Teorema da quantidade de movimento – Força sobre comporta de fundo. (1)

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FEAU – Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Urbanismo
Teorema da quantidade de movimento – Força sobre comporta de fundo.
Ana Carolina Buzinari RA: 141525 -6
Ana Carolina Pariz RA: 144397 -7
Beatriz Raiane Camargo RA: 145639 -1
Gustavo Sabio RA: 14.4462-9
Rafaela Ribeiro dos Santos RA:141024 -0
Yan Ramon Bianchi RA:14.3464-6
Santa Bárbara d’ Oeste – Março de 2016
Resumo
Este experimento teve como objetivo determinar a quantidade de movimento através de pressões medidas em tubulações e a força devido ao escoamento de água, comparando os valores práticos com os valores teóricos. Para isso, utilizou-se um dispositivo com canaleta, comporta de fundo e com uma tubulação conectada á uma moto bomba. O tubo de 3” foi conectado a moto bomba que puxou água do reservatório, distribuindo ao sistema, conectado a esta tubulação foi colocado uma divisão que enviou parte do fluxo de água de volta para o reservatório numa tubulação de 1½” e parte seguiu para a canaleta. Nestas tubulações utilizaram-se placas de orifício para medida de pressão e na comporta foram colocados 10 piezômetros nas posições determinadas. Ao desligar a bomba foi fechado o registro da tubulação de retorno para o reservatório e aumentou-se a altura da comporta na saída, podendo observar o ressalto hidráulico.
1. Introdução 
A lei da conservação da quantidade de movimento linear (também chamado de momentum) é uma lei fundamental da física. A primeira e terceira leis de Newton derivam dela. A partir dela também se obtém uma forma mais geral da segunda lei de Newton, permitindo que sistemas com massa variável (como, por exemplo, foguetes) sejam descritos de forma adequada. Assim como a energia mecânica, a quantidade de movimento também é mantida quando não há forças dissipativas, ou seja, o sistema é conservativo, fechado ou mecanicamente isolado. Um sistema é dito isolado se não há forca resultante sobre ele, porém na prática, o sistema é considerado isolado se os efeitos dos corpos não pertencentes ao sistema são muito pequenos se comparados com as interações dentro do próprio sistema, podendo assim qualificar a quantidade de movimento de um sistema somando-se as quantidades de movimento de cada uma de suas partes. Deve-se lembrar, entretanto, que quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, e, portanto deve-se adicionar vetorialmente ao se fazer esse cálculo, pode-se dizer então, que em um sistema isolado, a quantidade de movimento total se conserva.
Nesta prática pode-se determinar a quantidade de movimento através de pressões medidas em tubulações de 1,5 e 3 polegadas (pressão total), com a placa de orifício, que serve para medição de vazão, além de determinar a pressão dos fluidos que foram sujeitos a pressões elevadas com o piezômetro.
2. Revisão da Literatura
Segundo Fox, McDonald e Pritchard (2014), os sistemas hidráulicos são caracterizados por pressões muito elevadas, de modo que as variações de pressões hidrostáticas podem ser frequentemente desprezadas. Embora os líquidos sejam geralmente considerados incompressíveis sob pressão ambiente, variações em suas massas específicas podem ser apreciáveis sob pressões elevadas. 
Em um sistema pode-se aplicar a lei de conservação da massa (massa constante no sistema), a segunda Lei de Newton (a soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento linear do sistema) e o princípio da quantidade de movimento (a taxa de variação da quantidade de movimento é igual à soma de todos os torques atuando sobre o sistema), (FOX, MCDONALD E PRITCHARD, 2014).
 
