1a serie apostila matematica vol 4.pdf

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Matemática I
Módulo
 17
3371a Série
Função quadrática
1. Definição
Uma função f:   é chamada quadrática quando 
existem constantes a não nula, b, c tais que, para todo x real: 
y = f(x)=ax2+bx+c.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada 
parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para 
baixo de acordo com o sinal da constante a, como ilustra a figura 
abaixo:
a > 0 a < 0
2. Raízes da função quadrática
Dada a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, tem-se:
y = 0 quando x b
a
=
− ± ∆
2
, em que ∆ = b2 – 4ac é denominado 
discriminante da função.
Observando que só se pode tirar raiz quadrada real de números 
maiores ou iguais a zero, têm-se as seguintes opções para o gráfico 
da função quadrática:
a. ∆ > 0: Existem duas raízes reais distintas; logo o gráfico toca 
o eixo x em dois pontos distintos x1 e x2.
a > 0
∆ > 0 ∆ > 0
a < 0
b. ∆ = 0: Existe uma única raiz real; logo o gráfico tangencia o 
eixo x.
a > 0
∆ = 0 ∆ = 0
a < 0
c. ∆ < 0: Não existem raízes reais; logo o gráfico não toca o 
eixo x.
a > 0
∆ < 0 ∆ < 0
a < 0
Obs.: Em qualquer dos casos, o gráfico sempre intersecta o eixo 
y uma única vez (no ponto (0,c)).
Você já fez um gol de cobertura?
No futebol, o gol de cobertura acontece quando o jogador faz um gol em 
que a bola passa por cima do goleiro antes de entrar nas redes. Uma jogada 
que exige muita precisão e técnica do atleta, além de sangue frio para chutar 
na hora certa.
O segredo desse gol está no caminho da bola: ela sobe bastante até chegar 
num limite, e depois começa a descer como subiu. A “cobertura” então só 
acontece se o goleiro estiver posicionado bem abaixo da trajetória da redonda, 
que descreve uma curva chamada parábola. Nesse módulo, vamos aprender 
uma função que explica muito bem tanto o movimento da bola quanto a curva 
em geral. São as funções quadráticas, que veremos a seguir.
©
 iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
 /c
ok
ac
ok
a
Matemática I – Módulo 17
338 Vol. 4
Exercício Resolvido
Determine m para que a equação 2x2 – 3x + 2m = 0 tenha uma 
única raiz.
Solução:
∆ = ⇒ − = ⇒ =0 9 16 0
9
16
m m .
3. Sinal do trinômio
Para analisar o sinal do trinômio (útil no preenchimento de 
quadro de sinais, e na resolução de inequações), basta observar 
o gráfico correspondente, atentando para o sinal de a e de ∆, ou 
então seguir a regra:
∆ < 0 o valor do trinômio terá o sinal de a para todo x real.
∆ = 0 o trinômio será nulo para x b
a
= −
2
 e terá o sinal de a 
para
 
x
b
a
≠ −
2
.
∆ > 0 o trinômio será nulo para x = x1 ou x = x2. Se x estiver 
entre as raízes, o trinômio terá o sinal contrário a a; e 
se x for exterior ao intervalo das raízes, o trinômio terá 
o sinal de a.
Exercício Resolvido
Determine o conjunto-solução da inequação − + +
− +
>
2 5 3
3 7 2
0
2
2
x x
x x
.
Solução:
Como trata de uma inequação do tipo quociente, pode-se utilizar 
o quadro de sinais.
Calculando as raízes dos fatores no numerador e no denominador, 
obtém-se: 
− + + = ⇒ =
− ± + ⋅ ⋅
−
= −
− + = ⇒ =
± − ⋅ ⋅
2 5 3 0
5 25 4 3 2
4
1
2
3
3 7 2 0
7 49 4 3 2
6
2
2
x x x
x x x
ou
==
1
3
2ou
De posse das raízes, podemos montar o quadro de sinais: 
 
−
1
2 
1
3 2 3
2x2 + 5x + 3 – + + + –
x2 – 7x +2 + + – + +
y – + – + –
Resposta: x ∈ −




 ∪
1
2
1
3
2 3, ( , ).
4. Soma e produto das raízes
Seja a equação ax2 + bx + c = 0, de raízes x1 e x2. Sendo S 
a soma e P o produto das raízes, tem-se:
S x x
b
a
P x x
c
a
= + = − = ⋅ =1 2 1 2;
Vamos demonstrar as fórmulas para a soma e o produto das 
raízes apresentadas anteriormente:
As raízes da função quadrática são dadas por x
b
a1 2
=
− + ∆ e 
x
b
a2 2
=
− − ∆
. Assim, tem-se: 
S x x
b
a
b
a
b
a
b
a
= + =
− +
+
− −
= − = −
∆ ∆
1 2 2 2
2
2
P x x
b
a
b
a
b b b
a
b b ac
a
ac
= ⋅ =
− +
⋅
− −
=
+ − −
⇒
− −( )
=
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
1 2
2
2
2 2
2
2 2 4
4
4
4
4
� � �
aa
c
a2
=
5. Fatoração do trinômio
Sendo x1 e x2 as raízes do trinômio y = ax
2+bx+c, sua 
fatoração sempre será dada por:
y = a(x – x1)(x – x2)
Demonstração:
y a x x a x x x x x x x
a x x x x x x a x
= − − = − − + ⇒
− + + =
( )(x x ) ( )
( ( ) )
1 2
2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
2 −− −




 +





 ⇒ + +
b
a
x
c
a
ax bx c2
A chamada forma fatorada da função quadrática é bastante 
útil, especialmente em questões em que as raízes da função são 
conhecidas.
Você já reparou que 
a maioria dos faróis de 
carros e motos, assim 
como a maior ia das 
antenas, possui formato 
parabólico? Na verdade, 
em ambos os casos o 
formato não é exatamente 
o de uma parábola, que é 
uma curva, mas sim o de um sólido chamado paraboloide. 
O motivo pelo qual se adota esse formato nas antenas é que 
os sinais recebidos pela antena são refletidos todos para um 
mesmo ponto, chamado foco, de forma a intensificar o sinal 
através desta concentração. Nos faróis a ideia é a inversa. A 
luz que é emitida pela lâmpada (localizada no foco) é refletida 
na parade parabólica do farol, e emitida de forma mais intensa.
Função quadrática 
3391a Série
Exercícios de Fixação
03. O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c são constantes, 
passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f −






