Introdução ao Eletromagnetismo

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Introdução ao
Eletromagnetismo
Aula 02
Germano Maioli Penello
07/03/2012
Site do curso
www.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-1.html
germano@if.ufrj.br
Interação eletromagnética
• Luz! (ondas de rádio, visível, IR, UV, Raios-x, etc...)
• Eletricidade
• Princípio de funcionamento de uma TV de raios catódicos
• ...
Eletromagnetismo no dia-a-dia
• Uma das quatro interações fundamentais da Natureza. 
Junto com gravitacional, nuclear forte e nuclear fraca.
• Ordem de intensidade
Nuclear forte > eletromagnética > nuclear fraca > gravitacional
Resultados observados experimentalmente
• Carga elétrica
• Forças elétricas podem ser positivas ou negativas
(cargas positivas e cargas negativas)
• Eletrização por atrito
• Não cria cargas! Apenas transfere as cargas de um 
corpo ao outro. (Benjamin Franklin)
Conservação da carga elétrica! 
• Cargas de mesmo sinal se repelem. Cargas de sinais 
opostos se atraem. (Du Fay)
Condutores e isolantes
• Condutores – Transmitem cargas elétricas
• Isolantes – Retêm cargas elétricas
• Descoberta em 1729
• Hoje em dia esta explicação sobre isolantes e condutores 
já é bem mais detalhada. (Se achar interessante, procure sobre 
semicondutores e supercondutores no google.)
Eletroscópio
• Por que é difícil realizar 
Esta experiência no Brasil?
http://www.youtube.com/watch?v=mS4KN58DLt0
Lei de Coulomb
• Eletrostática – Cargas em repouso. Nada varia com o 
tempo.
• Carga puntiforme – Conceito análogo ao de massa 
puntiforme. Comparação entre as dimensões dos objetos 
e das distâncias relativas entre eles. (Olhando para uma 
estrela daqui da terra, ela é vista como um ponto 
luminoso; mas a estrela é realmente um ponto?)
• Utilizando uma balança de torção, Coulomb mediu a força 
entre duas partículas carregadas e chegou à forma 
matemática que relaciona esta força eletrostática com a 
distância entre as duas partículas.
Lei de Coulomb
• Resultado obtido por Coulomb:
2
1
r
F α=
2
12
21
1
r
qkqF =
Atenção! Aqui estou 
representando a força 
elétrica em módulo! Ainda 
não estou utilizando 
notação vetorial.
Lei de Coulomb
• Resultado obtido por Coulomb: 
122
12
21 ˆ
1
r
r
qkqF =
r
No S.I.
04
1
piε
=kOnde,
2
2
][
C
Nmk =
Permissividade do 
vácuo
Princípio da superposição (cargas
pontuais)
q1
q2
q0
Força que q0 sente pela presença de q1
q1
q2
q001r
q1
q2
q0
1rˆ
01r
Força que q0 sente pela presença de q1
q1
q2
q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
01r
Força que q0 sente pela presença de q1
q1
q2
q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
01r
02r
Força que q0 sente pela presença de q2
q1
q2
q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
2rˆ
01r
02r
Força que q0 sente pela presença de q2
q1
q2
q0
1rˆ
12
01
o1
01 rˆ
r
qkqF =
r
01F
r
2rˆ
02F
r
22
02
o2
02 rˆ
r
qkqF =
r
01r
02r
Força que q0 sente pela presença de q2
Qual a força total sentida por q0?
q1
q2
q0
1rˆ
?FF 0T =≡
rr
01F
r
2rˆ
02F
r
01r
02r
Princípio da superposição
q1
q2
q0
1rˆ
01F
r
2rˆ
02F
r
22
2
o2
12
1
o1
0201o rˆ
r
qkq
rˆ
r
qkqFFF +=+=
rrr
01r
02r
Princípio da superposição
q1
q2
q0
1rˆ
01F
r
2rˆ
02F
r
22
2
o2
12
1
o1
0201o rˆ
r
qkq
rˆ
r
qkqFFF +=+=
rrr
0F
r
01r
02r
∑
∑
∑
≠
≠
≠
=
=
=
ij
ij
ij
ij2
ij
j
0
i
ij2
ij
ji
i(j)i
rˆ
r
q
4
q
rˆ
r
qkq
FF
piε
rr
Princípio da superposição
22
2
o2
12
1
o1
0201o rˆ
r
qkq
rˆ
r
qkqFFF +=+=
rrr
Em uma notação mais formal:
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
Qual é a força elétrica
atuando na carga q0
considerando que
uma quantidade de 
carga Q está
uniformemente
distribuída no anel de 
raio R e a distância
entre o anel e a carga
é igual a z?
q0
Q
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
1o passo:
Dividir o anel em pequenos
pedaços com uma pequena
quantidade de carga dQ em
cada pequeno elemento de 
comprimento dL
A carga está uniformemente distribuída! Portanto, ela terá uma
densidade de carga uniforme. No caso 1D, chamaremos esta
densidade de densidade linear (λ).
