Exercícios 4 concurso Receita Federal

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1
AULA 04 
 
 Meus queridos amigos! 
 Com a liberação do edital para Fiscal da Receita, torna-se ainda mais urgente a 
necessidade de resolvermos o maior número possível de questões de provas passadas! 
O tempo para aprender matérias novas, nunca antes vistas, é exíguo! Todavia, em face 
das novidades do programa, penso que quase a totalidade dos candidatos a uma vaga 
de AFRB estão nessa situação incômoda: ter que estudar matérias novas. 
 O que fazer nesse caso? Como dividir o tempo, tão curto, entre a fixação das 
matérias novas e a manutenção das matérias já vistas? Aí é que entra a importância da 
resolução de provas passadas! Elas servirão para manter em dia o que já foi estudado! 
E com isso, sobra tempo para aprender o que for novo! 
 Sem mais delongas, passemos ao nosso simulado de hoje! 
 Espero que todos estejam se dedicando a resolver as questões. 
 Agora, marque o tempo e pode começar! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de 
uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são 
acumuladas. 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
 
Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüên
cias 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
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10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 
 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa 
continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . 
Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas 
sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas 
condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital 
inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. 
a) 4,70% d) 4,88% 
b) 4,75% e) 4,93% 
c) 4,80% 
 
14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco 
comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta 
este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar 
em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante 
para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três 
meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do 
empréstimo que utilizou em proveito próprio. 
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a) 12% ao trimestre 
b) 14% ao trimestre 
c) 15% ao trimestre 
d) 16% ao trimestre 
e) 18% ao trimestre 
 
22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal 
de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% d) 12,6162% 
b) 12,6825% e) 12,5508% 
c) 12,4864% 
 
27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 
672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 
b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 
c) R$ 624,47 
 
35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 
600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois 
compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao 
acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor 
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os 
centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 
c) R$ 1.584.000,00 
 
 
44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de 
uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor 
de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por 
estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução 
da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da 
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova 
prestação do financiamento. 
a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 
b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 
c) R$ 151.342,00 
 
37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser 
amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e 
assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do 
financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. 
a) R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 
c) R$ 10.252,62 
 
 
 
 
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51. (AFRF-1996) Uma pessoapaga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de 
um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 
14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., 
capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos 
afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: 
a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de 
uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são 
acumuladas. 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
Sol.: Vocês já devem ter percebido que muito temos nos utilizado de regras-de-três 
simples para resolver diversas questões de Estatística. Não é verdade? Estas tais 
regras-de-três têm sido úteis, e bastante práticas, na ocasião de resolvermos questões 
para cálculo das Medidas Separatrizes (Mediana, Quartil, Decil, Centil) e na Interpolação 
Linear da Ogiva (que é este caso!). 
 Como saber que uma questão é de Interpolação Linear da Ogiva? Basta ver a 
pergunta do enunciado! Se é fornecida uma Distribuição de Freqüências, e a questão 
pede que encontremos o número (ou a porcentagem) de elementos do conjunto que 
está abaixo (ou acima) de um determinado limite, e este limite está inserido em uma 
das classes da distribuição (não coincidindo nem com o limite inferior, e nem com o 
limite superior de qualquer das classes), então pronto! 
 Por exemplo, se esta nossa questão, cuja tabela fala em salários anuais, 
perguntasse: “quantas pessoas ganham salários anuais abaixo de R$10.000?” Ora, 
iríamos procurar, entre as classes, onde estaria esse valor R$10.000. E perceberíamos, 
então, que ele está inserido na quarta classe (entre R$9.500 e R$11.000), mas não 
coincide nem com o limite inferior (R$9.500) e nem com o limite superior (R$11.000). 
 Daí, fica patente: teremos que usar a tal interpolação linear da ogiva! 
 Tomando essa hipótese que eu criei, salários abaixo de R$10.000, teremos que as 
três primeiras classe participam integralmente do resultado. Concordam? Uma vez que 
essas classes contemplam salários de até R$9.500,00. Viram isso? Pois bem! Mas aí 
chega a quarta classe (R$9.500 a R$11.000), e percebemos que esta classe participará 
apenas parcialmente do resultado, uma vez que somente parte dela contempla salários 
abaixo de R$10.000! 
 Daí a necessidade de criarmos uma regra-de-três, para descobrirmos qual será a 
participação desta quarta classe na resposta! É só isso que é a interpolação da ogiva. 
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Essa regra-de-três, como já tivemos oportunidade de ver em aulas passadas, será feita 
usando essa classe que terá participação parcial na resposta. Na parte de cima do 
desenho, colocaremos os limites da classe. Assim: 
 
 linf lsup 
 
 
 
 Para completar o desenho, trabalharemos agora com as freqüências acumuladas 
crescentes associadas a cada um destes limites. Estas freqüências acumuladas 
crescentes serão absolutas (fac), caso estejamos trabalhando com número de 
elementos, ou serão relativas (Fac), caso estejamos trabalhando com percentual de 
elementos! 
 Como saber qual é a freqüência acumulada crescente associada a cada limite da 
classe? É bem fácil: associada ao limite inferior da classe será a fac (ou Fac) da classe 
anterior! E associada ao limite superior da classe será a fac (ou Fac) da própria classe. 
Sempre assim! O desenho completo seria: 
 
 linf lsup 
 
 
 fac fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 Ou, caso estejamos trabalhando com valores percentuais: 
 
 linf lsup 
 
 
 Fac Fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 No caso desse exemplo que eu estou criando (percebam que eu ainda não 
comecei a resolver a primeira questão do simulado de hoje!), estamos trabalhando com 
número de elementos (e não percentuais!), e estamos trabalhando com a quarta classe 
(9.500 a 11.000), de sorte que teríamos o seguinte: 
 
 9500 11000 
 
 
 52 74 
 
 Observem que essas fac associadas aos limites da classe representam as 
posições que aqueles limites ocupam no conjunto. Ou seja, com base no desenho 
acima, diremos que já foram acumuladas 52 posições até o limite 9500. Ou ainda, 52 
pessoas têm salário até 9.500 (abaixo de 9.500). E 74 pessoas têm salário até 11.000. 
 Daí, para tornar o desenho completo de fato, temos que ver o que a questão 
pergunta! Se for fornecido um valor inserido na classe, esse valor ficará na parte de 
cima do desenho, e encontraremos a fac associada a este valor. É o caso desse 
exemplo. A questão perguntaria: quantas pessoas ganham abaixo de 10.000? Faríamos: 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
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 Interessa-nos os salários abaixo ou acima de R$10.000? Abaixo. Logo, 
destacaremos esse pedaço da classe que é o de nosso interesse. Assim: 
 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
 
 De resto, faríamos algumas subtrações, para chegarmos aos valores que iriam 
compor a regra-de-três, da seguinte forma: 
 
 1500 (=11000-9500) 
 
 
 500 (=10000-9500) 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
 
 X 
 
 
 22 (=74-52) 
 
