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Matemática I Módulo 11 3971a Série Construção e análise de gráficos 1. Construção de gráficos, dada a lei de formação (fórmula) No exemplo anterior, percebemos que o gráfico tem uma vantagem visual em relação à tabela, mas a verdade é que um é feito a partir do outro. No caso ideal, os gráficos são criados a partir de uma “lei de formação”, que mostra como um elemento (por exemplo, o número de usuários) depende de outro (por exemplo, o ano). Essa lei de formação pode ser uma fórmula matemática ou um conjunto de informações tabeladas. Matematicamente, podemos descrever o processo de criação de um gráfico a partir de uma fórmula em dois passos: Passo 1 – Montar uma tabela com vários valores da variável independente x na primeira coluna (à esquerda), e calcular, por meio da fórmula os valores correspondentes da variável dependente y, que deverão ser postos na coluna da direita. Passo 2 – Os pares ordenados obtidos no passo anterior devem ser desenhados em um plano cartesiano. Caso o domínio seja formado por um conjunto finito de valores, o gráfico consistirá em um conjunto finito de pontos. Se o domínio for contínuo, ou seja, um intervalo real, o gráfico consistirá em uma linha, que pode eventualmente ter mais de um pedaço. Exercícios Resolvidos Construir o gráfico da função f(x) = x + 1 considerando como domínio: a. o conjunto {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}; b. o intervalo [–3, 3]; c. o conjunto dos reais. Contruindo a tabela de valores: a. Como o domínio é formado x y = f(x)= x + 1 –3 –2 –2 –1 –1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 por uma quantidade finita de valores de x, ao colocar os pares ordenados no plano cartesiano, a figura obtida é um conjunto de pontos alinhados. b. Tomando como domínio o intervalo [–3, 3], que é contínuo, o gráfico passa a ter uma infinidade de pontos e, nesse caso, o melhor modo de representá-lo é ligando os pontos da figura do item (a), gerando, assim, um segmento de reta. Você já ouviu a frase “uma imagem vale mais do que mil palavras”? Em matemática, poderíamos parafraseá-la como “um gráfico vale mais do que mil números”. Compare a imagem (gráfico) e os números das tabelas ao lado. Embora ambas contenham as mesmas informações, o gráfico permite que você tire con- clusões visuais aproximadas mais rapidamente. No gráfico ao lado, por exemplo, podemos concluir que “o Facebook se manteve estável até 2006, mas disparou em crescimento a partir de 2008” ou que “no ano de 2012, o Facebook rompeu a barreira de 1 bilhão de usuários”. Neste módulo, aprenderemos a construir e interpretar gráficos, além de identificar alguns padrões importantes como crescimento, descrescimento, pontos de anulação (raízes) e pontos extremos. 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Número de usuários ativos do Facebook no mundo em milhões Facebook: usuários ativos Ano Usuários em MM 2004 5 2005 10 2006 25 2007 60 2008 100 2009 350 2010 500 2011 750 2012 960 2013 1150 Matemática I – Módulo 11 398 Vol. 3 c. Se o domínio passa a ser o conjunto de todos os reais, o segmento de reta do item (b) deve ser prolongado nos dois sentidos, já que agora há valores de x maiores que 3 e menores que –3 sendo levados em consideração. A consequência é que o gráfico deixa de ser um segmento de reta e passa a ser uma reta. a. A B C D E F G –2 –1 –1–2–3–4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0 0 b. A B C D E F G –2 –1 –1–2–3–4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0 0 c. A B C D E F G –2 –1 –1–2–3–4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0 0 2. Crescimento, decrescimento e extremos locais No exemplo inicial do módulo, pode-se identificar que o número de usuários está crescendo rapidamente. Em geral, é importante sabermos se o gráfico está indicando crescimento ou redução (decrescimento) de uma função pois isso pode influenciar nossas ações (ex: investir no Facebook dado o crescimento dele, descontinuar uma propaganda em um canal de TV cuja audiência esteja decrescendo, etc). Diz-se que uma função é crescente quando os valores de y aumentam à medida em que aumentam os valores de x associados (1a figura), e que uma função é decrescente quando os valores de y diminuem à medida em que aumentam os valores de x associados (2a figura). Veja os gráficos abaixo: Crescente: f(x) x1 x2 x y f(x1) f(x2) + + Decrescente: f(x) x1 x2 x y f(x2) f(x1) – + Uma função pode ser sempre crescente ou decrescente, como acontece nos exemplos acima, mas isso não é uma regra, ou seja, é comum gráficos apresentarem trechos de crescimento e trechos de decrescimento. Se o gráfico de uma função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, diz-se que naquele ponto a função possui um máximo local. De forma análoga, se o gráfico deixa de ser decrescente e passa a ser crescente, diz-se que naquele ponto a função possui um mínimo local (ver a primeira das três figuras abaixo). É necessário usar o termo local porque pode acontecer de haver outros pontos de máximo em que o gráfico é mais alto, e/ ou outros pontos de mínimo em que o gráfico é mais baixo. Se houver no gráfico um máximo local maior que todos os outros, diz-se que a função possui ali um máximo global (segunda figura). A ideia de mínimo global é totalmente análoga. Deve-se observar ainda que é possível que um extremo local esteja localizado em um ponto de descontinuidade do gráfico, como mostra a terceira figura. f(x) x y máximos locais mínimo local Construção e análise de gráficos 3991a Série f(x) x y máximo local mínimo local máximo global –1 –2 –3 –3 –2 –1 1 2 30 0 1 2 3 4 mínimo local 5 Do ponto de vista algébrico, as raízes de uma função y = f(x) são os valores de x para os quais f(x) = 0. Falando de forma mais geométrica/visual, as raízes são os valores de x para os quais o gráfico toca, tangencia ou corta o eixo horizontal. –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6 raiz O gráfico da função toca o eixo horizontal, mas sem tangenciar y x O gráfico apenas tangencia o eixo horizontal. Aqui, nota-se que o gráfico corta o eixo horizontal. x y 3. Raízes e sinal da função Nos trechos em que o gráfico da função está localizado acima do eixo x, diz-se que a função é positiva, porque os valores de y assumidos pela função são positivos nesse caso. Nos trechos em que o gráfico está localizado abaixo do eixo x, diz-se que a função é negativa porque os valores de y assumidos pela função são negativos nesse caso. –4 –2 2 4 –1 –0,5–1,5 0,5 1,51 x y Matemática I – Módulo 11 400 Vol. 3 O que será que acontece com o gráfico de uma função quando se promovem pequenas alterações em sua fórmula? Mais especi f icamente fa lando, supondo que seja conhecido o gráfico da função y = f(x), como seriam os gráficos das funções y = – f(x), y = f(x) + c e y = f(x + c), em que c é uma constante real? Considere como exemplo a função y = x2. Na primeira figura, são vistos os gráficos das funções y = x2 (gráfico 1) e y = – x2 (gráfico 2). O gráfico da função y = – x2 nada mais é do que o gráfico da função y = x2 rebatido em relação ao eixo x. Na segunda figura, são vistos os gráficos das funções y = x2 (gráfico 1), y = x2 + 4 (gráfico 2) e y = x2 – 2 (gráfico 3). Nota-se que adicionar uma constante à fórmula significa transladar o gráfico ver ticalmente, para cima quando a constante for positiva, e para baixo, quando a constante for negativa. Na terceirafigura são vistos os gráficos das funções y = x2 (gráfico 1), y = (x + 3)2 e y = (x – 5)2. Nota-se que adicionar uma constante à variável x significa transladar o gráfico horizontalmente, para a esquerda quando a constante é positiva, e para a direita quando a constante é negativa (aqui há uma tendência muito forte por parte dos estudantes em geral de acreditar no contrário). gráfico 1 gráfico 2 –3 –2 –1 –2 –1 1 1 2 3 2 gráfico 1 gráfico 2 gráfico 3 2–2 2 4 6 8 0 0 –2 gráfico 2 gráfico 1 gráfico 3 0 0 1 2 3 4 5 6 7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 As modificações apresentadas antes podem ser feitas simultaneamente. O gráfico da função y = 3 – (x – 4)2 aparece na figura abaixo. O processo de obtenção desse gráfico é o seguinte: Passo 1: Traçar o gráfico de y = x2. Passo 2: Traçar o gráfico de y =(x – 4)2. Passo 3: Traçar o gráfico de y = – (x – 4)2. Passo 4: Traçar o gráfico de y = 3 – (x – 4)2. 