Aula 1Matemática e Estatistica

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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
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AULA 01 
 Olá, amigos! 
 É com uma imensurável alegria que os acolho a todos neste novo projeto! 
 Damos hoje início a uma caminhada de dez encontros. Meu desejo mais sincero é 
que possamos sair deste curso com muito mais segurança e conhecimento nestas 
matérias de Matemática Financeira e Estatística Básica! 
 E creio realmente que alcançaremos esse objetivo! 
 De minha parte, estejam certos do meu esforço. Nesta segunda edição do Curso, 
revisarei os textos da primeira turma, procurando sempre corrigir eventuais falhas e 
aperfeiçoar a didática. 
 O momento, sem dúvida alguma, é propício a revisões e à manutenção da teoria 
já aprendida! Quem espera, além de revisar, aprender algo de novo, por certo não se 
decepcionará, haja vista que as resoluções deste Curso vêm constantemente 
acompanhadas de minuciosas explicações! No mais, só lhes desejo a todos muita 
disposição, muito ânimo, muita coragem e persistência. No fundo, é quase toda 
essa a receita do sucesso nos concursos e na vida! 
 Nosso curso funciona, conforme já é do conhecimento de vocês, da seguinte 
forma: na primeira parte da aula eu apresento as questões do dia, as quais você 
deverá tentar resolver sozinho, sem qualquer consulta; na segunda parte, apresento 
as respectivas resoluções! Convém, de verdade, que você só veja a segunda parte 
depois de tentar resolver todo o simulado. 
 E outra coisa importante: quando for começar as resoluções, tente fazê-lo em um 
horário propício, em que você saiba que não será interrompido! Tente fazer de conta 
que você está resolvendo a prova! Certo? E não esqueça de marcar o tempo de 
resolução! Isso é fundamental, para que você possa ter uma idéia da sua evolução ao 
longo das aulas. 
 Bem! Acho que são essas as recomendações devidas. Na seqüência, a primeira 
parte da aula, com as questões do nosso simulado de hoje! Marque o tempo, respire 
fundo, e pode começar a resolver! 
 
 
QUESTÕES 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
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9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
 
 
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54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, 
respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
a) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
c) 7 meses 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 
b) R$ 800,00 e) R$ 600,00 
c) R$ 500,00 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem docapital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
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29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
 
39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
77. (Contador Recife/2003) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% 
ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial? 
a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio 
b) 4 meses e) 4meses e 20 dias 
c) 4 meses e 10 dias 
 
80. (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de 
descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 
dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por 
dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por 
fora e por dentro, foi de $635,50 , o valor nominal do título era de: 
a) $ 6.510,00 c) $ 6.590,00 e) $ 6.240,00 
b) $ 6.430,00 d) $ 5.970,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2ª ETAPA) Resolução das Questões: 
 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências. Esta é a principal maneira 
de os dados de uma pesquisa virem apresentados em uma questão de concurso. É 
imprescindível que conheçamos bem a Distribuição de Freqüências e saibamos trabalhar 
com ela. Neste nosso exemplo, temos duas colunas: a coluna das classes, que traz para 
nós intervalos de salários, em milhares de reais (conforme dito acima da tabela)! 
 Se esses salários estão em milhares de reais, onde há na primeira classe (3 ; 6] 
nós vamos entender (3.000 a 6.000). Certo? 
 A segunda coluna é uma de freqüências acumuladas, conforme também dito 
pelo enunciado! Ora, existem quatro tipos de freqüências acumuladas: freqüência 
absoluta acumulada crescente (fac); freqüência absoluta acumulada decrescente (fad); 
freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e freqüência relativa acumulada 
decrescente (Fad). Não se pode começar a resolver uma questão destas, sem antes ter 
certeza de qual das colunas de freqüências foi fornecida. 
 Como diferenciar uma coluna absoluta de uma relativa? A absoluta apresenta 
números de elementos; enquanto que a relativa apresenta percentuais de 
elementos. Daí, para que uma coluna de freqüência seja relativa, deverá ou dizer isso 
expressamente no enunciado, ou trazer um sinal de % no cabeçalho da coluna, ou 
trazer um sinal de % após cada valor daquela coluna. Ou seja, precisamos de alguma 
destas pistas para sabermos que estamos diante de uma coluna de freqüência relativa. 
 Outra dica: se estamos bem lembrados, quando a coluna de freqüências é 
acumulada e é relativa, então ela ou começará ou terminará com 100%. Se terminar 
com 100%, será freqüência relativa acumulada crescente; se começar com 100%, será 
freqüência relativa acumulada decrescente. Não tem erro! 
 Olhando para o valor da freqüência da última classe dessa coluna, vemos que é 
68. Ora, jamais poderíamos estar diante de uma freqüência relativa acumulada! 
 Temos, portanto, uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes! 
Crescentes por quê? Porque seus valores são os seguintes: 12, 30, 50, 60, 65, 68. Ou 
seja, os valores estão crescendo. 
 Sabendo disso, já temos uma nova missão a ser cumprida, imediatamente: 
construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi). Por que isso? Porque a fi é a 
mais importante das colunas de freqüências. Seu conhecimento é fundamental para a 
resolução da grande maioria das questões que derivam de uma distribuição de 
freqüências. 
 
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A título de exemplo, precisaremos conhecer a fi para cálculo das seguintes 
medidas: média aritmética, moda, mediana, além de todas as medidas de dispersão (as 
quais, por sua vez, dependem do conhecimento da média), medidas de assimetria e 
medidas de curtose. Enfim, para quase tudo! 
 Para se chegar à fi, seguiremos o caminho das pedras, que é o seguinte: 
 
 Sentido de ida 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
Sentido de volta 
 
 
 Trabalharemos assim: para passar de uma freqüência simples para uma 
freqüência acumulada,... 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
…estaremos seguindo o sentido de ida do caminho das pedras, cujo 
procedimento será memorizado apenas como: somar com a diagonal. 
 