 O objetivo agora é descobrir o X do desenho acima. A regra-de-três é feita 
assim: temos dois valores em azul (1500 e 22). Um em cima e um embaixo. Eles 
serão numerador e denominador do primeiro traço da regra-de-três. Teremos: 
 
......
......
22
1500 = 
 
 Temos também dois valores em vermelho, referentes apenas à parte da classe 
que é de nosso interesse (salários abaixo de R$10.000). Há um deles em cima (500) e 
outro embaixo (X). São os valores que complementarão nossa regra-de-três, que ficará 
assim: 
X
500
22
1500 = 
 
 Pronto! Calculando esse X, teremos que ele será justamente a participação da 
quarta classe no nosso resultado. Teremos: 
 
Æ X=(22x500)/1500 Æ X=22/3 Æ X=7,33 
 
 Depois disso, finalmente, restaria compor o resultado, lembrando que as três 
primeiras classes (como vimos) participam integralmente da resposta, acumulando (as 
três juntas) 52 elementos e a quarta classe participa com 7,33 elementos, como 
acabamos de calcular. Daí, nossa resposta seria: 
 
52+7,33=59,33 Æ Resposta! 
 
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 Bem! Esse é o primeiro formato da questão de Interpolação da Ogiva. Existe 
outro, que é exatamente o apresentado na nossa primeira questão de hoje, a qual 
passamos a resolver. 
 O que o enunciado está perguntando agora é qual o nível salarial, ou seja, qual o 
salário não ultrapassado por 79% da população. Em outras palavras: qual é o valor, 
inserido em alguma das classes da tabela, associada à posição 79%? 
 Percebamos que o enunciado veio nos falar em valores percentuais, de modo que 
trabalharemos com freqüênciasrelativas acumuladas crescentes (e não com 
freqüências absolutas)! 
 O que temos que fazer, na verdade, é saber com qual das classes iremos 
trabalhar para criar a nossa regra-de-três. Para isso, voltemos a olhar para a tabela: 
 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
 Temos que foram fornecidas duas colunas: a das classes, e a das freqüências 
absolutas acumuladas crescentes (fac). Ora, sabemos que a fac termina sempre com o 
n (número de elementos do conjunto). Daí, concluímos que n=100. 
 Vimos que teremos que trabalhar com freqüências relativas. Ocorre que se 
n=100 os valores das freqüências absolutas e relativas são os mesmos! Só teremos 
que acrescentar o sinal de percentual (%) na coluna das relativas. Claro! Daí, teremos: 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 O que pede mesmo a questão? Pede o valor do salário, ou seja, o valor na coluna 
das classes, que corresponde à Fac de 79%. Fica fácil, olhando para a tabela acima, 
afirmar que até a quarta classe já se acumularam 74% dos elementos. Não é verdade? 
Veja: 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Mas 74% é pouco! Queremos 79%! Daí, concluímos que teremos que avançar na 
próxima classe! Todavia, se avançarmos toda a classe seguinte, chegaremos já a 89%. 
Veja: 
 
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8
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Ou seja, avançando toda a quinta classe, passaríamos dos 79% desejados pela 
questão! Conclusão: o valor salarial questionado pelo enunciado, e que corresponde aos 
79% dos elementos do conjunto, está inserido na quinta classe da tabela (11.000 a 
12.500). Daí, é com esta classe que trabalharemos para formar nossa regra-de-três. 
 Uma vez que estamos falando em valores percentuais, o desenho que irá nos 
auxiliar a formar a regra-de-três será o seguinte: 
 
 linf lsup 
 
 
 Fac Fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 Substituindo os valores, teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 89% 
 
 Precisamos complementar o desenho! O que conhecemos? O valor salarial (entre 
os limites da classe) ou o percentual que indica a posição que aquele ocupa? 
Conhecemos o percentual. E é de 79%. Este valor, portanto, fica na parte de baixo do 
desenho. Teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 A quem estamos procurando? Ao limite não ultrapassado por 79%. Portanto, 
destacando esse pedaço da classe que nos interessa, teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 
 Agora resta descobrir os valores que formarão nossa regra-de-três. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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 1500 
 
 
 X 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 5% 
 
 
 15% 
Daí, nossa regra-de-três será a seguinte: 
 
%5%15
1500 X= Æ E: X=500 
 
 Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à 
resposta da questão. Teremos: 
 
 Æ 11.000 + X = 11.000 + 500 = 11.500 Æ Resposta! 
 
 Esta questão tem um atalho? Sim! E com esse atalho, dispensaremos qualquer 
cálculo e chegaremos à resposta de imediato! 
 Em que consiste esse atalho? Consiste apenas em olharmos para as opções de 
resposta! Vamos fazer isso? Aí estão elas: 
 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
 Ora, procuramos pelo valor, dentro das classes, associado a essa freqüência 
relativa acumulada de 79%. Daí, vejamos a tabela: 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Primeiro, descobrimos que a resposta terá que ser um valor inserido na quinta 
classe (11.000 a 12.500). 
Logo, poderia a resposta ser a opção a (10.000)? Não, uma vez que essa 
resposta está fora do intervalo da quinta classe. 
A mesma coisa ocorre com a opção b (9.500). Também está fora da quinta 
classe e, portanto, fora das chances de ser a resposta correta! 
E quanto à opção c (12.500)? Ora esse valor 12.500 é justamente o limite 
superior da quinta classe, ao qual está associada a freqüência 89%. 
Senão, vejamos: 
 
 
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10
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
Interessam-nos 79%, e não 89%. Logo, esta opção está descartada. 
 
No tocante à opção d, teremos que o valor 11.000 é o próprio limite inferior da 
quinta classe, associado, portanto, à freqüência 74%. Vejamos na tabela: 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
Não queremos 74%, queremos 79%. Resta, pois, descartada esta opção. 
 
Ora, se a resposta não pode ser nenhuma das quatro primeiras opções (a, b, c, 
d), significa que já sabemos qual será ela! A opção restante! 
 
Portanto, letra e, 11.500 Æ Resposta! 
 
 
Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüências 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 
 
 
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11
Sol.: Essa foi uma das primeiras ocasiões em que a Esaf trabalhou com o conhecimento 
de variáveis transformadas. Dê uma olhadinha na quarta coluna da tabela acima, logo 
após a dos Pontos Médios. Que tipo de coluna é essa? Ora, trata-se de uma coluna de 
transformação da variável original. Antes dela, tínhamos os Pontos Médios referentes à 
variável original. Até que então tomando esses Pontos Médios originais, fizemos com 
eles duas operações: subtraímos de 37 e depois dividimos por 5. 
 Com isso, passamos a trabalhar com os chamados Pontos Médios Transformados, 
que já não mais se referem à variável original, mas a uma variável transformada! 
 Quando a questão já trouxer pronta essa coluna de transformação da variável, 
então a aceitaremos da forma como foi fornecida. 
 Aqui estamos embusca da Média Aritmética. 
 Já sabemos que faremos uso do método da variável transformada para 
determinação da Média. 
 Os passos desse procedimento, os quais já são nossos conhecidos, são os 
seguintes: 
1º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios! 
 Já foi feito pelo enunciado! 
 