1 2 3 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –1–2 passo 1 passo 2 passo 3 passo 4 0 0 Exercícios de Fixação 01. Faça uma tabela com os valores de g x x x( )= −( )� � ³� �1 2 para x = – 3, – 2, –1, 0, 1, 2 , 3, esboce o gráfico da função, e em seguida classifique as afirmações abaixo em V ou F: a. A função possui duas raízes. ( ) b. A função é crescente no intervalo (–∞, –2]. ( ) c. A função é decrescente no intervalo [2, ∞). ( ) d. A função é positiva no intervalo (–2, 2). ( ) e. A inequação g(x) < 0 possui como solução S = {x ∈ ; x < –2 ou 0 < x < 2}. ( ) 02. Considere a função y = f(x), que tem como domínio o intervalo (–2, 3) e que se anula somente em x = − 3 2 e x = 1, como se vê nesta figura: 1 2 3 1 –1 –2 − 1 2 − 3 2 x f(x) 1 2 Construção e análise de gráficos 4011a Série Assim, determine o conjunto dos valores de x para os quais 0 < f(x) ≤ 1. Preocupe-se em escrever a solução utilizando linguagem apropriada. 03. a. As funções f e g abaixo possuem como domínio o intervalo [–10, 10]. Assim, determine o conjunto-solução da inequação f(x) – g(x) ≥ 0. 2 30–10 10 y = f(x) y = g(x) y x b. No plano cartesiano da figura abaixo, estão representados os gráficos das funções f e g, ambas tendo como domínio o intervalo aberto (0, 6). Seja S o subconjunto dos números reais definido por S={x ∈ ; f(x) · g(x) < 0}. Determine S. g f f fg g x y 1 2 3 4 5 60 04. A figura apresenta parte do gráfico da função f: ]1, ∞[→ . x y 0 1 2 Assinale a alternativa que melhor representa o gráfico da função g(x) = – f(x – 1) + 1: (A) (C) 1 0 2 3 y x 1 0 1 y x (B) (D) 1 0 43 y x 1 0–2 y x–3 05. Com relação à função f: R → R, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar que: x y 2 1 –1 –2 (A) f(f(–2)) = 1. (B) f(f(–1)) = 2. (C) f(f (–2)) = –1. (D) f(f(–1)) = 0. (E) f(–2) = 1. Exercícios Contextualizados 01. Para levar uma carga de caminhão dentro de um Estado, uma transportadora cobra R$ 10,00 fixos mais R$ 0,50 por quilo de carga. O preço do frete (f(x)) é função da massa em quilogramas (x) da carga. Construa uma tabela de valores para o transporte de 10 kg, 20 kg, 50kg, 80kg e 100kg, e depois coloque essas informações em um gráfico no plano cartesiano. O gráfico possui alguma característica notável? Matemática I – Módulo 11 402 Vol. 3 02. O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de determinado ano. 20 40 60 80 jan fev mar abr mai jun x (meses) y (no de pacientes) Determine o número total de pacientes atendidos durante o semestre. 03. A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há determinado risco de alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento? 71.1 63.6 56.1 48.6 41.1 33.7 26.2 18.7 11.2 3.7 22/12 03/01 15/01 27/01 08/02 20/02 03/03 15/03 Dia PR EC IP IT AÇ ÃO (A) 2 dias. (B) 4 dias. (C) 6 dias. (D) 10 dias. (E) 12 dias. 04. A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. 490 110 95 269 461 1592 Número em milhões Países desenvolvidos Países em desenvolvimento 0 5 10 15 20 25 30 35 1950 201070 90 30 50 ESTIMATIVAS (Perspectivas da População Mundial, ONU, 2009. Disponível em: <www.economist.com>. Acesso em: 09 jul. 2009. (adaptado) Segundo o gráfico, o percentual de pessoas com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, em 2050, será aproximadamente: (A) 50%. (B) 35%. (C) 32%. (D) 20%. (E) 12%. 05. Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após o jantar. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só poderão dirigir após, aproximadamente: 1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 em jejum após o jantar g/L Ingestão de álcool Tempo após ingestão horas Ál co ol n o sa ng ue Revista Pesquisa FAPESP no 57. Setembro de 2000. (A) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. (B) três horas e meia hora, respectivamente. (C) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. (D) seis horas e três horas, respectivamente. (E) seis horas, igualmente. Construção e análise de gráficos 4031a Série 06. A pressão atmosférica diminui à medida que a altitude aumenta. O gráfico seguinte traduz, de modo aproximado, essa variação, estando a pressão atmosférica indicada em milibares e altitude em metros. 200 400 600 800 1000 2.000 4.000 6.000 8.000 1.0000(0,0) Altitude (m) Pr es sã o at m os fé ric a (m b) a. Qual é o valor aproximado da pressão atmosférica a uma altitude de 2.000 m? b. A partir de que altitude a pressão se torna inferior a 700 mb? E a 400 mb? 07. Em um rio há três espécies de peixe que estão sendo estudadas por cientistas que pretendem fazer um trabalho. Segundo modelos descritos a partir de dados reais, eles chegaram ao seguinte gráfico populacional das espécies A, B e C: 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses Po nt ua çã o C B A Segundo observações do gráfico, os cientistas puderam afirmar que: (A) no período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor do que a de C. (B) no quinto mês, havia menos de 3500 peixes das espécies observadas. (C) no período de 0 a 5 meses, as populações de B e C mantiveram- se crescentes. (D) a população C atingiu seu máximo no terceiro mês. (E) no período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior quea de A. 08. Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período de 1985-1996, realizado pela SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego: 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 6,0% 8,0% 12,0% 10,0% 14,0% 16,0% Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total Grande São Paulo 1985-1996 Pela análise do gráfico, podemos afirmar que, no período mencionado: (A) a maior taxa de desemprego foi de 14%. (B) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor no período. (C) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. (D) no período de 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. (E) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 09. A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico a seguir mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons, em função da idade da pedra. 0 5 10 15 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 120.000 140.000 Idade (em anos) Es pe ss ur a hi dr at ad a (e m m íc ro ns ) Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana: (A) é diretamente proporcional à sua idade. (B) dobra a cada 10.000 anos. (C) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. (D) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. (E) a partir de 100.000 anos não aumenta mais. Matemática I – Módulo 11 404 Vol. 3 10. No arremesso de um corpo, os dados aproximaram sua trajetória pelo gráfico em questão. 2 4 3 4 O eixo horizontal representa o tempo, medido em segundos, e o eixo vertical marca a altitude (em km) em que o corpo se encontra em determinado instante. Cada quadriculado da malha do gráfico é uma unidade de tempo por uma unidade de comprimento. Assim sendo: a. Calcule a taxa de crescimento da altitude entre o segundo e o quarto segundos. b. Depois de quantos segundos após atingir 3 km de altitude pela primeira vez, o corpo atingirá 3 km de altitude pela segunda vez? Exercícios de Aprofundamento 01. Considere a função f: [0, + ∞) → [0, + ∞) dada por f x x x ( )= + � 1 . A função f é crescente? Justifique. 02. A figura indica o gráfico da função f, de domínio [–7; 5], no plano cartesiano ortogonal. Determine o número de soluções da equação f(f(x)) = 6. –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 –6–7 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 x y Rascunho Matemática I Módulo 12 4051a Série Funções e construção e análise de gráficos: exercícios Exercícios de Fixação 01. Sendo f(x) = 3x – a, em que a é um número real fixado, calcule f(2a) – f(a – 1). (A) 2a – 3. (D) 2a – 1. (B) 2a. (E) 1 – a. (C) 3(a + 1). 02. Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio [– 1,1] e imagem [1,3] é: (A) (D) y x 3 1–1 0 1 3 x y 1–1 0 1 (B) (E) y 3 1 1 –1 0 x y x 10 1 3 –1 (C) 1–1 0 3 1 y x 03. Para que a função g: → dada por: g x x x ( ) = − − 8 25 faça sentido, precisamos retirar qual(is) valor(es) do seu domínio? Para qual(is) valor(es) de x essa função g assume o valor zero, ou seja, quais são as raízes dessa função? 04. Frequentemente a palavra “regra” é utilizada para fazer referência à maneira como os elementos do domínio de uma função se associam com os elementos do contradomínio. No entanto, a palavra “regra” pode nos fazer crer que toda associação deve ter alguma regra explícita e intuitiva, ou que toda associação pode ser representada por uma fórmula algébrica, o que não necessariamente é verdade. Para exemplificar, consideremos os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1}. Exiba todas as funções possíveis de A em B (considerando A como domínio e B como contradomínio). Isso pode ser feito tanto listando explicitamente as imagens dos números 1, 2 e 3 em cada caso quanto utilizando diagramas de flechas. 05. O triângulo a seguir tem altura 8 e base 10, e o retângulo dentro dele tem altura y e base x. Calcule y em função de x. X A B D C ZY Exercícios Contextualizados 01. O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. 10 11 12 13 14 15 16 17 460 380 330 280 200 150 100 Valor da Ação (em reais) Tempo (em horas) Nesse dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a tabela a seguir. Investidor Hora da compra Hora da venda 1 10:00 15:00 2 10:00 17:00 3 13:00 15:00 4 15:00 16:00 5 16:00 17:00 Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? Matemática I – Módulo 12 406 Vol. 3 02. A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, e o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua 30 20 10 0 O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em:<www.bibliotecaunix.org>. Acesso em: 21 jan. 2012. (adaptado). Determine em que dias o gerente de atendimento pôde concluir que o nível de eficiência foi muito bom, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico. 03. O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essas produções incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 21,33 22,24 22,87 23,26 25,31 27,79 25,83 23,92 24,74 26,46 28,28 30 25 20 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de: (A) 1998 e 2001. (B) 2001 e 2003. (C) 2003 e 2006. (D) 2003 e 2007. (E) 2003 e 2008. 04. Paulo é um zoólogo que realiza suas observações em um ponto, o de observação, e guarda seus equipamentos em outro ponto, o de apoio. Em certo dia, para realizar seu trabalho, fez o seguinte trajeto: • Partiu do ponto de apoio com destino ao de observação e, na metade do caminho, voltou ao ponto de apoio, para pegar alguns equipamentos que havia esquecido. Ali demorou apenas o suficiente para encontrar tudo de que necessitava. Em seguida, partiu novamente em direção ao ponto de observação, e lá chegou. • Depois de fazer algumas observações e anotações, partiu com destino ao ponto de apoio. Após alguns minutos de caminhada, lembrou que havia esquecido o binóculo no ponto de observação e, nesse instante, retornou para pegá-lo. Ao chegar ao ponto de observação, demorou ali um pouco mais, pois avistou uma espécie rara e resolveu observá-la. Depois disso, retornouao ponto de apoio, para guardar seus equipamentos, encerrando o seu trabalho nesse dia. O gráfico a seguir mostra a variação da distância do zoólogo ao ponto de apoio, em função do tempo, medido em minutos, a partir do instante em que ele deixou o ponto de apoio pela primeira vez. distância (metros) tempo (metros)50 10 15 25 35 40 45 55 75 Com base nas informações apresentadas e no gráfico acima, classifique em (V) ou (F) as afirmativas abaixo: I. O zoólogo chegou ao ponto de apoio, para pegar os equipamentos que ali havia esquecido, 10 minutos depois de ter saído desse ponto pela primeira vez. II. O zoólogo chegou ao ponto de observação, pela primeira vez, 15 minutos depois de ter saído do ponto de apoio, após apanhar os equipamentos que ali havia esquecido. III. O zoólogo esteve no ponto de observação durante 20 minutos. IV. O zoólogo notou que havia esquecido o binóculo, 5 minutos após deixar o ponto de observação. V. O tempo transcorrido da chegada do zoólogo ao ponto de observação, pela primeira vez, a sua chegada ao ponto de apoio, para encerrar o trabalho, foi de 50 minutos. 05. Uma grande empresa recebeu 5.750 currículos de profissionais interessados em par ticipar do processo de seleção para preenchimento de vagas de estágios. O departamento de Recursos Humanos (RH) da empresa é capaz de, por meio de uma primeira triagem, descartar 300 currículos por semana, até que sobrem 50 nomes de candidatos que participarão do processo de seleção. a. Como se expressa a quantidade de currículos (y) existentes após x semanas do início da triagem feita pelo RH? b. Após quantas semanas serão conhecidos os nomes dos 50 candidatos? Funções e construção e análise de gráficos: exercícios 4071a Série 06. Um trem acelera uniformemente em uma ferrovia reta, e sua velocidade varia de 0 a 90 km/h em 20 s. Chegando a 90 km/h, mantém sua velocidade durante 10 s e depois freia em 30 s, chegando novamente a 0. Determine a área da figura formada pelo gráfico v x t e o eixo horizontal. 07. Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratória com objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento consiste em aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos. O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo. 0 2 4 6 8 –20 0 20 40 60 80 0,1 3,9 5,2 7,2 1,4 t (ms) I (A) De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia o pulso elétrico, a corrente elétrica inverte o seu sentido após quantos segundos? 08. A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola referente ao mês de junho de 2008. Banco S.A. Pagável em qualquer agência bancária até a data de vencimento Data documento 02/06/2008 Uso do banco Instruções Observação: no caso de pagamento em atraso, cobrar multa de R$ 10,00 mais 40 centavos por dia de atraso. Cedente Escola de Ensino Médio vencimento 30/06/2008 Nosso número (=) Valor documento R$ 500,00 (–) Descontos (–) Outras deduções (+) Mora/Multa (+) Outros acréscimos (=) Valor cobrado Agência / Código cedente Temos que M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, e x é o número de dias em atraso. Determine a função que oferece o valor do boleto para pagamento com atraso e calcule o valor de uma mensalidade com 12 dias de atraso. 09. Um vendedor recebe de uma firma uma comissão de 10% no valor das vendas, quando estas atingem a faixa de R$ 2.000,00 a R$ 20.000,00. Porém, para vendas acima de R$ 20.000,00, a firma concede 15% de comissão sobre o total das vendas, mais R$ 50,00. Sendo x o total de vendas, pede-se: a. a função comissão C(x); b. a comissão C(x) numa venda de R$ 10.000,00; c. a comissão C(x) numa venda de R$ 50.000,00. 10. O gráfico indica o imposto a pagar I (em reais) sobre uma renda líquida R (em reais). Com base nesse gráfico, uma pessoa que teve renda líquida de R$ 1.500,00 pagará imposto no valor de: 190 135 900 1800 2000 R (R$) I (R$) 1500 y 0 (A) R$ 60,00. (B) R$ 70,00. (C) R$ 80,00. (D) R$ 90,00. (E) R$ 100,00. Exercícios de Aprofundamento 01. Com duas torneiras A e B, aber tas simultaneamente, consegue-se encher um tanque de água em y minutos. Encher esse tanque com a torneira A aberta e a torneira B fechada demora x minutos a mais do que com a torneira A fechada e a torneira B aberta. Calcule y em função de x, sabendo que a torneira A, sozinha, enche o tanque em 10 minutos. 02. Determine o valor da expressão: f f f f f 1 2000 2 1999 3 1998 1998 3 1 + + + + +... 9999 2 2000 1 1 2 2 + ( ) = + f f x x x em que .em que f f f f f 1 2000 2 1999 3 1998 1998 3 1 + + + + +... 9999 2 2000 1 1 2 2 + ( ) = + f f x x x em que .. Matemática I Módulo 13 408 Vol. 3 Função afim e funções poligonais 1. Definição Uma função f: → é dita afim se sua expressão algébrica for da forma f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. O coeficiente a é chamado de taxa de variação, taxa de crescimento (ou decrescimento), inclinação, ou ainda de coeficiente angular. O coeficiente b é chamado de coeficiente linear. Exs.: a. f(x) = 2x + 3 b. g(x) = –5x + 7 c. h(x) = –2x/3 – 5 d. f(x) = 6x Obs.: Quando a = 0 a função f(x) = b é dita constante, e o gráfico é uma reta horizontal que corta o eixo y em b. Quando b = 0, a função f(x) = ax é dita linear. Nesse caso, as variáveis y e x são diretamente proporcionais, e o gráfico contém a origem do sistema cartesiano de coordenadas. 