cesa_p3a

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UFMT – ICET MATEMA´TICA (2008) – Prof. Geraldo L. Diniz, Ca´lculo Integral – Turma: ESA
Gabarito da terceira avaliac¸a˜o – P3
1. Verifique se a sequeˆncia a seguir e´ crescente e, neste caso, se ela e´ limitada superiormente. an =
2n+ 3
n+ 1
Resoluc¸a˜o:
Para verificar se a sequeˆncia e´ crescente ou na˜o, devemos comparar dois termos gene´ricos consecutivos, ou seja,
devemos verificar se an ≤ an+1. Assim, temos:
an+1 =
2(n+ 1) + 3
(n+ 1) + 1
=
2n+ 5
n+ 2
.
Agora, suponhamos que an ≤ an+1 ⇒ 2n+ 3
n+ 1
≤ 2n+ 5
n+ 2
⇒ (2n+ 3) · (n+ 2) ≤ (2n+ 5) · (n+ 1)⇒
2n2 + 5n+ 3 ≤ 2n2 + 7n+ 10⇒ −7 ≤ 2n, que e´ verdadeira para todo n ≥ −3.
Como n e´ um inteiro positivo, temos que an ≤ an+1 e, portanto, a sequeˆncia e´ crescente.
A sequeˆncia e´ limitada superiormente, pois
lim
n−→∞ an = limn−→∞
2n+ 3
n+ 1
= lim
n−→∞
2n
n +
3
n
n
n +
1
n
= lim
n−→∞
2 + 3n
1 + 1n
=
2 + 0
1 + 0
= 2.
Portanto, a sequeˆncia e´ limitada superiormente por 2.
2. Determine se a sequeˆncia an =
2n + 1
3n
e´ convergente ou divergente.
Resoluc¸a˜o:
A sequeˆncia e´ convergente, pois a sequeˆncia e´ monotoˆnica decrescente e limitada inferiormente por zero. Portanto,
pelo teorema da sequeˆncia monotoˆnica, esta sequeˆncia converge.
Resta mostrar que a sequeˆncia e´ mono´tona decrescente, para isto basta provar que an ≥ an+1. Com efeito,
suponhamos que
an ≥ an+1 ⇒ 2
n + 1
3n
≥ 2
n+1 + 1
3n+1
⇒ (2n + 1) · 3n+1 ≥ 3n (2n+1 + 1)⇒ 3 · 3n (2n + 1) ≥ 3n (2 · 2n + 1)⇒
3 (2n + 1) ≥ 2.2n + 1 ⇒ 3.2n + 3 ≥ 2.2n + 1 ⇒ (3 − 2)2n ≥ 1 − 3 ⇒ 2n ≥ −2, que e´ verdadeira para todo n
inteiro positivo.
3. Resolva, pelo me´todo de Picard, a seguinte equac¸a˜o: x2 = x
Resoluc¸a˜o:
Tabela 1: Tabela de iterac¸o˜es do Me´todo de Picard
n xn
0 0,5
1 0,25
2 0,0625
3 0,00390625
4 0,000015258789
5 0,00000000023
Sabemos que a equac¸a˜o tem duas soluc¸o˜es, a saber: x1 = 0
ou x2 = 1. No entanto, o me´todo de Picard so´ converge
para x = 0.
Para aplicar o me´todo de Picard, usamos a equac¸a˜o recur-
siva: xn+1 = x2n, obtida a partir da equac¸a˜o a ser resolvida.
Assim, constru´ımos a tabela 1 de resultados ao lado, donde
obtemos x ≈ 0, 00000000023, uma aproximac¸a˜o com erro
� < 10−9, que supera o nu´mero de d´ıgitos que aparece no
visor da maioria das calculadoras do mercado.
4. Encontre a fo´rmula para a soma parcial (Sn) da seguinte se´rie:
1
2 · 3 +
1
3 · 4 +
1
4 · 5 + · · ·+
1
(n+ 1) · · · (n+ 2) + · · ·
Resoluc¸a˜o:
Como se trata de uma se´rie na˜o-geome´trica, mas telesco´pica, para cada termo an, podemos escrever:
an =
1
(n+ 1) · (n+ 2) =
1
n+ 1
− 1
n+ 2
.
Assim, considerando os n primeiros termos da se´rie, temos que:
2 Gabarito da terceira avaliac¸a˜o – P3
Sn =
1
2 · 3 +
1
3 · 4 +
1
4 · 5 + · · ·+
1
(n+ 1) · (n+ 2) =
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ · · ·+
(
1
n+ 1
− 1
n+ 2
)
.
Da´ı, ao retirarmos os pareˆnteses, havera´ o cancelamento de termos restando apenas o primeiro e o u´ltimo termos.
Portanto, teremos:
Sn =
1
2
− 1
n+ 2
5. Considere a se´rie
∞∑
n=0
e−2n. Mostre se ela converge ou diverge e, caso convirja, encontre seu limite.
Resoluc¸a˜o:
Para verificar a convergeˆncia, primeiramente tomamos a soma parcial dos n primeiros termos da se´rie. Assim,
temos:
Sn =
n∑
k=0
e0 + e−2 + e−4 + · · ·+ e−2n = 1 + 1
e2
+
1
e4
+
1
e6
+ · · ·+ 1
e2n
.
que e´ uma se´rie geome´trica de raza˜o r =
(
1
e
)2, cuja soma para os n primeiros termos e´ dada por:
a1
1 + rn
1− r = 1
1 +
(
1
e
)2n
1− ( 1e )2 , o que nos da´, ao multiplicarmos cada termo por e2: Sn =
e2 + e2(1−n)
e2 − 1 .
Assim, tomando o limite de Sn, quando n −→∞, vem:
lim
n−→∞Sn = limn−→∞
e2 + e2(1−n)
e2 − 1 =
e2 + 0
e2 − 1 =
e2
e2 − 1 .
Portanto, a se´rie converge e seu limite vale
e2
e2 − 1
Cada questa˜o vale 2 pontos. Cuiaba´, 15 de Julho de 2008.