2
3
 vale:
(A) − 2
9
. (D) 1
4
.
(B) 2
9
. (E) 4.
(C) − 1
4
.
04. A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está bem 
definida quando:
(A) m ≠ 4. (D) m = – 2 ou +2.
(B) m ≠ 2. (E) m ≠ ± 2.
(C) m ≠ – 2.
05. Determine o número m de modo que o gráfico da função 
y = x2+mx+(8 – m) seja tangente ao eixo das abscissas.
01. No sistema de coordenadas car tesianas abaixo, estão 
representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. 
As coordenadas do ponto P são:
f(x)
g(x)
x
unidades em cm
y P
(A) (6, 20).
(B) (7, 24).
(C) (7, 26).
(D) (6, 26).
02. A função f(x) = ax2 + bx + c passa pela origem. Sabendo que 
f(– 2) = 0, calcule o valor de a abc b
ab
2 2+ +
.
Exercícios Contextualizados
01. Na fabricação de certo produto, o lucro em reais de uma 
microempresa é dado por:
L(x)= − 3
4
2x + 90x – 1500, sendo x o número de peças vendidas 
no mês. Determine:
a. o lucro em um mês em que foram vendidas 80 peças; 
b. quantas peças foram vendidas em um mês em que o lucro foi de 
R$ 525,00.
02. Em uma partida de futebol, no instante em que os raios solares 
incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador “Chorão” 
chutou a bola em direção ao gol, de 2,30 m de altura interna. A 
sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A 
bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura 
máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da 
linha do gol. Após o chute de “Chorão”, nenhum jogador conseguiu 
tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está 
sugerida na figura a seguir:
Y
9 m
16 m
2,30 m
X
A equação da parábola era do tipo: Y X C= − +
2
36
.
O ponto em que a bola tocou pela primeira vez foi:
(A) na baliza. (C) dentro do gol.
(B) atrás do gol. (D) antes da linha do gol.
03. Ana e Júlia viram o gráfico abaixo desenhado no quadro da 
sala de aula em que estudam.
y
y = f(x)
x
–2
– 2
– 3
– 4
–1 1
1
2
–1
Lembraram que, durante a aula, o professor havia dito que é 
possível construir o gráfico de uma função quadrática a partir de 
sua fórmula, mas que não necessariamente
se poderia determinar 
a fórmula da função a partir das informações do gráfico. Para o 
gráfico acima, em particular, é possível determinar a expressão 
algébrica da função associada. Diga qual dentre as opções abaixo 
contém a referida fórmula:
(A) f(x) = – 2x2 – 2x + 4.
(B) f(x) = x2 + 2x – 4. 
(C) f(x) = x2 + x – 2.
(D) f(x) = 2x2 + 2x – 4.
(E) f(x) = 2x2 + 2x – 2.
Matemática I – Módulo 17
340 Vol. 4
04. Um modelo matemático simplificado para o formato de um vaso 
sanguíneo é o de um tubo cilíndrico circular reto. Nesse modelo, 
devido ao atrito com as paredes do vaso, a velocidade v do sangue 
em um ponto P no tubo depende da distância r do ponto P ao eixo 
do tubo. O médico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869) 
propôs a seguinte lei que descreve a velocidade v em função de r:
r R
v = v(r) = k(R2 – r2)
em que R é o raio do tubo cilíndrico e k um parâmetro que 
depende da diferença de pressão nos extremos do tubo, do 
comprimento do tubo e da viscosidade do sangue. 
Considerando que k é constante e positivo, assinale a alternativa 
que contém uma representação possível para o gráfico da função 
v = v(r): 
(A) v
r
 (D) v
r
(B) v
r
 (E) v
r
(C) v
r
05. Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, 
que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de 
um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência 
elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (I) que por ele circula. 
O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente 
proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos 
a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por 
um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? 
(A) E
i0
 (D) E
i0
(B) E
i0
 (E) E
i0
(C) E
i0
Exercícios de Aprofundamento
01. 
a. Reescreva a função f(x) = x2 – 6x +5 de modo que a variável 
x apareça na fórmula uma única vez. A seguir determine as 
raízes dessa função.
b. Determine as raízes dessa mesma função através da fatoração 
da expressão algébrica que a define.
02. 
a. Mostre que as equações ax2 + bx + c = 0 e x2 +bx + ac = 
0 possuem o mesmo ∆.
b. Conclua que as raízes da 1a equação são as raízes da 2a divididas 
por a.
c. Determine, usando o método descrito acima, as raízes da 
equação 20x2 +12x +1 = 0.
Rascunho
Matemática I
Módulo
 18
3411a Série
Função quadrática: exercícios
Neste módulo, você encontrará Exercícios de Fixação, 
Contextualizados e também de Aprofundamento sobre os tópicos 
abordados no módulo 17, sobre função quadrática.
Exercícios de Fixação
01. Em uma função quadrática, sabe-se que f(–1) = 9, f(1) = 3 e 
f (3) = 5. Determine f(7).
(A) 27. (D) 33.
(B) 29. (E) 35.
(C) 31.
02. A parábola definida por y = x² + mx + 9 será tangente aos 
eixos das abscissas se, e somente se:
(A) m = 6 ou m = –6 (D) m ≥ 6
(B) –6 < m < 6 (E) m ≤ 6
(C) –6 ≤ m ≤ 6
03. Determine m para que o número 2 seja interno ao intervalo das 
raízes de x² – 2mx + m = 0.
(A) m > 
4
3
.
(B) m = 
4
3
.
(C) m > 1.
(D) m < 1.
(E) N.R.A.
04. Determine m para que o trinômio y = (1 – m)x² – (1 + m)x + 2(m – 4) 
seja negativo para todo x.
(A) 11
9
 < m < 3
(B) 13
9
< m < 3
(C) m > 1
(D) m < 3
(E) 1 < m < 3
05. O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com 
a < 0, passa pelos pontos (–1, 10) e (0, 5). Logo, o conjunto de 
todos os valores possíveis de b é:
(A) {b ∈  / b ≤ –4}
(B) {b ∈  / b < –5}
(C) {b ∈  / b ≤ –3}
(D) {b ∈  / b ≤ –2}
(E) {b ∈  / b ≤ –1}
Exercícios Contextualizados
01. Um estudo das condições ambientais na região central 
de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de 
monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + 1 partes 
por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. 
Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será de 
p(t) = 2t2 – t + 110 milhares de habitantes. Nesse contexto, 
para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse 
o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido 
transcorridos no mínimo:
(A) 2 anos. (D) 3 anos e 6 meses.
(B) 2 anos e 6 meses. (E) 4 anos.
(C) 3 anos.
02. A relação entre a quantidade em ofer ta de determinado 
produto e o seu preço, quando este for x reais por unidade, é dada 
pela equação q = x2 + 3x – 70. Já a procura por esse produto 
(quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), 
quando o preço for x reais, é dada pela equação d = 410 – x.
O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo x0 
o preço e y0 a quantidade quando ocorre o equilíbrio, o valor de 
y0 – x0 é: 
(A) 366. (D) 410.
(B) 370. (E) 414.
(C) 390.
03. Um túnel de 8 m de largura tem a forma de uma parábola 
representada pela equação y = ax2 + b, com a e b ∈  e a < 0, 
conforme figura abaixo.
y
P
T NM
A DC B x
4 m
0
4 m
8 m
Analisando essa figura, é correto afirmar que a distância entre O 
e P, em m, vale: 
(A) 19
3
(B) 16
3
(C) 5,0
(D) 4,6
Matemática I – Módulo 18
342 Vol. 4
04. No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com α litros 
de combustível. O volume de combustível no tanque, em litros, 
após o carro entrar em movimento é descrito por uma função do 
2o grau em função do tempo t, em minutos.
O carro entra em movimento. Após 10 minutos do início do 
movimento, o tanque está com 36 litros de combustível. Passadas 
3 horas e 10 minutos do início do movimento, o volume de 
combustível no tanque se esgota.
Sabe-se que o gráfico dessa função toca o eixo OX
� ��
em um único 
ponto de coordenadas (190, 0).
Dessa forma, o número α está compreendido entre: 
(A) 40 e 42. (C) 44 e 46.
(B) 42 e 44. (D) 46 e 48.
05. No período que precede o Natal, o comércio faz muitas 
promoções visando a incrementar suas vendas. Com esse objetivo, 
uma loja de departamentos fez uma promoção de determinados 
produtos, vendendo todos a um mesmo preço unitário. Além disso, 
a cada n unidades adquiridas, sendo n ≤ 60, o cliente teria n% 
de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto 
máximo de 60%. Um cliente comprou x unidades de produtos nessa 
promoção e, ao calcular o valor V a ser pago, constatou que, dentro 
da faixa das 60 unidades, poderia comprar mais produtos pagando 
o mesmo valor V.
De acordo com essas informações, pode-se concluir que x pertence 
ao intervalo: 
(A) [10, 19]. (D) [40, 49].
(B) [20, 29]. (E) [50, 59].
(C) [30, 39].
06. Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral 
do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual 
se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola 
passou 1,20 m acima da cabeça de um jogador com 1,80 m de 
altura da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de 
distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura 
abaixo.
Amáx
gramado
1,20 m
1,80 m
4 m 60 m
Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de 
arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo 
companheiro de equipe.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o 
cruzamento, a bola atinge no máximo uma altura de:
(A) 12,8 m. (D) 10,4 m.
(B) 12 m. (E) 9,6 m.
(C) 11,2 m.
07. Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em 
seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função 
do tempo t.
0 t
y
Admitindo que a concentração y seja dada por uma função 
quadrática y=at2 +bt+c, é correto afirmar que: 
(A) a > 0 e b2 – 4ac > 0. (D) a < 0 e b2 – 4ac < 0.
(B) a > 0 e b2 – 4ac < 0. (E) a ≠ 0 e b2 – 4ac = 0.
(C) a < 0 e b2 – 4ac > 0.
08. Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, 
toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no
sistema 
de eixos ortogonais:
0
C
D
A B35 x(m)
y(m)
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices 
C e D.
A equação de uma dessas parábolas é y
x x
=
−
+
2
75
2
5
.
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em 
metros, é igual a: 
(A) 38. (C) 45.
(B) 40. (D) 50.
09. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida 
por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) 
e varia de acordo com a expressão T t t( ) ,= − +
2
4
400 com t em 
minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada 
para abertura quando o equipamento atinge a temperatura de 39°.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o 
forno, para que a porta possa ser aberta? 
(A) 19,0.
(B) 19,8.
(C) 20,0.
(D) 38,0.
(E) 39,0.
Exercícios de função quadrática
3431a Série
10. Uma loja vende semanalmente x relógios quando seu preço 
por unidade p, em reais, é expresso por p = 600 – 10x. A receita 
semanal de vendas desse produto é R$5.000,00 para dois valores 
de p. A soma desses valores é: 
(A) R$400,00.
(B) R$450,00.
(C) R$500,00.
(D) R$550,00.
(E) R$600,00.
Exercícios de Aprofundamento
01. Se f(x) = x2 + 3x + 2 e A = {1, 2, 3, 4,..., 2009, 2010}, 
determine para quantos valores de x pertencentes ao conjunto A 
tem-se f(x) divisível por 6.
Rascunho
Matemática I
Módulo
 19
344 Vol. 4
Função quadrática: problemas de máximos e mínimos
1. Introdução
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada 
parábola. Ao contrário do gráfico de uma função afim, que é uma reta 
sempre crescente, decrescente ou ainda horizontal (no caso de uma 
função constante), toda parábola possui um trecho de crescimento 
e um trecho de decrescimento. O ponto do gráfico onde acontece 
essa mudança de comportamento, ou seja, o ponto em que o gráfico 
para de crescer e começa a decrescer, ou o contrário, é chamado 
de vértice da parábola. Em geral, utiliza-se a letra V para se referir 
ao vértice. A reta vertical que contém o vértice é chamada de eixo 
de simetria da parábola.
Como qualquer outro ponto do plano cartesiano, o vértice da 
parábola possui duas coordenadas, chamadas x do vértice e y do 
vértice, e denotadas normalmente por xve yv’, conforme ilustra a 
figura abaixo.
x
yv
y
xv
xv
x
v
v
yv
y
V é o ponto de mínimo.
(a > 0)
V é o ponto de máximo.
eixo de simetria
(a < 0)
Quando a parábola possui concavidade voltada para baixo, 
o vértice V é chamado de ponto de máximo, e a coordenada y 
do vértice (yv) é chamada de valor máximo da função. Quando 
a parábola possui concavidade voltada para cima, o vértice V é 
chamado de ponto de mínimo, e a coordenada y do vértice (yv) é 
chamada de valor mínimo da função.
2. Fórmulas das coordenadas 
do vértice
Dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, as coordenadas 
do vértice da parábola podem ser obtidas por meio das fórmulas 
abaixo:
2v
b
x
a
= −
4v
y
a
∆
= −
No caso em que a função quadrática possui duas raízes 
(∆ > 0), é fácil explicar as fórmulas acima. Da fórmula de Bhaskara, 
sabe-se que as raízes x1 e x2 são dadas por:
1 2;2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Por um argumento de simetria, nota-se que a coordenada x do vértice 
da parábola deve estar localizada no ponto médio entre as duas raízes. 
Em outras palavras, xv é média aritmética entre x1 e x2:
Você sabe como é definido o valor de um ingresso?
No mundo dos esportes, sabemos que a cada jogo há um 
valor de ingresso diferente, determinado pelos organizadores 
do evento. Uma das primeiras coisas que eles devem fazer 
para definir o melhor valor possível é entender a demanda 
pelo ingresso no mercado. Se o preço aumentar, são vendidos 
menos ingressos. Se diminuir, são vendidos mais. 
Geralmente, têm-se a demanda variando linearmente com 
o preço, que junto com este nos permite achar o valor exato 
de cada possível faturamento na partida. Contudo, o que 
muita gente não sabe é que, para chegar ao valor de ingresso 
que renda o máximo de lucro, precisamos de uma análise 
de gráfico da função quadrática. Esses e outros problemas 
semelhantes são resolvidos com o auxílio dos máximos e 
mínimos da função quadrática, assunto que veremos a seguir neste módulo.
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18
Função quadrática: problemas de máximos e mínimos
3451a Série
1 2
2
2 2 2
2 2 2 2v
b b b
x x ba a ax
a
− + ∆ − − ∆
+ −+
= = = = −
A coordenada yv é imagem de xv pela função f. Isso significa que 
para calcular yv basta substituir xv na fómula que define a função 
f, ou seja, yv= f(xv):
2 2 4
( )
2 2 2 4 4v v
b b b b ac
y f x f a b c
a a a a a
− + ∆     = = − = − + − + = = −     
      m.m.c.
De forma resumida, o que as contas acima dizem é que no 
caso em que a função quadrática possui duas raízes, existe um jeito 
alternativo às fórmulas ,
2 4
b
a a
∆ − − 
 