O sentido de volta consiste em passar de uma freqüência acumulada para uma 
freqüência simples. Da seguinte forma: 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
 
 O procedimento para, neste caso, chegarmos às freqüências simples é esse: 
próxima freqüência acumulada menos freqüência acumulada anterior. 
 
 Neste nosso exemplo, estaremos exatamente neste sentido de volta, passando da 
fac (freqüência absoluta acumulada crescente) para a fi (freqüência absoluta simples). 
Só relembrando: o apelido da fac é freqüência abaixo de. Podemos até colocar uma 
seta para baixo no cabeçalho da coluna fac. E no sentido da seta, ou seja, de cima para 
baixo, construiremos a fi. Na primeira classe, ambas as colunas têm o mesmo valor! 
Teremos: 
 
 
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Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 Para o restante da coluna fi, basta seguir o procedimento do sentido de volta do 
caminho das pedras. Teremos: 
 
Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50)(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
 
 Qual o significado da fi? Ela nos diz o número de elementos que pertencem à 
classe correspondente. Neste nosso caso, por exemplo, o valor 18, que é fi da segunda 
classe, indica que 18 empregados da empresa percebem entre R$6.000 e R$9.000, 
incluindo-se neste intervalo o limite inferior (R$6.000) e excluindo-se o limite superior 
(R$9.000). 
 Bem, a questão pergunta: quantas pessoas ganham menos de R$7.000? É isso o 
que se quer saber! 
 Ora, a primeira classe vai até salários de R$6000. Logo, os 12 empregados que 
participam desta classe estarão integralmente incluídos em nossa resposta! 
 Já na segunda classe, que abarca salários de R$6.000 a R$9.000, nem todos os 
18 empregados que ali estão participarão da resposta! Uma vez que queremos o 
número daqueles que ganham até R$7.000. 
 Conclusão: somente uma parte dos elementos da segunda classe integrará o 
resultado! Faremos uma regra de três simples, da seguinte forma: 
 
 Amplitude da classe inteira ------- fi da classe inteira 
 Amplitude da classe quebrada ---- X 
 
 Amplitude é sinônimo de tamanho. Já sabíamos disso! E classe quebrada, neste 
caso, é aquela que pega os salários de R$6.000 somente até R$7.000, que é o valor que 
nos interessa! Os limites dessa classe quebrada são, portanto, 6 a 7. 
 Esse X significará justamente o número de elementos da segunda classe que irá 
participar da resposta da questão. Daí, teremos: 
 
 3 ---- 18 
 1 ---- X 
 
 Daí: X = 18/3 Æ X=6 
 
 Abaixo de R$7.000, teremos então as 12 pessoas na primeira classe, e 6 pessoas 
apenas na segunda. Total: 18. 
 
 Se procurarmos esse valor entre as respostas, não a encontraremos! 
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 Será que erramos alguma coisa? Absolutamente! O problema é que foi dito pelo 
enunciado que essa distribuição de freqüências representa uma amostra de 10% da 
população. 
 Assim, qualquer resultado que encontremos com os valores da tabela (amostra), 
representará apenas 10% do resultado relativo à população. E o enunciado foi bem 
claro: pediu-nos um resultado populacional. 
 Ora, população é o todo. E o todo é 100%. 
 Para 10% se transformarem em 100%, temos que multiplicar por 10. 
 Daí, esse resultado amostral que encontramos (18) também terá que ser 
decuplicado! Teremos: 
 
 Æ 18x10=180 Æ Resposta da Questão! 
 
 
9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
Sol.: Para resolver esta questão, utilizaremos uma propriedade da média, que eu 
costumo chamar de A Média das Médias. 
 Trata-se da seguinte situação: o enunciado apresenta dados referentes a dois 
grupos distintos. Neste caso, o grupo dos homens e o das mulheres. Para cada um 
deles, fornece o número de elementos que participam de cada conjunto (o n) e qual é a 
sua média. 
 Daí, a pergunta seria: se juntássemos todos os elementos, dos dois conjuntos, 
em um único novo conjunto, qual seria a nova média? Ou seja, qual seria a média 
global? 
 Essa questão é fácil, pois se resolve pela aplicação direta da fórmula abaixo: 
 ( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX +
+= 
 
 Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e 
AX e BX as suas médias. Dito isto, os dados fornecidos pela nossa questão são os 
seguintes: 
 Æ Média Global dos salários = GLOBALX =1.200,00 
 Æ Média dos salários dos Homens = AX =1.300,00 
 Æ Média dos salários das Mulheres = BX = 1.100,00 
 
 Os números de elementos de cada grupo não foram fornecidos! Vamos trabalhar 
com NA e NB. Teremos que: 
 ( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX +
+= Æ ( ) ( )( )BA
BA
NN
xNN
+
+= 110013001200 
 
 
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Daí, multiplicando cruzando, teremos: 
 
 1200.NA + 1200NB = 1300NA+1100NB Æ E: 100.NA = 100.NB 
 
Finalmente: Æ NA = NB 
 
 Ou seja: o número de homens é igual ao de mulheres! Æ Resposta! 
 
 
28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
Sol.: Os dados aqui foram apresentados sob a forma de um rol. Não é muito comum 
que isso ocorra! Normalmente, a Esaf prefere trabalhar com a Distribuição de 
Freqüências. Este enunciado pede duas coisas: a mediana e a variância amostral. 
 A Mediana é aquele elemento que está exatamente no meio do conjunto, 
dividindo-o em duas partes iguais. 
Atentaremos para o fato de o conjunto ter um número par ou um número ímpar 
de elementos. Caso seja um número ímpar, haverá apenas um elemento que ocupara a 
posição central do conjunto. Esta será determinada pelo cálculo seguinte: 
Æ Posição central para n ímpar=(n+1)/2 
Onde n é o número de elementos do conjunto! 
No caso da nossa questão, n é igual a 50. Ou seja, o conjunto tem um número 
par de elementos. Significa que haverá dois deles ocupando as duas posições centrais. 
Estas, por sua vez, serão determinadas da seguinte forma: 
Æ 1ª Posição central para n par=(n/2) 
Æ 2ª Posição central para n par=a vizinha posterior à primeira! 
 