Equação da continuidade
É necessário que no estudo da Hidrostática algumas condições iniciais sejam estabelecidas. Por exemplo, ao utilizar um fluido na forma como ele realmente se apresenta, tem-se um sistema complexo. Assim, considera-se um fluido que, além de satisfazer algumas condições, apresente comportamento semelhante ao comportamento de um fluido ideal. Dessa forma, pode-se dizer que o fluido estudado possui densidade constante, e sua velocidade de escoamento, em um ponto qualquer, também é constante em relação ao tempo, sendo que, a partir equação de continuidade pode-se dizer que, em qualquer ponto do escoamento do fluido, o produto da velocidade de escoamento pela área do tubo é constante, consequentemente, nas partes mais estreitas do tubo, ou seja, na menor área, a velocidade de escoamento é maior (GILES, 1978).
Vazão
Vazão corresponde à taxa de escoamento, ou seja, quantidade de material transportado através de uma tubulação, por unidade de tempo, podendo ser volumétrica quando usado volume ou mássica quando se multiplica o volume pela massa (WHITE, 2011).
Placa de Orifício
A placa de orifício consiste em uma placa plana de metal com um furo de tamanho conhecido, sendo que geralmente o diâmetro da placa corresponde a ¼ do diâmetro do tubo, e as tomadas de pressão a cada lado da placa são usadas para detectar a perda de carga, (ORTEGA, 2012).
As placas de orifício podem ser concêntricas quando operam com fluídos limpos ou com partículas de tamanho reduzido e de baixa concentração, possuindo precisão elevada. Sendo que existem três estilos de orifícios concêntricos, o de canto vivo (apresentam na face de entrada, uma aresta viva, seguida de parte cilíndrica e um chanfro, opera com fluído de baixa viscosidade e sem partículas em suspensão), de 1/4 de círculo (apresentam, na entrada do orifício, um raio na forma de um quadrante, sendo adequados para líquidos de viscosidade média para alta e somente devem ser usados quando os limites do número de Reynolds tenham sido ultrapassados pelos orifícios de canto vivo), e orifícios de entrada cônica (a entrada do orifício possui um cone e, posteriormente, uma parte cilíndrica, são adequados para líquidos de viscosidade elevada, com baixos valores do número de Reynolds), (FERRO, 2008).
Segundo Ferro (2008) as placas de orifício também podem ser excêntricas, que são placas que operam com fluídos particulados, e são posicionados na base do tubo e possuem os mesmo acabamentos que as placas concêntricas.
Piezômetros
Consiste na inserção de um tubo transparente na tubulação ou recipiente onde se quer medir a pressão. O líquido sobe na coluna piezométrico a uma altura h, correspondente à pressão interna. Existem basicamente três tipos de piezômetros: piezômetro de coluna vertical, de coluna inclinada e de tubo em U (manômetro). O piezômetro apresenta três defeitos que o tornam de uso limitado: a altura h, para pressões elevadas e para líquidos de baixo peso específico, é muito alta, não sendo viável a instalação de um tubo de vidro com mais de 10m de altura, logo o piezômetro só serve para pequenas pressões, ele não pode medir pressão de gases, pois eles escapam sem formar a coluna h e não se pode medir pressões efetivas negativas, pois nesse caso haverá entrada de ar para o reservatório, em vez de haver a formação de coluna h, (VOGUES, 2010)
Ressalto Hidráulico
Segundo Zanardi (2007), o ressalto hidráulico é um dos fenômenos importantes no campo da hidráulica, já que possui uma gama bastante ampla de aplicações sendo a principal delas sua utilização como um dissipador de energia. Um ressalto hidráulico ocorre na transição de um escoamento torrencial ou supercrítico para um escoamento fluvial ou subcrítico, sendo que o escoamento é caracterizado por uma elevação brusca no nível d’água, sobre uma distância curta, acompanhada de uma instabilidade na superfície com ondulações e entrada de ar do ambiente e por uma consequente perda de energia em forma de grande turbulência. Esta transição pode ser forçada pela existência de vertedores, obstáculos, transições de inclinações de fundo, entre outras, ou seja, a mudança brusca de profundidade que normalmente ocorre é acompanhada de uma considerável perda de energia.
Comporta