 para se obter as coordenadas 
do vértice de uma parábola:
• Para calcular XV , basta fazer a média aritmética entre as raízes.
• Para calcular YV , basta substituir XV na fórmula que define a 
função.
Ex.1:
 Considere a função f(x)= x2 – 10x + 21. As raízes dessa função 
são x1 = 3 e x2 = 7, o que pode ser descoberto tanto por meio 
da fórmula de Bhaskara quanto via soma e produto. Assim, 
3 7
5
2v
x
+
= = e yv = f(5) = – 4, de modo que V (5, – 4) é o 
vértice da parábola.
Ex.2: Considere a figura abaixo:
v = (9, 7)
A = (2, 0) B
 Sabendo que uma das raízes da função acima é x1 = 2 e que 
xv = 9, pode-se deduzir facilmente qual é a segunda raiz. Se 
a distância entre a primeira raiz e xv é de 7 unidades, também 
deve ser de 7 unidades a distância entre xv e a segunda raiz x2, 
ou seja, x2 = 9 + 7 = 16, de modo que B(16,0).
Ex. 3: 
 Dentre todas as salas retangulares com perímetro prefixado de 
32 m, determine:
 
a. as dimensões daquela que possui a maior área. 
b. o valor da área máxima.
 Como as dimensões do retângulo de maior área são 
desconhecidas inicialmente, o melhor jeito de começar a 
resolver o problema é atribuindo incógnitas. Digamos que as 
dimensões sejam x e y. Nesse caso, a área do retângulo é dada 
por A = x · y. Repare que, dessa forma, a área fica dependendo 
de duas variáveis. No entanto, essas variáveis podem ser 
relacionadas. Como o perímetro do retângulo é 32 m, temos que 
2x + 2y = 32 → x + y = 16 → y = 16 – x.
 Assim, podemos escrever A = x(16 – x) = – x2 + 16x, ou seja, 
a área do retângulo depende quadraticamente de uma de suas 
dimensões. Como o gráfico desta função é uma parábola com 
concavidade para baixo, podemos determinar qual é o valor de 
x para o qual a área é máxima.
 
