Aula 03 Curso Online de Estatísitica e Mat Fin

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AULA 03 
 
 Olá, amigos! 
 Chegamos à nossa terceira aula, com mais um simulado. 
 Espero que todos estejam realmente tentando resolver as questões! Não tenham 
dúvidas de que o proveito será tanto maior se vocês ao menos tentarem! 
 Também convém estar atentos ao tempo de resolução! Na prova, como vocês 
sabem tão bem quanto eu, o tempo é corrido. Leva vantagem quem é veloz. E 
velocidade se adquire, sim, treinando em casa. 
 É isso. Marque o tempo, respire e comece a resolver. Boa sorte! 
 
Q U E S T Õ E S 
 
3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
 
 
8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de 
mulheres no clube é de: 
a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% 
 
 
15. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde 
ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
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24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, 
 
 
29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral 
M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a 
opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 
 
 
46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 
 
 
 
4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 
12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 
18% ao ano, desprezando os centavos. 
a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 
b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 
c) R$ 715,00 
 
 
10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual 
seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 
c) R$ 9.500,00 
 
 
18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à 
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a 
convenção linear para cálculo do montante. 
a) 22,5% d) 26,906% 
b) 24% e) 27,05% 
c) 25% 
 
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34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto 
outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os 
dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum 
levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor 
do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto 
mês. 
a) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 
b) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 
c) R$ 33.538,25 
 
40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária 
no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo 
devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a 
pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que 
custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas 
condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se 
aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 
b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 
c) R$ 1.800,00 
 
54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de 
uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 
1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 
b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 
c) US$ 930.00 
 
61. (AFC-2005) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e 
recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. 
Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, 
respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês 
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês 
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano 
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano 
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês 
 
62. (AFC-2005) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros 
de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa 
de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais 
próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, 
iguais a: 
a) 69 % e 60 % 
b) 60 % e 60 % 
c) 69 % e 79 % 
d) 60 % e 69 % 
e) 120 % e 60 % 
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2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
 
3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
Sol.:Embora o enunciado não tenha falado expressamente, teremos que aplicar aqui a 
tal interpolação linear da ogiva, para chegarmos à resposta. Esta técnica, como já vimos 
em aula pretérita, consiste meramente em fazermos uma regra-de-três simples, a fim 
de descobrirmos qual a participação daquelas classes que entram somente parcialmente 
no resultado. 
 Analisemos juntos: o enunciado pede que encontremos o número de elementos 
do conjunto com valores maiores que 50,5 e menores que 95,5. Ora, dentro deste 
intervalo solicitado (50,5 a 95,5) teremos que: 
Æ a primeira classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); 
Æ a segunda classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); 
Æ a terceira classe, sim, entra na resposta, só que parcialmente! 
Æ a quarta, quinta e sexta classes entram integralmente na resposta! 
Æ a sétima (e última) classe também entrará só parcialmente no resultado. 
Sabendo disso, tomaremos aqui as duas classes que integram apenas 
parcialmente o resultado (a terceira e a sétima) e faremos, portanto, duas regras-de-
três, uma para cada classe, a fim de descobrirmos com quantos elementos do conjunto 
essas classes irão compor a nossa resposta procurada. 
Recordando a aula passada, em que trabalhamos uma questão semelhante a 
essa, sabemos que será preciso, antes da regra-de-três, conhecermos a coluna da 
freqüência absoluta acumulada crescente – fac. Teremos: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
fac 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
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Para formar a regra-de-três (espero que estejamos lembrados da aula passada!), 
formaremos um desenho da classe que participa somente parcialmente do resultado, 
colocando na parte de cima do desenho os limites da classe. Assim: 
 
 linf lsup 
 
 
 E na parte de baixo do desenho, as freqüências acumuladas crescentes 
associadas a cada um desses dois limites. Na aula passada, trabalhamos uma questão 
em que essas freqüências acumuladas crescentes eram freqüências relativas, pois lá 
estávamos trabalhando com percentuais de elementos. 
 Aqui, usaremos a freqüência absoluta acumulada crescente, uma vez que 
estamos tratando de número de elementos (e não de porcentagens!). Teremos: 
 
 linf lsup 
 
 fac fac 
 
Enfim, completando o desenho, colocamos aquele valor, dentro da classe, que é 
fornecido pelo enunciado, acima ou abaixo do qual se deseja conhecer a freqüência 
associada. 
Daí, trabalhando a regra-de-três para a terceira classe, teremos: 
 10 
 
 
 9 
 
 49,5 50,5 59,5 
 
 
 12 26 
 
 X 
 
 
 14 
 Daí: 
. 10 . = . 9 . Æ Daí: X=12,6 
 14 X 
 
 Agora, construindo a regra-de-três da última classe, teremos: 
 10 
 
 
 6 
 
 89,5 95,5 99,5 
 
 
 90 100 
 
 X 
 
 
 10 
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6
 Daí: 
. 10 . = . 6 . Æ Daí: X=6 
 10 X 
 
Agora, finalmente, já podemos compor o nosso resultado. Teremos: 
 
Æ Terceira Classe: 12,6 
Æ Quarta Classe: 20,0 
Æ Quinta Classe: 26,0 
Æ Sexta Classe: 18,0 
Æ Sétima Classe: 6,0 
 Total: 82,6 
 