2º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. 
 Também já foi feito pela questão. 
 Caso não o tivesse sido, faríamos nós esse trabalho. E a título de sugestão, 
utilizaríamos as seguintes operações para construir essa coluna de transformação: 
 
h
PMPM o1−
 
 
 Ou seja, faríamos: Ponto Médio subtraído do valor do primeiro ponto médio, e 
tudo isso dividido pela amplitude da classe. Caso a questão não tivesse trazido a coluna 
de transformação já pronta, a que seria construída por nós seria a seguinte: 
 
5
22−PM
 
 
 Uma vez que 22 é o primeiro ponto médio (o da primeira classe) e 5 é a 
amplitude da classe. 
 Mas tudo bem! A questão já trouxe uma coluna de transformação, de sorte que a 
aceitaremos de pronto e sem reclamar! Repare que o Ponto Médio Transformado foi 
chamado pela questão de di. Poderia ser dado qualquer nome a esse ponto médio 
transformado! Quis a questão chamá-lo di. Tudo bem! 
 
3º Passo) Construir a coluna fi.di e descobrir qual é o somatório desta coluna. 
 Olha que beleza: a questão já fez isso! Trata-se da quinta coluna da tabela, logo 
após a coluna de transformação da variável. Teremos que ∑fi.di=16. 
 
4º Passo) Calcular a Média da Variável Transformada di , mediante aplicação da fórmula 
abaixo: 
n
difi
di ∑= . 
 
 Observemos que o valor do numerador já é nosso conhecido (16). E o n também 
foi dado da questão (n=100). Daí: 
16,0
100
16 ==di 
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12
 
5º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a 
Média da variável original. 
 Sabemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos que: 
 
diPM =−
5
37
 Æ ( ) diX =−
5
37
 Æ X -37=5x0,16 Æ X =0,8+37 
 
Æ X =37,8 Æ Resposta! 
 
Ou seja, essa questão já veio quase toda pronta! Questão feita para ser resolvida 
rapidamente! Próxima! 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
 
Sol.: Para cálculo da Mediana, usaremos aquela regra-de-três da qual tratamos na 
primeira questão de hoje! Os passos para determinação da Mediana são, pois, os 
seguintes: 
 
1º Passo) Descobrir quem é o n (número de elementos do conjunto) e calcular a fração 
(n/2). Sabemos que n=100. Logo (n/2)=50. 
 
2º Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). 
Teremos: 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
Total n=100 
 
3º Passo) Comparar o valor da fração (n/2) com os valores da coluna da fac que 
acabamos de construir. Essa comparação se fará mediante aquela pergunta de praxe 
que já conhecemos tão bem: “esta fac é maior ou igual a (n/2)?”. Começaremos a 
pergunta com a fac da primeira classe. Enquanto a resposta for “não”, passaremos 
para a fac da classe seguinte. Quando a resposta for “sim”, pararemos, procuraremos 
a classe correspondente e diremos que esta será a classe mediana! Teremos: 
 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
Æ 2 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 11 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 34 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
Æ 63 é ≥ a 50? SIM! (achamos a 
Classe Mediana!) 
Total n=100 
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13
4º Passo) Preparar o desenho auxiliar para feitura da regra-de-três. Esse desenho tem 
por base a classe mediana. Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites dessa 
classe; na parte de baixo, as freqüências acumuladas associadas a cada um desses 
limites. Teremos: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 E agora qual é o valor que está faltando para complementar o desenho acima? 
Ora, estamos buscando a Mediana. Logo, o valor que falta é justamente a fração da 
mediana, ou seja, (n/2), que é igual a 50. Este valor (50) indica que a Mediana ocupa 
a qüinquagésima posição no conjunto! E as posições dos elementos ficam, no desenho, 
indicados na parte de baixo! Teremos, portanto, que: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 Daí: 
 
 5 
 
 
 X 
 
 34,5 Md 39,5 
 
 
 34 50 63 
 
 16 
 
 
 29 
 
 Nossa regra-de-três será, pois, a seguinte: 
 
1629
5 X= Æ E: X=2,76 
 
 Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à 
Mediana. Teremos: 
 
 Æ 34,5 + 2,76 = 37,26 Æ Resposta! 
 
 
 Ok? Vamos pensar um pouquinho...! Vejamos que as duas questões acima 
foram trabalhadas para o mesmo conjunto, no caso, a mesma distribuição de 
freqüências. Primeiro, encontramos que a Média do conjunto é X =37,8. Depois 
encontramos que a Mediana é Md=37,26. 
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14
 Caso a próxima questão da prova viesse a perguntar acerca da situação de 
assimetria do conjunto. Ou seja, se quisesse saber se a distribuição é simétrica ou 
assimétrica à direita (assimetria positiva) ou assimétrica à esquerda (assimetria 
negativa). Será que já teríamos condição de responder a isso? 
 Claro que sim! E sem maiores esforços. Só teríamos que nos lembrar do 
desenho de uma distribuição assimétrica à esquerda, e de uma assimétrica à direita! E 
daí, uma vez que a Média tem valor maior que a Mediana, o desenho de assimetria para 
esta situação será o seguinte: 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 Conclusão: esta distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva! 
 Para responder às duas próximas questões, que são facílimas, teremos que estar 
atentos ao que nos diz o enunciado que se segue: 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da 
empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
Sol.: Ora, meus amigos! Vamos dar uma breve olhada no texto que havia sobre a 
tabela das questões anteriores. Vejamos: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüências 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
 Repararam na data? 
 Estávamos em 1º de janeiro de 1990! 
 Naquela data, as idades dos funcionários estava representada na tabela acima. 
 Só que agora, o enunciadopropõe que estamos no dia 1º de janeiro de 1996. E 
diz ainda que o quadro de pessoal da empresa permanece o mesmo, ou seja, nenhum 
dos funcionários que trabalhava lá em 1990 saiu de lá, e ninguém mais entrou! 
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15
 Pois bem! O que ocorre com a idade de uma pessoa, quando se passam seis 
anos? Ora, aquela idade será somada a seis, obviamente! 
 Daí, matamos a charada: a nova situação, na data 1º/jan/1996, corresponde a 
pegarmos todos os elementos do conjunto original (idades em 1º/jan/1990) e a todos 
eles adicionarmos a constante 6. 
 E o que pede essa questão? Pede justamente o valor da nova média das idades, 
nesta nova data 1º/jan/1996. 
 Ora, havíamos calculado a Média das idades em 1990. Deu 37,8 anos. E agora? 
 Agora recordaremos a propriedade da média, que reza que se somarmos todos os 
elementos do conjunto com uma constante, a nova Média será a média original também 
somada a essa mesma constante. 
 Daí, meramente com o uso desta propriedade, diremos que nova média será: 
 
 Æ X NOVA = X ORIGINAL + 6 Æ X NOVA = 37,8 + 6 Æ X NOVA = 43,8 Æ Resposta! 
 