2. Gráfico Ex.1: Vamos construir, por meio de uma tabela, o gráfico da função f(x) = 2x + 3. Atribuindo à variável x os valores –1, 0, 1, 2, obtém- se como imagens, respectivamente, 1, 3, 5, 7. Representando os pares ordenados obtidos no plano cartesiano, nota-se que os pontos ficam alinhados, ou seja, formam uma reta. x f(x) = 2x + 3 –1 1 0 3 1 5 2 7 –3 –2 –1 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 B C D E 0 Você saberia dizer o que há de comum entre uma corrida de táxi e a mensalidade de uma academia? Assim que entra no táxi o cliente já paga um valor, que é fixo, independente do trajeto, da distância ou do tempo da corrida, a chamada bandeirada. No Rio de Janeiro, por exemplo, a bandeirada custava R$ 4,80 em janeiro de 2014. Além disso, é cobrado um valor por cada quilômetro rodado (R$ 1,95 na chamada bandeira 1, ou R$ 2,34 na bandeira 2). Da mesma forma, ao entrar em uma academia, é comum o pagamento de uma taxa de matrícula, que é fixa, e mais uma mensalidade. Se em um determinado momento o cliente quiser saber quanto já gastou, basta multiplicar o número de meses desde que entrou na academia pelo valor da mensalidade e somar a isso o valor da taxa de matrícula. As situações descritas acima podem ser modeladas matematicamente por meio de funções afins, que constituem a mais simples e ao mesmo tempo uma das mais importantes classes de funções estudadas no ensino médio. Também conhecidas vulgarmente como funções do 1o grau, as funções afins serão apresentadas em detalhes neste módulo. © iS to ck ph ot o. co m / In ne rs ha do w s © iS to ck ph ot o. co m / le pa s2 004 Função afim e funções poligonais 4091a Série Ex. 2: Se for adotado o mesmo procedimento do exemplo 1 para a função f(x) = –x + 4, nota-se que o gráfico obtido também é uma reta, porém decrescente, como se pode observar na figura a seguir: A B C D E F B 1 1–1–2 2 2 3 3 4 4 5 6 7 5 Dos exemplos acima, pode-se intuir que o gráfico de toda função afim é uma reta, que é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. Obs.: Como já foi dito anteriormente, quando a=0 a função f(x)=b é dita constante, e o gráfico é uma reta horizontal que corta o eixo y em b. Isso poderia despertar a seguinte dúvida: já que uma função afim possui como gráfico uma reta crescente ou decrescente e uma função constante possui como gráfico uma reta horizontal, será que uma reta vertical também pode ser gráfico, seja de uma função afim, seja de outro tipo de função qualquer? A resposta é não. Uma reta vertical no plano cartesiano é a representação da situação em que um único valor de x encontra-se em correspondência com todos os valores reais de y ou, em outras palavras, trata-se de um caso em que temos um único elemento do domínio com infinitas imagens. b x y a>0 x b a<0 y A justificativa matemática para a afirmação acima vem do fato de que dados dois pontos quaisquer do gráfico da função f(x)=ax+b, A(x1,y1) e B(x2,y2), o segmento de reta AB forma sempre o mesmo ângulo com a horizontal, como mostra o cálculo a seguir: Passo 1: substituindo as coordenadas dos pontos A e B na fórmula que define a função f, obtém-se: y ax b y ax b 1 1 2 2 = + = + Passo 2: Subtraindo as duas equações de baixo pra cima: y y a x x a y y x x y x tg 2 1 2 1 2 1 2 1 − = −( ) → = − − = = ∆ ∆ α Na fórmula acima, α representa o ângulo formado pelo segmento AB e o eixo horizontal, levando-se em consideração que o ângulo está sendo medido a partir do eixo x e no sentido anti-horário. Obs.: A fórmula de uma função e o seu gráfico estão intimamente relacionados. Na verdade, são de duas representações diferentes (a primeira, algébrica, a segunda, geométrica) de um mesmo objeto. Em problemas de matemática, é comum essa relação ser explorada em ambos os sentidos. Sendo assim, o aluno deve estar preparado para: a. Dada a fórmula da função, obter todas as informações possíveis sobre o seu gráfico, o que será feito no ponto (3), a seguir. b. Dadas informações suficientes sobre o gráfico, obter a fórmula da função, o que será feito no ponto (4), logo depois. 3. Pontos notáveis do gráfico Uma vez que se sabe que o gráfico de toda função afim é uma reta, e levando em consideração que uma reta fica determinada por dois pontos, a tarefa de desenhar o gráfico de uma função afim, dada a sua fórmula, fica agora mais simples. Basta escolher dois valores para x, calcular os valores correspondentes para y, desenhar os dois pontos no plano cartesiano e ligá-los. De maneira geral, costuma ser relevante saber quais são os pontos de interseção entre o gráfico de uma função e os eixos coordenados, e é fácil obter esses pontos no caso de uma função afim. É fato conhecido que todo ponto do plano é representado algebricamente por um par ordenado. Isso vale, em particular, para os pontos localizados sobre os eixos cartesianos. Quando um ponto está no eixo x, sua coordenada y é igual a zero, e portanto o ponto é da forma (x, 0). Analogamente, um ponto que está sobre o eixo y é sempre da forma (0, y). Para saber em que ponto(s) um gráfico encontra cada um dos eixos, basta anular, uma de cada vez, a coordenada relativa ao outro eixo na fórmula da função. Matemática I – Módulo 13 410 Vol. 3 Considere uma função afim representada genericamente na forma y = ax + b. Fazendo x = 0, temos y = b, e portanto o gráfico contém o ponto (0, b), que é o ponto de interseção do gráfico com o eixo y. Analogamente, fazendo y = 0, temos x = –b/a, e portanto o gráfico também contém o ponto (–b/a, 0), que é o ponto de interseção do gráfico com o eixo x. A abscissa desse ponto, x = –b/a, é dita raiz ou zero da função afim. (0,b) x y − b a , 0 0 Exercício Resolvido Desenhar o gráfico da função f(x) = 2x + 3, usada como exemplo no início do módulo, destacando os pontos notáveis do gráfico. O esquema apresentado abaixo, de anular uma de cada vez as coordenadas x e y na fórmula para calcular o valor da outra coordenada, pode ser organizado através de uma tabela: x y 0 3 – 3/2 0 y x 1 –1–2 2 3 (0,3) −3 2 ,0 0 4. Como determinar a equação da reta que passa por dois pontos dados Um dos postulados da geometria plana afirma que dois pontos distintos no plano determinam uma reta. Isso significa, em primeiro lugar, que existe uma reta r passando pelos dois pontos dados (existência) e, em segundo lugar, que não existe nenhuma outra reta com essa característica, ou seja, a reta r é única (unicidade). O verbo determinar, neste caso, possui significado bastante específico do ponto de vista matemático. Algebricamente isso equivale a dizer que, dadas as coordenadas de dois pontos no plano, é possível determinar a fórmula da função (que necessariamente é afim) cujo gráfico é a (única) reta que contém os pontos dados. O termo “determinar a equação da reta” pode ser entendido como “determinar a fórmula da reta”, ou seja, determinar a lei de formação da função cujo gráfico é a reta. Exercício Resolvido Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e B(5,16). Como a reta em questão é gráfico de alguma função afim, podemos assumir que sua equação é do tipo y = ax + b. Sendo assim, determinar a equação da reta significa encontrar os valores dos coeficientes a e b. Em relação aos dados, saber que a reta passa por dois pontos de coordenadas conhecidas significa dizer que essas coordenadas (x e y) podem ser substituídas na fórmula, gerando duas equações com duas incógnitas (a e b). Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1), obtemos 1 = 2a + b. Substituindo as coordenadas do ponto B(5,6), obtemos 16 = 5a + b Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, tem-se que a = 5 e b = –9, de modo que a equação da reta em questão é y = 5x –9. Obs.: Uma forma alternativa de resolução do problema é determinar diretamente a inclinação da reta por meio da fórmula. a y x = = − − = = ∆ ∆ 16 1 5 2 15 3 5 Se y = ax + b e já se sabe que a = 5, a equação da reta fica y= 5x + b, restando apenas uma variável a determinar. Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1) (ou do ponto B, tanto faz), por exemplo, tem-se que 1 = 5× 2 + b → b= –9, e portanto a equação da reta é y = 5x –9. 5. Estudo do sinal da função afim, quadro de sinais e desigualdades 5.1. Estudo do sinal da função afim a f x se x b a e f x se x b a a< 0 f x se x b a e f x > → ( ) > > − ( ) < < − → ( ) > < − ( ) 0 0 0 0 << > −0 se x b a Função afim e funções poligonais 4111a Série 5.2. Desigualdades envolvendo fatores afins (Inequações do 1o grau) 5.2.1 Inequações do tipo produto-quociente e quadro de sinais Inequações do tipo produto-quociente são inequações da forma N N N D D D 1 2 3 1 2 3 0 × × ×… × × ×… > As seguintes características devem ser observadas: a. O lado esquerdo da desigualdade é formado por uma única parcela (não confundir parcela com fator). b. N1, N2, N3,… e D1, D2, D3,… são todos fatores da forma ax + b. c. O sinal pode ser qualquer um dentre >, ≥, <, ≤. d. O lado direito da desigualdade é necessariamente igual a zero. Uma inequação nesse formato pode ser resolvida por meio da utilização de uma ferramenta conhecida comoquadro de sinais. O principal objetivo do quadro é fornecer um estudo do sinal da expressão que se encontra do lado esquerdo da inequação a partir do estudo do sinal dos fatores que a compõem. Para isso, os seguintes passos devem ser seguidos: I. No topo de cada coluna do quadro deve-se colocar uma das raízes dos fatores que aparecem do lado esquerdo da desigualdade, e essas raízes devem ser dispostas ao longo das colunas em ordem crescente, da esquerda para a direita. II. No canto esquerdo de cada linha deve-se colocar um dos fatores que aparecem do lado esquerdo da desigualdade. III. Estuda-se o sinal de cada fator. IV. Analisa-se se os valores encontrados em (I) pertencem ou não à solução. V. Por meio da regras de multiplicação e divisão entre sinais, determina-se o conjunto solução. Exercícios Resolvidos 01. Determinar os valores de x para os quais (3 – x)(2x + 5) ≥ 0. Raízes: –5/2 e 3. –5/2 3 y = 3 – x y = 2x + 5 + + + + + – – –– Portanto, a solução é: x∈ −[ , ]. 5 2 3 02. Determine para quais valores reais de x vale a desigualdade ( )( ) ( )( ) 2 1 3 2 3 1 0 x x x x + − + − − + < . Para facilitar a notação, chamemos o lado esquerdo da inequação de y, ou seja, y x x x x = +( ) − +( ) −( ) − +( ) 2 1 3 2 3 1 . Sendo assim, a inequação pode ser escrita simplesmente como y < 0. Como trata-se de uma inequação do tipo produto-quociente, a solução é montar o quadro de sinais associado. 2x + 1 –3x + 1 x – 2 – x + 3 y + + + + + + + + + +++ + + + – – – – – – – – –– –1/2 1/3 2 3 Logo, x∈ − ∪( , ) ( , ) 1 2 1 3 2 3 Desigualdades mais gerais envolvendo fatores afins Determinar os valores reais de x para os quais x x x x − − < − − 3 2 3 1 3 . Cuidado! Se ao invés de uma desigualdade tivéssemos uma igualdade na situação acima, a solução do problema seria bem simples. Bastaria multiplicar os meios e os extremos da proporção de forma cruzada e o problema cairia em uma equação do segundo grau. Entretanto, o raciocínio que estaria 100% correto no caso de uma equação não pode ser aplicado a uma inequação. Não se pode cortar fatores iguais ou opostos (seria o caso do fator x – 3) e nem multiplicar as frações de forma cruzada. Ao passar multiplicando um termo que contém incógnita (seria o caso dos fatores x – 2 e 1 – 3x), não se pode afirmar qual é o sinal deste termo (que pode ser positivo, zero ou negativo dependendo de x), e portanto não se pode afirmar o que vai acontecer com o sinal da inequação original (quando se passa multiplicando um termo positivo nada acontece com o sinal, ao passo que se o termo for negativo deve-se trocar o sinal). Exatamente pelo fato de haver essa dúvida é que o procedimento adotado precisa ser outro. Para resolver uma desigualdade como essa, a ideia é passar todos os termos para o lado esquerdo da inequação (subtraindo), tirar o mmc entre os denominadores para ficar com apenas uma parcela do lado esquerdo, fatorar o numerador (caso seja possível) e então montar o quadro Matemática I – Módulo 13 412 Vol. 3 de sinais (já que, realizadas todas as operações citadas, a inequação se transformará em uma inequação do tipo produto- quociente, abordada no tópico anterior). Solução: x x x x x x x x x x x − − − − − < → − − − − − − − < → − + 3 2 3 1 3 0 3 1 3 3 2 2 1 3 0 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ))( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) . − + − + − − + < → − + + − − + < 1 3 2 2 3 1 0 3 2 1 2 3 1 0 x x x x x x x x Pode-se observar que a desigualdade obtida é a mesma do exercício resolvido anterior, e portanto a solução do problema também é a mesma. 6. Funções poligonais 6.1 Funções definidas por mais de uma sentença Uma função pode ser definida por mais de uma fórmula em trechos diferentes do seu domínio. Exemplo: f x x se x x x se x se x ( ) = − < + ≤ > ≤ 4 2 2 2 6 4 42 , , , É importante observar, nesses casos, que o domínio de validade de cada uma das fórmulas que juntas definem a função f é especificado imediatamente ao lado da própria fórmula. Exercício Resolvido Para a função f definida anteriormente, calcular f(1) + f(3) + f(7). Solução: Para calcular f(1) deve ser utilizada a primeira fórmula, já que 1 < 2. Para calcular f(3) deve ser utilizada a segunda fórmula, já que 2 < 3 < 4. Por fim, para calcular f(7) deve ser utilizada a terceira fórmula, já que 7 > 4. Sendo assim, f(1) = 4 · 1 – 2 = 2, f(3) = 32 + 3 = 12, e f(7) = 6. Portanto f(1) + f(3) + f(7) = 2 + 12 + 6 = 20, o que conclui o exercício. Já que em cada trecho do domínio a função é definida por fórmulas diferentes, a consequência natural deste fato é que em cada um desses trechos o gráfico também tem formatos diferentes. Quando uma função é definida por mais de uma sentença, portanto, seu gráfico é uma composição de vários partes. Uma pergunta interessante é a seguinte: será que essas partes se conectam? Quando observado como um todo, o gráfico da função é uma linha contínua, que pode ser desenhada sem que pra isso seja necessário tirar o lápis do papel? Essa pergunta pode ser respondida de maneira simples quando o domínio da função é toda a reta real. Basta substituir os valores de x localizados em cada fronteira entre dois trechos diferentes do domínio nas duas respectivas fórmulas. Se o y encontrado for o mesmo nos dois casos, significa que os gráficos se conectam; caso contrário, não. Voltando ao exemplo, nota-se que uma mudança de fórmula ocorre em x = 2, e a outra em x = 4. Fazendo x = 2 na primeira e na segunda fórmulas encontra-se 4 × 2 – 2 = 6 e 22 + 2 = 6, respectivamente, o que indica que o primeiro trecho do gráfico encontra o segundo. Fazendo x = 4 na segunda e na terceira fórmulas encontra-se 42 + 4 = 20 e 6, respectivamente, o que indica que o segundo e o terceiro trechos do gráfico não se conectam. 