Procurando entre as opções de resposta, não encontraremos esse valor 82,6. Mas 
isso já era esperado. E por quê? Porque o este resultado diz respeito à tabela do 
enunciado, a qual, por sua vez, representa uma amostra! Daí, 82,6 é um resultado 
amostral. 
Relendo a questão, vemos que é pedido um resultado referente à população! Um 
resultado populacional. 
Daí, precisamos saber a relação que há entre esta amostra e a população 
respectiva. Foi dito isso no enunciado: uma amostra de cem, extraída de uma população 
de mil indivíduos. Ora, ficou evidenciado que a amostra representa 10% (dez por cento) 
da população. Conclusão: o resultado amostral que encontramos terá que ser 
multiplicado por dez, para chegarmos ao resultado populacional. 
Claro! Vejamos: 
 
Amostra População 
 10% ----- x 10 -------Æ 100% 
 
 Daí, faremos: 
 
 Resultado Amostral Resultado Populacional 
 82,6 --------x10 -------Æ 826 
 
 Æ 826 Æ Resposta da Questão! 
 
 
8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de 
mulheres no clube é de: 
b) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% 
 
Sol.: Trabalharemos com a propriedade da média das médias! Uma propriedade muito 
simples, que usaremos quando o enunciado nos falar em dois grupos menores (no caso, 
homens e mulheres), e quiser alguma informação relacionada ao número de elementos 
de cada um desses grupos, ou à sua média. Já trabalhamos uma questão semelhante na 
aula um. 
 A rigor, essa propriedade consiste numa mera aplicação da fórmula seguinte: 
 ( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX +
+= 
 
 
 
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 Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e 
AX e BX as suas médias. Os dados fornecidos pela nossa questão são os seguintes: 
 Æ Média Global das alturas = GLOBALX =165 cm 
 Æ Média das alturas dos Homens = AX =172 cm 
 Æ Média das alturas das Mulheres = BX = 162 cm 
 
 Teremos, portanto, que: 
 ( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX +
+= Æ ( ) ( )( )BA
BA
NN
xNN
+
+= 162172165 
 
Daí, multiplicando cruzando, teremos: 
 
 165.NA + 165.NB = 172.NA+162.NB Æ E: 7.NA = 3.NB 
 
Como a questão pergunta a porcentagem de mulheres, teremos: 
3
7=
HOMENS
MULHRES
N
N
 
 
 Ou seja, mulheres e homens estão numa proporção de sete para três. Se 
considerarmos o conjunto inteiro com cem pessoas, seguindo a proporção encontrada, 
teríamos que 70 seriam mulheres, enquanto que 30 seriam homens. 
 
 Conclusão: a proporção de mulheres do clube é de 70% Æ Resposta! 
 
 
15. (AFRF-2000) 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde 
ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
 
Sol.: Para cálculo da Mediana de uma distribuição de freqüências, trabalharemos de 
modo semelhante ao questão anterior! Só precisamos nos lembrar do próprio conceito 
da Mediana: é aquele elemento que divide o conjunto em duas partes iguais. 
 Daí, no primeiro momento, calcularemos o valor de n (número de elementos do 
conjunto) e da fração (n/2). 
 Antes de mais nada, contudo, precisamos descobrir que tipo de coluna de 
freqüência foi essa fornecida na tabela acima. Está dito que são freqüências 
acumuladas. Relativas elas não são, pois não há o sinal de porcentagem (%) em lugar 
nenhum! Então, são absolutas. Crescentes ou decrescentes? 
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Aí basta examinar os valores da coluna. Estão crescendo? Sim. Conclusão: 
estamos diantede uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes – fac. 
 Sabemos bem que o n de um conjunto pode ser encontrado somando os valores 
da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Mas também sabemos que o n será 
sempre a fac da última classe! Vejamos: 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68=n 
 
 Daí, diremos que: n=68 e (n/2)=34 
 
 Feito isso, como próximo passo, compararemos os valores das fac com este 
resultado (n/2), começando pela primeira fac e fazendo a seguinte pergunta: “Esta fac 
é maior ou igual a (n/2)?” 
 Enquanto a resposta for não, seguiremos para a fac seguinte, e repetiremos a 
pergunta. Até que a resposta seja sim. Daí, procuraremos a classe correspondente, e 
diremos que esta será nossa classe mediana. Façamos isso agora: 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
 
( 3 ; 6] 12 Æ 12 é ≥ 34? Não! (pra frente!) 
( 6 ; 9] 30 Æ 30 é ≥ 34? Não! (pra frente!) 
( 9 ; 12] 50 Æ 50 é ≥ 34? SIM! 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 Daí, a Classe Mediana é a terceira classe (9 a 12). 
 