 Questão de resolução imediata, caso nos lembrássemos das propriedades da 
Média. Só posso dizer que, no estilo de prova da Esaf de hoje, conhecer todas as 
propriedades é algo imprescindível! 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
Sol.: Esta questão é um retrato da anterior. Aquela propriedade da soma que usamos 
para a Média também se aplica, tal e qual, para a Mediana! 
 Sabemos que qualquer distribuição de freqüências pode ser representada por 
uma curva. É a dita curva de freqüências. Vejamos a curva abaixo, e suponhamos que 
ela é o retrato de um conjunto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pois bem! Se somarmos cada elemento do conjunto a uma constante, o efeito 
disso será um deslocamento na curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muda, portanto, a posição da curva! Daí, Média, Moda e Mediana, que são 
Medidas de Posição, serão igualmente influenciadas pela operação de soma! 
 Conclusão: a mesma propriedade da Média da soma (e da subtração) são 
identicamente válidas para a Moda e para a Mediana. 
 Daí, como havíamos calculado a Mediana das idades para a data 1º de janeiro de 
1990 (Md=37,26), em 1º de janeiro de 1996 todas essas idades estarão somadas à 
constante 6. Logo, pela propriedade, a nova Mediana será a anterior também somada à 
mesma constante. Teremos: 
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16
 
Æ MdNOVA = MdORIGINAL + 6 Æ MdNOVA = 37,26 + 6 
 
Æ MdNOVA = 43,26 Æ Resposta! 
 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . 
Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
Sol.: Esta é das boas! Envolve um teorema de nome complicado, mas de fácil 
compreensão. É o Teorema de Tchebichev. Quanto ao nome desse sujeito, eu não dou 
garantia absoluta de estar certa a escrita, mesmo porque já o vi escrito de três formas 
diferentes em livros por aí...! Mas, tudo bem! O importante é conhecer o Teorema e 
como ele funciona. 
 O Teorema de Tcheb (vamos chamá-lo assim, já que vamos ter mesmo que ficar 
íntimos dessa teoria...) trata acerca de uma relação entre a Média ( X ) e o Desvio-
Padrão (S) de um conjunto. Aprende-se esse Teorema de uma forma quase que 
meramente visual. Vejamos o desenho abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta curva é representativa de uma distribuição qualquer. Certo? Daí, 
suponhamos que a Média esteja aí mais ou menos pelo meio da curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X 
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 O que a questão vai fazer? Vai fornecer o valor desta Média, e vai fornecer o valor 
do Desvio-Padrão (S). 
 E vai fornecer dois limites, os quais definirão um intervalo qualquer. 
 
 Depois disso, a questão vai poder fazer uma destas duas perguntas: 
 
 1ª) Qual a proporção máxima de elementos fora deste limite? 
 ou 
 2ª) Qual a proporção mínima de elementos dentro deste limite? 
 
 Vou criar um exemplo, para entendermos melhor. 
 Suponha que eu diga que para um conjunto qualquer, o valor da média é igual a 
100 (cem) e o desvio-padrão é igual a 10 (dez). Ok? 
 Daí, eu estabeleço um intervalo, que vai de 70 a 130. 
 E pergunto: qual a proporção máxima de elementos do conjunto que está fora 
desse intervalo? 
 Desenhando a questão, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Quem for bom observador já percebeu que esses limites (70 e 130) guardam uma 
relação entre o valor da média e o desvio-padrão do conjunto. É verdade isso? Claro. 
Atentem que de 70 a 130 nós temos ( X -3S) a ( X +3S). 
 Uma relação assim será sempre observada. Não necessariamente somando e 
subtraindo de 3S. Pode ser de 2S, ou de apenas S, ou de 1,5S, ou de 0,5S. Não 
importa! O que importa é que a distância entre a média e o limite superior desse 
intervalo será a mesma entre a média e o limite inferior. Chamando essa distância de D, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 D D 
 
 Até aqui, tudo bem? Pois agora vem a pergunta. E pode ser qualquer uma entre 
as seguintes: 
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 1ª) Qual a proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo 70 
a 130? 
 Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Repetindo: qual a proporção máxima dos elementos que estão fora dos limites do 
intervalo, ou seja, nestas duas áreas destacadas (à esquerda do 70 e à direita do 130)? 
 
 2ª) Qual a proporção mínima dos elementos do conjunto dentro do intervalo 
70 a 130? 
 Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Entendido? 
 As perguntas serão sempre assim: proporção máxima fora do intervalo ou 
proporção mínima dentro do intervalo. 
 E o intervalo, já sabemos, traz uma relação entre a média e uma fração ou um 
múltiplo do desvio-padrão. 
 Sabendo disso, vamos aprender agora como responder a estas duas possíveis 
perguntas. 
 Para responder à primeira pergunta, relativa à proporção máxima fora do 
intervalo, faremos os seguintes passos: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limitesdo intervalo 
e a média do conjunto. 
 
Repetindo um desenho já feito, esse valor D será o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
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 70 100 130 
 
 D D 
 
No caso desse exemplo, teríamos D=30. 
 
2º Passo) Calcularemos o valor da fração (D/Desvio-Padrão), a qual chamaremos de K. 
 Ou seja: 
K=
S
D
 
 
 Com os dados do nosso exemplo, encontraremos que: K=(30/10)=3,0 
 
3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb. 
 
PMÁXIMA= 2
1
K
 
 
 Teremos, pois, que: 
 
 Æ PMÁXIMA= 1111,09
1
3
1
2 == =11,11% 
 
 Ou seja: 11,11% é a proporção máxima dos elementos do conjunto que estão 
fora daquele intervalo (70 a 130). 
 Uma vez conhecedores da PMÁXIMA fora do intervalo estabelecido, sem maiores 
problemas chegaremos à pmínima dos elementos dentro do mesmo intervalo. 
 Basta fazer o seguinte: 
 
 Æ pmínima = 1 – PMÁXIMA 
 
 Para o mesmo exemplo, teríamos que: 
 
 Æ pmínima = 1 – PMÁXIMA Æ pmínima=1-0,1111=0,8889=88,89% 
 
 
 Passemos, finalmente, à nossa questão do simulado! 
 O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a 
variância vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se 
variância é S2, então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância). 
 Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do 
conjunto que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz 
“em valor absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos. 
 
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 Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem 
da média por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai 
significar além de 2S. Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão 
fora do intervalo (M-2S a M+2S). 
 Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção 
mínima? Máxima, conforme já aprendemos! 
 Seria mínima caso fosse a proporção dos elementos dentro do intervalo. 
 Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo 
e a média do conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 D D 
 
 Daí, encontramos que a distância D=2S. 
 
2º Passo) Calcular a fração K. Teremos: 
 
Æ K=
S
D
 Æ k=(2S/S) Æ k=2 
 
3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos: 
 
Æ PMÁXIMA= 2
1
K
 Æ PMÁXIMA=(1/4)=0,25 
 
 
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Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, 
é porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que 
diz a opção a: 
 
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ” 
 
 É exatamente o que encontramos! 
 Opção a Æ Resposta! 
 