16
8
2 2( 1)v
b
x
a
= − = − =
−
 Portanto, a área do retângulo é máxima quando x = 8 e, por 
consequência, quando y = 8, ou seja, quando o retângulo é, 
na verdade, um quadrado.
3. Construção da parábola
Dada a fórmula de uma função quadrática, os passos para a 
construção fiel do gráfico são os seguintes:
• Passo 1 – Verificar a concavidade.
• Passo 2 – Verificar o ponto de interseção do gráfico com o eixo y.
• Passo 3 – Verificar os pontos de interseção do gráfico com o 
eixo x (raízes), caso existam.
• Passo 4 – Calcular as coordenadas do vértice.
Exercícios Resolvidos
Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 8x + 12.
• Passo 1 – A parábola tem concavidade para cima, porque o 
coeficiente líder é a = 1 (positivo).
• Passo 2 – A parábola corta o eixo y no ponto (0, 12). De forma 
geral, o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c corta o eixo y no 
ponto (0, c).
• Passo 3 – As raízes da função são x = 2 e x = 6.
• Passo 4 – As coordenadas do vértice são 2 6 4
2v
x
+
= = e 
yv = f(xv)=
= f(4) = – 4.
12
A
B
V
c
C
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Matemática I – Módulo 19
346 Vol. 4
Vértice da parábola e problemas 
de máximos e mínimos
No comércio, a estratégia mais direta para se aumentar 
as vendas de determinado produto é reduzir os preços. A 
expectativa que se tem, em geral, é a de que quanto menor 
for o preço, maior será a quantidade vendida. Em economia, 
há muitos modelos diferentes para se estudar e otimizar as 
relações entre preço e quantidade. Na situação simples em que 
uma redução fixa no preço implica um aumento também fixo da 
quantidade vendida, é possível utilizar os conceitos estudados 
neste módulo para determinar a combinação preço/quantidade 
que proporciona ao comerciante a maior receita possível. 
Vejamos o exemplo abaixo:
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por 
dia a R$2,40 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada 
centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 
litros a mais por dia. 
Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi 
R$ 2,38, foram vendidos 10.200 litros. Determinar o preço que 
proporciona ao proprietário receita diária máxima, a quantidade 
que deve ser vendida para que isso aconteça e o valor da receita 
neste caso.
Seja x o valor do desconto, em centavos, concedido pelo 
proprietário no preço original de R$2,40 do litro do álcool. 
Nesse caso, a receita (R), em função de x, é dada por R(x) 
= (10.000 + 100x) · (2,40 – 0,01x), que é uma função 
quadrática (na forma fatorada) cujo gráfico é uma parábola 
com concavidade para baixo (basta multiplicar as duas parcelas 
contendo a variável x para perceber que o coeficiente de x2 
é negativo). As raízes desta função, que podem ser obtidas 
anulando-se os dois fatores, um de cada vez, são – 100 e 
240. Como a coordenada xv do vértice da parábola pode ser 
obtida por meio da média aritmética entre as raízes, temos que 
100 240 140
70
2 2v
x
− +
= = = .
Assim, a receita é máxima quando o desconto dado é de 70 
centavos, ou seja, o preço ótimo para o litro do álcool é R$1,70. 
Por esse preço, são vendidos 17.000 litros de álcool diariamente, 
o que proporciona ao proprietário a receita de R$28.900,00.
Exercícios de Fixação
01. A função f(x) = x² – 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor 
de k é:
(A) 8. (D) 14.
(B) 10. (E) 16.
(C) 12.
02. Considere a parábola de equação y = x² – 4x + m. Para que 
a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, 
então m deve ser igual a:
(A) – 14. (D) 4.
(B) – 10. (E) 6.
(C) 2.
03. O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 
é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos 
pontos A e B. A área do triângulo AVB é:
(A) 27/8. (D) 27/64.
(B) 27/16. (E) 27/128.
(C) 27/32.
04. Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função 
quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa 
x = – 1/4. Logo, o valor de f(1) é:
(A) 1/10. (D) 4/10.
(B) 2/10. (E) 5/10.
(C) 3/10.
05. O gráfico da função real definida por y = x² + mx + (15 – m) 
tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no 
ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale:
(A) 25.
(B) 18.
(C) 12.
(D) 9.
(E) 6.
Exercícios Contextualizados
01. Um retângulo possui perímetro de 10 cm e a medida de um 
dos lados é x. Determine: 
a. a área do retângulo em função de x;
b. o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.
02. Um fazendeiro, dispondo de 120 m de cerca, deseja cercar 
uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais. 
Repare que, embora o cercado seja retangular, apenas três dos 
quatro lados do retângulo serão de fato cercados, já que um de 
seus lados é a própria margem do rio.
Função quadrática: problemas de máximos e mínimos
3471a Série
Qual é a maior área em m² que o fazendeiro poderá cercar?
(A) 2.100. (D) 900.
(B) 1.500. (E) 1.800.
(C) 1.200.
03. Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, 
com 10 ≤ n ≤ 70, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 – 
n) reais. Determine os valores mínimo e máximo de arrecadação 
que essa empresa pode obter nessas condições.
(A) 2.100; 2.500. (D) 1.500; 2.300.
(B) 900; 2.100. (E) 900; 2.500.
(C) 1.500; 2.100.
04. Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão 
organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$6,00 por 
sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando 
um total de R$2.760,00. Entretanto, também estimou que, a 
cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10 
participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a 
arrecadação seja a maior possível, o preço unitário, em reais, da 
inscrição em tal evento deve ser:
(A) 15,00. (D) 37,50.
(B) 24,50. (E) 42,50.
(C) 32,75.
05. Na figura abaixo estão representados os gráficos das funções 
2
( )
2
t
f t = e g(t) = 3t – 5, que descrevem as trajetórias de dois 
móveis. Considere o tempo t em segundos, f(t) e g(t) em metros.
S
t
O instante de tempo, em segundos, em que a distância entre 
os móveis é mínima, e a distância mínima, em metros, valem, 
respectivamente:
(A) 3, 1/2.
(B) 3, 1.
(C) 6, 1/2.
(D) 6, 1.
(E) 3, 3.
Exercícios de Aprofundamento
01. Qual o valor máximo de 21n – n², para n inteiro?
(A) 100.
(B) 110.
(C) 120.
(D) 130.
(E) 90.
02. A figura abaixo mostra um retângulo ABCD de base 10 e altura 
6. Para cada x ∈ [0,6], considere os seguimentos AM = NA = CP 
= CQ = x, como na figura.
Q
P
BN
M
C
A
D
Seja A(x) a área do paralelogramo MNPQ para cada x ∈ [0,6]. 
Quanto vale a área máxima de MNPQ?
(A) 24.
(B) 30.
(C) 32.
(D) 28.
(E) 36.
Rascunho
Matemática I
Módulo
 20
348 Vol. 4
Problemas de máximos e mínimos: exercícios
Exercícios de Fixação
Obs.: A escala usada nos eixos coordenados adota o metro como 
unidade de comprimento. 
(A) 5,25 m.
(B) 5,05 m.
(C) 4,95 m.
(D) 4,75 m.
04. Considere a parábola tangente ao eixo x no ponto de abscissa 
1, definida por f(x) = ax2 + bx+c com a ≠ 0 e coeficientes reais.
y
x
1
Podemos afirmar que:
(A) a + b + c = 0.
(B) b2 = 4ac.
(C) f(2) = c.
(D) abc > 0.
(E) todas estão corretas.
05. Determine o valor da ordenada do vértice da parábola abaixo:
y (cm)
x (cm)
0 2 4 6 8
(1,48)
(A) 0,52 m.
(B) 0,64 m.
(C) 0,58 m. 
(D) 0,62 m.
01. O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c é: 
0,75
1,50
y
x
Com relação a f(x), é incorreto afirmar que:
(A)	 	seu	discriminante	(∆)	é	maior	que	zero.
(B) o vértice da parábola tem ordenada positiva.
(C) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo.
(D)	as	raízes	da	função	quadrática	são	0	e	3/2.
02. O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c 
está representado a seguir.
x
y
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os 
coeficientes a, b e c	satisfazem	as	desigualdades:
(A) a > 0; b < 0; c < 0. (D) a > 0; b > 0; c < 0.
(B) a > 0; b < 0; c > 0. (E) a < 0; b < 0; c < 0.
(C) a > 0; b > 0; c > 0.
03. Sejam f :  →  a função definida por f(x) = x2 + x + 1, P e Q 
pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ	é	horizontal	e	
tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ 
ao eixo das abscissas é: 
Problemas de máximos e mínimos: exercícios
3491a Série
Exercícios	Contextualizados
05. Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade 
A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem 
diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem 
x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o preço da passagem é R$200,00, comparecem 120 
passageiros e, para cada aumento de R$10,00 no preço da 
passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço
da 
passagem	que	maximiza	a	receita	em	cada	voo?	
(A) R$220,00. (D) R$250,00.
(B)	R$230,00.	 (E)	 R$260,00.
(C) R$240,00.
06. Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite 
ao preço de R$6,00 cada um. O proprietário observa que, para 
cada R$0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta 
em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R$4,50 para 
produzir	cada	sanduíche,	o	preço	de	venda	que	dará	o	maior	lucro	
ao proprietário é: 
(A) R$5,00. (D) R$5,75.
(B) R$5,25. (E) R$6,00.
(C) R$5,50.
07. Num terreno, na forma de triângulo retângulo, com catetos de 
medidas 60 metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa 
retangular com a maior área possível, como na figura a seguir: 
Casa
80 m
60 m
Qual é a medida da área do terreno destinada à construção da casa 
em	metros	quadrados?
(A) 600. (D) 1.200.
(B) 800. (E) 1.400.
(C) 1.000.
08. Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o 
seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 centímetros 
de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, 
duas necessariamente com o mesmo comprimento x, que será a 
largura da pipa, e outra de comprimento y, que determinará a altura 
da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura a 
seguir, de modo que a altura da região retangular seja 1
4
y , enquanto 
a da triangular seja 3
4
y. Para garantir maior captação de vento, ele 
necessita que a área da superfície da pipa seja a maior possível.
01. Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente 
por via intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, 
a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia. 
Imediatamente após o fim desse procedimento, a quantidade do 
medicamento começou a decrescer.
Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade 
q, em mg, do medicamento na corrente sanguínea, t horas após 
iniciada a administração, é q(t) = – t2 + 7t + 60.
Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento 
que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da 
dose, e o seu tempo de duração, em horas, foram, respectivamente:
(A) 5 e 12. (D) 60 e 12.
(B)	 0	e	12.	 (E)	 60	e	3,5.
(C)	0	e	3,5.
02. Uma	indústria	produz	mensalmente	x lotes de um produto. O 
valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)	=3x2 –12x 
e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x2 – 40x – 40. 
Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante 
das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais 
que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a:
(A) 4 lotes. (D) 7 lotes.
(B) 5 lotes. (E) 8 lotes.
(C) 6 lotes.
03. O apresentador de um programa de auditório propôs aos 
participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada um teria 10 
minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente 
em um terreno. Ao final do tempo destinado a cada competidor, as 
moedas coletadas seriam contadas e a pontuação seria calculada, 
subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de 
valor igual ao número de moedas coletadas. Assim, um participante 
que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte 
forma:	60	–	36	(60%	de	60)	=	24.	O	vencedor	da	prova	seria	aquele	
que alcançasse a maior pontuação. 
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode 
alcançar	nessa	prova?
(A) 0. (D) 75.
(B) 25. (E) 100.
(C) 50.
04. A empresa SKY transporta 2.400 passageiros por mês da 
cidade de Acrolândia a Bienvenuto. A passagem custa 20 reais, e a 
empresa deseja aumentar o seu preço. No entanto, o departamento 
de pesquisa estima que, a cada 1 real de aumento no preço da 
passagem, 20 passageiros deixarão de viajar pela empresa. 
Nesse caso, qual é o preço da passagem, em reais, que vai 
maximizar	o	faturamento da	SKY?		
(A) 75. (D) 55.
(B) 70. (E) 50.
(C) 60.
Matemática I – Módulo 20
350 Vol. 4
3
4
y
1
4
y
x
A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, 
possui área igual a: 
(A)	 350	cm2. (D) 500 cm2.
(B) 400 cm2. (E) 550 cm2.
(C) 450 cm2.
09. Um jogador de basquete lança uma bola em direção à cesta e 
ela descreve um arco de parábola. A lei que descreve essa parábola 
é h t t t( ) = − + +1
3
5
3
22 em que t é o tempo decorrido em segundos 
após o lançamento, e h é a altura em metros. Assim, é correto 
afirmar:
(A) Abola atinge o solo em 5 s.
(B) A imagem de h(t) é dada pelo conjunto y y∈ ≥






 /
49
9
.
(C) O vértice da parábola é o ponto
5
2
49
12
,




 .
(D) Para todo t ∈ [–6, 1], h(t)	≥	0.
(E) A altura máxima atingida pela bola é igual a 7
3
m.
10. Em um experimento de laboratório, ao disparar um cronômetro 
no instante t = 0 s registra-se que o volume de água de um tanque 
é de 60 litros. Com a passagem do tempo, identificou-se que o 
volume V de água no tanque (em litros) em função do tempo t 
decorrido (em segundos) é dado por V(t) = at2 + bt + c com a, 
b e c reais e a ≠ 0. No instante 20 segundos, registrou-se que o 
volume de água no tanque era de 50 litros, quando o experimento 
foi encerrado. Se o experimento continuasse mais 4 segundos, 
o volume de água do tanque voltaria ao mesmo nível do início. O 
experimento em questão permitiu a montagem do gráfico indicado.
V
(litros) V(t)=at2+bt + c
(segundos)
50
20 t0
a. Calcule o tempo decorrido do início do experimento até que o 
tanque atingisse seu menor volume de água.
b. Calcule o volume mínimo de água que o tanque atingiu nesse 
experimento. 
Exercícios de Aprofundamento
01. Lucas e Mateus são apaixonados por futebol. Eles praticam 
futebol no quintal de casa, que é totalmente plano e possui uma rede 
de	3	m	de	altura.
3 
m
4 m
 
Em uma brincadeira, Mateus posiciona a bola a 4 m da rede e 
Lucas varia sua posição em lado oposto à rede, aproximando-se 
ou afastando-se dela, conservando uma mesma linha reta com a 
bola, perpendicular à rede.
Mateus lança a bola para Lucas, com um único toque na bola, até 
que ela atinja o chão, sem tocar a rede.
Considere um plano cartesiano em que:
I.	 cada	 lançamento	 realizado	 por	Mateus	 é	 descrito	 por	 uma	
trajetória parabólica;
II. Lucas e o ponto de partida da bola estão no eixo Ox
� ��
, e;
III. a posição da bola é um ponto (x,y) desse plano, onde y = f(x) 
é a altura atingida pela bola, em metros, em relação ao chão.
Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que tem a lei de uma 
função f	que	satisfaz	às	condições	estabelecidas	na	brincadeira	
de Lucas e Mateus. 
(A) f x
x
( ) = − +
2
8
2 .
(B) f x x( ) = − +3
16
3
2
.
(C) f x
x x
( ) = − +
+2
16
15
4
.
(D) f(x) = – 0,1x2 + 0,2x + 4,8.
Problemas de máximos e mínimos: exercícios
3511a Série
02. No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro 
grau e g(x) do segundo grau.
y
4
3
2
1
1–1
–1
–2–3–4 2 3 x
O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é:
(A) 
3
2
1
1 2 3 x
y
–1
–1
–2
–3
–2–3
(B) 
3
2
1
1 2 3 x
y
–1
–1
–2
–3
–2–3
(C) 
 