 Agora, como próximo passo, desenharemos a classe mediana, colocando na parte 
de cima os limites desta classe, e na parte de baixo as freqüências absolutas 
acumuladas crescentes (fac) associadas a estes limites. Daquela forma que já havíamos 
falado na questão passada: 
 
 linf lsup 
 
 fac fac 
 
 Daí, teremos: 
 
 9 12 
 
 30 50 
 
 
 
 
 
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 Agora, o que nos interessa? Interessa-nos saber qual será o valor, dentro dos 
limites dessa classe mediana, que ocupa a posição 34. Percebamos que esta posição 
será indicada exatamente pela fac. Em outras palavras: qual será o valor dentro da 
classe mediana que está associado à fac 34? Este valor será a Mediana! 
 Teremos, pois, que: 
 3 
 
 
 X 
 
 9 Md 12 
 
 
 30 34 50 
 
 4 
 
 
 20 
 
 Daí, fazendo uma regra-de-três simples, teremos que: 
 
. 3 . = . X . Æ Daí: X=0,6 
 20 4 
 
Agora, apenas olhando para o desenho acima, vemos que a Mediana será a soma 
do limite inferior da classe mediana com o valor do X que acabamos de encontrar. 
Teremos, pois, que: 
 
Æ Md=9+0,6 Æ Md=9,6 Æ Resposta! 
 
24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
b) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, 
 
Sol.: Questão simples, mas que exige o conhecimento de uma das propriedades do 
desvio-padrão. 
 Inicialmente, teremos que tentar traduzir matematicamente a operação trazida 
pelo enunciado: o que significa receber um aumento de 10%? Como poderemos traduzir 
essa frase numa operação matemática? Aumentar um valor em 10% significa somar? 
Ou multiplicar? Ou subtrair? Ou dividir? 
 Ora, aumentar um valor qualquer em 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10. 
 Somente isso! 
 Se o aumento fosse de 15? Multiplicaríamos por 0,15. 
 Se fosse de 30%? Multiplicaríamos por 0,30. 
 Se fosse de 8%? Por 0,08. 
 E assim por diante! 
 
 Daí, o conjunto apresentava um desvio-padrão original de 10.000. Só que aí, 
todos os elementos desse conjunto sofreram um aumento de 10%, ou seja, todos os 
elementos foram multiplicados pela constante 1,10. 
 O que ocorre com o novo desvio-padrão? 
 Segundo reza a propriedade, será ele também multiplicado pela mesma 
constante. 
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 Daí: 
 Æ (Novo S) = (Antigo S) x 0,10 = 10000 x 0,10 = 11.000 Æ Resposta! 
 
 Caso a questão tivesse dito que todos os funcionários ganharam um abono 
salarial de R$200,00, então a história já seria diferente! Ganhar um abono é somar! Não 
é verdade? E se os elementos do conjunto original fossem todos somados a uma 
constante, o que ocorreria com o valor do desvio-padrão? Nada! Uma vez que o desvio-
padrão não sofre influência de operações de soma ou subtração! 
 Adiante. 
 
 
29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral 
M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a 
opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 
 
Sol.: Essa questão é campeã de e-mails. Simples, porém interessante. 
 Pra começo de conversa, temos que saber o que está sendo requerido pelo 
enunciado. É o coeficiente de variação. O conceito desta medida é o seguinte: 
X
SCV = 
 Ou seja: desvio-padrão sobre a média. 
 O curioso foi que a questão trouxe uma transformação da variável original. Essa 
transformação consiste em duas operações realizadas com os elementos da variável X: 
uma subtração por 200 e uma posterior divisão por 5. Podemos dar um nome à nova 
variável transformada. Podemos chamá-la variável Y. 
 
Daí, teremos: 
( )
5
200−= XY 
 É recomendado, neste caso, fazermos o desenho da transformação da variável, 
que nada mais é que um espelho das operações acima descritas. Teremos: 
 
 
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 
 
 Este caminho em azul é o nosso caminho de ida. É aquele que nos conduz da 
variável original X para a variável transformada Y. As operações que compõem o 
caminho de ida são justamente aquelas trazidas na própria equação de transformação 
da variável, fornecida pelo enunciado. 
 
Agora, completemos o desenho acima, construindo o caminho de volta, que é um 
mero retorno, da variável transformada Y para a variável original X. Para isso, basta 
invertermos as operações do caminho de ida. Onde havia divisão, será produto; onde 
havia subtração, passaremos a ter uma soma. E a ordem das operações também 
inverte: onde começou em cima, terminará em baixo, e vice-versa. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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11
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 
 
 
 2º)+200 1º)x5 
 
 Feito isto, tomaremos do enunciado os dados que foram fornecidos. Vemos então 
que a questão nos deu os valores da Média e do Desvio-Padrão da variável 
transformada! E quem é a nossa variável transformada? É a Y. Daí, teremos: 100=Y e 
Sy=13. 
 Ora, o que nos interessa descobrir é o valor do CV da variável X. Para isso, 
teremos que conhecer os valores da Média e do Desvio-Padrão desta variável original. 
Colocando no desenho acima os valores conhecidos, teremos: 
 
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 100=Y e Sy=13 
 
 
 2º)+200 1º)x5 
 
 
 Trabalhemos primeiramente com a média 100=Y . Partindo do lado do Y, com o 
valor Y , e percorrendo as operações do caminho de volta (em vermelho!), chegaremos 
ao valor da média da variável X. 
 Só precisaremos nos lembrar das propriedades da média. E aqui fica muito fácil, 
uma vez que a média é influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, 
subtração, produto e divisão). Ou seja, trabalhando com a média, efetuaremos toda e 
qualquer operação que apareça no caminho de volta. Teremos: 
 
 Æ 1ª operação) 100 x 5 = 500 
 
 Æ 2ª operação) 500 + 200 = 700 Æ Daí: X =700 
 
 Agora, resta-nos trabalhar com o desvio-padrão! Partiremos do lado do Y, com 
o valor Sy=13, e percorreremos novamente o caminhode volta (em vermelho), para 
chegarmos ao desvio-padrão da variável original, ou seja, para chegarmos ao Sx. 
 Só que agora teremos de nos lembrar das propriedades do desvio-padrão. 
Teremos: 
 
 Æ 1ª operação) 13 x 5 = 65 
 
 Æ 2ª operação) Não será realizada! Æ Daí: Sx=65 
 
 E agora, alguém me diga por que não fizemos a segunda operação acima! Muito 
simples: porque o desvio-padrão não sofre influência de operações de soma ou 
subtração! É o que nos ensina a propriedade. 
 