 
5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas 
condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital 
inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. 
a) 4,70% d) 4,88% 
b) 4,75% e) 4,93% 
c) 4,80% 
 
Sol.: Estamos diante de um enunciado inequívoco! A questão fala expressamente que 
trabalharemos com os juros simples exatos! Agora, reparemos no que a questão está 
pedindo: o valor dos juros como porcentagem do capital. 
 Neste caso, já conhecemos o artifício a ser utilizado: adotaremos o valor 100 
(cem) para o capital. Daí, qualquer resultado que encontrarmos para os juros, bastará 
acrescentarmos o sinal de porcentagem (%) e pronto, já será nossa resposta! 
 Iniciemos pela contagem dos dias, lembrando que nos juros exatos, esta 
contagem considerará o nosso ano calendário convencional, de 365 dias (ou 366, se for 
ano bissexto). 
 Os meses nos quais se deu a aplicação foram de fevereiro a abril. Logo, teremos: 
 
meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Fevereiro 28 
Março 31 
Abril 30 
 
 Agora, passamos a contar quantos dias de cada um desses foram efetivamente 
utilizados na operação. Já aprendemos a fazer isso resolvendo questão semelhante 
(questão 04 da aula 03). Teremos: 
 
Meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Dias utilizados 
na operação 
Fevereiro 28 18 (=28-10) 
Março 31 31 
Abril 30 24 
 Total n=73 dias 
 
 Dispondo do tempo em dias, resta-nos agora transformar a taxa também para a 
unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas 
proporcionais, teremos que: 
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Æ 24% ao ano = (24/365)% ao dia 
 
 Dividimos por 365, conforme já sabemos, porque estamos trabalhando com os 
juros exatos! 
 
 Daí, aplicaremos o esquema ilustrativo para resolução de operações de juros 
simples. Teremos: 
 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
 Lançando os dados na equação, teremos: 
 
ni
JC
.100
= Æ 
73.
365
24100
100
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
J
 Æ 
8,4
1 J= Æ J=4,8 
 
Daí, finalmente: J = 4,8% Æ Resposta! 
 
 
14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco 
comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta 
este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar 
em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante 
para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três 
meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do 
empréstimo que utilizou em proveito próprio. 
a) 12% ao trimestre 
b) 14% ao trimestre 
c) 15% ao trimestre 
d) 16% ao trimestre 
e) 18% ao trimestre 
 
Sol.: Esta questão é interessante, embora verse acerca de um assunto não previsto no 
programa do AFRF, que é o de taxa efetiva de juros. Essa taxa efetiva, embora o nome 
seja o mesmo, não se confunde com aquela taxa efetiva que é o resultado da 
transformação de uma taxa nominal. 
 Esse presente tipo de questão vai, em suma, definir um valor inicial, um prazo e 
um valor final. O valor final, obviamente, será maior que o valor inicial, para que assim 
se verifique a existência de uma operação de juros. Daí, o enunciado vai perguntar qual 
foi a taxa desta operação. 
 Tudo o que precisamos fazer é constatar quem serão esses dois valores: o que 
inicia e o que encerra a operação de juros. E é justamente nesse ponto que a questão 
tenta dificultar as coisas. Só tenta... senão vejamos: 
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 É dito sobre uma pessoa que faz um empréstimo de R$10.000em um banco. Ora, 
a data de qualquer empréstimo é sempre o dia de hoje (data zero). Diz-se ainda que 
três meses após, a pessoa terá que devolver o que pegou, acrescido de 15% de juros. 
 Quanto vale 15% de 10.000? Essa é fácil: vale R$1.500,00 
Assim, até esse momento, nosso entendimento é o seguinte: vou pegar R$10.000 
hoje e, daqui a três meses, vou devolver R$1.500,00 a mais, a título de juros. 
Só que a questão não pára por aí... (seria bom demais!) 
Ela prossegue dizendo que a pessoa não vai poder levar os R$10.000 para casa 
hoje. Não! Só vai poder levar 75% do empréstimo. 
Quanto vale 75% de 10.000? Essa também é fácil: vale R$7.500,00. 
E por que só vai poder levar R$7.500 para casa? Porque com o restante 
(R$2.500) será feita (por força contratual) uma aplicação no próprio banco, a qual 
renderá, ao final daqueles mesmos três meses, a quantia de R$150,00. 
Feita esta análise, constatamos que os valores que realmente estarão no início e 
no final aplicação serão os seguintes: 
 
 (7500+1500-150) 
 7500 
 
 
 
 
 
 Vamos entender esse valor que encerra a operação. Temos que ter em mente que 
isso é um empréstimo. Esse valor final representa, pois, o quanto terei que devolver ao 
credor. Daí, 7500 é o quanto levei para casa na data zero; R$1500 é o quanto eu 
pagarei de juros no trimestre (isso foi dito pelo enunciado!). E quanto ao valor R$150, 
que está sendo subtraído? Por que está sendo subtraído ao invés de somado? Ora, 
simplesmente porque é um valor que não terei que devolver. Ao contrário: ele é que me 
será repassado ao final do trimestre, por conta de uma aplicação que fiz com parte do 
empréstimo. Daí, funcionará como capital o valor R$7500, e como montante R$8.850. 
 O tempo de aplicação é de três meses (um trimestre), e o regime é o simples! 
 Se conhecemos o valor do montante e do capital, resta que também sabemos o 
valor dos juros. Basta fazer a diferença. Teremos: J=M-C Æ J=1.350,00. 
 Trabalhando os juros simples com os valores do Capital e dos Juros, teremos que: 
 
 
ni
JC
.100
= Æ 
i.1
1350
100
7500 = Æ 
7500
1001350xi = 
 
Æ i=18% ao trimestre Æ Resposta! 
 
 
22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal 
de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% d) 12,6162% 
b) 12,6825% e) 12,5508% 
c) 12,4864% 
 
Sol.: Essa é aquela questão para relaxar... mas sempre com muita atenção, 
naturalmente! Ela já caiu milhares de vezes em provas passadas e recentes da Esaf, e 
há sempre uma possibilidade de retornar. 
 Trata-se de um enunciado em que se trabalha, exclusivamente, com os conceitos 
de taxa. 
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O ponto de partida dessa resolução será sempre a taxa nominal. Daí, nosso 
primeiro trabalho é localizá-la (caso exista!) na leitura. Tem taxa nominal aí? Sim! 12% 
ao ano com capitalização mensal. 
Ora, já sabemos de longa data que a taxa nominal deve sempre ser, de pronto, 
transformada em taxa efetiva. Sabemos também que essa transformação se faz por 
meio do conceito de taxas proporcionais e que o tempo da taxa efetiva é sempre o 
mesmo tempo da capitalização. 
Daí, nossa missão é transformar 12% ao ano em uma taxa mensal, mediante o 
conceito de taxas proporcionais. Teremos: 
Æ 12% ao ano, c/ capitalização mensal = (12/12) = 1% ao mês (=Taxa Efetiva). 
 