3
2
1
1 2 3 x
y
–1
–1
–2
–3
–2–3
(D) 
3
2
1
1 2 3 x
y
–1
–1
–2
–3
–2–3
(E) 
3
2
1
1 2 3 x
y
–1
–1
–2
–3
–2–3
Rascunho
Matemática I
Módulo
 21
352 Vol. 0
Função exponencial
2. Gráfico
Para a > 1, a função é crescente como ilustrado no exemplo 
a seguir:
(I) y = 2x
 y
 x
x
0
1
2
– 1
– 2
y
1
2
4
1/2
1/4
Para 0 < a < 1, a função é decrescente, como ilustrado no 
exemplo abaixo.
(II) y
x
= 





1
2
 y
 x
x
0
1
2
– 1
– 2
y
1
1/2
1/4
2
4
1. Definição
Uma função f :  → +
* da forma y = f(x) = ax é
denominada 
função exponencial. 
O número a (base da exponencial) precisa ser positivo e 
diferente de 1, ou seja, a > 0 e a ≠ 1.
1.1 Restrições
Se fosse utilizado um valor negativo para a, alguns valores de 
f(x) deixariam de existir, como no exemplo abaixo:
f(x) = (– 3)x → f
1
2
3 3
1
2




 = − = − ∉( )  (pois não existe raiz 
quadrada real de número negativo). Assim, f(x) = (– 3)x não é 
uma função.
Se fosse usado a =0 ou a = 1, a função seria constante e 
desinteressante, pois 0x = 0 e 1x= 1 para todo x ∈ +
* . 
1.2 Propriedades
ax · ay = ax+y
(ax)y = axy
a a
p
q pq=
Exemplo: 
64 64 2 2 2 1623
2
3 6
2
3
12
3 4= = = = =( ) .
Você sabe como um embrião se desenvolve dentro de sua mãe?
 
Após a concepção, ou seja, o encontro do esperma- 
tozoide masculino e o óvulo no útero da mulher, ocorre 
uma verdadeira multiplicação celular. Ou melhor, uma 
potenciação celular. A primeira célula formada, chamada 
zigoto, começa se dividindo em outras duas. Essas duas 
se dividem em outras duas, formando 2 x 2 = 4 células, e 
essas mesmas quatro vão se dividindo e dividindo, e em 
30 rodadas de divisão já há mais de 1.073.741.824 delas! 
Ao longo da gestação, porém, esse crescimento 
vai se retardando para dar lugar à especialização das 
células que vão formar órgãos e tecidos. Na matemática, 
descrevemos o desenvolvimento inicial dos embriões 
humanos usando as funções exponenciais, assunto 
deste módulo. 
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ck
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co
m
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in
da
 E
ps
te
in
Função exponencial
3531a Série
Obs. 1:
A partir dos gráficos apresentados, pode-se concluir que a 
função exponencial é bijetiva, ou seja, para cada valor de x, existe 
um e somente um valor de y. A sua inversa é denominada função 
logarítmica e será estudada mais adiante.
Obs. 2: 
Em diversos problemas envolvendo equações e funções 
exponenciais aparece a constante e, denominada número de 
Euler. Ela vale aproximadamente 2,71828 e aparece na modelagem 
matemática de diversos fenômenos naturais. Trata-se de um 
número irracional, assim como π.
3. Equações exponenciais
A ideia para se resolver equações exponenciais é escrever os 
dois lados da equação como potências de mesma base, usando 
o fato de que, se ax = ay, então, x = y. Lembrando sempre que se 
deve considerar que a base a é um número positivo e diferente de 
1. Veja abaixo alguns exemplos em que o raciocínio acima levaria a 
conclusões falsas, caso a base a desrespeitasse essas restrições:
a. 17 = 177, mas é falso concluir que 7 = 77. Apesar de termos 
potências iguais com bases iguais, os expoentes nesse caso 
não são iguais.
b. 05 = 06, mas é falso concluir que 5 = 6.
c. (– 1)2 = (– 1)4, mas é falso concluir que 2 = 4.
4. Inequações exponenciais
Assim como nas equações exponenciais, inicialmente se deve 
tentar escrever os dois lados da inequação como potências de 
mesma base. Entretanto, dois casos devem ser considerados, da 
mesma forma que foi feito com os gráficos:
• Se a > 1, a função é crescente e, portanto, deve-se manter o 
sinal da desigualdade. A potência maior, nesse caso, é a que 
possui expoente maior.
Ex.: 2x ≤ 24 → x ≤ 4.
• Se 0 < a < 1, a função é decrescente e o sinal da desigualdade 
deve ser invertido. A potência maior, nesse caso, é a que tem 
expoente menor.
Ex.: (1/2)x ≤ (1/2)4 → x ≥ 4.
Exercícios Resolvidos
01. Determine x tal que 2x = 8.
Solução:
2x = 8 → 2x = 23 → x = 3.
02. Determine a solução da equação (43 – x)5 – x = 1.
Solução:
(43 – x)5 – x = 1
4(3 – x)(5 – x) = 40
(3 – x)(5 – x) = 0
x = 3 ou x = 5.
03. Resolva a equação 5x + 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 3 = 780.
Solução:
5x + 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 3 = 780
5x +5x · 5+ 5x · 52 + 5x · 53 = 780
5x(1 + 5 + 52 + 53) = 780
5x(1 + 5 + 25 + 125) = 780
5x · 156 = 780
5x = 5
x = 1.
04. Determine x tal que 32x – 4 · 3x + 3 = 0.
Solução: x = 0 ou x = 1.
Seja y = 3x. Assim, y2 = (3x)2 = 32x.
y2 – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 ou y = 3 
I. y = 1 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 0.
II. y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
Obs.: Ao se fazer a substituição y = 3x, não serão admitidas raízes 
negativas, pois nunca se tem 3x < 0.
05. Resolva a inequação 
1
9
1
27
3 1





 <






− +x x
.
Solução: 
Primeiramente, deve-se observar que ambos os membros podem 
ser escritos como potências de mesma base:
1
3
1
3
1
3
1
3
2 3 3 1 2 6









 <









 ⇒





 <

− + −x x x





+3 3x
Como a base é menor do que 1, o sinal da desigualdade muda:
2x – 6 > 3x + 3 ⇒ – x > 9 ⇒ x < – 9.
Obs.: 
 No início do problema, poderíamos ter usado que 
1
9
3
1
27
32 3= =− −e
.
06. A automedicação é considerada um risco, pois a utilização 
desnecessária ou equivocada de um medicamento pode 
comprometer a saúde do usuário. Substâncias ingeridas 
difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito 
benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado 
medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a 
concentração (y) de cer ta substância em seus organismos 
alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a 
expressão y = y0 · 2 
– 0,5t, em que y0 é a concentração inicial e t é 
o tempo em horas.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da 
substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: 
(A) 1
4
de hora. (D) 2 horas.
(B) meia hora. (E) 4 horas. 
(C) 1 hora.
Matemática I – Módulo 21
354 Vol. 4
Solução: Letra E.
Para saber após quanto tempo a concentração tornou-se a quarta 
parte da inicial, basta fazer y
y
= 0
4
 na equação dada:
y
y t t0 0
0 5 0 5 2
4
2 2
1
4
2= ⋅ ⇒ = =− − −, , .
Igualando os expoentes:
– 0,5t = – 2 ⇒ t = 4 h. 
Exercícios de Fixação
01. Seja f :  → + a função definida por f(x) = 2x. Na figura a 
seguir está representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um 
trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e 
C estão sobre o gráfico de f.
10
B
A
C
D
–1 2 3
y
x
y = f(x) = 2x
A medida da área do trapézio ABCD é igual a: 
(A) 2. (D) 4.
(B) 8
3
. (E) 6.
(C) 3.
02. Considere a função f tal que f x k
x
( ) = + 





−
5
4
2 1
com k > 0.
Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que pode 
representar a função f: 
(A) 
x
y
0
(B) 
x
y
0
(C) 
x
y
0
(D) 
x
y
0
(E) 
x
y
0
03. O valor de y no sistema 
( , )
( , )
0 2 5
0 5 2
5
2
x y
x y
+
−
=
=




 é igual a: 
(A) 
− 5
2
. (D) 3
5
.
(B) 2
7
. (E) 3
7
.
(C) 
− 2
5
.
04. Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que 
definem uma relação de igualdade. Dessa forma, dadas as funções 
f x
x
( ) =
( )−
1
9 1
e h(x) = 3x+1, para que seus gráficos tenham um ponto 
em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens 
desse valor, pelas duas funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:
(A) (1, – 1). (D) 
1
3
4
3
,




 .
(B) (– 1, 1). (E) 
1
3
3 33,





(C) (3, 81).
05. Sobre a função real definida por f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, 
afirma-se, corretamente, que: 
(A) é decrescente para a > 1.
(B) é crescente para 0 < a < 1.
(C) assume somente valores positivos.
(D) assume valores positivos somente para x > 0.
Função exponencial
3551a Série
Exercícios Contextualizados
04. A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório 
de biologia construiu o gráfico a seguir a par tir dos dados 
obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de 
micro-organismos. 
10
0 2 t
20
N
Analisando
o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura 
crescia segundo o modelo matemático, N = k · 2at com t em horas 
e N em milhares de micro-organismos. 
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo 
bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com 
t = 4 horas e t = 8 horas. 
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse 
período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade 
de micro-organismos de: 
(A) 80.000. (C) 40.000.
(B) 160.000. (D) 120.000.
05. O Saccharomyces cerevisiae é um fungo com bastante 
importância econômica. É utilizado como fermento para a massa 
de pão, produzindo dióxido de carbono e fazendo a massa crescer. 
É também utilizado na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, 
pois converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condições 
de cultura, esse fungo cresce exponencialmente, de forma que a 
quantidade presente em um instante t dobra a cada 1,5 hora. Nessas 
condições, se colocarmos uma quantidade q0 desse fungo em um 
meio de cultura, a quantidade q(t) existente do fungo, decorridas t 
horas com t ∈ [0, ∞), pode ser calculada pela função: 
(A) q(t) = q0 4
3t.
(B) q t t q q( ) = +4
9
2
0 0 .
(C) q t q( ) = 