 Pois bem! Agora que já dispomos dos dois valores relativos à variável original X, 
ou seja, agora que sabemos sua média e seu desvio-padrão, só nos falta aplicar a 
fórmula do Coeficiente de Variação. 
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Teremos: 
 
Æ 093,00928,0
700
65 ≅===
X
SCV Æ CV=9,3% Æ Resposta! 
 
Só a título de lembrança: o coeficiente de variação é também chamado de 
Dispersão Relativa, e será sempre uma medida adimensional. Ok? Próxima! 
 
 
46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 
 
Sol.: Coeficiente quartílico de assimetria é uma fórmula na qual só aparecem Quartis. 
Daí, o nome quartílico. Esse nome já ajuda a relembrar a fórmula, que é a seguinte: 
 
 Æ 
13
213 .2
QQ
QQQA −
−+= 
 
 Onde: Æ Q1 é o primeiro quartil; 
 Æ Q2 é o segundo quartil; e 
 Æ Q3 é o terceiro quartil. 
 
 Só recordando, Q2 (segundo quartil) é sinônimo de Mediana. Pois bem! Questão 
braçal. Teremos, contudo, que treinar bastante em casa, para não perdermos muito 
tempo na hora de fazer uma questão assim na prova. 
 Antes de começarmos os cálculos dos Quartis, construamos logo a coluna da 
freqüência absoluta acumulada crescente. 
 
Teremos: 
 
Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
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 Agora, sim: comecemos pelo primeiro quartil (Q1). 
 
 Temos que n=100 e a fração do Q1 será sempre (n/4). Daí: (n/4)=25. 
 
 Próximo passo: comparar os valores da fac com esse valor 25, fazendo aquela 
pergunta já nossa conhecida: “esta fac é maior ou igual a (n/4)?” 
 Teremos: 
 
Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 Æ 4 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 Æ 12 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 Æ 26 é ≥ 25? SIM! 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 Daí, a terceira classe (49,5 a 59,5) é a classe do primeiro quartil. Vamos agora 
desenhá-la e preparar a regra-de-três que nos dirá o valor de Q1. Teremos: 
 
 10 
 
 
 X 
 
 49,5 Q1 59,5 
 
 
 12 25 26 
 
 13 
 
 
 14 
 
 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte: 
 
Æ 
1314
10 X= Æ X=130/14 Æ X=9,28 
 
Daí, para chegarmos ao primeiro quartil, somaremos o limite inferior da classe 
mais o valor do X encontrado. Teremos: 
 
Æ Q1=49,5+9,38 Æ Q1=58,78 
 
 Passemos ao segundo quartil (Q2). 
 A fração do Q2 é a mesma fração da Mediana, uma vez que ambos são, na 
verdade, a mesma coisa: (n/2) 
 Teremos que, se n=100, então (n/2)=50. 
 Comparemos agora os valores da fac com esse valor de (n/2), fazendo a 
pergunta de praxe: 
 
 
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Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 Æ 4 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 Æ 12 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 Æ 26 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
59,5-69,5 20 46 Æ 46 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
69,5-79,5 26 72 Æ 72 é ≥ 50? Sim! 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 Descobrimos quem é a classe do Q2. Façamos agora o desenho da classe e 
preparemos a regra-de-três. Teremos: 
 
 10 
 
 
 X 
 
 69,5 Q2 79,5 
 
 
 46 50 72 
 
 4 
 
 
 26 
 
 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte: 
 
Æ 
426
10 X= Æ X=40/26 Æ X=1,54 
 
Daí, teremos que Q2 será:. Teremos: 
 
Æ Q2=69,5+1,54 Æ Q2=71,04 
 
 Agora, o Q3, terceiro quartil. A fração do Q3 é (3n/4). Sendo n=100, teremos 
que (3n/4)=75. Daí, comparando as fac com esse valor 75, teremos: 
 
Classes Fi fac 
29,5-39,5 4 4 Æ 4 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 Æ 12 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 Æ 26 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
59,5-69,5 20 46 Æ 46 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
69,5-79,5 26 72 Æ 72 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
79,5-89,5 18 90 Æ 90 é ≥ 75? Sim! 
89,5-99,5 10 100 
 
 O desenho auxiliar para determinação do Q3 será o seguinte: 
 
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 10 
 
 
 X 
 
 79,5 Q3 89,5 
 
 
 72 75 90 
 
 3 
 
 
 18 
 
 Nossa regra-de-três ficará, portanto: 
 
Æ 
318
10 X= Æ X=30/18 Æ X=1,67 
 
Daí, teremos que Q3 será: 
 
Æ Q3=79,5+1,67 Æ Q3=81,17 
 
 Uma vez de posse dos valores de Q1, Q2 (=Md) e Q3, resta-nos aplicar tais 
valores na fórmula do coeficiente quartílico de assimetria. Teremos: 
 
Q1=58,78 Q2=71,04 Q3=81,17 
 
Æ 
13
213 .2
QQ
QQQA −
−+= Æ 095,0
39,22
13,2
78,5817,81
04,71278,5817,81 −=−=−
−+= xA Æ Resposta! 
 
