Aula 5 Medidas de Variabilidade

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ENGENHARIA 
 Professora Márcia Kubiak Sato, Esp. 
 
Estatística - Engenharia - Aula 5 - pág.1/7 
 
 
Aula 5 - Medidas de Variabilidade – Desvio, Variância e Desvio Padrão 
 
“Sempre há resistência quando a Ciência avança” 
Mayana Zatz1 (1947- ). 
Bióloga e geneticista brasileira, nascida em Tel Aviv 
Até julho de 2007 havia publicado 280 trabalhos científicos 
 
 Considere a seguinte situação: Grupo A – dois alunos com notas iguais a 2,0 e 7,0. A 
média
2
 de notas deste grupo é 
5,4
2
)72(


. Grupo B – dois alunos com notas iguais a 4,0 e 
5,0. A média deste grupo é 
5,4
2
)54(


. Se levarmos em consideração apenas à 
informação da média de cada grupo, seremos forçados a concluir que os dois grupos são 
iguais. No entanto, como podemos observar, os dois grupos são diferentes. O grupo A tem 
notas 2,0 e 7,0 e o grupo B tem notas 4,0 e 5,0. 
 Imagine um grupo C, também de dois alunos, que possuam notas 9,0 e 0,0. A média 
deles também é 4,5, no entanto este grupo apresenta notas bem diferentes daquelas dos 
outros grupos. 
 O que quero dizer é que a média não é uma boa representação dos dados de um 
conjunto, pelo menos, não isoladamente. Precisamos ter alguma medida do quanto os dados 
estão espalhados em torno da média. Do quanto os dados estão dispersos. 
 Observe o grupo A. Temos as notas 2,0 e 7,0, onde uma delas, a nota 2,0, está 2,5 
abaixo da média, enquanto que a nota 7,0 está 2,5 acima da média. No grupo B as notas 4,0 
e 5,0 estão 0,5, respectivamente, abaixo e acima da média. 
 No grupo C este espalhamento é ainda maior. Uma nota está 4,5 abaixo da média, 
enquanto que a outra está 4,5 acima da média. 
 Isto feito com estes conjuntos pequenos é fácil de analisar. A questão é: O que fazer 
para um grande número de dados? 
 
 
 
 
1 Professora do Departamento de Biologia do Instituto de Biociências da Universidade de São Paulo. Desde 2005, exerce o cargo de pró-
reitora de pesquisa da USP. Pesquisadora renomada em genética humana, com contribuições principalmente no campo de doenças 
neuromusculares (distrofias musculares, paraplegias espásticas, esclerose lateral amiotrófica) em que é pioneira, atualmente seu 
laboratório no Centro de Estudos do Genoma Humano da USP também realiza relevantes pesquisas no campo de células-tronco. O 
currículo Lattes da Dr.a Zatz está em http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4783424Z0 
 
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DESVIO 
 Para nos ajudar a responder esta questão, vamos apresentar alguns conceitos. O 
primeiro deles é o conceito de DESVIO. O desvio é a diferença entre a média e o valor da 
variável. 
 Desta forma, no grupo A, onde as notas são 2,0 e 7,0, com média 4,5, podemos 
afirmar que o desvio da medida 2,0 é 4,5 – 2 = 2,5, enquanto que, o desvio da medida 7,0 é 
4,5 – 7 = – 2,5. 
 No grupo B as notas, ou medidas, 4,0 e 5,0, possuem desvios iguais a 4,5 – 4 = 0,5 e 
4,5 – 5 = – 0,5. Assim podemos dizer que o grupo B é menos espalhado que o grupo A pois 
apresenta menores desvios, em módulo. Já o grupo C é o mais espalhado. 
 De qualquer maneira não podemos esquecer que estes grupos são pequenos. Se 
tivermos que trabalhar com uma grande quantidade de dados calcular os desvios não irá 
resolver. 
Veja a tabela a seguir. 
2,522 
2,720 
3,125 
2,250 
3,220 
3,000 
3,725 
2,890 
3,110 
3,520 
3,100 
3,200 
2,780 
3,155 
2,150 
3,300 
3,250 
 
 
 
A média destes dados é 3,001. 
 