6.2 Funções poligonais Diz-se que uma função é poligonal quando seu gráfico é uma linha poligonal, o que equivale a dizer que a função é definida por várias sentenças em trechos diferentes do domínio sendo, em cada um desses trechos, coincidente com uma função afim. Um exemplo bastante comum do cotidiano em que funções poligonais ocorrem naturalmente é o da modelagem do valor pago pela conta de telefone em função da quantidade de minutos falados. Suponha, por exemplo, que um plano de celular cobre 200,00 por mês dando ao cliente direito a 400 minutos em ligações e que, a partir daí, o minuto excedente custe 0,75. A função que modela a situação descrita é: f t se t t se t ( ) = ≤ ≤ + × −( ) > 200 00 0 400 200 00 0 75 400 400 , , , , O gráfico desta função deve ser pensado por partes. Se o cliente falar em um mês qualquer quantidade abaixo de 400 minutos (inclusive), o valor a ser pago é constante e igual a 200,00, o que indica que o gráfico no trecho 0 ≤ t ≤ 400 é uma semirreta horizontal. Se o cliente falar 401 minutos, são cobrados 200,00 pelos primeiros 400 minutos e 0,75 apenas pelo 401° minuto. Se falar 402 minutos, são cobrados 200,00 pelos 400 primeiros minutos e 1,50 apenas pelo 401° e pelo 402° minutos. Ou seja, o valor da conta começa a subir de 0,75 em 0,75 daí por diante, o que indica que o segundo trecho do gráfico é uma semirreta crescente. Veja a figura: 400 401 402 200 200,75 201,50 0 R$ t (min) Função afim e funções poligonais 4131a Série Exercícios de Fixação 01. O objetivo deste exercício é fazer uma revisão de todos os conceitos apresentados no módulo. Assinale V ou F nas afirmativas abaixo: a. A função f(x) = (2 + x)(3x– 5) é afim. ( ) b. A função g(x) = (2 + x)/(3x – 5) é afim. ( ) c. A função h(x) = 7x + 3 é afim e possui coeficiente angular 3. ( ) d. Taxa de variação e taxa de crescimento são sinônimos de coeficiente linear. ( ) e. O gráfico de uma função afim pode ser uma reta vertical. ( ) f. Uma função cuja fórmula algébrica é do tipo y = mx + n recebe o nome de função constante se m = 0 e de função linear se n = 0. g. O gráfico de uma função linear é uma reta que necessariamente passa pela origem do sistema cartesiano de coordenadas. h. Quando a relação entre duas grandezas é dada por uma função linear, diz-se que essas grandezas são inversamente proporcionais. i. A raiz da função y = px + q é dada por x = –q/p, e esta é a abscissa do ponto em que o gráfico corta o eixo x. j. A função g(x) = –8x + 11 tem como gráfico uma reta decrescente que corta o eixo y no ponto (0,11). 02. Determine a equação da reta que passa pelos dois pontos dados em cada item abaixo, dizendo, em cada caso, se a reta é crescente, decrescente ou horizontal: a. (1,4) e (–2,13) b. (1,2) e (3,7) c. (3,π) e (10,π) d. (2,5) e (2,9) 03. a. Desenhe os gráficos das funções h(x) = 5x + 9 e g(x) = –2x + 2, dizendo em que pontos os gráficos cortam os eixos coordenados x e y. b. Determine as coordenadas do ponto de interseção entre os dois gráficos. 04. a. Determine as raízes ou zeros da função: f x x se x x se x ( ) = + > − + ≤ 4 1 2 3 5 2 , , b. Esta função é contínua? Justifique. 05. Determine o conjunto solução da inequação: x x x x + + > + + 1 2 3 4 Exercícios Contextualizados 01. Em Economia, o preço de equilíbrio de um determinado produto é o preço que se atribui a ele de maneira que a quantidade de demanda é igual à quantidade de oferta. Por exemplo, supomos que haja 1000 pessoas interessadas em um produto A, ao preço de R$ 200,00 e os fabricantes concordam produzir 1000 unidades de A, ao preço de R$ 200,00 reais: este preço é dito de equilíbrio, já que a quantidade de oferta é igual à quantidade de demanda. Supondo que um determinado produto tenha como função de demanda (em função do preço) QD = 100 – 5P e função de oferta QO = 15P, determine o preço de equilíbrio. (A) R$ 10,00. (D) R$ 4,00. (B) R$ 20,00. (E) R$ 5,00. (C) R$ 50,00. 02. A gerente de uma loja está fazendo uma pesquisa para precificar um produto em sua loja. Para isso, contratou um consultor, que coletou os seguintes gastos: – Custos fixos para fabricar o produto: R$ 720,00 – Custos variáveis para fabricar o produto (por unidade): R$ 3,00 Sabendo que ao longo dos meses em que esteve trabalhando, em média, o produto vendia 240 unidades por mês, e que a função que fornece o lucro que ela obterá é dada pela fórmula L = (P – Cv)V – Cf, onde L é o lucro, P é o preço do produto, Cv são os custos variáveis por unidade, V é o volume de vendas e Cf os custos fixos, determine o menor preço de venda do produto de modo que a gerente consiga obter algum lucro. 03. O estoque de uma sapataria é reposto assim que a quantidade de sapatos está abaixo de 200. Neste instante, a loja conta com um estoque de 640 sapatos. Os clientes costumam, semanalmente, comprar, em média, 40 sapatos. A partir de hoje, daqui a quantas semanas será necessário fazer um pedido de aumento no estoque, sabendo que leva uma semana para que o pedido seja atendido? (A) 12 semanas. (D) 9 semanas. (B) 11 semanas. (E) 8 semanas. (C) 10 semanas. 04. O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 1.800,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantões em uma boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. Podemos dizer que a função em que descreve a quantidade recebida pelo segurança em função das noites que trabalha é dada por: (A) S = 1800 – 60n. (B) S = 1200 + 60(n + 10). (C) S = 1800 + 60 (n – 1). (D) S = 1800 – 60(n – 4). (E) S = 1800 – n. Matemática I – Módulo 13 414 Vol. 3 05. Um pecuarista mede o desenvolvimento de um bezerro em quilogramas, todos os meses. Ligando os pontos por ele observados em um gráfico, ficaremos com este que se mostra na questão. Mantida essa relação entre tempo, medido em meses, e o “peso”, medido em kg, qual será o peso do bezerro no oitavo mês? 1 2 3 40 50 75 p t (A) 100 kg. (D) 150 kg. (B) 120 kg. (E) 162,5 kg. (C) 137,5 kg. 06. Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$ 10,00 para um peso P de até 1 kg. Para cada quilo adicional, o custo aumenta de 30 centavos. A função que representa o custo de uma encomenda de peso maior do que 1 kg é: (A) C = 10 + 30P (B) C = 10P + 0,3 (C) C = 10 + 0,3(P – 1) (D) C = 9 + 3P (E) C = 10P – 7 07. Uma empresa de cerâmica concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos. A relação entre a gratificação e o número de pontos está representada a seguir. número de pontos gratificação (em real) 300 50 90 100 110 310 Observando que entre 30 e 90 pontos a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, José tentou fazer os cálculos de quanto tinha conseguido de gratificação por ter atingido 100 pontos de produtividade, e chegou à conclusão de que: (A) Ganhou R$ 600,00 ao todo. (B) Ganhou R$ 710,00 ao todo. (C) Ganhou R$ 500,00 ao todo. (D) Ganhou R$ 610,00 ao todo. (E) Ganhou R$ 810,00 ao todo. 08. “Há mais de 50 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com os dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.” A B0 Sol Vareta Início do verão (sombra mais curta) Outono ou primavera Início do inverno (sombra mais longa) Um estudante fez uma experiência semelhante à do texto, utilizando uma vareta AO de 2 m de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 m. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo de ordenadas y e o eixo das abscissas x continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: (A) y = 8 – 4x. (D) y = 6 – 3x. (B) x = 6 – 3y. (E) y = 8 – 2x. (C) x = 8 – 4y. 09. Um poluente, produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista Science, em 1972, concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas por inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C) do SO2, conforme gráfico a seguir: os pontos (C,N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura: 100 7000 97 115 C N Com base nos dados apresentados, a relação entre C e N pode ser dada por: (A) N = 100 – 700C. (D) N = 115 – 94C. (B) N = 94 + 0,03C. (E) N= 97 + 600C. (C) N = 97 + 0,03C. Função afim e funções poligonais 4151a Série 10. Em uma corrida de táxi, a bandeirada inicial é de R$4,80 e além disso há a cobrança de R$1,95 por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava R$34,05, o total de quilômetros rodados foi de: (A) 15. (B) 20. (C) 25. (D) 30. (E) 35. Exercícios de Aprofundamento 01. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275 km/h. Qual é a distânciaentre São Paulo e Boa Vista? 02. Uma função da forma y ax b cx d = + + é dita racional. Considere a função racional abaixo: y x x = + − 6 5 3 7 a. Determine o valor de x para o qual y = 1. b. Existe algum valor de y não assumido por esta função? Justifique. Rascunho Matemática I Módulo 14 416 Vol. 3 Função afim e funções poligonais: exercícios (I) Exercícios de Fixação 01. Sendo f: com f(x) = –4x + 3, calcule o valor numérico de f f f( ) ( ) ( )1 2 3 3 + + . 02. No plano cartesiano, marque os pontos A = (1,1), B = (2,3) e C = (–1,–1). Os pontos A, B e C podem pertencer a um mesmo gráfico de uma função afim? Justifique sua resposta. 03. Os pontos A = (2,1), B = (4,2) e C = (– 2,– 1) podem pertencer a um mesmo gráfico de uma função linear? Justifique sua resposta. 