Aula 06

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Introdução ao 
EletromagnetismoEletromagnetismo
Aula 06
Site do curso
www.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-1.html
Germano Maioli Penello
21/03/2012
germano@if.ufrj.br
Em eletrostática definiremos o fluxo do campo elétrico 
através de uma superfície plana de área A por (da mesma 
maneira que em hidrodinâmica, trocando por )
Revisão: Fluxo
Para uma superfície qualquer
Revisão: Fluxo
Em uma superfície fechada
Revisão: Fluxo
Revisão: Lei de Gauss
http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/electrostatics/flux/closedSurfaces/closed.htm
Revisão: Lei de Gauss
O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é 
proporcional à carga interna total existente no interior da 
superfície.
http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/electrostatics/flux/closedSurfaces/closed.htm
Revisão: Lei de Gauss
• O que acontece se tivermos carga fora da superfície?
• E dentro?
• Depende do formato da superfície?
• E se colocarmos duas cargas de sinais opostos no • E se colocarmos duas cargas de sinais opostos no 
interior da superfície?
• E se adicionarmos mais uma carga (ficando com um 
total de 3)?
• Qual é então o fluxo gerado por um dipolo elétrico 
dentro de uma superfície fechada?dentro de uma superfície fechada?
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Aumento da energia da partícula.
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Aumento da energia da partícula.
De onde vem essa energia?
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Aumento da energia da partícula.
De onde vem essa energia?
A força que atua no sistema realiza trabalho, 
convertendo alguma energia em energia 
mecânicamecânica
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Aumento da energia da partícula.
De onde vem essa energia?
A força que atua no sistema realiza trabalho, 
convertendo alguma energia em energia 
mecânicamecânica
Como expressar isto matematicamente?
Energia potencial
• O que acontece quando uma partícula sofre ação de 
uma força?
Movimento acelerado.
Aumento da energia da partícula.
De onde vem essa energia?
A força que atua no sistema realiza trabalho, 
convertendo alguma energia em energia 
mecânicamecânica
Como expressar isto matematicamente?
Energia potencial
• Se a força é conservativa, o trabalho pode ser expresso 
em função de uma energia potencial.
Força conservativa
• Uma força é dita conservativa, se o trabalho realizado 
pela força independe da trajetória. 
Força gravitacional?
Força eletrostática?
Força de atrito?
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap5/work/work.htm
Força conservativa
• Uma força é dita conservativa, se o trabalho realizado 
pela força independe da trajetória. 
Força gravitacional?
Força eletrostática?
Força de atrito?
Energia potencial
• Se a força é conservativa, o trabalho pode ser expresso 
em função de uma energia potencial.
Em física, já vimos isto quando trabalhamos com força 
gravitacional. Neste caso, utilizamos o conceito de 
energia potencial gravitacional.
Energia potencial
• Se a força é conservativa, o trabalho pode ser expresso 
em função de uma energia potencial.
Em física, já vimos isto quando trabalhamos com força 
gravitacional. Neste caso, utilizamos o conceito de 
energia potencial gravitacional.
No caso próximo da superfície da terra, onde a 
gravidade é considerada constante, definimos gravidade é considerada constante, definimos 
Epot = U = mgh
Energia potencial
• Se a força é conservativa, o trabalho pode ser expresso 
em função de uma energia potencial.
Em física, já vimos isto quando trabalhamos com força 
gravitacional. Neste caso, utilizamos o conceito de 
energia potencial gravitacional.
No caso próximo da superfície da terra, onde a 
gravidade é considerada constante, definimos gravidade é considerada constante, definimos 
Epot = U = mgh
Nestes casos de forças conservativas, a energia 
potencial depende apenas da massa, do campo 
gravitacional e da posição da partícula!
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
A força da gravidade realiza um trabalho positivo, A força da gravidade realiza um trabalho positivo, 
e a energia potencial diminui.
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
A força da gravidade realiza um trabalho positivo, A força da gravidade realiza um trabalho positivo, 
e a energia potencial diminui.
Entendemos, pela conservação de energia, que a 
energia potencial gravitacional foi convertida em 
energia cinética. 
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
A força da gravidade realiza um trabalho positivo, A força da gravidade realiza um trabalho positivo, 
e a energia potencial diminui.
Entendemos, pela conservação de energia, que a 
energia potencial gravitacional foi convertida em 
energia cinética. 
A força gravitacional está relacionada com a 
energia potencial gravitacional, apontando na 
direção de diminuição de potencial!
Conservação de energia
Entendemos, pela conservação de energia, que a energia 
potencial gravitacional foi convertida em energia cinética. 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/energy-skate-park
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
• Quem é maior: U1 ou U2?• Quem é maior: U1 ou U2?
• Para onde aponta a força gravitacional que age na 
partícula?
Energia potencial
• Exemplo: Bola caindo na superfície da terra.
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. 
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Placas paralelas uniformemente carregadas!Placas paralelas uniformemente carregadas!
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Placas paralelas uniformemente carregadas!Placas paralelas uniformemente carregadas!
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Placas paralelas uniformemente carregadas!Placas paralelas uniformemente carregadas!
+q
Para onde aponta o campo?
-q
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Placas paralelas uniformemente carregadas!Placas paralelas uniformemente carregadas!
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Inicialmente, vamos discutir o caso de um campo elétrico 
constante. Como criamos um campo elétrico constante?
Placas paralelas uniformemente carregadas!Placas paralelas uniformemente carregadas!
+q
Caso similar ao 
analisado para o campo 
-q
analisado para o campo 
gravitacional.
Energia potencial eletrostática
A força elétrica só atuaem um eixo (vertical). O trabalho 
independe da trajetória (a força eletrostática é 
conservativa). 
+q
-q
Energia potencial eletrostática
+q
-q
Energia potencial eletrostática
+q
-q
Energia potencial eletrostática
+q
-q
Energia potencial eletrostática
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
+q
Como fica a análise 
das forças? Para onde 
-q
apontam no caso de 
cargas positivas?
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
E se agora pensarmos em uma carga negativa?
+q
-q
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
E se agora pensarmos em uma carga negativa?
+q
No caso gravitacional 
não existia massa 
-q
não existia massa 
negativa!
Energia potencial eletrostática
Qual é então a região com uma energia potencial 
eletrostática maior? 
Perto da placa positiva ou perto da placa negativa?
E se agora pensarmos em uma carga negativa?
+q
Como fica a análise 
das forças? Para onde 
-q
apontam no caso de 
cargas positivas?
E negativas?
Energia potencial eletrostática
Analisaremos agora o caso em que o campo não é 
constante. Ex: Duas cargas pontuais
r2
r1
Qual caminho escolher?
Este é o mesmo cálculo no caso 
gravitacional para dois planetas distantes!
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
A energia potencial de 
uma força conservativa 
independe do caminho!independe do caminho!
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Como representar matematicamente o cálculo de energia Como representar matematicamente o cálculo de energia 
potencial?
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais Convenção: 
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais Convenção: 
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais Convenção: 
r2
r1
Energia potencial eletrostática
Duas cargas pontuais Convenção: 
r2
r1
Energia 
potencial de potencial de 
duas cargas 
puntiformes! 
Energia potencial eletrostática
Convenção: 
Mesmo resultado que o gravitacional. Apenas 
trocando m por q e as constantes pela 
constante gravitacional.