 
 
 
2
 A expressão média aqui refere-se a média aritmética ou seja 
n
x
x


. 
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Desta forma cada um dos desvios podem ser vistos na tabela a seguir. 
medida desvio 
2,522 0,479 
2,720 0,281 
3,125 -0,124 
2,250 0,751 
3,220 -0,219 
3,000 0,001 
3,725 -0,724 
2,890 0,111 
3,110 -0,109 
3,520 -0,519 
3,100 -0,099 
3,200 -0,199 
 2,780 0,221 
3,155 -0,154 
2,150 0,851 
3,300 -0,299 
3,250 -0,249 
 
Olhando para todos estes desvios não temos como analisar se o conjunto de medidas 
é muito ou pouco espalhado em torno da média. Alguns desvios são positivos, pois as 
medidas são inferiores à média, enquanto que outros desvios são negativos, pois existem 
valores maiores que a média. 
Somar todos os desvios não ajuda, pois esta soma é sempre nula, na medida em que 
os valores positivos cancelam os valores negativos. 
 
VARIÂNCIA 
Para resolvermos este impasse vamos definir outro conceito, o de VARIÂNCIA
3
. A 
variância é uma medida do espalhamento de dados de um conjunto, ou seja, é uma medida 
da dispersão de dados de um conjunto. 
Como os sinais positivos e negativos fazem com que os desvios se anulem, eles 
serão eliminados elevando-se todos os desvios ao quadrado. Isto pode ser visto na próxima 
tabela. 
 
 
3 O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher(1890-1962), estatístico, biólogo evolucionário e geneticista inglês, num ensaio de 
1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. O conceito de variância é análogo ao 
conceito de momento de inércia em mecânica clássica. 
 
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medida desvio (desvio)
2
 
2,522 0,479 0,229 
2,720 0,281 0,079 
3,125 -0,124 0,015 
2,250 0,751 0,564 
3,220 -0,219 0,048 
3,000 0,001 0,000 
3,725 -0,724 0,524 
2,890 0,111 0,012 
3,110 -0,109 0,012 
3,520 -0,519 0,269 
3,100 -0,099 0,010 
3,200 -0,199 0,040 
2,780 0,221 0,049 
3,155 -0,154 0,024 
2,150 0,851 0,724 
3,300 -0,299 0,089 
3,250 -0,249 0,062 
 
Para termos uma medida geral, vamos efetuar a soma da terceira coluna, ou seja, a 
soma dos quadrados dos desvios. Este valor é 2,751. 
É claro que quanto maior for o conjunto de dados maior será a soma. Assim 
precisaríamos dividir esta soma, 2,751, por um número que dependesse do número de 
dados. Este número é chamado de graus de liberdade e é igual a n – 1, onde n é o número de 
medidas. Em nosso exemplo n = 17 e portanto os graus de liberdade são 16. Feito isto, ou 
seja, 
1719,0
16
751,2

 obtemos a variância do conjunto de dados. A variância é 
tradicionalmente representada por 2. 
Se fizermos isto com os grupos A, B e C originais, iremos encontrar, 
respectivamente, 12,5, 0,5 e 40,5, indicando que o grupo B é o menos disperso entre eles, 
enquanto que o grupo C é o mais disperso. 
No entanto a variância não possui a mesma dimensão dos dados originais, visto que 
ocorreu a elevação ao quadrado de todos os desvios. Para mantermos a dimensão original 
vamos apresentar mais um conceito. 
 