04. a. Desenhe o gráfico da função afim f(x) = – 4x + 8. Qual é o ponto em que o gráfico “corta” o eixo horizontal (dito das abscissas)? E o vertical? b. Faça o mesmo exercício para a função g(x) = 4x + 8. Em relação à inclinação do gráfico, o que você percebeu? 05. Desenhe o gráfico da função f x x( ) = − 1 4 3 Em seguida, calcule as diferenças d1 = f(2) – f(1), d2 = f(3) – f(2) e d3 = f(4) – f(3). Notou algo curioso? Será que é mera coincidência? Tente explicar o que está ocorrendo. Exercícios Contextualizados 01. A promoção de uma mercadoria em um supermercado apresenta, no gráfico, 6 pontos de uma mesma reta. 150 50 5 20 30 Quantidade de unidades compradas Valor total da compra (R$) Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: (A) 4,50. (B) 5,00. (C) 5,50. (D) 6,00. (E) 6,50. 02. O gráfico a seguir descreve o crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a população é dada em milhares de habitantes. 10 População 9 8 7 6 5 4 3 2 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Ano a. Determine em que década a população atingiu a marca de 5.000 habitantes. b. Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em cada década tem se mantido constante. Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o vilarejo terá 22.000 habitantes. 03. Um automóvel modelo flex consome 34 litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel seja o mesmo, tanto usando somente álcool quanto usando somente gasolina? (A) R$ 1,00. (B) R$ 1,10. (C) R$ 1,20. (D) R$ 1,30. (E) R$ 1,40. 04. Um vídeo-clube propõe a seus clientes três planos de pagamento. Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual e R$ 1,20 por cada DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual e R$ 2,00 por cada DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por cada DVD alugado sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção 2 e pagou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento? Justifique a resposta. 05. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do Função afim e funções poligonais: exercícios (I) 4171a Série corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função: TA = 8,5 + 0,75 · TB, 12° ≤ TB ≤ 30°, em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a. a temperatura do ambiente quando TA = 25°C; b. o maior valor que pode ser obtido para TA. 06. Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, começa a receber água a uma razão constante de 3 litros por segundo, ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar água desse reservatório a uma razão, também constante, de 1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatório começou a receber água, determine: a. o volume de água no reservatório decorridos dez segundos (t = 10) a partir do instante inicial; b. uma expressão para o volume (V), em litro, de água no reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a partir do instante inicial. 07. Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1.350 unidades por mês? 0 0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 500 R(x) C(x) 1.000 Quantidade Re ce ita e c us to 1.500 2.000 (A) 1.740. (B) 1.750. (C) 1.760. (D) 1.770. (E) 1.780. 08. Carlos trabalha como disc-jockei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é: (A) 6. (B) 5. (C) 4. (D) 3. (E) 2. 09. O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax+b onde y representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e x representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: 1.315 Volume cardíaco (mL) Massa do fígado (g) 1.400 2.000 745 Cálculo Ciências Médicas e Biológicas. Editora Harbra ltda, São Paulo: 1988. (adaptado) (A) y = 0,91x – 585. (B) y = 0,92x + 585. (C) y = – 0,93x – 585. (D) y = – 0,94x + 585. (E) y = 0,95x – 585. 10. VENDEDORES JOVENS Fábrica de LONAS – Vendas no Atacado 10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência. Salário: R$ 300,00 fixo + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido. Contato: 0xx97-43421167 ou atacadista@lonaboa.com.br Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos o jovens que responderam, respectivamente: (A) R$ 300,00 e R$ 500,00. (B) R$ 550,00 e R$ 850,00. (C) R$ 650,00 e R$ 1.000,00. (D) R$ 650,00 e R$ 1.300,00. (E) R$ 950,00 e R$ 1.900,00. Matemática I – Módulo 14 418 Vol. 3 Exercícios de Aprofundamento 01. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? (A) 3h e 54 min. (B) 3h e 45 min. (C) 4h e 53 min. (D) 4h e 35 min. (E) 5h e 34 min. 02. Uma fábrica produz óleo de soja por encomenda, de modo que a produção é comercializada. O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção deequipamentos, salários, etc., a outra parcela é variável, dependente da quantidade de óleo fabricado. No gráfico a seguir, a reta r1 representa o custo de produção e a reta r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1.000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas e 1.000 (mil litros) no eixo das abscissas. r1 x x(l) 60 10 40 90 y(R$) r2 a. Determine, em reais, o custo correspondente à parcela fixa. b. Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo. Rascunho Matemática I Módulo 15 4191a Série Função afim e funções poligonais: exercícios (II) Exercícios de Fixação 01. Desenhe os gráficos das funções y = – 4x + 8 e f x x( ) = −1 4 3 simultaneamente no plano cartesiano. Estes gráficos se cortam? Em que ponto? (Lembre que um ponto no plano cartesiano é determinado por um par de coordenadas). 02. Desenhe os gráficos de h(x) = 4x + 3 e g(x) = 4x – 4 em um mesmo plano cartesiano. Eles se cortam em algum ponto? Isso é intuitivo sem precisar do desenho? 03. Dados os pontos A = (–1, 5) e B = (3, 4) no plano cartesiano, escreva a fórmula da função afim que tem como gráfico uma reta que passa por esses pontos. 04. Seja a função f de em definida por f(x) = 3x – 2. A raiz da equação f(f(x)) = 0 satisfaz: (A) x ≤ 0 (D) 1 8 3 < <x (B) 0 1 3 < ≤x (E) x > 8 3 (C) 1 3 1< ≤x 05. Na figura abaixo, estão representados as funções reais: f(x) = ax + 2 e g x x b( ) = − +2 3 . B x CA 0 y g f Sabendo que AC OB. = 8, então a reta que representa a função f passa pelo ponto: (A) (1,3). (D) (2, 4). (B) (– 2, – 2). (E) (3, 6). (C) (– 1, 4). Exercícios Contextualizados 01. O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: (A) R$ 8.250,00. (D) R$ 7.500,00. (B) R$ 8.000,00. (E) R$ 7.000,00. (C) R$ 7.750,00. 02. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0 fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a. Calcule o valor inicial de Q0. b. Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia? 03. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela. Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês? Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 20,00 R$ 0,80 C 0 R$ 1,20 04. Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até 1.500 u.m (unidades monetárias) são isentos: aos que possuem renda entre 1.500 u.m e 6.000 u.m, cobra-se um imposto de 10%; acima de 6000 u.m, o imposto é de 20%. Qual dos gráficos melhor representa a situação acima descrita? (A) Imposto cobrado Renda (B) Imposto cobrado Renda Matemática I – Módulo 15 420 Vol. 3 (C) Imposto cobrado Renda (D) Imposto cobrado Renda 05. Em uma partida de futebol, dois grandes clubes levaram ao Maracanã um total de 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo: 12 15 17 30.000 45.000 90.000 no de pessoas horário Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: (A) 20 min. (B) 30 min. (C) 40 min. (D) 50 min. (E) 55 min. 06. Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes: • Plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês. • Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B? (A) 160. (B) 180. (C) 200. (D) 220. (E) 240. 07. O lucro líquido mensal de um produtor rural com a venda de leite é de R$ 2.580,00. O custo de produção de cada litro de leite, vendido por R$ 0,52, é de R$ 0,32. Para aumentar em exatamente 30% o seu lucro líquido mensal, considerando que os valores do custo de produção e do lucro por litro de leite permaneçam os mesmos, quantos litros a mais de leite o produtor precisa vender mensalmente? (A) 16.770. (B) 12.900. (C) 5.700. (D) 3.870. (E) 3.270. 