3
2 0
2
.
(D) q t q
t
( ) = 




0
2
3
2
.
(E) q t q
t( ) = 43 0 .
01. A revista Pesquisa Fapesp, na edição de novembro de 2012, 
publicou o artigo intitulado “Conhecimento Livre”, que trata dos 
repositórios de artigos científicos disponibilizados gratuitamente aos 
interessados, por meio eletrônico. Nesse artigo, há um gráfico que 
mostra o crescimento do número dos repositórios institucionais no 
mundo, entre os anos de 1991 e 2011.
O crescimento dos repositórios
Bases de dados institucionais no mundo
2.500
2.000
1.500
1.000
500
0
1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011
Observando o gráfico, pode-se afirmar que, no período analisado, 
o crescimento do número de repositórios institucionais no mundo 
foi, aproximadamente: 
(A) exponencial. (D) senoidal.
(B) linear. (E) nulo.
(C) logarítmico.
02. Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, 
somente quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um 
de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que 
a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em 
função do tempo t, em minutos, pela expressão T = 160 · 2– 0,8 · t + 25. 
Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço 
dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar?
(A) 0,25 minuto. (D) 6,63 minutos.
(B) 0,68 minuto. (E) 10,0 minutos.
(C) 2,5 minutos.
03. Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de 
defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre 
a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela 
expressão N(t) = N0 · 2
kt, sendo N0 a população no início do 
tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma 
constante que descreve a eficácia do produto. Dados de campo 
mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia 
sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com esses 
dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia 
desse produto é igual a: 
(A) 5–1. (D) 10–1.
(B) – 5–1. (E) – 10–1.
(C) 10.
Matemática I – Módulo 21
356 Vol. 4
Exercícios de Aprofundamento
01. Das alternativas a seguir, a que melhor corresponde ao gráfico 
da função f(x) = 1 – 2–|x| é:
(A) 
 
1
x
y
–1
(B) 
1
x
y
(C) 
1
x
y
(D) 
1
x
y
(E) 
1
2
x
y
02. Seja f(x) = a + 2bx +c, em que a, b e c são números reais. A 
imagem de f é a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico de f intercepta os 
eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, – 3/4). Então, o produto 
abc vale: 
(A) 4. (D) –2.
(B) 2. (E) –4.
(C) 0.
Rascunho
Matemática II
Módulo
 17
3571a Série
Funções trigonométricas
é periódica, com período 2p (o gráfico da função irá repetir de 2p 
em 2p). Veja a seguir o gráfico de cos x:
–6 –5 –4 –3 –2
–2
–1
–1
1
1 A
B
2
2
3
3p/2–3p/2 p/2–p/2 p–p
4 5 60
0
Obs. 1: A função acos(bx + c) tem período 
2≠
b
p
 e varia de –|a| 
até |a|.
Obs. 2: As raízes de cosx (interseção do gráfico com o eixo das 
abscissas) são os pontos da forma 2 1
2
k +( )pi, k ∈ .
Ex.: A função ƒ(x) = 3cos − +




5
5
3
x
pi + 4 apresenta valor máximo 
igual a 3 + 4 = 7, valor mínimo igual a –3 + 4 = 1 e possui 
período 
2
5
2
5
pi pi
−
= .
3. Função tangente
Vimos, a partir do círculo trigonométrico, como definir para cada 
x ≠ 
2 1
2
k +( )pi
, k ∈ , tanx. Fica, portanto, definida uma função 
tan:  – 
( )
,
2 1
2
k
k
+
∈




pi
 → . Vimos que tan(x + p) = tan x 
para todo x real para o qual as tangentes estejam definidas. 
1. Função seno
Vimos, a partir do círculo trigonométrico, como definir para cada 
x real sen x. Como –1 ≤ sen x ≤ 1, fica, portanto definida uma função 
sen:  → [–1, 1]. Vimos que sen(x + 2p) = senx para todo x real 
(pois x + 2p e x são côngruos). Isso significa que a função sen é 
periódica, com período 2p (o gráfico da função vai repetir de 2p 
em 2p). Veja abaixo o gráfico de sen x:
–6 –5 –4 –3 –2
–2
–1
–1
1
1 A
B
2
2
3
3p/2–3p/2 p/2–p/2 p–p
4 5 60
0
Obs. 1: A função asen(bx + c) tem período 
2≠
b
p
 e varia de –|a| 
até |a|.
Obs. 2: As raízes de senx (interseção do gráfico com o eixo das 
abscissas) são os pontos da forma kp, k ∈ .
Ex.: A função ƒ(x) = 2sen 3
5
3
x +





pi apresenta valor máximo igual 
a 2, valor mínimo igual a –2 e possui período 2
3
≠p.
2. Função cosseno
Vimos, a partir do círculo trigonométrico, como definir para cada 
x real cosx. Como –1 ≤ cos x ≤ 1, fica, portanto, definida uma função 
cos:  → [–1, 1]. Vimos que cos(x + 2p) = cosx para todo x real 
(pois x + 2p e x são côngruos). Isso significa que a função cos 
Você saberia dizer quando é a próxima maré 
cheia?
As marés, variação do nível das águas do oceano, 
ocorrem basicamente por causa da ação da gravidade 
da Lua e do Sol sobre os mares da Terra. Quando 
temos lua nova ou lua cheia, ocorrem as marés mais 
altas. Quando temos lua crescente ou minguante, 
ocorre as marés mortas, com pouca variação.
No entanto, o que poucas pessoas sabem é que a 
altura das marés pode ser determinada usando apenas 
os senos. De fato, para um período determinado, 
o nível do mar (tomando como referência a média 
do período) é dado aproximadamente pela fórmula 
A(t) = 4 sen(30t + 45), com t em horas, A em metros 
e o seno do ângulo medido em graus.
Neste módulo, vamos aprender as funções que conseguem descrever tanto as marés quanto qualquer 
movimento periódico: as chamadas funções trigonométricas.
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4
Matemática II – Módulo 17
358 Vol. 4
Isso significa que a função tan é periódica, com período p (o gráfico 
da função vai repetir de p em p). Veja a seguir o gráfico de tanx:
–5
–4
–4–5–6–7
–3
–3
–2
–2
–1
–1
1
1
A
B
2
2
3
3
3p/2–3p/2 p/2–p/2 p–p
4
4 5 6 7
5
6
0
0
As linhas pontilhadas em vermelho indicam que o gráfico não 
está definido nos pontos da forma 
2 1
2
k +( )pi
, k ∈ .
Obs. 1: A função atan(bx + c) tem período 
≠
b
p
 e assume qualquer 
valor real.
Obs. 2: As raízes de tanx (interseção do gráfico com o eixo das 
abscissas) são os pontos da forma kp, k ∈ .
Ex.: A função ƒ(x) = tan
2
3 3
x
+





pi
 possui período 
pi pi
2
3
3
2
= .
Você já deve ter se perguntando como lidaria com funções da 
forma a senx+b cosx. Um exemplo de função desta forma
que é 
visto com bastante frequência é a função ƒ(x) = senx + cosx. 
Caso fôssemos indagados sobre valores máximo e mínimo e 
período desta função, como procederíamos?
A ideia aqui é a seguinte:
Colocaremos 2 em evidência, escrevendo:
ƒ(x) = 2 2
2
2
2
sen cosx x⋅ + ⋅





.
Veja agora que sen cospi pi
4 4
2
2
= = e então:
ƒ(x) = 2
4 4
sen cos sen cosx x
pi pi
+




 .
Lembrando a fórmula sen(a + b) = senacosb + senbcosa, 
podemos escrever ƒ(x) = 2
4
sen x +





pi
. Dessa forma, ƒ varia 
de − 2 até 2 e tem período 2p.
No caso geral, asenx + bcosx, coloque sempre a b2 2+ 
em evidência. Tente isso no caso particular da função 3senx 
+ cosx.
Exercícios Resolvidos
01. O número de interseções da função ƒ(x) = sen 5x com o eixo 
das abscissas no intervalo [–2p, 2p] é:
(A) 10. (D) 24.
(B) 14. (E) 27.
(C) 21.
Solução: Letra C.
Devemos ter sen5x = 0. Para isso, 5x deve ser um número da forma kp, 
k ∈ . Logo, x = 
k≠
5
p
. Como devemos ter –2p < x < 2p, segue 
que –10 < k < 10. Como k é inteiro, há 21 possíveis valores para 
k e, consequentemente, há 21 possíveis valores para x.
02. Determine o maior valor que o número real 
10
2
3
−
sen x pode 
assumir.
Solução:
Para que 
10
2
3
−
sen x seja máximo, 2 – 
sen x
3
 deve ser mínimo e, desta 
forma, sen x
3
 deve ser máximo. Logo, senx deve ser máximo. Como 
–1 < senx < 1, devemos ter senx = 1 e o valor máximo será:
10
2
1
3
30
5−
= = 6.
Funções trigonométricas
3591a Série 
Exercícios de Fixação
01. Determine as raízes e o período das seguintes funções 
trigonométricas:
a. sen 2
3
x +





pi .
b. cos 5
7
6
x −





pi
.
c. tan − +





3 4
x
pi
.
02. Determine os valores máximo e mínimo das seguintes funções 
trigonométricas:
a. 7 2
3
4sen x +