Cumprida essa primeira etapa, vamos ver o que pede a questão. Está sendo 
solicitada uma taxa de juros anual. O que temos até aqui é uma taxa mensal (1% ao 
mês). Daí, precisaremos realizar nova conversão da taxa. 
Só que agora não mais estamos com uma taxa nominal, e sim efetiva, de sorte 
que esta segunda alteração se fará por meio do conceito de taxas equivalentes. 
Este se traduz pela seguinte fórmula: 1 + I = (1 + i)n. 
Vamos passar uma taxa ao mês (i) para uma taxa ao ano (I). Quantos meses 
cabem em um ano? Doze. Logo, n=12. Lançando os dados na fórmula, teremos: 
Æ 1+I=(1+0,01)12 
Consultando a Tabela Financeira, para determinação do parênteses acima, 
acharemos que: 
Æ 1+I=1,126825 
Daí: 
Æ I=1,126825 – 1 Æ I=0,126825 Æ I=12,6825% ao ano Æ Resposta! 
 
 Em suma, esse tipo de enunciado será sempre trabalhado da maneira abaixo 
ilustrada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa 
Nominal 
Taxa 
Efetiva 
Taxa Efetiva em 
Outra unidade 
Taxas 
Proporcionais 
Taxas 
Equivalentes 
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27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 
672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 
b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 
c) R$ 624,47 
 
Sol.: Essa questão é bem diferente! Ela começa fornecendo elementos de uma operação 
de desconto simples por fora (comercial). Diz que o valor do desconto por fora é 
Df=672,00; que o tempo de antecipação é de n=4 meses; e que a taxa da operação é 
i=3% ao mês (isso é dito na última frase do enunciado). 
 Trabalhemos esta operação de Desconto Simples Comercial, para ver se 
descobrimos quem é o valor Nominal. Lembrando do esquema ilustrativo para resolução 
de operações de desconto comercial simples, teremos: 
 
 N 
 A 
 
 (100-i.n) (100) 
 
 Df 
 
 (i.n) 
 
 Daí, teremos que: 
 
ni
DfN
.100
= Æ 
43
672
100 x
N = Æ Daí: N=67.200/12 Æ N=5.600,00 
 
 Agora passemos à segunda parte do enunciado, o qual diz respeito a uma 
operação de desconto composto racional (por dentro). Já temos os seguintes dados: 
 Æ N=5.600,00 
 Æ n=4 meses 
 Æ i=3% ao mês (taxa composta!) 
 Æ Dd=? 
 
 Ora, sabemos que o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Daí, descobrimos que se calcularmos o valor atual para esta operação, chegaremos ao 
resultado pretendido, uma vez que já sabemos quem é o valor nominal. 
 
 Aplicando a equação do desconto composto racional, teremos que: 
 Æ N=A.(1 + i)n Æ A=N/(1+i)n Æ A=5.600/(1+0,03)4 
 
 Daí: A=5.600/1,125508 Æ A=4.975,53 
 
 Mas a questão não quer saber quem é o Valor Atual. Quer, sim, conhecer o valor 
do desconto. Daí, teremos: 
 
 Æ D=N-A Æ D=5.600-4.975,53 Æ D=624,47 Æ Resposta! 
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35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 
600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois 
compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao 
acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor 
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os 
centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 
c) R$ 1.584.000,00 
Sol.: É bem fácil a compreensão deste enunciado. Logo na primeira frase, ele começa 
falando acerca de duas parcelas que têm que ser pagas em datasdefinidas. Logo em 
seguida, veio com aquela história de “liseira”, de que “os compromissos não poderiam 
ser honrados...” e que aquela forma original de pagamento vai ser alterada. Ora, só até 
aqui, nós já temos elementos suficientes para afirmar: trata-se de uma questão de 
equivalência de capitais! 
Precisamos saber agora se é equivalência simples ou composta! E isso, o que irá 
nos dizer é o restante da leitura do enunciado. Então foi dito o seguinte: 
“...considerando...uma taxa de juros compostos...”. Pronto! Sabemos que o regime é o 
composto, de modo que estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de 
Capitais. E se é uma questão de Equivalência Composta, sabemos que será resolvida 
por meio de operações de desconto composto por dentro. Não é assim? É assim! 
Percebamos que o enunciado não precisaria ter dito mais nada! Mas disse. Veio 
então com uma história de que teríamos que trabalhar a questão, utilizando uma tal de 
convenção exponencial. 
Já sabemos que uma questão de juros compostos pode ser resolvida de duas 
formas: pela convenção exponencial ou pela convenção linear. Estamos lembrados 
disso? E sabemos que a convenção exponencial consiste na própria aplicação da 
fórmula fundamental dos juros compostos, qual seja: M=C.(1+i)n. 
Ora, dissemos acima que esta nossa presente questão, por ser de Equivalência 
Composta, será resolvida por operações de desconto composto por dentro! E onde entra 
aí essa tal de convenção exponencial? 
É do nosso conhecimento que operações de juros compostos e de desconto 
composto por dentro são operações correspondentes! Se compararmos as fórmulas de 
ambas, veremos que se trata, a rigor, da mesma fórmula. Vejamos: 
Æ M=C.(1+i)n Æ (Juros Compostos) 
Æ N=A.(1+i)n Æ (Desconto Composto) 
Dito isto, passemos aos passos preliminares de nossa resolução de equivalência 
composta. Teremos: 
 
# Passos Preliminares de Resolução: 
Æ Primeiro Passo: “Desenhar” a questão! 
 
Para esse enunciado, teremos: 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1a 2,5a 
 
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Æ Segundo Passo: Definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigação, 
designando-os, respectivamente, por (I) e (II). 
 
 Teremos que: 
 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
0 1a 2,5a 
 (I) (I) (II) 
 
 
Æ Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
 
 Este passo já veio feito! A taxa fornecida é anual e os tempos também já estão 
nesta mesma unidade! Adiante! 
 
Æ Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Desconto! 
 
 Isso tudo já foi descoberto! Já sabemos que a Equivalência aqui é a composta, de 
modo que trabalharemos com o desconto composto por dentro! 
 
Æ Quinto Passo: Definir a localização da Data Focal. 
 
 Qualquer uma serve? Sim, qualquer uma! Só que haverá uma delas que nos será 
mais conveniente. Neste caso, por dois motivos, seria bem interessante escolhermos a 
data focal 2,5 anos. Primeiro motivo: é a data do valor X, que pretendemos encontrar; 
segundo motivo: é a data mais à direita do nosso desenho, de modo que estaremos 
fugindo das divisões! 
 
Então,nosso desenho completo da questão será o seguinte: 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1a 2,5a 
 (I) (I) (II) 
 (DF) 
 
 Passemos à resolução efetiva! 
 
 
 
 
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# Passos Efetivos de Resolução da Equivalência Composta: 
 
Æ Primeiro Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Primeira 
Obrigação! 
 