08. Devido a uma frente fria, a temperatura em uma cidade caiu de 28°C, às 14h, para 24°C, às 22h. Supondo que a variação da temperatura nesse intervalo de tempo tenha sido linear, determine o valor da temperatura às 17h: (A) 27,4 ºC. (B) 26,5 ºC. (C) 26,0 ºC. (D) 25,5 ºC. (E) 24,6 ºC. 09. Em 31/12/2001 uma represa continha 5.000 m3 e água. Devido a problemas climáticos, a quantidade de água dessa represa vem decrescendo ano a ano de forma linear, sendo que em 31/12/2006 continha 2.500 m3 de água. Se esse comportamento se manteve nos anos seguintes, determine quantos litros de água a represa continha em 31/12/2009. 10. Pedro e João acertaram seus relógios às 11h de ontem, mas o de Pedro está adiantando 30 segundos por hora e o de João está atrasando 10 segundos por hora. Determine: a. a diferença entre os horários marcados pelos dois relógios às 20h de ontem; b. os horários que estarão marcando os dois relógios às 11h de amanhã. Função afim e funções poligonais: exercícios (II) 4211a Série Exercícios de Aprofundamento 01. O gráfico da função f está representado na figura: O 4 4 6 8 x y Sobre a função f é falso afirmar que: (A) f(1) + f(2) = f(3). (B) f(2) = f(7). (C) f(3) = 3 f(1). (D) f(4) – f(3) = f(1). (E) f(2) + f(3) = f(5). 02. Analisando o gráfico da função h(x), responda: 2 4 3– 3– 4 – 8 5 6 – 6 12 15 x y a. Qual o domínio da função? b. Qual o conjunto-imagem do intervalo [– 4,6] do domínio? c. Qual o intervalo de decrescimento da função? d. Qual o valor da expressão: E = h h h h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − + 3 0 10 5 6 ? Rascunho Matemática I Módulo 16 422 Vol. 3 Revisão Exercícios de Fixação 01. A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x² e g(x) = x. f(x) g(x) 0 0c 3c x x T Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é: (A) 2. (D) 1. (B) 1,5. (E) 0,5. (C) 2. 02. A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é: (A) 2. (D) 0. (B) 4. (E) – 1. (C) – 2. 03. O gráfico representa a função real definida por f(x) = ax + b. y x 3 0 2 O valor de a + b é igual a: (A) 0,5. (C) 1,5. (B) 1,0. (D) 2,0. 04. Considere a, b e c três números reais não nulos, sendo a < b < c, e as afirmações abaixo. I. a + b < b + c II. a² < b² III. b – a > c – b Quais afirmações são verdadeiras? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas I e II. 05. No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico. 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 E D C BA Tempo mensal (em minutos) Va lo r m en sa l ( em re ai s) 0 0 Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? (A) A. (D) D. (B) B. (E) E. (C) C. Exercícios Contextualizados 01. Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a 20% da receita. A soma dos algarismos de x é: (A) 2. (D) 5. (B) 3. (E) 6. (C) 4. Revisão 4231a Série 02. O soro antirrábico é indicado para a profilaxia da raiva humana após exposição ao vírus rábico. Ele é apresentado sob a forma líquida, em frasco ampola de 5 mL equivalente a 1000 UI (unidades internacionais). O gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em mL) que um indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg) em um tratamento de imunização antirrábica. q (mL) m (Kg)15 40 3 8 Analise as afirmações a seguir: l. A lei da função representada no gráfico é dada por q = 0,2 · m, em que q é a quantidade de soro e m é a massa. II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais, cuja constante de proporcionalidade é igual a 1 5 . III. A dose do soro antirrábico é 40 UI/Kg. lV. Sendo 3000 UI de soro a dose máxima recomendada, então, um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose máxima. V. Se um indivíduo necessita de 2880 UI de soro, então, a massa desse indivíduo é de 72,2 kg. Todas as afirmações corretas estão em: (A) I, III e IV. (C) II, III, IV e V. (B) I, III, IV e V. (D) I, II e V. 03. João resolveu fazer um grande passeio de bicicleta. Saiu de casa e andou calmamente, a uma velocidade (constante) de 20 quilômetros por hora. Meia hora depois de ele partir, a mãe percebeu que ele havia esquecido o lanche. Como sabia por qual estrada o filho tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma velocidade (constante) de 60 quilômetros por hora. A distância que a mãe percorreu até encontrar João e o tempo que ela levou para encontrá-lo foram de: (A) 10 km e 30 min. (D) 20 km e 30 min. (B) 15 km e 15 min. (E) 20 km e 1 h. (C) 20 km e 15 min. 04. O caos no trânsito começa alastrar-se por todo país. Um estudo do Observatório das Metrópoles, órgão ligado ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia, aponta que, em dez anos (de 2001 a 2011), a frota das 12 principais regiões metropolitanas do país cresceu, em média, 77,8%. São Paulo, por exemplo, que tem hoje cerca de 11,4 milhões de habitantes e uma frota de 4,8 milhões de automóveis, acrescenta, mensalmente, 22000 veículos em sua frota ativa nas ruas. National Geographic Scientific – Brasil, “Cidades Inteligentes”. Edição Especial (adaptado). Considerando que a população de São Paulo permaneça constante, assim como a quantidade de automóveis acrescentada mensalmente, o número de veículos da frota paulista atingirá 50% do número de habitantes, aproximadamente, em: (A) 2,0 anos. (D) 3,5 anos. (B) 2,5 anos. (E) 4,0 anos. (C) 3,0 anos. 05. Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é: (A) R$ 7,50. (C) R$ 5,50. (B) R$ 6,50. (D) R$ 4,50. 06. Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura. No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é: (A) h t (D) h t (B) h t (E) h t (C) h t Matemática I – Módulo 16 424 Vol. 3 07. O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água. a. Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30. C x 100 90 80 60 40 20 70 50 30 10 0 5 10 15 20 25 30 b. Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos? 08. Dois corredores partem de um ponto ao mesmo tempo e se deslocam da seguinte forma: o primeiro é tal, que sua velocidade y1 é dada em função da distância x por ele percorrida através de: y x n x n n n x n 4 200 200 8 2 200 200 1 2 , , ( ) se se ≤ − + − < ≤ + em que n varia no conjunto dos números naturais não nulos. O segundo é tal que sua velocidade y2 é dada em função da distância x por ele percorrida através de y x 2 100 4= + . Tais velocidades são marcadas em km/h, e as distâncias, em metros. Assim sendo, ambos estarão à mesma velocidade após terem percorrido: (A) 800 m. (C) 1.000 m. (B) 900 m. (D) 1.100 m. 09. Em um jogo, cada participante recebe 12 fichas coloridas, devendo dividi-las em quatro grupos de três fichas cada, de modo a tentar obter a máxima pontuação possível. Cada trio de fichas formado é pontuado da seguinte maneira: • três fichas da mesma cor → 8 pontos; • duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor diferente → 6 pontos; • três fichas de cores diferentes → 1 ponto. Se um participante recebeu 4 fichas verdes, 4 amarelas, 2 brancas, 1 preta e 1 marrom, então a máxima pontuação que ele poderá obter é: (A) 23. (D) 26. (B) 24. (E) 27. (C) 25. 10. Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que: – 65 pessoas compram cream crackers. – 85 pessoas compram wafers. – 170 pessoas compram biscoitos recheados. – 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. – 50 pessoas compram cream crackers e recheados. – 30 pessoas compram cream crackers e wafers. – 60 pessoas compram wafers e recheados. – 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. (A) 200. (D) 370. (B) 250. (E) 530. (C) 320. Exercícios de Aprofundamento 01. Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente: (A) todos os tradutores que falam japonês também falam russo. (B) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano. (C) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano. (D) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo. (E) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão. 02. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); II. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C; III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C, é(são) verdadeira(s): (A) apenas
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