 
 
 
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DESVIO PADRÃO 
O desvio padrão
4
 é a raiz quadrada da variância e tem a mesma dimensão dos dados 
originais. O desvio padrão é tradicionalmente representado por . 
Para a tabela de 17 entradas o desvio padrão é 0,4147. Para os grupos A, B e C, o 
desvio padrão, para cada um deles, é, respectivamente, 3,54; 0,71 e 6,36. 
Os comandos MS-Excel para média, variância e desvio padrão, são respectivamente 
MEDIA, VAR e DESVPAD. Em todos estes comandos deverá existir o intervalo de células 
da matriz de dados. 
Em tempo: A relação entre o desvio padrão e a média é chamada de coeficiente de 
variação (CV), muitas vezes expressa em porcentagem. 
UM POUCO DE MATEMÁTICA 
Chamando os dados por x1, x2, x3, ..., xn ou ainda genericamente por xi onde i varia 
de 1 a n, temos que a média é 
n
x
x
n
xxxx
x
in  ...321
. 
Os desvios são representados por 
)( xxi 
. 
Os desvios ao quadrado são representadas por 
2)( xxi 
. 
A soma dos desvios ao quadrado, 
  
2
xxi
. 
A variância é representada por  
 1
2
2




n
xxi
. 
O desvio padrão por  
  











1
2
n
xxi
 
 
 
 
 
4 O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson (1857-1936) no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas 
de frequência assimétricas". Karl Pearson foi o fundador do primeiro departamento universitário do mundo dedicado à estatística, em 
Londres, em 1911. 
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Exercícios 
1) Para o conjunto de dados 3 , 1 e 5, determine a média, a variância, o desvio 
padrão e o coeficiente de variação. 
Resolução 
x1 = 3 
x2 = 1 
x3 = 5 
3
3
9
3
513




n
x
x
i
 
Desvios 
x1 - x = 3 - 3 = 0 
x2 - x = 1 - 3 = -2 
x3 - x = 5 - 3 = 2 
Observe que se somarmos os desvios o resultado será zero. 
Desvios ao quadrado 
(x1 - x )
2
 = (0)
2
 = 0 
(x2 - x )
2
 = (-2)
2
 = 4 
(x3 - x )
2
 = (2)
2
 = 4 
A soma dos desvios ao quadrado 
(xi -x )
2
 = 0 + 4 + 4 = 8 
Cálculo da variância 
 
 
4
2
8
)13(
8
1
2
2 






n
xxi
 
Cálculo do desvio padrão 
 = (2) = (4) = 2 
Cálculo do coeficiente de variação 
CV = 
%7,66667,0
3
2

x
 
 
 
 
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2) Repita o item 1 para os dados 55, 57 e 53. Compare com os resultados 
anteriores e comente. 
3) Determinar para os dados a seguir a média, a variância e o desvio padrão. Os 
dados a seguir referem-se às freqüências para a pressão arterial, em milímetros 
de mercúrio, de cães adultos anestesiados e após laparotomia, de acordo com 
ARAÚJO e HOSSNE (1977); 130,0; 107,5; 135,0; 100,0; 134,5; 121,5; 107,5; 
105,0; 125,0; 130,0; 145,0; 158,5; 135,0; 140,0; 120,0; 100,0; 135,0; 125,0; 
110,0; 102,0; 121,5; 111,5; 107,5; 127,5; 104,5; 102,5; 119,5; 107,5; 99,0; 
120,0; 90,5; 101,5; 90,5; 115,5; 113,0; 116,0; 143,0; 104,5; 102,5; 107,5; 125,5; 
93,0; 82,5; 115,0; 136,5;101,5; 124,0; 117,5; 103,5. 
4) Para a tabela a seguir determine a média, a variância e o desvio padrão. 
Tempo de internação, em dias, de pacientes acidentados no trabalho, em um dado hospital. 
7 8 1 7 13 6 
12 12 3 17 4 2 
4 15 2 14 3 5 
10 8 9 8 5 3 
2 7 14 12 10 8 
1 6 4 7 7 11