 −
pi
.
b. 5 5 7
6
3cos x −




 +
pi .
c. – 4cos(3x) + 9.
d. – 8sen(6x) + 10.
03. Se ƒ:  →  é a função definida por ƒ(x) = 2senx + 1, determine 
o produto do maior valor que ƒ assume pelo menor valor que ƒ 
assume.
04. Sendo ƒ(x) = – 4cos
pi
2
−




x + 2cosx, determine ƒ −






7
4
pi
.
05. Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma 
trajetória retilínea por x metros, é necessário aplicar uma força de 
20 + 10 sen(x) newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo [0,3], está representada 
a relação entre a força aplicada e a distância, quando o objeto é 
deslocado até 3 metros?
(A) 
40
30
20
10
3p/2 2pp/2 p
x (metros)
F (Newtons)
(B) 
40
30
20
10
3p/2 2pp/2 p
x (metros)
F (newtons)
(C) 
40
30
20
10
3p/2 2pp/2 p
x (metros)
F (newtons)
(D) 
40
30
20
10
3p/2 2pp/2 p
x (metros)
F (newtons)
(E) 
40
30
20
10
3p/2 2pp/2 p
x (metros)
F (newtons)
Exercícios Contextualizados
01. Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o 
“vestir-se bem” quanto o “ser bela”, definindo desse modo padrões 
de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação pélvica do andar 
feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, 
em passos de igual amplitude. Esse movimento oscilatório do andar 
feminino pode ser avaliado a partir da variação do ângulo q, ao 
caminhar uniformemente no decorrer do tempo (t).
Um modelo matemático que pode representar esse movimento 
oscilatório do andar feminino é dado por: θ
pi pi
t t( ) = 




10
4
3
cos . 
Nessas condições, o valor de θ 3
2





 é:
(A) 
≠
8
p
. (D) ≠
18
p .
(B) ≠
10
p . (E) ≠
20
p .
(C) ≠
12
p
.
Matemática II – Módulo 17
360 Vol. 4
02. O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo 
dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) 
do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão 
h t
t( ) = 




 +4sen
2
5
4.
pi
0 0,
a. Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge.
b. Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando 
durante um minuto?
03. Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos 
veículos causam graves problemas a toda população. Durante o 
inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, 
favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha 
que a função N x x( ) = − −( )





180 54
6
1cos
pi
 represente o número 
de pessoas com doenças respiratórias registrado em um centro 
de saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, 
x = 2 ao mês de fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias 
registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a:
(A) 693.
(B) 720.
(C) 747.
(D) 774.
(E) 936.
04. A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma 
função y A B x= + 




sen 4
, que é muito útil quando se estudam 
fenômenos periódicos, como o movimento de uma mola vibrante. 
Então, o produto das constantes A e B é:
5 10 15 20 25
x
y
5
4
3
2
1
0
– 1
– 2
(A) 6. (D) 18.
(B) 10. (E) 50.
(C) 12.
05. Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e 
renova todo mês seu estoque de violas em 60 unidades. A função 
que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é 
f x
x
( ) cos= 




 +





30 30
1
pi , sendo que x é o dia do mês (considerando 
o mês comercial de 30 dias) e ƒ(x) é o estoque ao final do dia x. 
Nos termos apresentados, é correto afirmar que:
(A) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido.
(B) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês.
(C) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi vendido.
(D) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de 
violas.
(E) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade 
do estoque do dia anterior.
06. A previsão mensal da venda de sorvetes para 2012, em uma 
sorveteria, é dada por P x
x
= + + 




6 000 50 2 000 6
. . cos
pi
, em que P é o 
número de unidades vendidas no mês x; x = 0 representa janeiro de 
2012, x = 1 representa fevereiro de 2012, x = 2 representa março 
de 2012 e assim por diante. Se essas previsões se verificarem, 
em julho haverá uma queda na quantidade vendida, em relação a 
março, de aproximadamente:
(A) 39,5%.
(B) 38,5%.
(C) 37,5%.
(D) 36,5%.
(E) 35,5%.
Funções trigonométricas
3611a Série 
07. Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em 
graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função 
F t t( ) cos= − 




21 4 12
pi , sendo t o tempo em horas medido a partir das 
6 horas da manhã.
a. Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
b. A que horas do dia a temperatura atingirá 23°C?
08. Um determinado inseto no período de reprodução emite 
sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 20 
decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo em 
segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa 
a variação da intensidade sonora com o tempo I(t) é:
(A) 50 10
6
− 




cos .
pi
t (C) 40 20
6
+ 




cos .
pi
t
(B) 30 10
6
+ 




cos .
pi
t (D) 60 20
6
− 




cos .
pi
t
09. Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura 
das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu 
que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo 
não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A t t( ) , ,= − 




16 14 6
 sen
pi .
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, 
a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que 
a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico: 
(A) 
0
0,2
1,6
3
3 6 9 12 t(h)
A(m)
(B) 
0
0,2
1,6
3
3 6 9 12 t(h)
A(m)
(C) 
0
0,2
1,6
3
3 6 9 12 t(h)
A(m)
(D) 
0
0,2
1,6
3
3 6 9 12 t(h)
A(m)
(E) 
0
0,2
1,6
3
3 6 9 12 t(h)
A(m)
10. O início da década de 80 foi marcado por um estilo que ficou 
conhecido como new wave. Um grande sucesso dessa época foi 
a música Safety Dance, do grupo canadense Men Without Hats. 
No videoclipe da música, ambientado num cenário medieval, um 
casal dança ao som da música e, no refrão “Oh well the safety 
dance, ah yes the safety dance”, forma com os braços a letra 
“S”, inicial de Safety. Essa representação ficou sendo a marca 
registrada do sucesso alcançado. Alguns programas e séries da TV 
atual apresentaram a sua versão para o Safety dance. Nas figuras 
a seguir, estão representadas a versão original, a versão da série 
animada Uma Família da Pesada e a versão da série Glee.
Disponível em: <www.youtube.com>.
Matemática II – Módulo 17
362 Vol. 4
Considere que o programa de computador que gerou as imagens 
da série Uma Família da Pesada tenha utilizado o gráfico de uma 
senoide u(t) = A sen(ωt) para o posicionamento dos braços do 
personagem, como mostra a figura a seguir.
3
t
–3
–4 4
U
Afirma-se, então:
I. a amplitude é A = 4;
II. o período da função u(t) é 3;
III. a frequência angular é ω = p.
Está(ão) correta(s):
(A) apenas I.
(B) apenas II.
(C) apenas I e III.
(D) apenas II e III.
(E) I, II e III.
Exercícios de Aprofundamento
01. Seja ƒ uma função que tem como domínio o conjunto dos 
números reais e é dada por ƒ(x) = a · sen(ω · x + b), com a, ω e 
b constantes reais. A figura a seguir ilustra o gráfico de ƒ, restrito 
ao intervalo fechado −




pi pi
6
5
6
, . A função ƒ tem período p e seu 
conjunto imagem é o intervalo fechado [– 5, 5].
x
y
5
–5
5p
6
p
6
–
Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique 
a2 + ω2 + 3b/p.
02. Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo 
que a altura da onda varie com o tempo, de acordo com o modelo 
f x
x x x( ) = +
















3 sen
2 4
sen
4
sen
2
pi pi pi pi
, em que y = ƒ(x) é a altura 
da onda, em metros, e x, o tempo, em minutos.
Dentre as alternativas que seguem, assinale a única cuja conclusão 
não condiz com o modelo proposto:
(A) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros.
(B) Entre o momento de detecção de uma crista (altura máxima 
de uma onda) e o de outra seguinte, passam-se 2 minutos.
(C) De 0 a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.
(D) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150, ... segundos 
são sempre iguais.
Rascunho
Matemática II
Módulo
 18
3631a Série
Exercícios de funções trigonométricas
04. 
0 2 4 6 8 10 12 t(mês)
Q
120
20
O gráfico mostra a quantidade de animais que certa área de 
pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. Propõe-se a 
função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. 
De acordo com os dados, Q (0) é igual a:
(A) 100. (D) 92.
(B) 97. (E) 90.
(C) 95. 
05. A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2016, em 
toneladas de um produto, é dada por f x x sen x( ) = + +100 0 5 3
6
,
pi , em 
que x = 1 corresponde a janeiro de 2016, x = 2 corresponde a 
fevereiro de 2016 e assim por diante.
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 
2016 é:
(Use a aproximação decimal 3 17= , )
(A) 308,55. (D) 310,05.
(B) 309,05. (E) 310,55.
(C) 309,55. 
06. Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, 
em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto causou 
ondas de até 3 metros. A maré alta neste local ocorreu à meia-noite.
Suponha que o nível de água na maré alta era de 3 metros; mais 
tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta 
seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma 
curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde 
à fórmula para o nível da água na região em função do tempo? 
(A) 1,515 + 1,485.cos pi
6
t




 (D) 1,485.sen
pi
6
t





(B) 1,515 + 1,485.sen pi
6
t




 (E) 1,485 + 1,515.cos(pt)
(C) 1,485.cos pi
6
t





Exercícios de Fixação
01. Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são 
estudados nos cursos da Faculdade de Engenharia. Sob certas 
condições, a função y = 10sen(4x) descreve o movimento de 
uma mola, em que y (medido em cm) representa o deslocamento 
da massa a par tir da posição de equilíbrio no instante t (em 
segundos). Assim, o período e a amplitude desse movimento valem, 
respectivamente:
(A) ≠
2
s
p ; 10 cm. (D) ≠
4
s
p ; 20 cm.
(B) ≠
2
s
p ; 20 cm. (E) ≠
2
s
p ; 20 cm.
(C) ≠
4
s
p ; 10 cm.
02. Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2pt) descreve 
de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de 
mercúrio, de certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t 
representa o tempo, em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros acima e abaixo dos 100 
milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da 
pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 
segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante 
o teste.
a. Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 
0,75 s.
b. Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão 
sanguínea atingiu seu mínimo? 
03. Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em 
certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma 
equipe de agrônomos um estudo sobre as potencialidades do solo 
dessa região. Na análise da temperatura do solo, a equipe efetuou 
medições diárias, durante 4 dias consecutivos, em intervalos de 
uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do 
primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a temperatura T, 
medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de 
horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se 
através da expressão: T t t( ) = + +