Comportas, por definição, são estruturas hidráulicas destinadas a diferentes finalidades, dentre as mais utilizadas estão medirvazão e controlar a vazão de fluidos, geralmente água, em diques, represas e açudes, por exemplo. Uma comporta compõe-se basicamente de três elementos: tabuleiro, peças fixas e mecanismo de manobra. O tabuleiro, componente principal da comporta, é um elemento móvel que serve de anteparo à passagem da água e é constituído de paramento e vigamento. A chapa de revestimento do tabuleiro diretamente responsável pela barragem de água é denominada paramento. As peças fixas são os componentes que ficam embutidos no concreto e servem para guiar e alojar o tabuleiro e redistribuir para o concreto as cargas atuantes sobre a comporta. O mecanismo de manobras é o dispositivo diretamente responsável pela abertura e fechamento da comporta, (WHITE, 2011).
Comporta de Fundo
Segundo White (2011), comportas de fundo são elementos destinados ao esvaziamento de reservatórios, ou à remoção de sedimentos acumulados no fundo. Tratam-se, basicamente de uma placa plana móvel que, ao ser elevada, permite controlar a descarga gerada. Em sua maioria são instaladas perpendicularmente ao fundo dos canais e na mesma largura deste mesmo, para que não ocorra escoamento nas laterais, tampouco contrações das mesmas, caracterizando assim, um escoamento bidimensional. Quando se deseja reservar água são “encerradas” ou simplesmente tampadas. 
3. Objetivo
Esta prática teve como objetivo obter por meio da integração das pressões exercidas em uma comporta, a força devido ao escoamento de água, além da comparação dos resultados práticos com os teóricos com a força obtida teoricamente.
4. Metodologia
Antes que se iniciasse o experimento, verificou-se as condições do ambiente: pressão atmosférica e temperatura.
O experimento foi realizado num equipamento hidráulico de frequência 60Hz. Primeiramente, verificou-se se todos os registros estavam fechados e se todas as tomadas de pressão não utilizadas estavam devidamente fechadas. Após isso, colocou-se a canaleta na horizontal, com a saída livre.
Acionou-se a moto bomba hidráulica KSB Megabloc de tamanho 80 - 200F e OP 8P71203318 em que não houve nenhuma reação nos medidores até ai.
Abriu-se então, o registro de alimentação da canaleta, regulando a vazão na qual o nível à montante da comporta de fundo ficasse estável em aproximadamente 25 a 35 cm.
Com as condições estáveis, foram feitas as medidas de diferencial de pressão do manômetro da placa de orifício, a leitura da pressão em cada piezômetro e a leitura da altura da coluna de água à montante (Z1) e à jusante (Z2). Então, o equipamento foi devidamente desligado e realizadas novas leituras de referência em cada piezômetro.
Para iniciar a determinação das variáveis necessárias no processo de cálculos, utilizou-se o esquema da figura 1.
Figura 1: Demonstração da metodologia do ensaio. (Procedimento experimental)
O piezômetro consiste em um tubo transparente inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão. O líquido circulante no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida. (CARVALHO, 2008).
Este tipo de medidor de pressão utiliza o princípio da Lei de Stevin, que diz : “A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do líquido” (CARVALHO, 2008).E pode ser representado pela figura 2:
Figura 2: Demonstração da Lei de Stevin. (CARVALHO, 2008).
De acordo com o que dita a Lei de Stevin, partiu-se da equação 1:
 (Eq. 1)
Sabe-se que a velocidade é o produto dado pela altura multiplicada pela área, como apresenta a equação 2:
							 (Eq.2)
Na Figura Y, “A” é a área das faces, “P” é o peso da massa líquida e “h” é a diferença de nível entre os pontos considerados. Então, tem-se que:
 (Eq.3)
 Sabe-se que o sistema está em equilíbrio, ΣFy = 0, portanto:
				 (Eq.4)
Substituiu-se a equação 1 na equação 4 e obteve-se:
				 (Eq.5)
 (Eq.6)
Por fim, permite-se anular a área já que ela é igual em . Tem-se então:
 (Eq.7)
Sabe-se que pressão também pode ser calculada através da força e da área. Usou-se dessa teoria e determinou-se a força exercida em cada piezômetro, através da equação 8.
							 (Eq. 8)
Para utilizar na equação 8, calculou-se a área para cada piezômetro através da equação 9 . Em que W representa a largura da placa de orifício.
 (Eq.9)
A fim de determinar a velocidade do fluido na comporta, calculou-se a vazão mássica na placa de orifício através da equação 10 e a vazão volumétrica também na placa de orifício através da equação 11:
 