Comecemos com a parcela de 500.000, que se encontra na data zero. Teremos o 
seguinte: 
 E 
 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 2,5a 
 (I) (DF) 
 
Æ E=500000.(1+0,20)2,5 
 
 
 Percebamos, de antemão, que aplicando a fórmula acima, estaremos obedecendo 
à ordem do enunciado, de trabalhar a questão utilizando a convenção exponencial, 
uma vez que esta equação do desconto composto por dentro corresponde à fórmula 
fundamental dos juros compostos! 
 Ocorre que aqui nos deparamos com um problema! Reparemos bem nesse 
parêntese famoso. Repararam? Quanto é o valor do expoente? Ora, é um valor 
“quebrado”: 2,5. Existe tabela financeira para encontrarmos parêntese famoso com 
expoente que não seja inteiro? Não! E calculadora? Tem calculadora na hora da prova? 
Também não! E aí? O que faremos agora? 
 Resta uma saída! Uma vez que descobrimos que o enunciado nos pede uma 
solução que não há como ser trabalhada, pensaremos na outra maneira que existe para 
fazermos uma operação de juros compostos! Qual é? Pela convenção linear! Então é 
isso que faremos! Trabalharemos essa operação de juros compostos acima, pela 
convenção linear! 
 Se bem estamos recordados, a convenção linear se resolve em dois passos. No 
primeiro passo, aplicando os juros compostos e usando apenas a parte inteira do tempo. 
Teremos: 
 
 Æ 1º Passo da Convenção Linear: 
 
 Æ M=500000.(1+0,20)2 Æ M=500000.(1+0,20)2 Æ M=500000x1,44 
 
Æ E: M=720.000,00 
 
 No segundo passo da convenção linear, quem era montante passará a ser capital. 
E aplicaremos agora os juros simples, trabalhando apenas com a segunda parte do 
tempo, aquela que ainda não foi utilizada! 
Nossos dados para esse segundo passo serão: 
 Æ C=720.000,00 
 Æ i=20% ao ano (juros simples) 
 Æ n=0,5 ano 
 Æ M=? 
 
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 Como já temos taxa e tempo na mesma unidade, aplicando a equação dos juros 
simples para Capital e Montante, teremos que: 
 
ni
MC
.100100 += Æ Daí: 5,020100100
720000
x
M
+= 
 
Æ E: 
10100
7200 +=
M
 Æ Daí: M=7200x110 Æ E: M=792.000,00 
 
Este Montante M é o nosso valor E. Ou seja: E=792.000,00 
 
Dando seqüência à nossa resolução de Equivalência Composta, ainda dentro do 
primeiro passo, trabalharemos agora com a parcela de R$600.000,00, na data 1 ano. 
Teremos: 
 F 
 600.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 2,5a 
 (I) (DF) 
 
 
Æ F=600000.(1+0,20)1,5 
 
Novamente aqui encontramos um parêntese famoso com expoente quebrado! E 
mais uma vez nos vemos impossibilitados de encontrar o valor do F de pronto, uma vez 
que não encontraremos auxílio na Tabela Financeira, e nem dispomos de calculadora. 
Conclusão: não teremos, de novo, como calcular o F pela convenção exponencial. 
Teremos que recorrer à convenção linear! 
No primeiro passo da convenção linear, faremos: 
 
 Æ M=600000.(1+0,20)1 Æ M=600000.(1+0,20)1 Æ M=600000x1,20 
 
Æ E: M=720.000,00 
 
 No segundo passo da convenção linear, montante vira capital, e faremos uma 
aplicação de juros simples, usando apenas a parte remanescente do tempo, aquela 
parte que ainda não foi utilizada. Nossos dados para esse segundo passo são os 
seguintes: 
 Æ C=720.000,00 
 Æ i=0,20% ao ano (juros simples) 
 Æ n=0,5 ano 
 Æ M=? 
 
 Se repararmos bem, esses dados acima são exatamente os mesmos dados do 
segundo passo da convenção linear que havíamos feito para a outra parcela (a de 
R$500.000,00). Ou seja, sopa no mel! Nem sequer vamos perder tempo fazendo essas 
contas deste segundo passo, uma vez que já sabemos que o Montante será o seguinte: 
 
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30
Æ M=792.000,00. 
 
 Este montante corresponde exatamente ao valor F. Daí, encontramos que: 
 
Æ F=792.000,00 
 
 Com isso, terminamos o nosso primeiro passo da questão de Equivalência 
Composta. Passemos ao segundo passo: 
 
Æ Segundo Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Segunda 
Obrigação! 
 
 Ora, esse passo já está pronto! Ou seja, o valor de X, que é a única parcela da 
segunda obrigação, está localizada exatamente sobre a data focal, não tendo 
necessidade de ser transportada para lugar nenhum! 
 Concluindo: o valor do X na data focal é ele próprio! 
 
Æ Terceiro Passo: Aplicar a Equação de Equivalência! 
 
 Chegada a hora dos finalmentes, aplicaremos a equação de equivalência. 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Daí, teremos: 
 
792.000+792.000=X Æ Daí: X=1.584.000,00 
 
 Mas ATENÇÃO agora! Quando se pensa que já terminou a questão – mesmo 
porque após ter feito tudo isso encontrou-se uma das opções de resposta (a opção C) – 
vem a grande “casca de banana”. 
 Percebamos que o enunciado nos pediu para calcular aquele valor X, só que 
trabalhando as operações pela convenção exponencial, e nós encontramos o X 
utilizando operações de convenção linear. Logo, a resposta que encontramos acima 
(R$1.584.000,00) não é a resposta certa! 
 Daí, vamos ter que nos lembrar do que aprendemos sobre os resultados 
encontrados, numa mesma operação, pelo método da convenção linear e pelo da 
convenção exponencial. E a regra é a seguinte: para uma mesma operação de juros 
compostos, o resultado encontrado pela convenção linear é ligeiramente maior 
que o resultado encontrado pela convenção exponencial! 
 Como achamos, pela convenção linear, o resultado final R$1.584.000,00, resta 
que o resultado final pela convenção exponencial será ligeiramente menor que 
R$1.584.000,00. 
 Procurando entre as opções de resposta, aquela que satisfaz essa nossa 
conclusão é justamente a opção B) R$1.577.440,00. 
Daí: X=1.577.440,00 Æ Resposta da Questão! 
 