Como temos que n=50, então as duas posições centrais serão: 
Æ (50/2) = 25ª posição; e 
Æ a vizinha posterior= 26ª posição. 
Descobertas as duas posições centrais, teremos que descobrir quais são os dois 
elementos que as ocupam (para isso usaremos apenas um dedo!) e então somaremos 
estes dois elementos e dividiremos o resultado por dois. 
Em outras palavras, faremos a média dos elementos que ocupam os elementos 
centrais do conjunto, e determinaremos o valor da Mediana! 
Teremos: 
 Senão, vejamos: 
 25ª posição! 26ª posição! 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
 
 Daí, fazendo a média destes elementos: (9+9)/2= 9,0 Æ Md=9,0 
 
 
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10
 Nem precisava ter feito esse cálculo, uma vez que os dois valores centrais são 
iguais! A Mediana já é o próprio elemento que se repete! 
 Essa primeira resposta foi mais tranqüila! Já quanto à segunda, teríamos que 
conhecer e estarmos bem lembrados das fórmulas para cálculo da variância. 
 Para dados apresentados sob forma de rol, a variância será dada por: 
 
 Æ ( )
n
XX
S i∑ −= 22 ou também por Æ ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −= ∑∑ n
Xi
Xi
n
S
2
22 1 
 
 Isto quando estivermostrabalhando com elementos de um conjunto que 
representem toda a População! Caso contrário, ou seja, caso estejamos trabalhando 
apenas com dados de uma Amostra, as fórmulas acima se modificarão, recebendo um 
fator de correção de Bessel, que consiste apenas no acréscimo de um menos um no 
denominador. Teremos, portanto, que: 
 
 Æ ( )
1
2
2
−
−= ∑
n
XX
S i ou também por Æ ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
∑∑ n
Xi
Xi
n
S
2
22
1
1
 
 
 Será, pois, uma destas últimas fórmulas que utilizaremos em nossa resolução, 
uma vez que a questão pediu o cálculo da variância amostral, e amostral refere-se à 
amostra! 
 Ora, qual das duas fórmulas empregar? Saibamos que qualquer das duas nos fará 
chegar ao mesmo resultado! Faremos, então, nossa escolha com base nos dados 
fornecidos pelo enunciado! Vejamos o que nos forneceu a questão: 
 
Æ ( )∑ ∑ =− 00,66850
2
2 XiXi 
 
 Será que essa informação se encaixa em alguma das nossas fórmulas? Sim! E 
como uma luva! Percebamos que esses dados são exatamente o que está dentro do 
colchete da equação maior. Claro! Uma vez que n=50, nossa fórmula assim: 
 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
∑∑ 5011
2
22 XiXi
n
S 
 
 Conhecendo o valor do colchete (668), e sabendo que (n-1)=49, teremos: 
 
Æ ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
49
6682S Æ Daí: S2=13,6 
 
 Juntando os dois resultados, teremos: 
 
 Æ Md=9,0 e S2=13,6 Æ Resposta! 
 
 
 
 
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11
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
Sol.: Aqui uma questão mais fácil. Se olharmos as três primeiras opções de resposta, 
veremos que elas trazem as três situações possíveis de assimetria de um conjunto. A 
opção A fala em assimetria negativa; a B fala em assimetria positiva; enquanto que a 
opção C, em distribuição simétrica! Ora, qualquer distribuição de freqüências estará 
inserida em uma – e somente uma – destas três situações. Não existe uma quarta 
possibilidade! 
 Assim, concluímos de pronto que a resposta da questão está entre uma das três 
primeiras opções. 
 Resta-nos lembrar do seguinte: existe uma relação entre as três medidas de 
tendência central (Média, Moda e Mediana) e a situação de simetria ou assimetria de um 
conjunto. 
 As três figuras abaixo ilustram exatamente qual é esta relação. Teremos: 
 
 
Figura 01 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
 
Figura 02 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
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12
 
Figura 03 
 Média=Mediana=Moda 
 
 Traduzindo: se a média for maior que a mediana, e esta por sua vez for maior 
que moda, estaremos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de assimetria 
positiva (figura 01). 
Caso a média seja menor que a mediana, e esta menor que a moda, a 
distribuição será assimétrica à esquerda, ou de assimetria negativa (figura 02). 
Por fim, se as três medidas – Média, Moda e Mediana – forem iguais, a 
distribuição será dita simétrica ou de assimetria nula. 
Em outras palavras: basta conhecermos o valor de duas medidas de tendência 
central (média e moda; ou média e mediana; ou moda e mediana) e já teremos 
condição de afirmar se o conjunto é simétrico ou se é assimétrico à direita ou à 
esquerda! 
Neste nosso caso, já sabemos pela questão anterior, que o valor da Mediana é 
Md=9,0. Pronto! Basta calcularmos a média do conjunto é chegaremos à resposta! E 
média de um rol é sempre dado por: 
Æ 
n
Xi
X ∑= 
 
 Onde o numerador (∑Xi) é a soma dos elementos do conjunto e o denominador 
(n) é o número de elementos do conjunto. Foi dito no enunciado que ∑Xi=490. Logo: 
 
Æ 8,9
50
490 === ∑
n
Xi
X 
 
 Ou seja, descobrimos que para esse conjunto a Média (9,8) é maior que a 
Mediana (9,0). Daí, caímos no caso da figura 01, de sorte que estamos diante de um 
conjunto assimétrico e de assimetria positiva! Æ Resposta! 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
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13
e) A distribuição de X é normal. 
 