 (Eq.10)
 (Eq.11)
Para relacionar com o fluido na comporta, subtraiu-se a vazões encontradas através das equações 10 e 11 do tubo de 3" - tubo de 1,5". Obteve-se assim novas vazões mássicas e volumétricas, esta utilizada na equação 12 para calcular a velocidade do fluido na comporta.
 (Eq.12)
Tem-se após todos os cálculos, as variáveis necessárias para determinar a força resultante teórica de pressões exercidas sobre a comporta, através da equação 13:
 (Eq.13)
E para o cálculo da força resultante experimental de pressões exercidas sobre a comporta, utilizou-se a somatória:
					 (Eq.14)
Foi possível então, determinar o erro experimental através da equação 15.
 (Eq.15)
5. Resultados e Discussões
O experimento foi realizado sob pressão e temperatura ambiente, e com a tubulação especificada conforme a tabela 1.
Tabela 1: Informações dos tubos, placa de orifício e condição ambiente.
	Pressão atmosférica:
	724 mmHg ou
96525 Pa
	
	Temperatura ambiente:
	29 °C
	
	Placa de orifício
	W = 150 mm
	
	Tubulação
	Diâmetro (m)
	Área interna (m²)
	
	1,5"
	0,038
	0,001140
	β = 0,45
K = 1,067
	3"
	0,078
	0,004778
	β = 0,45
K = 0,676
Na tabela 2 estão informações gerais sobre os fluídos de trabalho (água e ar).
Tabela 2: Dados gerais.
	Visc. dinâmica do ar:
	1,81x10-5 Pa·s
	Massa específica do ar:
	1,2922 kg/m3
	Massa específica da água:
	996,233 kg/m3
	Gravidade:
	9,81 m/s2
A tabela 3 apresenta os dados coletadas na prática.
Tabela 3: Dados coletados durante o experimento.
	 
	Piez. 1
	Piez. 2
	Piez. 3
	Piez. 4
	Piez. 5
	Piez. 6
	Piez. 7
	Piez. 8
	Piez. 9
	Piez. 10
	Pressão (mm)
	388
	407
	410
	411
	414
	414
	415
	414
	415
	415
	Referência (mm)
	125
	145
	165
	184
	206
	225
	262
	311
	362
	412
Com os dados apresentados na tabela 3, foi possível calcular o ∆H de cada piezômetro, com isso utilizou-se a equação 7 para determinar a pressão para cada um deles e logo após isso, a área através da equação 9, o que tornou possível calcular a força exercida em cada piezômetro pela equação 8.
A tabela 4 apresenta os dados calculados a partir dos dados obtidos, apresentados na tabela 3.
Tabela 4: Dados complementares calculados a partir dos coletados durante o experimento.
	
	Piez. 1
	Piez. 2
	Piez. 3
	Piez. 4
	Piez. 5
	Piez. 6
	Piez. 7
	Piez. 8
	Piez. 9
	Piez. 10
	∆H (mm)
	263
	262
	245
	227
	208
	189
	153
	103
	53
	3
	Pressão (Pa)
	2570
	2560
	2394
	2218
	2033
	1847
	1495
	1007518
	29
	Área (m²)
	1,5.10-3
	3.10-3
	3.10-3
	3.10-3
	3.10-3
	3.10-3
	5,3.10-3
	7,5.10-3
	7,5.10-3
	7,5.10-3
	Força (N)
	3,9
	7,7
	7,2
	6,7
	6,1
	5,5
	7,9
	7,6
	3,9
	0,2
Com os dados apresentados na tabela 4, foi possível plotar o gráfico 1 como um perfil de pressão na comporta e o gráfico 2 demonstrando a força integrada.
Gráfico 1: Perfil de pressão na comporta.
Gráfico 2: Força integrada.
A tabela 5 mostra que partir dos diferencias de pressão em cada tubo, dados na prática experimental, foi possível calcular a vazão mássica pela equação 10 e a vazão volumétrica pela equação 11, na placa de orifício. 
Tabela 5: Dados calculados a partir dos diferencias de pressão na placa de orifício.
	Tubulação de Recalque 3"
	Tubulação de Retorno 1,5"
	ΔP
	Vazão
	ΔP
	Vazão
	
	Mássica
	Volumétrica
	
	Mássica
	Volumétrica
	(Kgf/cm²)
	(Pa)
	(kg/s)
	(m³/s)
	(m³/h)
	(Kgf/cm²)
	(Pa)
	(kg/s)
	(m³/s)
	(m³/h)
	0,25
	24516,6
	22,58
	0,0227
	81,58
	1,27
	124544
	19,16
	0,0192
	69,25
Para determinar as velocidades do fluido à montante e à jusante na comporta, foi necessário calcular novas vazões (mássica e volumétrica), a partir da subtração dos valores calculados na tubulação de 3", menos, os valores calculados na tubulação de retorno de 1,5". Que representam a alimentação de água no canal da comporta. 
Também foi necessário, calcular a área à montante e à jusante da comporta, utilizando os valores de Z (Z1 e Z2), coletados na prática, multiplicando W que representa a largura da placa de orifício. 
Por fim, utilizando a equação 12 foi possível determinar as velocidades do fluido na comporta.
A tabela 6 apresenta os valores calculados, para que fosse realizado a determinação das velocidades.
Tabela 6: Dados calculados a partir da alimentação de água no canal da comporta.
	Vazão
	Á Montante da Comporta
	Á Jusante da Comporta
	Mássica
	Volumétrica
	Largura
	Altura 
	Área
	Veloc.
	Altura 
	Área
	Veloc.
	(kg/s)
	(m³/s)
	(m³/h)
	(mm)
	(mm)
	(m²)
	(m/s)
	(mm)
	(m²)
	(m/s)
	3,41
	0,0034
	12,33
	W
	Z1
	A1
	V1
	Z2
	A2
	V2
	