 
 
 
4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 
12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 
18% ao ano, desprezando os centavos. 
d) R$ 705,00 d) R$ 720,00 
e) R$ 725,00 e) R$ 735,00 
f) R$ 715,00 
 
Sol.: Mais uma questão de Juros Exatos! Relembrando: quando o enunciado falar neste 
tipo de juros simples, trabalharemos com a unidade dia. Tanto na taxa, quanto no 
tempo, já que taxa e tempo têm que estar sempre na mesma unidade! 
 E o mais importante: na contagem dos dias, consideraremos o nosso calendário 
convencional, de 365 dias (ou 366, caso o ano seja bissexto). 
 Primeiro passo: fazer a contagem dos dias. 
 
 Teremos: 
 
 
 
 
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meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Abril 30 
Maio 31 
Junho 30 
Julho 31 
Agosto 31 
Setembro 30 
 
 Agora, temos que saber quantos dias de cada um desses foram efetivamente 
utilizados na operação. Os meses que nem são o primeiro e nem o último foram 
integralmente utilizados. Quanto ao último mês é só repetir a data em que terminou a 
operação. Já no tocante ao primeiro mês, faremos uma subtração: número de dias do 
mês menos dia do início da operação. Fazendo isso tudo, teremos: 
 
Meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Dias utilizados 
na operação 
Abril 30 18 (=30-12) 
Maio 31 31Junho 30 30 
Julho 31 31 
Agosto 31 31 
Setembro 30 5 (último dia) 
 Total n=146 dias 
 
 Já temos o tempo em dias. Precisamos agora transformar a taxa também para a 
unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas 
proporcionais, teremos que: 
 
Æ 18% ao ano = (18/365)% ao dia 
 
 Percebamos que a divisão acima é por 365, já que os juros são exatos! 
 
 Pronto, agora só resta aplicar o esquema ilustrativo para resolução de operações 
de juros simples. Teremos: 
 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
 
 Lançando os dados na equação, teremos: 
 
 
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ni
JC
.100
= Æ 
146.
365
18100
10000
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
J
 Æ 
2,7
100 J= 
 
Æ J = 720,00 Æ Resposta! 
 
 
10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual 
seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 
c) R$ 9.500,00 
 
Sol.: Questão de resolução quase imediata! Estamos no regime simples, e o enunciado 
vem falar de uma relação entre os valores do desconto por fora e do desconto por 
dentro. Sempre que isso ocorrer, já podemos colocar no papel a fórmula seguinte: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
100
.1. nidd df 
 
 Esta fórmula, só lembrando, fornece a relação entre os dois tipos de desconto 
simples – por dentro e por fora – considerando mantidas a mesma taxa e o mesmo 
tempo de antecipação. 
 Tudo o que precisamos é que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Estão? 
Sim. Daí, basta lançar os dados na equação. Teremos: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
100
.1. nidd df Æ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
100
331.9810 xdd Æ dd=(9810/1,09) Æ dd=9000, Æ Resposta! 
 
 Parece brincadeira, mas questões exatamente como essa acima caíram em 
praticamente todas as últimas provas do auditor-fiscal da Receita. Se repetirem a dose, 
temos que resolvê-la sem demorar muito, para deixar mais tempo para questões mais 
difíceis. 
 
 
18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à 
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a 
convenção linear para cálculo do montante. 
a) 22,5% d) 26,906% 
b) 24% e) 27,05% 
c) 25% 
 
Sol.: Questões de convenção linear têm sido uma constante nas provas da Esaf. Já 
sabemos bem do que se trata. É uma operação de juros compostos, que será resolvida 
por este método alternativo. Quando iremos resolver os juros compostos pela 
convenção linear? Quando o enunciado assim o determinar! Ou, excepcionalmente, 
quando não houver outra saída senão utilizá-lo! Mas essa é uma situação extremamente 
excepcional. Veremos neste curso uma questão assim. 
 
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18
 Na aula um, aprendemos como resolver esta operação. Faremos isso aplicando a 
fórmula abaixo: 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Antes de mais nada, vamos trabalhar com a taxa e o tempo, tornando-os 
compatíveis. Aliás, sabemos que na convenção linear o tempo será descrito em duas 
distintas unidades, sendo que a unidade maior será a mesma unidade da taxa. 
 Temos que a taxa é semestral (i=10% a.s.) e o tempo é de 15 meses. 
 Daí, teremos que transformar esses 15 meses em duas unidades, de modo que a 
maior delas seja exatamente o semestre. 
 Ora, um semestre tem seis meses; dois semestres têm doze. Para quinze, faltam 
três. Ou seja: 15 meses = 2 semestres e 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre. 
 Pronto. Conseguimos nosso objetivo. Agora já podemos lançar os dados na 
equação. Antes disso, só uma observação: o enunciado pede o cálculo dos juros como 
porcentagem do capital. Daí, já aprendemos isso, chamaremos o elemento de 
referência, neste caso o Capital, de 100. Teremos: 
 
Æ ( ) ( )5,010,01.10,01.100 2 xM ++= Æ M=127,05 
 
 A questão pede os juros. Sabemos que os juros são a diferença entre o Montante 
e o Capital. Daí: 
 Æ J = M – C Æ J = 127,05 – 100 Æ J=27,05 
 
 Como atribuímos o valor 100 ao Capital, então basta acrescentarmos o sinal de 
porcentagem (%) aos juros! Teremos: 
 
Æ J=27,05% do Capital Æ Resposta! 
 