Sol.: Curtose é uma medida estatística que indica o grau de achatamento da curva de 
freqüências. Existem três situações de curtose de um conjunto. As seguintes: 
 
 CURVA LEPTOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA MESOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA PLATICÚRTICA 
 
 
 
 
 É fácil memorizar: a do meio, por exemplo, começa com meso, que significa 
meio. Logo, mesocúrtica é o mesmo curtose média; nem de mais, e nem de menos! 
 A mais achatada (em verde) parece um prato virado para baixo. Ou não? Sim! 
Daí, lembraremos: prato leva a plati, e plati leva a platicúrtica. 
 A curva azul, a mais alta de todas, nem é plati e nem é meso. Será lepto. Isso 
mesmo: leptocúrtica! 
 Como saber a situação de curtose de um conjunto? 
 Há duas maneiras. Cada maneira é uma fórmula diferente. 
 
 i) Coeficiente Percentílico de Curtose: 
( )
( )192
13
DD
QQC −
−= 
 
 Esta fórmula acima faz uso de quatro medidas separatrizes: o primeiro quartil 
(Q1), o terceiro quartil (Q3), o primeiro decil (D1) e o nono decil (D9). 
 
 ii) Coeficiente Momento de Curtose: 
( )
( ) 22
4
4
4
.
.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
==
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Onde m4 é o momento de quarta ordem centrado na média, e S4 é o desvio-
padrão elevado à quarta potência, que é o mesmo do quadrado da variância! 
 
 Este enunciado especificou que deveríamos trabalhar com a fórmula que usa os 
momentos centrados, ou seja, o coeficiente momento! Mesmo que não tivesse dito 
nada, saberíamos que seria ela a ser utilizada, em função dos dados fornecidos pela 
questão. 
Reparemos que estes dados adicionais 500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx correspondem exatamente aos numeradores da nossa 
equação. Daí, teremos: 
 
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14
( )
( ) 45,2
100
500.24
100
500.682.14
.
.
222
4
4
4 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
==
∑
∑n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Agora resta o principal: analisar esse resultado. Sempre que estivermos usando 
essa fórmula acima – o índice momento de curtose – interpretaremos o resultado da 
conta da seguinte forma: 
 
 Se C > 3 → Distribuição Leptocúrtica; 
 Se C = 3 → Distribuição Mesocúrtica; 
 Se C < 3 → Distribuição Platicúrtica. 
 
 Daí, como 2,45 é menor que 3, nossa conclusão é a de que estamos diante de 
uma distribuição platicúrtica Æ Resposta! 
 
 Só mais um detalhe. Se estamos usando a fórmula do coeficiente momento de 
curtose, então o valor padrão para efeito de interpretação do resultado é 3 (três). Daí, 
na hora de fazer essas contas, no momento em que encontrarmos dois vírgula qualquer 
coisa, nem precisaremos dar continuidade a esta conta! Claro, pois se é menor que três, 
então a distribuição é platicúrtica! 
 
 
54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
b) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
Sol.: Questão de números índices! Das antigas...! Nunca mais caiu nada parecido! Mas 
como a Esaf adora fazer sempre um flash-back (é o novo!), o melhor mesmo é ficar 
atento! 
 Esta questão trabalha com os índices (ditos complexos) de Laspeyres e de 
Paasche. São, na verdade, fórmulas que trabalham com valores de preços de produtos 
e as respectivas quantidades vendidas em diferentes épocas. No caso da tabela acima, 
temos cinco produtos (A, B, C, D e E), e seus preços correspondentes e quantidades 
vendidas nos anos de 1960, 1970 e 1979. Ainda foi dito, na linha superior da tabela, 
que o ano de 1960 é o ano-base, para efeito de aplicação da fórmula. 
 
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15
 Temos que saber que os valores referentes ao ano-base (preço no ano-base e 
quantidade vendida no ano-base) recebem a seguinte nomenclatura: po e qo. E também 
que a cada vez que estivermos aplicando a fórmula do índice, estaremos sempre 
trabalhando com duas épocas distintas – dois anos diferentes – um dos quais será 
justamente o ano-base (símbolos po e qo). O outro ano, por sua vez, será dito ano-dado, 
e seus valores de preço e quantidade serão designados por pn e qn. 
 Daí, haverá dois distintos índices de Laspeyres e dois de Paasche. São os 
seguintes: 
 
Æ Índice de Preço de Paasche: ∑
∑=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Quantidade de Paasche: ∑
∑=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Preço de Laspeyres: ∑
∑=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Quantidade de Laspeyres: ∑
∑=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 x 100 
 
 
Vamos aprender um jeito de memorizar estas quatro fórmulas! 
 
1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório! 
 
Æ Preço de Paasche: ∑
∑=
..........
..........
Pa 
 
Æ Quantidade de Paasche: ∑
∑=
...........
...........
Pa 
 
Æ Preço de Laspeyres: ∑
∑=
...........
...........
La 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: ∑
∑=
...........
...........
La 
 
2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de quantidade começa 
com quantidade! Teremos: 
 
Æ Preço de Paasche: ∑
∑=
qp
qp
Pa
.
.
 
 
Æ Quantidade de Paasche: ∑
∑=
pq
pq
Pa
.
.
 
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16
 
Æ Preço de Laspeyres: ∑
∑=
qp
qp
La
.
.
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: ∑
∑=
pq
pq
La
.
.
 
 
3ºPasso) Agora, “amarraremos” as quatro fórmulas, dando um “nó” (n,o) na 
vertical! 
 
Ficaremos com: 
 
Æ Preço de Paasche: ∑
∑=
qp
qp
Pa
o
n
.
.
 
 
 
 
Æ Quantidade de Paasche: ∑
∑=
pq
pq
Pa
o
n
.
.
 
 
 
Æ Preço de Laspeyres: ∑
∑=
qp
qp
La
o
n
.
.
 
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: ∑
∑=
pq
pq
La
o
n
.
.
 
 
 
4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou quantidades que estão 
faltando em cada fórmula com os índices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma 
destas fórmulas, os índices que estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou 
dois (o) ou dois (n). Aí, iremos nos lembrar do “bizú do pão-de-ló”. (Essa teoria, se é 
que podemos chamar assim, não existe em livro nenhum...é mais uma das minhas 
invenções malucas!) 
Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o “ló”. O “ló” traz o “L” de 
Laspeyres e o “o” do índice “o”. Daí, lembraremos da frase: “Laspeyres é ló!” E se 
Laspeyres é ló, então os dois índices que estão faltando para concluirmos as fórmulas 
de Laspeyres são ambos o próprio “o”. Teremos: 
 
Æ Preço de Laspeyres: ∑
∑=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 (“Laspeyres é ló”!) 
 
