(
2
1
 
 
02. 2.1) f(x) = – cos3x + senx + 1 2.2) 53 
6
1 2 +-= xcosln)x(f 2.3) f(x) = arctgx + 1 
03. 1)cos(ln
2
2
+-- x
x
 
 
04. a) 1/3 em (1/3)1/2 b) a em 2/p± c) 0 em 0 e ± a d) ½, em 4/p e 4/3p 
 
 6 
05. a) lnx; b) ( ) 2/121 x+- ; c) ( ) 2/1812 xx + ; 
 d) ( ) 1232 -+ x ; e) 242 xx exe -- - f) xey y sen' --= 
 g) )(2' 22
2
xsenxey y-= h) 
y
xsen
y
cos
3
'
2--
= 
 
06. )('' xf = x2 + 7 
08. a) x máx = 1 e x mín = -1; b) xmáx = -1 e xmáx = 1; xmín = -2, xmín = 0 e xmín = 2. 
 
09 a) 10/3 b) -1/70 c) 53/2 
 
10. 
3
124 - 
11. a) 2 b) 32/3 c) 32/3 
 d) 17/6 e) 28/3 f) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+
3
3261228
 2 
 g) 9/2 h) 1 i) 1/6 
 j) 64/3 l) 7/ln2 
12. 12a) úû
ù
êë
é
ò ò ÷
ø
ö
ç
è
æ --+ò -+ò ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-- dxxxdxdyydy
y
y 0
22-
2
0
2222
2
22
2
2
2 28x-82ou 84
2
8 
12b) dyyb
b
a
a
b
ò ÷ø
ö
ç
è
æ +-
3
0
2222 ou dxax
a
ba
a
÷
ø
ö
ç
è
æ -ò
2222 
12c) ÷
ø
ö
ç
è
æ
-+- òò
2
1
2
1
0
2 442 dxxdxxx ou ( )dyyò --
3
0
2 144 
13. 
1) C
x
arctg +
+
2
1
2
1
 2) C
x
x
+
-
-
1
5
ln
4
1
 
3) Cxarctgxx +++++ )]1(2[.22|342|ln
4
1 2 4) C
x
arcsenxx +
-
+-+-
2
12
4
7
443
4
1 2 
5) Cxxxxx ++++++++ |)1(2342|ln22342
2
1 22 6) Cxxxxx +-+-+- )2(814ln
24
23
2
2
3 22 
7) Cxx +++ 12ln
4
1
2
1
 8) C
xx
x
+
++
+
)1()5(
)3(
ln
8
1
5
6
 
 9) C
x
x
x
+
-
-
+
- 1
2
ln
1
1
 10) C
x
x
x
+÷
ø
ö
ç
è
æ -+
-
22
ln
2
3
 
11) Cxxx
x
+++-+- |]12|ln7|12|ln9[
16
1
||ln
4
 
12) Cxarctg
x
xx
+÷
ø
ö
ç
è
æ -+
-
+-
2
1
2
1
1
)52(
ln
2
3
2
 
13) Cxarctgxartg
x
x
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷
ø
ö
ç
è
æ+
+
+
22
3
22
3
2
4
ln
2
2
 14) Cxarctg
x
x
++
+
+
)2/(
2
1
)1(
4
ln
2
2
 
 7 
15) C
x
arctgxx +÷
ø
ö
ç
è
æ-+-+
2
|2|ln4ln 2 16) C
x
xxarctgx +
-
+--++
1
1
|1|ln1ln 2 
17) C||x||xxx +-+--+ 4ln
3
83
1ln
3
17
ln35 18) cxarctgxxarctg
x
++- )(
2
1
2
1
)(
2
2
 
19) ( ) cxx
x
x
++-+÷
ø
ö
ç
è
æ + )1ln(
2
11
1ln
2
2
 20) C
x
arctgx +÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
×+
2
1
22ln2 
21) Cxx +- 12 134 9
13
2
27
2
 22) Cxarctg
x
x
+--
+-
-- 6
6
6
23
12
12
ln
2
3
 
23) Cxx ++-+ 3
5
3
8
)1(
5
3
)1(
8
3
 
24) Cxxxx ++-+- )2ln(482462 663 
25) C
x
x
xx
xx
+
-
-
+--
++- 21
11
11
ln 26) C
xx
xx
x
x
arctg +
+--
++-
+
+
-
11
11
ln
1
1
2 
27) Cxx +- )cos()(cos
3
1 3 28) Cxsenxsen +- )(
5
1
)(
3
1 53 
29) Cxx +- )(csc
3
1
)(csc 3 30) Cxtgx ++ 22secln
2
1
 
31) C
x
x ++
3
3 5
)cos(
3
)(cos
5
3
 32) C
xsenx
+-
12
)6(
2
 
33) C
xsenx
+-
32
)4(
8
 34) Cx
xtg
++ )cos(ln
2
)(2
 
35) C
xxtgxtg
+-
+
-
-
24
)1)(ln(
2
|1)(|ln 2
 36) C
xsen
xsen +÷
ø
ö
ç
è
æ -
4
)8(
)2(
4
1
 
37) C
xx
++-
8
)4cos(
12
)6cos(
 38) Cx
x
tg
++
÷
ø
ö
ç
è
æ+
2
1
2
 
39) Cxtgxtg ++ 64 ))((
6
1
))((
4
1
 
40)
C
xxx
+
-+- 357 ))sec((cos
3
1
))sec((cos
5
2
))sec((cos
7
1
 
41) Cxx +- )sec())2(sec(
5
1 5 42) Cxtg +-- )2/(1ln 
43) C
a
x
arcsen
x
xa
+-
-
-
22
 
44) Cxxxx
x
arcsen +-+-- 232 4
4
1
4
2
1
2
2 
45) C
x
x
+
+
-
21
 46) Cx
a
aax +÷
ø
ö
ç
è
æ-- arccos.22 
47) C
xx
x
x
x
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
-
+ 22
3
2 4)4(3416
1
 48) C
x
x
x
x
+
+
++
-
+
++
35
32
4
2
)1(3
])1(9[
)1(3
)1(9
 
49) Cx
x
xx +++÷
ø
ö
ç
è
æ ++ 22 4
2
4ln2 50) C
x
xx
+
+
++
-
1
222
 
 8 
51) C
x
arctg
x
x
+÷
ø
ö
ç
è
æ+
+ 354
1
)9(18 2
 52) C
x
arctg
x
x
+÷
ø
ö
ç
è
æ+
+
-
354
1
)9(18
9
2
 
53) C
x
arctg
xx
x
+÷
ø
ö
ç
è
æ ++
++
-
3
1
54
1
)102(18
17
2
 
 54)
Cx
x
arctg
xx
x
++
+÷
ø
ö
ç
è
æ +
-
++
+
-
|1|ln
2
1
4
2
)32(2
2
2