 
34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto 
outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os 
dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum 
levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor 
do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto 
mês. 
d) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 
e) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 
f) R$ 33.538,25 
 
Sol.: Questão típica da Esaf, uma vez que reúne dois assuntos num só: equivalência 
composta de capitais e convenção linear! Comecemos pelo desenho da questão. 
Teremos: 
 X 
 20.000, 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 1m 3,5m 
 (I) (I) (II) 
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19
 O regime é o composto, uma vez que o enunciado falou expressamente que a 
taxa é de juros compostos. Logo, as operações que faremos aqui serão de desconto 
composto por dentro. 
 Qual será a nossa data focal? Pode ser qualquer uma, como já sabemos, pois na 
equivalência composta a escolha da data focal é livre! Todavia, a título de sugestão, 
adotaremos como data focal a mais à direita do desenho. Assim,trocaremos divisões por 
produtos. Não é verdade? 
 Os passos preliminares de resolução já foram todos feitos. Agora, passemos aos 
passos efetivos. Teremos: 
 
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. Começando pela 
parcela R$10.000 que está na data zero. Teremos: 
 E 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 3,5m 
 
 Daí, percebemos que a operação de desconto composto por dentro é a mesma 
que a de juros compostos. E que o tempo desta operação acima é quebrado, ou seja, 
não é um número inteiro! Daí, teremos que usar a fórmula da convenção linear, como o 
próprio enunciado nos manda fazer. Daí, teremos que: 
 
Æ ( ) ( )5,004,01.04,01.10000 3 xE ++= Æ E=11.473,61 
 
 Agora, trabalhando com a parcela de R$20.000, teremos: 
 
 F 
 20.000, 
 
 
 
 
 
 
 1m 3,5m 
 
 Atentemos para o fato de que a distância entre os 20.000 e a data focal agora 
será de dois meses e meio. Novamente, vamos aplicar a fórmula da convenção linear, 
porque assim foi determinado pelo enunciado. Teremos: 
 
Æ ( ) ( )5,004,01.04,01.20000 2 xF ++= Æ F=22.064,64 
 
 O segundo passo da questão seria transportar para a data focal as parcelas da 
segunda obrigação. Ora, a única é o próprio X que já está localizada na data focal. Ou 
seja, o segundo passo já está feito. 
 
 Como terceiro passo, aplicaremos a equação de equivalência de capitais, de modo 
que teremos que: 
 
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20
 
∑ (I)DF = ∑ (II)DF Æ E + F = X 
 
Daí: Æ X = 11.473,61 + 22.064,64 Æ X=33.538,25 Æ Resposta! 
 
 
40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária 
no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo 
devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a 
pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que 
custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas 
condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se 
aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 
b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 
c) R$ 1.800,00 
 
Sol.: Questão muito parecida com outra que caiu em prova de AFRF, confirmando a tese 
de que as questões, vez por outra, se repetem ou se assemelham bastante! 
 O segredo desta questão é descobrir qual será o valor total a ser amortizado nas 
parcelas mensais. Ou seja, saber qual será o valor total a ser diluído nas parcelas! 
 Ora, o carro custa R$22.000,00. Só que vai ser dada uma entrada de 20%. 
Quanto é 20% de vinte e dois mil? 
 
Æ 00,400.4000.22
100
20 =x = Entrada! 
 
 Se o bem à vista custava R$22.000 e eu pago R$4.400 de entrada, vai ficar 
faltando pagar somente a diferença. Teremos: 
 
 Æ 22.000 – 4.400 = 17.600,00 (= o que resta pagar do carro!) 
 
 Se a questão não dissesse mais nada, já teríamos o valor a ser amortizado nas 
parcelas. Só que ela disse: há mais dois valores que serão igualmente diluídos nas 
prestações. São os seguintes: seguro de R$2.208 e taxa de abertura de crédito de 
R$100. Somando esses encargos adicionais, teremos: 2.208 + 100 = 2.308,00 
 E adicionando este valor ao do restante do carro que resta pagar, teremos que o 
valor total a ser amortizado será de: 17.600 + 2.308 = 19.908,00 
 Finalmente, aplicando a equação da amortização, teremos que: 
 
 Æ T = P . An¬i Æ 19.908 = P . A12¬3% Æ P=19.908/ A12¬3% 
 
 Consultando a Tabela Financeira do fator de amortização, encontraremos que: 
A12¬3% = 9,954004. Daí, teremos, finalmente, que: 
 
 Æ P = 19.908 / 9,954004 Æ P=1.999,99≈ 2.000,00 Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21
54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de 
uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 
1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 
b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 
c) US$ 930.00 
 