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: ∑
∑=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 (“Laspeyres é ló”!) 
 
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17
 
E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos que “Paasche é 
n”! Teremos: 
 
Æ Preço de Paasche: ∑
∑=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 (“Paasche é n”!) 
 
 
Æ Quantidade de Paasche: ∑
∑=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 (“Paasche é n”!) 
 
 
 Por último, é só multiplicar por cem! 
 
 Voltando ao nosso enunciado, vemos que ele pede que calculemos o índice de 
Laspeyres do ano 1979 tendo por base o de 1960. Ou seja, o ano-base é 1960, e o ano-
dado é o de 1979. Mas não foi dito expressamente, em momento algum, se esse índice 
seria de preço ou de quantidade! 
 E nem precisaria, uma vez que somos bons observadores! 
 Só teríamos que dar uma olhada nos dados fornecidos pela questão. Reparemos 
na última linha da tabela que nos foi fornecida, teremos o seguinte: 
 
 
 Æ ∑po.qo=9009,7 e Æ ∑p1.qo=14358,3 e Æ ∑p2.qo=37262,0 
 
 Nestes três dados, temos preço antes de quantidade. Conclusão: teremos que 
achar o valor do índice de preço de Laspeyres! 
 Teremos: 
 
136,4
7,009.9
262.37
.
. === ∑
∑
oo
on
qp
qp
La x 100 = 413,6 Æ Resposta! 
 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta 
questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo 
AFRF de 2002, a qual resolveremos também em outra ocasião. 
 Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja 
qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa 
fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! 
 O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da 
conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantosdias seja o atraso! 
Por isso essa multa tem o nome de fixa. 
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 Teremos, portanto: 
 Æ (2/100) x 1.000 = R$20,00 Æ Multa fixa! 
 
 Com isso já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de 
juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta. 
 Agora precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: 
precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de 
juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática 
financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. 
 Para contarmos os dias úteis de atraso, eu recomendo neste caso que façamos 
um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum 
tempo. Observando que foi dito que o dia 5 é uma segunda-feira, faremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da 
contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 E quanto ao dia 5? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou 
que a conta deveria ser paga até o dia 5, então o primeiro dia de atraso é o próximo! 
Excluindo, pois, também o dia 5 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no 
pagamento da conta. Como os juros incidentes na operação são do regime simples, 
significa que a cada dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De 
modo que só precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos 
esse valor por 10. Teremos: 
 
 Æ Juros por dia útil de atraso: (0,1/100) x 1000 = R$1,00 
 
 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos 
que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. 
 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: 
 
 Æ Juros por todo o atraso: 10 x R$1,00 = R$10,00 Æ Juros! 
 
 Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores 
da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: 
 
 Æ R$1.000,00 + R$20,00 + R$10,00 = R$1.030,00 Æ Resposta! 
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19
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, 
respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
a) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
c) 7 meses 
 
Sol.: Esta questão é facílima. Sua beleza, todavia, consiste em traduzir o enunciado. 
Digo isto porque a maioria das outras questões semelhantes a esta costuma 
simplesmente pedir: calcule o prazo médio! Esta aqui, não: pediu a mesma coisa, só 
que com outras palavras. 
Ora, o prazo médio é justamente um prazo comum, em que a soma dos capitais 
(aplicados a uma mesma taxa) produziria os mesmos juros que aqueles produzidos pela 
soma dos juros dos capitais individuais (em seus respectivos prazos). 
Ihhhhhh... façamos uma nova tentativa: se eu somar os valores dos capitais 
envolvidos na questão, e colocar esta soma em uma nova data, que será o prazo médio, 
os juros produzidos por esta soma serão iguais à soma dos juros anteriores produzidos 
por cada capital individualmente. 
Para quem ainda não ficou muito claro, um consolo: a questão não vai nos pedir 
para explicar nada! Vai querer somente que façamos o cálculo do prazo médio. Em 
outras palavras: trata-se de uma questão de aplicação direta de fórmula! 
Daí, nossa obrigação é conhecê-la. É a seguinte: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
iCiCiC
niCniCniCPM ++
++= 
 
 Antes de aplicarmos a fórmula, uma observação importante: a única exigência a 
ser cumprida, antes de lançarmos os dados do enunciado na equação é que as taxas 
estejam entre si na mesma unidade, e os prazos estejam entre si na mesma 
unidade! Por exemplo, se as taxas originais sejam todas taxas anuais (..%aa) e os 
prazos originais estejam todos expressos em meses, então, nesta situação, já 
poderíamos jogar os dados na fórmula! Sim! Mesmo tendo taxas mensais e prazos 
anuais! Isso porque as taxas, entre si, estão na mesma unidade. E os prazos, entre si, 
estão na mesma unidade. Entendido? Pois bem! Nosso enunciado diz que os três prazos 
originais estão em meses. Disse ainda que as taxas são iguais, portanto, possuem 
obviamente a mesma unidade! 
 Em suma: já podemos fazer nossas contas. Teremos: 
Æ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iii
iiiPM
.6000.10000.8000
9..60005..100008..8000
++
++= 
Daí, podemos dividir todas as parcelas do numerador e todas as parcelas do 
denominador por “i”, que é nosso fator comum, de forma que teremos apenas: 
Æ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )6000100008000
9600051000088000
++
++= xxxPM 
 
Æ E: 0,7
24000
168000
24000
540005000064000 ==++=PM 
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 Mas 7,0 o quê? Ora, vejamos qual é a unidade dos prazos originais? Todos em 
meses! Daí: 
 Æ PM=7,0 meses Æ Resposta! 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
a)R$ 400,00 d) R$ 700,00 
b)R$ 800,00 e) R$ 600,00 
c)R$ 500,00 
 