	
	
	150
	326
	0,049
	0,070
	13
	0,002
	1,757
Para por fim, completar o objetivo do experimento, usou-se a equação 13 para determinar a força resultante teórica devido ao escoamento de água e com a equação 14 calculou-se a força resultante experimental. A critério de comparação, utilizou-se a equação 15 para determinar o erro de força resultante experimental.
Tabela 7: Comparação de forças resultantes teóricas e experimental, acompanhadas de erro experimental.
	RxTeorico
	RxExperimental 
	Erro
	(N)
	(N)
	(%)
	72,02
	56,52
	21,52
6. Conclusão
7. Referências Bibliográficas	
CARVALHO, D.F; SILVA, L.D. Fundamentos da Hidráulica. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - Agosto, 2008. Disponível in: http://www.ufrrj.br/institutos /it/deng/leonardo/downloads/APOSTILA/Apostila%20IT%20503/IT503%20cap%201,%202,%203,%204,%205%20e%206%20-%202008.pdf
CRUZ, C. H. B. Guia para física experimental, caderno de laboratório, gráficos e erros. Instituto de física. Unicamp, 1997.
FERRO, Taglia. Medidores de Vazão. Universidade de São Paulo – USP. 2008. Disponível in: < https://www.google.com.br/url?sa=t &rct=j&q=&esrc=s&source= web&cd=12&cad=rja&uact=8&sqi=2&ved=0ahUKEwjq_KrJ1srMAhXEKyYKHVnWCvAQFghRMAs&url=http%3A%2F%2Fwww.dequi.eel.usp.br%2F~tagliaferro%2FMedidores%2520de%2520Vazao.doc&usg=AFQjCNG-Onl-FOKEZPZJ09qo-lmdVga3hQ&bvm=bv.121421273,d.eWE>. Acesso em 08 de maio de 2016.
FOX,Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introdução á Mecânica dos Fluidos. Oitava edição – 2014.
GILES, R. V. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica. Coleção Schaum. 1978.
ORTEGA, L. M. Medidores de pressão, velocidade e vazão. Unicamp, 2012. Disponível in: < https://www.google.com.br/url?sa= t&rct=j&q=&esrc=s&source= web&cd=9&cad=rja&uact=8&sqi=2&ved=0ahUKEwjq_KrJ1srMAhXEKyYKHVnWCvAQFghBMAg&url=http%3A%2F%2Fwww.unicamp.br%2Ffea%2Fortega%2Faulas%2Faula10_medidores_Vazao.ppt&usg=AFQjCNFxcNE3JlaHDaKZ21p8f7E7srLYLw&bvm=bv.121421273,d.eWE>. Acesso em 08 de maio de 2016.
VOGUES, Cleber. Medidores de Pressão: Piezômetro. Fenômenos de Transporte I, 2010. Disponível in< http://amt-ft.blogspot.com.br/2010/09/medidores-de-pressao-piezometro-e-tubo.html>. Acesso em 08 de maio de 2016.
ZANARDI, M. Ressalto Hidráulico. Unesp, 2007. Disponível in: < http://www.feg.unesp.br/~mzanardi/EXP_RESSALTO_HIDR%C1ULICO.pdf>. Acesso em 08 de maio de 2016.
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos, 6ª edição, 2011.
Em que:
P = Pressão (Pa)
V = Velocidade (m/s)
A= Área (m²)
γ = Peso específico (N/m³)
� EMBED Equation.3 ���
Em que:
� = Vazão mássica (kg/s)
�= Vazão volumétrica (m³/s)
K = 0,676 p/ tubo de 1,5" e 1,067 p/ tubo de 3"
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
_1524296269.unknown
_1524296270.unknown
_1524296271.unknown
_1524296268.unknown