Sol.: Esta questão sozinha dá um tratado..., mas vou tentar explicar da forma mais 
simplificada possível. 
Suponhamos que não se trata de um país, mas de uma pessoa. Ora, essa pessoa 
fez hoje um empréstimo. Obviamente que se pegou uma quantia emprestada hoje, terá 
que devolvê-la no futuro. Também sabemos que, se estamos numa questão de 
matemática financeira, o dinheiro nunca fica parado, de sorte que o que vai ser 
devolvido no futuro terá de ser uma quantia maior do que a que foi emprestada. (Caso 
contrário, estaríamos tratando de empréstimo de mãe, e as mães, como é fato cediço, 
não participam das questões de matemática financeira!). 
Pois bem! A forma de devolução deste empréstimo será feita de um modo muito 
peculiar: várias parcelas de mesmo valor e pagas em períodos de tempo iguais (mesma 
periodicidade) e, no final, um último pagamento em um valor próximo do que foi 
tomado emprestado. (Próximo ou até mesmo igual!). Vejamos ilustrada essa situação: 
 
 
 X Y 
 
 
 P P P P P P P 
 
 . . . 
 
 
Onde o traço em azul X é o valor do empréstimo, feito hoje (data zero), e as 
parcelas em vermelho são as de devolução. 
Observemos que na última data da devolução, a parcela menor vem 
acompanhada de outra (Y), num valor que pode ser igual ou bem próximo do valor do 
empréstimo! 
Pelo desenho acima, vemos que o número de parcelas P pode ser qualquer um. 
 
Agora vamos traçar o paralelo entre a situação acima e a apresentada pelo 
enunciado. 
Não temos mais uma pessoa, temos um país. Mas a coisa continua simples. Só 
temos que nos adaptar à linguagem da questão: 
Æ o valor do empréstimo X, na data zero, passa a ser o preço de lançamento do 
bônus. É o que está sendo solicitado pelo enunciado. 
Æ as parcelas P serão os nossos cupons. Neste enunciado, os cupons são doze e 
são semestrais. Todos no valor de U$60,00 (sessenta dólares). 
Æ o valor Y em vermelho, na última data do desenho, será o valor nominal do 
título. Neste caso, o título é um bônus, logo temos o valor nominal do bônus. 
 
 
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Em suma: o país pegou um valor emprestado. A este valor corresponde o preço 
de lançamento de um determinado título. Normalmente esse título será um bônus. Daí, 
se pegou emprestado vai ter que devolver. Para isso, usará diversas parcelas iguais e 
periódicas, ditas cupons. E além dos cupons e na data do último deles, haverá uma 
última parcela de devolução, que é o valor nominal do título. Este título, como vimos, 
será normalmente um bônus. 
Está feito! 
Equivalência composta de capitais! O que eu peguei emprestado (data zero) tem 
que ser equivalente ao que eu vou devolver no futuro! Regime composto e as operações 
serão de desconto composto por dentro, como já é do nosso conhecimento. Só isso! 
Então agora vamos desenhar o enunciado, exatamente como foi fornecido. 
Teremos: 
 
 X 1.000,00 
 
 
 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 
 
 
 
 
Qual o nosso objetivo? Transportar todos os valores em vermelho (cupons e valor 
nominal do título) para a data zero! 
Por que dissemos que o regime dessa questão é o composto? Por causa da taxa 
fornecida pelo enunciado. Ele disse: taxa de juros nominal de 14% ao ano. Ora, taxa 
nominal é sempre taxa composta! Mas nos lembramos que uma taxa nominal é aquela 
acompanhada das palavras com capitalização...! Não é mesmo? E aqui, neste caso, em 
que foi dito apenas taxa nominal de 14% ao ano, e não foi dito qual o período de 
capitalização? O que faremos? 
Neste caso, basta olhar para a periodicidade das parcelas trazidas no desenho da 
questão. São parcelas o quê? Semestrais. Logo, a leitura desta taxa nominal será a 
seguinte: taxa de 14% ao ano, com capitalização semestral. 
Também aprendemos que as taxas nominais têm que ser transformadas em taxas 
efetivas! E que o tempo da taxa efetiva é sempre o mesmo tempo da capitalização. 
Ademais, para efetuar essa alteração (taxa nominal para taxa efetiva), faremos uso do 
conceito de taxas proporcionais. 
Logo, nossa taxa efetiva será: 
Æ 14% ao c/ capitalização semestral = (14/2) =7% ao semestre! 
 
Agora, sim! Trabalhemos primeiramente com os doze cupons semestrais. Temos 
aí parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais, e uma taxano regime 
composto. Com essas três características, podemos trabalhar numa operação de 
Amortização, trazendo todos esses cupons para a data zero (um período antes da 
primeira parcela)! Teremos: 
 
 Æ T=P.An¬i Æ T=60 . A12¬7% Æ T=60x7,942686 Æ T=476,56 
 
 Este valor T representa todos os doze cupons de U$60,00. 
 Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos 
isso, conforme aprendemos, por meio de uma operação de desconto composto por 
dentro. 
 