Sol.: Esta foi uma das mais tranqüilas questões presentes na prova do Fiscal da Receita 
de 1998. Aqui, o enunciado começou falando de elementos de uma operação de 
Desconto Simples Comercial (por Fora). Disse o valor do Desconto por fora 
(Df=600,00), disse o tempo de antecipação (n=4m) e disse a taxa (i=5% a.m.). Na 
segunda frase, ele pede que calculemos o Desconto Racional Simples “correspondente”. 
Por essa palavra “correspondente” entenderemos que serão mantidas as mesmas 
condições do Desconto por Fora, ou seja, a mesma taxa e o mesmo tempo de 
antecipação. 
 O que precisamos saber é que existe uma fórmula que se encaixa perfeitamente 
neste tipo de enunciado. Ela nos dá a relação entre os valores dos descontos simples 
por dentro e por fora. 
Teremos: 
Df = Dd (1 + i.n) 
 
 Aqui, taxa (i) e Tempo (n) já estão na mesma unidade. A taxa é mensal (5% ao 
mês) e o tempo de antecipação está em meses (4 m). Resta aplicar a fórmula, 
lembrando de usar a notação unitária da taxa. Teremos: 
 
Df = Dd (1 + i.n) Æ 600 = Dd (1 + 0,05x4) Æ Dd = 600 / 1,20 
 
Daí: Dd = 500,00 Æ Resposta! 
 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
 
Sol.: Essa questão nos traz um ensinamento importantíssimo, e que valerá para toda e 
qualquer situação semelhante. É o seguinte: muitas questões de estatística vão pedir 
que se calcule o valor de um elemento como porcentagem de outro elemento. 
 Neste caso, por exemplo, queremos o cálculo dos juros como porcentagem do 
capital. Este último será o nosso elemento dereferência. E para este elemento de 
referência atribuiremos o valor 100 (cem)! É este o artifício! 
 Sabendo disso, os dados de nossa questão são os seguintes: 
 
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Æ C=100 (artifício) 
Æ i=20% ao período (juros compostos!) 
Æ n=4 períodos e meio 
 Æ J=? (como porcentagem do Capital) 
 
 Ocorre que a questão quer que trabalhemos os Juros Compostos por um método 
chamado de Convenção Linear. 
 Se resolve em dois passos. No primeiro, trabalharemos com a fórmula 
convencional dos Juros Compostos, só que considerando apenas a primeira parte do 
tempo, ou seja, 4 períodos. 
 Quando a questão chama a unidade de tempo de período, significa que pode ser 
qualquer um: mês, ano etc. Ou podemos deixar com esse nome mesmo: período! 
 Vamos ao primeiro passo da resolução. 
 
 Æ 1º Passo) M = C (1 + i)n 
 
 Daí: M = 100.(1 +0,20)4 
 
 Observemos que o valor do parênteses acima foi um dado adicional da questão! 
Temos, pois, que: (1,20)4=2,0736 
 
 Daí: M=100x2,0736 Æ M=207,36 
 
 Esse é o resultado apenas do primeiro passo! Agora seguiremos adiante, 
lembrando-nos de que, na Convenção Linear, o Montante do primeiro passo transforma-
se no Capital do segundo. Além disso, trabalharemos agora apenas com a segunda 
parte do tempo: aquela que não foi utilizada no primeiro passo. Nossos dados agora são 
os seguintes: 
 
 Æ C=207,36 (antigo montante!) 
 Æ i=20% ao período 
 Æ n=0,5 período 
 Æ M=? 
 
 Só nos resta lembrar de uma informação crucial: o segundo passo da Convenção 
Linear é uma aplicação de Juros Simples! Daí, teremos: 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
Trabalharemos com a seguinte equação: 
 
ni
MC
.100100 += 
 
 Somente lembrando que, para aplicarmos a fórmula acima, teremos que ter taxa 
e tempo na mesma unidade. Já estão? Sim, já estão! Daí: 
 
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Æ 
ni
MC
.100100 += Æ 5,020100100
36,207
x
M
+= Æ M=228,096 
 
 Reparemos no seguinte: o montante do segundo passo é o montante final da 
operação. E o que foi pedido mesmo de nós? Juros! Ora, juros é a diferença entre 
montante e capital. Daí, teremos: 
 
 Æ J=M-C Æ J=228,096 – 100 Æ J=128,096 
 
 Como usamos o artifício de chamar Capital de 100, diremos que: 
 
 Æ J=128,096 % do Capital Æ Resposta! 
 
 Outra maneira mais rápida de resolver os Juros Compostos por meio da 
Convenção Linear é mediante aplicação direta da fórmula abaixo: 
 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e 
 K é parte quebrada! 
 
 Por exemplo, se temos que a aplicação durou 4,5 meses (como nesta nossa 
questão), então n=4 e k=0,5. 
 
 Daí, teríamos que: 
 
 Æ ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Æ ( ) ( )5,020,01.20,01.100 4 xM ++= Æ M=228,36 
 
 Uma vez que J=M-C , então: J=228,36 – 100 Æ J=128,36 
 
Como adotamos que C=100 , então: 
 
J=128,36% do Capital Æ Resposta! 
 
Como vêem, fica bem mais prática a resolução pela fórmula, embora esta seja 
um mero retrato do método explicado na primeira solução. Senão, vejamos: o primeiro 
parênteses da fórmula diz respeito à operação no Regime Composto (juros compostos), 
enquanto o segundo parênteses diz respeito à operação no Regime Simples (juros 
simples). 
A última observação acerca da fórmula acima é que, em ambos os parênteses, a 
taxa será expressa em termos unitários! E só! Próxima. 
 
 
29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
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Sol.: Questãozinha clássica de Equivalência de Capitais. O sujeito assume uma forma 
original de pagamento de uma dívida qualquer, e depois deseja alterar, substituir, 
modificar aquela forma inicial de pagamento por uma outra maneira de quitar a dívida. 
 Para que ninguém saia perdendo – nem o credor, nem o devedor – será preciso 
que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira! 
 Daí o nome Equivalência de Capitais. 
 Desenhemos a questão: 
 X 
 
 980, 
 
 420, 
 320, 
 
 
 
 3m 7m 9m 12m 
 (I) (I) (I) (II) 
 
 Designamos por (I) as parcelas da primeira forma de pagamento e por (II) a 
única parcela da nova forma de quitação da dívida. 
 Se estamos bem lembrados, resolver a Equivalência de Capitais é seguir uma 
receita de bolo! Haverá os passos preliminares e os passos efetivos. Sigamos os passos 
conforme descritos na seqüência abaixo: 
 
Æ Passos Preliminares: 
 1º) Desenhar a questão! Já o fizemos. 
 