26 5 12
4
3
cos .
pi pi
Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas.
( ) A temperatura do solo às 6 horas da manhã do primeiro dia foi 
de 23,5°C. 
( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h. 
( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30°C. 
( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, 
às 14 h. 
( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8]. 
Matemática II – Módulo 18
364 Vol. 4
07. Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, 
durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função 
f t t( ) , ,= − 




18 8 13
2
365
sen
pi ,
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1o de janeiro. Com 
base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:
I. o período da função acima é 2p.
II. foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais 
cedo.
III. o horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30.
Assinale a alternativa correta. 
(A) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
(B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
(C) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
(D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
08. Um triângulo isósceles tem seus lados congruentes com
medida igual a 5. Determine a medida do ângulo da base para o 
qual a área do referido triângulo é máxima.
09. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido 
sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. 
Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o 
satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha 
que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por: 
r t
t
( ) =
+ ( )
5865
1 0 15 0 06, .cos ,
.
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o 
seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a 
soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:
(A) 12.765 km.
(B) 12.000 km.
(C) 11.730 km.
(D) 10.965 km.
(E) 5.865 km.
10. Se 0 ≤ α ≤ p, 0
2
≤ ≤β
pi e sen α + cos β = 2, então sen (α 
+ β) é igual a: 
(A) sen pi
3





 .
(B) sen
3
3
pi




 .
(C) cos
2
3
pi




 .
(D) tg pi
6





 .
(E) tg pi
4





 .
Rascunho
Matemática II
Módulo
 19
3651a Série 
Sequências e progressões aritméticas
1. Sequências
Uma sequência pode ser pensada como uma lista ordenada 
de números. Cada um deles ocupará uma posição: o elemento da 
primeira posição será a1, o elemento da segunda posição será a2 
e assim por diante até que o elemento da i-ésima posição será ai.
Ex.:
I. (1, 2, 3, 4, 5, 6...) – a sequência dos números naturais. Aqui, 
tem-se que ai = i (o termo na i-ésima posição é igual a i).
II. (2, 4, 6, 8, 10, 12,...) – a sequência dos números pares. Aqui, 
tem-se que ai = 2i.
III. (1, 3, 7, 15, 31, 63,...) – a sequência dos números que são da 
forma 2i – 1. Aqui, tem-se que ai = 2
i – 1.
IV. (1, 5, 9, 13, 17,...) – sequência cuja diferença entre dois termos 
consecutivos é constante.
V. (2, 6, 18, 54, 162,...) – sequência cuja razão entre dois termos 
consecutivos é constante.
2. Progressões aritméticas (P.A.)
2.1 Definição
Aqui, interessam sequências como a do exemplo IV. Uma 
sequência a1, a2, a3,..., an é dita uma progressão aritmética 
(PA) quando a diferença entre dois termos consecutivos é 
uma constante. Matematicamente, a1, a2, a3,..., an é uma PA se 
ai+1 – ai = r, para todo i inteiro positivo. Tal número r é dito razão 
da PA.
Ex.: (1, 4, 7, 10, 13) é uma PA de 5 termos cuja razão é 
3 = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 .
2.2 Classificação
I. Crescente: uma PA é dita crescente se cada termo é maior que 
o anterior, ou seja, se a razão r é positiva.
Ex.: (1, 4, 7, 10, 13) é uma PA crescente, pois sua razão é 3.
II. Decrescente: uma PA é dita decrescente se cada termo é menor 
que o anterior, ou seja, se a razão r é negativa.
 Ex.: (0, – 2, – 4, – 6, – 8) é uma PA decrescente, pois sua razão 
é – 2.
III. Constante (estacionária): uma PA é dita constante (estacionária) 
se cada termo é igual ao anterior, ou seja, se a razão r é nula.
 Ex.: (2, 2, 2, 2, 2) é uma PA constante (estacionária), pois sua 
razão é 0.
2.3 Formas úteis de se escrever uma P.A.
I. 3 termos: (x – r, x, x + r) ou (x, x + r, x + 2r) (a primeira tem 
a vantagem de explorar a simetria).
II. 4 termos: x
r
x
r
x
r
x
r
− − + +





3
2 2 2
3
2
, , , ou (x, x + r, x + 2r, x 
+ 3r)(a primeira tem a vantagem de explorar a simetria).
III. 5 termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)ou (x, x + r, x + 2r, 
x + 3r, x + 4r) (a primeira tem a vantagem de explorar a 
simetria).
2.4 Termo geral
É possível determinar cada termo de uma PA com base 
em outro termo previamente conhecido e na razão. Observe as 
seguintes relações:
an = a1 + (n – 1)r 
an = ap + (n – p)r
Você sabe como correm os maratonistas?
A maratona, modalidade de corrida com 42.195 
metros, é uma das provas mais icônicas das Olimpíadas. 
Sua história remonta à Grécia Antiga, e é tradicionalmente 
a última prova dos Jogos Olímpicos a ser realizada.
Para fazer uma boa maratona, é fundamental 
manter uma velocidade constante ao longo da prova. 
De fato, o queniano Wilson Kipsang, detentor do 
recorde mundial, praticamente não alterou seu ritmo 
ao longo do percurso. Sua velocidade se manteve em 
20,5 km/h, e isso nos permite achar exatamente sua 
posição em cada período da prova.
Na matemática, a todas as séries de números 
que crescem de forma constante, como as distâncias 
percorridas por Kipsang durante a prova, chamamos progressões aritméticas. Vamos aprender mais delas neste módulo.
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Matemática II – Módulo 19
366 Vol. 4
Estas duas relações são bastante intuitivas: basta pensar que 
a cada posição que se anda na sequência, soma-se r aos termos. 
Para a primeira relação, veja que como de a1 para an, andam-se 
n – 1 posições, deve-se somar r · n – 1 vezes, ou seja, (n – 1)r. 
Da mesma forma, para entender a segunda relação, basta ver que 
de ap para an, andamos n – p posições.
Ex.: Calcular o décimo oitavo de uma PA, conhecendo-se a razão 
3 e o quinto termo igual a 7.
Solução: Sendo (an) a PA citada, tem-se que a5 = 7, r = 3 e 
deseja-se calcular a18. Como a18 = a5 (18 – 5)r, segue que a18 = 
7 + 13 · 3 = 46.
2.5 Interpolação aritmética
Interpolar, inserir, ou intercalar k meios aritméticos entre os 
números a e b significa obter uma PA a1, a2,..., ak+1, ak+2, em que 
a1 = a e ak+2 = b.
Ex.: Interpole 4 meios aritméticos entre os números 3 e 18.
Solução: Quer-se uma PA a1, a2, a3, a4, a5, a6 de forma que a1 = 3 
e a6 = 18. Tem-se que a6 = a1 + (6 – 1)r ⇒ 18 = 3 + 5r ⇒ r = 
3. Logo, os 4 meios aritméticos são 6, 9, 12, 15.
2.6 Média dos termos adjacentes
Dados três termos consecutivos a, b, c de uma PA, vale que 
b
a c
=
+
2
.
2.7 Soma dos termos
Há uma história curiosa envolvendo o grande matemático Carl 
Friedrich Gauss (1777-1855) e a soma dos termos de uma PA.
Aos 10 anos de idade, Gauss frequentava uma escola local 
onde vivia e havia um professor bastante exigente. Certo dia, para 
acalmar a turma, esse professor pediu que seus alunos calculassem 
a soma dos números naturais de 1 até 100. De imediato, Gauss 
apresentou a resposta “5.050” com poucos cálculos. O professor 
então ficou incrédulo com a genialidade do pequeno menino.
O método utilizado por Gauss foi o seguinte:
Escreva S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100. Escrevendo 
agora a soma na ordem contrária, tem-se que S = 100 + 99 + 98 + 
... + 3 + 2 + 1. Somando as duas últimas expressões, tem-se que 
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (98 + 3) + (99 + 
2) + (100 + 1) e, portanto, 2 101 101 101 101 101 101
100
S = + + + + + +…� ���������������� �����
vezes
������������ . 
Logo, 2S = 101 · 100 ⇒ D = 5.050.
Repetindo o procedimento feito por Gauss, tem-se que a soma 
dos termos de uma PA (a1, a2, ..., an) é 
a a nn1
2
+( ) .
A progressão aritmética 7, 157, 307, 457, 607, 757, 
907 de razão 150 e 7 termos é uma progressão aritmética 
composta somente por números primos. Um problema que 
intrigou os matemáticos durante muito tempo foi o seguinte: 
dada qualquer quantidade de termos, existe uma PA com tal 
quantidade de termos, não constante, formada apenas por 
números primos? É um exercício relativamente interessante 
provar que não existe uma PA infinita formada somente por 
números primos. Entretanto, o problema aqui apresentado 
ficou sem solução por muito tempo, até que dois matemáticos 
(Terence Tao e Ben Green) solucionaram tal problema em 
2004, que ficou conhecido como o teorema de Green-Tao. Tal 
teorema e muitos outros resultados relevantes levaram Terence 
Tao a ganhar a famosa Medalha Fields, o maior prêmio que 
um matemático pode receber em sua carreira (seria como o 
prêmio Nobel da Matemática).