 
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Teremos que: 
 
Æ 1000=E.(1+0,07)12 Æ E=1000/(1+0,07)12 
 
Daí: Æ E=1000/(1+0,07)12 Æ E=1000/2,252191 Æ E=444,01 
 
 Observemos que fizemos duas consultas, a duas tabelas financeiras distintas: 
trabalhando com os cupons, consultamos a tabela do fator de amortização An¬i . E no 
segundo momento, trabalhando com o valor nominal do título, consultamos a tabela do 
parênteses famoso (1+i)n. 
 Neste nosso curso, eu estou supondo que todos já saibamos efetuar estas 
consultas! Estou supondo certo, não estou? 
 Agora sim: estamos prontos para compor o resultado final da nossa questão: 
 Æ Resultado do nível dos cupons de 60: US$ 476,56 
 Æ Resultado do bônus de 1000: US$444,01 
 
 Daí: X=476,56+444,01 Æ X=920,57 Æ Resposta! 
 
61. (AFC-2005) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e 
recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. 
Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, 
respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês 
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês 
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano 
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano 
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês 
Sol.: 
 O enunciado apresenta elementos de uma operação de desconto comercial 
simples, ou seja, o desconto simples por fora! Daí, trabalharemos com base no esquema 
ilustrativo deste tipo de desconto, que é o seguinte: 
 N 
 A 
 100-i.n 100 
 
 Df 
 i.n 
 
 Daí, como a questão forneceu o valor atual e pede o valor nominal, trabalharemos 
com esses dois elementos. Nossa equação será, portanto, a seguinte: 
Æ 
ni
AN
.100100 −= 
 
 Sabemos que a exigência a ser cumprida para aplicarmos a equação acima é que 
tenhamos taxa e tempo na mesma unidade! 
 Aqui, temos uma taxa de 60% ao ano e o tempo de 45 dias. Ora, ficou fácil 
vermos que a unidade mês parece ser bem conveniente. Daí, diremos que: 
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 Æ 45 dias = 1,5 mês 
 Æ 60% ao ano = (60/12) = 5% ao mês 
 Pronto. Lançando os dados na equação, teremos: 
Æ 
ni
AN
.100100 −= Æ 5,15100
000.370
100 x
N
−= Æ N=400.000,00 Æ Resposta! 
 
 Agora a questão pergunta qual é a taxa efetiva desta operação. Ora, estando no 
regime simples, taxa efetiva significará apenas uma taxa de desconto simples por 
dentro! Ou seja, conhecemos a taxa de desconto simples por fora, e queremos 
encontrar a taxa de desconto simples por dentro correspondente! 
 Ora, se soubéssemos que – comparando as taxas de desconto simples por dentro 
e por fora – encontraremos sempre que a taxa por dentro é maior que a taxa por fora 
(considerando o mesmo título e o mesmo tempo de antecipação), já teríamos condições 
de dizer qual a resposta da questão! 
 Todavia, caso não nos lembremos dessa informação, o cálculo desta taxa efetiva 
se faz da seguinte forma: 
Æ n
idif
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 100100
 
 Daí, teremos: 
Æ n
idif
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 100100
 Æ 5,1100
5
100 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
id
 Æ 5,110020 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
id
 
 
Æ 5,18100 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
id
 Æ 
5,18
100=id Æ id=5,4% ao mês Æ Resposta! 
 
 Com isso, chegamos à opção de resposta D. 
 
62. (AFC-2005) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros 
de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa 
de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais 
próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, 
iguais a: 
a) 69 % e 60 % 
b) 60 % e 60 % 
c) 69 % e 79 % 
d) 60 % e 69 % 
e) 120 % e 60 % 
Sol.: 
A questão nos forneceu duas taxas nominais. Como primeiro passo, 
transformaremos ambas em suas respectivas taxas efetivas. Teremos: 
Æ Banco A: 60%a.a., com capitalização semestral =(60/2)=30% ao semestre 
Æ Banco B: 30%a.s., com capitalização mensal =(30/6)=5% ao mês 
 Pois bem! Agora a questão pede que transformemos essas duas taxas efetivas 
encontradas em taxas anuais! 
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 Aqui usaremos de astúcia! A boa astúcia, é claro! Aquela que nos faz enxergar os 
atalhos da prova e resolver mais rapidamente a questão! 
 Ora, se as taxas efetivas encontradas acima fossem (não são!) taxas no regime 
simples, transformando-as em taxas anuais, teríamos: 
Æ 30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano 
Æ 5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano 
 Vejam que o conceito que acabamos de usar foi o de Taxas Proporcionais, usado 
sempre no regime simples. 
 Porém, como estamos de fato trabalhando com taxas efetivas compostas, 
teríamos, para alterá-las, que usar o conceito de Taxas Equivalentes. Aí é que mora a 
astúcia: o resultado das taxas equivalentes e sempre maior que o resultado das taxas 
proporcionais. 
Daí, concluímos que as duas taxas exigidas pela questão terão que ser, ambas, 
maiores que 60%. Só há uma opção de resposta que atende essa condição: a letra C. 
Resposta: C 
 
 
É isso, meus amigos! 
Enquanto a Medida Provisória 258 não é aprovada, e o edital não sai, fazemos 
muito bem em estudar o máximo possível, e resolver o maior número de questões de 
provas passadas, tentando sempre contemplar todas as disciplinas! 
Tenho convicção de que resolver provas passadas é o verdadeiro caminho da 
aprovação, e digo isso aos meus alunos presenciais, onde quer que esteja dando aula. 
Ficamos hoje por aqui! 
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!