 2º) Definir quem será primeira (I) e quem será segunda (II) forma de 
pagamento! Também já o fizemos. 
 
 3º) Colocar taxa (i) e tempos na mesma unidade. A taxa é mensal (5% a.m.) e 
os tempos das parcelas estão todos em meses. Ou seja, esse passo já veio feito para 
nós! 
 
 4º) Definir qual o regime da operação. Aqui ficou fácil, vez que o enunciado nos 
falou expressamente que a taxa é de juros compostos! Sendo assim, estamos diante de 
uma questão de Equivalência Composta de Capitais. Destarte, será resolvida por meio 
de operações de Desconto Composto por Dentro! E será sempre assim. Ou seja: 
equivalência composta só se resolve por desconto composto por dentro! 
 
 5º) Definir onde ficará a nossa Data Focal. Escolheremos, neste caso, a data 12 
meses. Lembramos que na Equivalência Composta esse escolha é livre. Todavia, a 
escolha da data focal que está mais à direita do desenho nos será útil, vez que 
estaremos trocando divisões por produtos, conforme veremos adiante. 
 
Æ Passos Efetivos: 
 
1º) Levar para a Data Focal (um a um) os valores da primeira forma de pagamento. 
 
 Comecemos pela parcela R$980,00 que está na data 3 meses. 
Teremos: 
 
 
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 E 
 
 980, 
 
 
 
 
 
 
 3m 12m 
 (Data Focal) 
 
 Como fazer esse transporte? Por meio da operação de desconto definida no 
quarto passo preliminar, ou seja, pelo Desconto Composto por Dentro. Teremos, pois: 
 
 Æ E = 980.(1+0,05)9 
 
 O valor do parênteses acima (que aprendemos no primeiro curso a chamar de 
parênteses famoso!) pode ser encontrado com o auxílio da Tabela Financeira! Faremos: 
 
TABELAI FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 
8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588 
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947 
 
 
Daí: Æ E = 980.(1+0,05)9 Æ E=980x1,551328 Æ E=1.520,30 
 
Esse valor fica guardado para o final da questão! 
 
 Prosseguindo, trabalharemos agora a parcela R$320,00 e teremos: 
 
 F 
 
 
 
 
 320, 
 
 
 
 7m 12m 
 (Data Focal) 
 
 
 
i n 
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25
 
 Daí, pelo Desconto Composto por Dentro, teremos que: 
 
 Æ F = 320.(1+0,05)5 
 
 Por meio da Tabela Financeira, encontraremos que: 
 
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
 
Daí: Æ F = 320.(1+0,05)5 Æ F=320x1,276281 Æ F=408,41 
 
 Por fim, trabalhando agora com a última parcela da primeira obrigação, teremos: 
 
 G 
 
 
 
 420, 
 
 
 
 
 9m 12m 
 (Data Focal) 
 
 Usando novamente o desconto composto por dentro, teremos que: 
 
 Æ G = 420.(1+0,05)3 
 
 Usando a Tabela Financeira, teremos: 
 
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
i n 
i n 
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Daí: Æ G = 420.(1+0,05)5 Æ G=420x1,157625 Æ G=486,20 
 
 Com isso, encerramos o primeiro passo efetivo de resolução. O segundo passo 
consiste em transportar para a Data Focal os valores da segunda forma de pagamento. 
Ora, só temos uma parcela de segunda forma de pagamento, e que já se encontra 
exatamente onde queremos, ou seja, sobre a data focal. 
 Assim, o segundo passo efetivo já está feito, sem precisarmos mover uma palha! 
 O terceiro e derradeiro passo de nossa resolução, consiste unicamente na 
aplicação da chamada Equação de Equivalência de Capitais. Teremos que: 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Onde a primeira parte da equação representa a soma dos valores da primeira 
forma de pagamento depois de levados para a data focal, e a segunda parte da equação 
será a soma dos valores da segunda forma de pagamento, também depois de levados 
para a data focal. 
Daí, teremos que: E + F + G = X 
 
Æ 1.520,30 + 408,41 + 486,20 = X 
 
Æ X = 2.414,91 Æ Resposta! 
 
 
39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
Sol.: Uma boa forma de identificar o assunto de que trata a questão acima é 
justamente fazer o desenho do que é proposto pelo enunciado. Então, temos um valor 
de R$50.000,00 que deverá ser pago em 12 parcelas iguais e consecutivas, só que a 
primeira delas distante 4 meses do dia de hoje. Teremos: 
 
 50.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 
 
 
 
 
 
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27
 
 Uma forma muito prática de resolver essa questão é a seguinte: imaginemos que 
existissem parcelas nesse período de carência, ou seja, nesse intervalo que vai do valor 
R$50.000 até a primeira parcela (a do quarto mês). Imaginando isso, nosso desenho 
seria o seguinte: 
 
 
 50.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 
 
 Estão destacadas em verde as três parcelas fictícias! A primeira começando 
sempre ao final do primeiro período. 
 Para que servem essas parcelas? Servem, obviamente, para amortizar o valor da 
dívida (R$50.000,00). Estamos, pois, diante de questão de Amortização. 
 
 A fórmula da Amortização é a seguinte: T = P . An¬i 
 
 Onde T é o valor a ser amortizado; P é o valor das parcelas que irão amortizar o 
valor P; n é o número de parcelas de amortização; e i é a taxa composta da operação! 
 
 Porém, quando estamos diante de situação semelhante a esta, em que a primeira 
parcela de amortização localiza-se numa data futura, que não coincide com o final do 
primeiro período, usaremos esse artifício de imaginar parcelas fictícias (a primeira das 
quais localizada ao final do primeiro período), e aplicaremos a seguinte variação de 
nossa fórmula: 
 
T = P . { (AK¬i) – (AF¬i) } 
 
 
 Onde K representa o número total de parcelas, somadas as reais e as fictícias; e 
F representatão-somente o número de parcelas fictícias! 
 