λ = Q / L L - Comprimento total do anel
dQ
dQ
dL
dL
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
λ = Q / L
L - Comprimento total do anel = 2piR
λ = Q / 2piR
dQ
dQ
dL
dL
z
1o passo:
Dividir o anel em pequenos
pedaços com uma pequena
quantidade de carga dQ em
cada pequeno elemento de 
comprimento dL
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
dQ
dQ
λ = Q / L = dQ/dL
L - Comprimento total do anel = 2piR
λ = Q / 2piR
Esta é a definição formal de densidade linear!
dL
dL
z
1o passo:
Dividir o anel em pequenos
pedaços com uma pequena
quantidade de carga dQ em
cada pequeno elemento de 
comprimento dL
Relembrando coordenadas polares
x
y
r
θ
dL
θ
dθ
θRddL =
∫∫ =
pi
θ
2
00
' RddL
L
Elemento de linha
Relembrando coordenadas polares
x
y
r
θ
dL
θ
dθ
θRddL =
∫∫ =
pi
θ
2
00
' RddL
L
piθ 20][RL =
RL pi2=
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
dQ
dQ
λ = Q / L = dQ/dL
L - Comprimento total do anel = 2piR
λ = Q / 2piR
dL
dL
z
dQ = λ dL = λ Rdθ
1o passo:
Dividir o anel em pequenos
pedaços com uma pequena
quantidade de carga dQ em
cada pequeno elemento de 
comprimento dL
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
dQ
dQdL
dL
01r
z
Vamos começar analisando
dois pedaços diametralmente
opostos. (simetria!)
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
1rˆ
01r
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
1rˆ 01
Fd
r
12
01
o
01 rˆ
r
kqFd dQ=
r
01r
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
1rˆ 01Fd
r
12
01
o
01 rˆ
r
kqFd dQ=
r
2rˆ
01r
02r
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
1rˆ 01Fd
r
12
01
o
01 rˆ
r
kqFd dQ=
r
2rˆ
02Fd
r
01r
02r
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
2o passo:
Qual a força que cada pedaço
faz na carga q0?
1rˆ 01Fd
r
12
01
o
01 rˆ
r
kqFd dQ=
r
2rˆ
02Fd
r
22
02
o
02 rˆ
r
kqFd dQ=
r
01r
02r
z
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
dQ
dQ
1rˆ 01Fd
r
2rˆ
02Fd
r
dF=02dF=01dF
Percebendo o seguinte:
01r
02r
=01r
22
02r zR +=
z
3o passo:
Utilizar o princípio de 
superposição e somar
(integrar) todas as pequenas
forças
Note bem que estamos
falando do módulo do 
vetor
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
12
22
o
01 rˆ
kqFd
zR
dQ
+
=
r
2rˆ Fd
r
22
22
o
02 rˆ
kqFd
zR
dQ
+
=
r
01r
02r
z
3o passo:
Utilizar o princípio de 
superposiçãoe somar
(integrar) todas as pequenas
forças
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
12
22
o
01 rˆ
kqFd
zR
dQ
+
=
r
2rˆ Fd
r
22
22
o
02 rˆ
kqFd
zR
dQ
+
=
r
01r
02r
z
3o passo:
Utilizar o princípio de 
superposição e somar
(integrar) todas as pequenas
forças
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
2rˆ Fd
r
01r
02r
z
3o passo:
Utilizar o princípio de 
superposição e somar
(integrar) todas as pequenas
forças
Antes de fazer as contas, vamos perceber as simetrias do 
problema. Qual a força resulatante no eixo z? Qual a 
força resultante no plano perpendicular ao eixo z?
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
2rˆ Fd
r
01r
02r
z
Força resultante apenas no eixo z! Os pequenos
elementos diametralmente opostos geram forças com 
mesma direção e mesma intensidade, mas com sentidos
opostos!
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
2rˆ Fd
r
01r
02r
z
α zˆ
Pela simetria, apenas
calcularemos a componente
da força resultante no eixo z. 
As componentes da força
resultante nos eixos x e y 
serão nulas.
zˆdF yˆdF xˆdFFd zyx ++=
r
0 0
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
2rˆ Fd
r
01r
02r
z
α zˆ
)cos(kqdF 2
22
o
z α
zR
dQ
+
=Componente da força
resultante no eixo z:
22
)cos(
zR
z
+
=α
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
1rˆ Fd
r
2rˆ Fd
r
01r
02r
z
α
∫∫ +
= z
zR
dQ
ˆ)cos(kqFd 22 o α
r
zˆ
∫∫ +
=
pi
α
θλ2
0
22
o
01 ˆ)cos(
kqFd z
zR
Rdr
∫∫ +
= z
zR
dQ
ˆ)cos(kqFd 22 o01 α
r
∫+
=
pi
θαλ
2
0
22
o
ˆ)cos(kq dz
zR
RF
r
z
zR
RF ˆ2)cos(kq 22 o piα
λ
+
=
r
z
zR
RF ˆ2)cos(kq 22 o piα
λ
+
=
r
Rearrumando os termos:
22
)cos(
zR
z
+
=α
λpiRQ 2=
04
1
piε
=k
z
zR
zQF ˆ)(
q
4
1
2/322
o
0 +
=
piε
r
z
zR
zQF ˆ)(
q
4
1
2/322
o
0 +
=
piε
r
Princípio da superposição (distribuição
uniforme de cargas)
q0
Q
z zˆ F
r
Importância da notação vetorial correta!
z
zR
zQF ˆ)(
q
4
1
2/322
o
0 +
=
piε
r
q0
Q
z zˆ F
r
Fizemos as contas sem nos preocuparmos com o sinal das cargas.
Se o anel e a carga q0 tiverem o mesmo sinal, a força será repulsiva
(F terá o mesmo sentido de z). Se o anel e a carga tiverem sinais
opostos, a força será atrativa (F terá o sentido oposto de z).
^
^
Distribuição uniforme?
• A carga elementar (e = 1,6x10-19 C) é quantizada! 
(experiência realizada por Milikan) 
• Como poderíamos então considerar uma distribuição 
uniforme?
• Em comparação com experiências do cotidiano, o valor da 
carga fundamental é extremamente pequeno. Por isso, 
podemos, sim, utilizar o conceito de distribuição uniforme.