 Pronto! Só isso! Daí, teremos que: 
 
 Æ 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} 
 
 Consultando os fatores de amortização na Tabela Financeira do An¬i, 
encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
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TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a +
−+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261 
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926 
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567 
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874 7,498674 7,138964 6,805190 6,495061 
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 
13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357650 7,903776 7,486904 7,103356 
14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 
15 13,865052 12,849263 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559478 8,060688 7,606079 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
Daí, teremos: 
 
 Æ 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} 
 
 Æ 50.000 = P {11,118387 – 2,775091} Æ 50.000 = P . 8,3432 
 
 Finalmente, chegaremos a: P=50.000/8,3432 Æ P=5.992,83 Æ Resposta! 
 
 
77. (Contador Recife/2003) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% 
ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial? 
a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio 
b) 4 meses e) 4meses e 20 dias 
c) 4 meses e 10 dias 
 
Sol.: 
 
 Os dados desta questão são simples. Há uma forma realmente muito fácil de se 
resolver este problema: bastará que adotemos um valor arbitrário para o Capital. Qual 
seria o valor mais conveniente para utilizarmos? Seria o valor 100 (cem)! Claro! Se a 
questão diz em seguida que o Capital aumentou 14%, fica muito fácil concluir que ele 
passou a valer, portanto, 114. Concordam? E o Capital aumenta para se transformar em 
quem? No Montante, é óbvio! 
Daí, passamos a ter os seguintes dados: 
 
 Æ C=100,00 
 Æ M=114,00 
 Æ i = 3% ao mês. 
 Æ n=? 
i n 
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 Observemos que, se já dispomos dos valores do Capital e do Montante, então, 
por tabela, conhecemos também o valor dos Juros! Concordam? Claro! Sabemos que os 
Juros são a diferença entre o Montante e o Capital. Teremos: 
 
 Æ J=M-C Æ J=144-100 Æ J=14,00 
 
 Conforme o enunciado falou expressamente, estamos trabalhando aqui com os 
Juros Simples! Daí, lembraremos do esquema ilustrativo dos Juros Simples: 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
Podemos, caso seja nossa vontade, trabalhar com a seguinte equação: 
 
ni
JC
.100
= 
 
 Somente lembrando que, para aplicarmos a fórmula acima, teremos que ter taxa 
e tempo na mesma unidade. Já estão? Sim, já estão! Daí: 
 
Æ 
ni
JC
.100
= Æ 
n.3
14
100
100 = 
 
 Daí, teremos que: 
 
 Æ n= (14/3) meses 
 
 Para transformar essa resposta para a unidade dias, basta-nos multiplicar essa 
fração por 30. Certo? Claro! Uma vez que um mês tem 30 dias. Daí, teremos: 
 
 30
3
14 ×=n dias ⇒ 140=n dias ⇒ n=4 meses e 20 dias Æ Resposta! 
 
 
80. (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de 
descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 
dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por 
dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por 
fora e por dentro, foi de $635,50 , o valor nominal do título era de: 
a) $ 6.510,00 c) $ 6.590,00 e) $ 6.240,00 
b) $ 6.430,00 d) $ 5.970,00 
Sol.: 
Os dados fornecidos pelo enunciado são os seguintes: 
 
Taxa de desconto: i=10% ao ano 
n=180 dias = 0,5 ano 
Dfora + Ddentro = 635,50 
N = ? 
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Æ Aplicaremos as equações de desconto simples comercial (por fora) e Racional (por 
dentro). Teremos: 
 
 55,010 =×=⋅ni 
 
Desconto por fora Desconto por dentro 
 
 
 
 
 
 
 
 
20100
5
1005
NNDN
D
fora
fora ==→= 
211055
NDND dentrodentro =→= 
 
Do enunciado, sabemos que a soma (Dfora + Ddentro) é igual a 635,50. 
 
Daí, teremos: 
 
41
42050,635
50,635
420
4150,635
2120
50,635
×=
=→=+→=+
N
NNNDD dentrofora
 
 
 E: N=6.510,00 Æ Resposta! 
 
 Para quem possa, eventualmente, estar meio esquecidos de como são os 
esquemas ilustrativos que resolvem as operações de Desconto Simples Racional e de 
Desconto Simples Comercial, com suas respectivas equações, ei-los: 
 
Desconto Simples Racional 
(ou Desconto Simples por Dentro) 
 
 N 
 A 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 Dd 
 
 (i.n) 
 
Equações do Desconto Simples Racional: 
 
ni
DdA
.100
= 
ni
NA
.100100 += ni
N
ni
Dd
.100. += 
 
 
 
 
 
 
5 
-
N 
- 100 Dfora 
 
- 
N 
5 
100 100+5 Ddentro 
 
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Desconto Simples Comercial 
(ou Desconto Simples por Fora) 
 
 N 
 A 
 
 (100-i.n) (100) 
 
 Df 
 
 (i.n) 
 
Equações do Desconto Simples Comercial: 
 
ni
Df
ni
A
..100
=− 100.100
N
ni
A =− 100.
N
ni
Df = 
 
 
 Só a título de lembrança, se quisermos aplicar qualquer destas equações acima – 
seja do Desconto Simples Racional, seja do Comercial – teremos que observar uma 
única exigência. Qual? Que taxa e tempo estejam na mesma unidade! E só! 
 
 
 É isso, meus amigos! 
 Terminamos aqui nossa primeira aula, ou nosso primeiro simulado (como 
queiram). Espero que tenham todos se saído muito bem com essasresoluções! 
 E aos que não obtiveram um bom resultado, a ordem é a seguinte: não 
desanimem! Melhor errar aqui do que errar na prova! Não é verdade? 
 Pelo contrário, fiquem contentes! Quem errou aqui não vai errar mais na hora do 
pra valer! Certo? 
 Fiquem todos com Deus, e até nossa próxima aula!