 
 
 
 
 
 
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44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de 
uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor 
de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por 
estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução 
da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da 
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova 
prestação do financiamento. 
a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 
b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 
c) R$ 151.342,00 
 
Sol.: Uma questão muito bonita! E fácil também! Existe uma situação original: um valor 
inicial, que será financiado (leia-se: pago em parcelas). O enunciado diz que serão vinte 
prestações semestrais e de mesmo valor, que irão formar uma anuidade postecipada! 
 Vamos por partes: quando a questão falar em anuidade, iremos traduzir que 
essas parcelas tanto podem fazer parte de uma operação de Rendas Certas, quanto de 
uma de Amortização. Em suma: se o enunciado trouxer essa palavra anuidade, já 
saberemos automaticamente que estamos no Regime Composto! Nem precisa ser dito 
isso expressamente! 
 Ok? Anuidade = Regime Composto! 
 E essa outra palavra: postecipada? O que significa isso? Quando estivermos 
diante de uma série de parcelas, e o enunciado disser que se trata de aplicações 
postecipadas, estará apenas informando que a primeira dessas parcelas será 
desenhada no final do primeiro período! Só isso! 
 Portanto, se são parcelas mensais e postecipadas, a primeira parcela estará ao 
final do primeiro mês; se são parcelas trimestrais e postecipadas, a primeira parcela 
estará ao final do primeiro trimestre; se são parcelas semestrais (como é o nosso caso 
nessa questão!) e postecipadas, a primeira parcela estará ao final do primeiro semestre! 
E assim por diante. 
 Contrapondo-se à palavra postecipada haverá uma outra palavra chave: 
antecipada! Então, se estivermos numa situação em que há várias parcelas de mesmo 
valor, e o enunciado disser que se trata de aplicações antecipadas, estará com isso 
dizendo que a primeira parcela deverá ser desenhada no início do primeiro período! 
 Ou seja, se forem parcelas mensais e antecipadas, a primeira parcela estará no 
início do primeiro mês; se forem parcelas bimestrais e antecipadas, a primeira parcela 
surgirá no início do primeiro bimestre; e assim por diante! 
 Entendido? Essas palavras – Antecipada e Postecipada – irão apenas nos 
informar onde estará localizada a primeira parcela da série, de modo que: 
 Æ Parcelas Antecipadas: primeira parcela no início do primeiro período; 
 Æ Parcelas Postecipadas: primeira parcela ao final do primeiro período. 
 E se forem parcelas diferidas? O que significa esse nome? Significa que as 
parcelas nem são antecipadas e nem são postecipadas! Ou seja, no caso de as parcelas 
serem diferidas, teremos a situação em que a primeira parcela estará localizada em 
data posterior ao primeiro período. Leia-se: a primeira parcela estará do segundo 
período em diante, conforme disponha o enunciado. 
 São importantes essas palavras que aprendemos acima? Sim, naturalmente! E 
por um único motivo: por meio delas, saberemos como desenhar a questão da forma 
correta. E se desenharmos corretamente, então não há como errarmos! Voltemos ao 
nosso enunciado. 
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 A situação original é essa: são vinte parcelas semestrais e postecipadas, no valor 
de R$200.000 cada uma. Desenhemos: 
 X 
 
 
 
 
 
 200.000 200.000 200.000 200.000 
 
 Esta é a situação original. Reparemos que as parcelas são postecipadas, 
conforme nos disse o enunciado! Ocorre que logo após expor a situação original, passa-
se a falar em uma mudança. E esta ocorrerá, conforme visto na leitura, 
“imediatamente após o pagamento da décima prestação”. 
 Ora, quantas prestações foram pagas antes que houvesse a mudança? Foram 
pagas dez prestações! Certo? Pois bem! Se foram pagas dez prestações, quantas 
faltariam ainda serem pagas, tendo por base a nossa situação original? Quantas? Dez, 
naturalmente! Se eram vinte parcelas, e já pagamos dez, restam dez a serem pagas! 
Vamos, portanto, redesenhar a questão, para saber exatamente o valor que resta ainda 
ser pago. Teremos: 
 
 
 
 200.000 200.000 
 Pronto! São essas dez últimas prestações que restam ser pagas! Mas o quanto 
elas representam? Qual é o total que corresponde a essas dez prestações? Para 
responder a isso, teremos que fazer uma operação de Amortização. Teremos: 
 T 
 
 
 
 
 
 
 
 200.000 200.000 
 Teremos que: 
 Æ T=P.An¬i Æ T=200000 . A10¬15% 
 Observemos que nesta situação original (antes da mudança), o valor da taxa da 
operação era de 15% ao semestre! Com o auxílio da Tabela Financeira da Amortização, 
encontraremos que: 
 Daí: Æ T=200000 x 5,018768 Æ T=1.003.753,60 
 Ou seja, esse valor que acabamos de achar representa justamente o quanto 
ainda teria que ser pago, se fosse mantida aquela situação original. 
 Ocorre que houve mudanças! Quais: 
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 1ª) O número restante de parcelas foi ampliado: em vez de pagar somente mais 
dez parcelas, pagaremos quinze! 
 2ª)O valor da taxa da operação passou de 15% agora para 12% ao semestre! 
 Ou seja, um aumento no número de parcelas e uma redução na taxa. Tomando 
por base a nossa nova situação, desenhemos mais uma vez a questão. Teremos: 
 1.003.753,60 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P P P P 
 
 Nossos dados nessa nova situação são os seguintes: 
 Æ T=1.003.753,60 (valor que será amortizado) 
 Æ n=15 (número de parcelas) 
 Æ i=12% ao semestre (taxa reduzida pela negociação!) 
 Æ P=? 
 
 Aplicando diretamente a fórmula da Amortização, teremos o seguinte: 
 Æ T=P.An¬i Æ 1.003.753,60=P . A15¬12% 
 Æ Daí: P=1.003.753,60/ A15¬12% 
 
 Novamente usando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
 
 Æ Daí: P=1.003.753,60/ 6,810864 
 
Æ E: P=147.375, Æ Resposta! 
 
 
37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser 
amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e 
assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do 
financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. 
a)R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 
b)R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 
c)R$ 10.252,62 
 
Sol.: Uma questão nada complicada! Façamos o desenho original e descubramos quanto 
vale cada prestação. Teremos: 
 
 
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 19.908, 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 
 
 
 
Daí, aplicamos a equação da Amortização, e teremos: 
 
Æ T = P. An¬i Æ P = T / An¬i Æ Daí: P=19.908/A12¬3% 
 
Consultando a Tabela Financeira, acharemos que A12¬3%=9,954004 
Daí, teremos: 
 
 Æ P=19.908/9,954004 Æ P=1999,99 Æ P≈2000,00 
 
 Agora, sabendo que as parcelas eram, originalmente, de R$2.000,00, e sabendo 
que, conforme disse o enunciado, já foram pagas seis parcelas, o novo desenho agora é 
o seguinte: 
 
 19.908, 
 
 
 
 2000 2000 2000 2000 2000 2000 
 
 
 
 
 E para descobrirmos o saldo devedor, só teremos que aplicar novamente a 
equação da amortização! Teremos: 
 
 
 Saldo Devedor 
 
 
 
 2000 2000 2000 2000 2000 2000 
 
 
 
 
 
Æ T = P. An¬i Æ T=2000 x A6¬3% 
 
Na tabela financeira, vemos que A6¬3%=5,417191 
 
Æ Daí: T=2000x5,417191 Æ T=Saldo Devedor=10.834,38 Æ Resposta! 
 
 
 
 
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51. (AFRF-1996) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de 
um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 
14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., 
capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos 
afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: 
a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 
 
Sol.: Antes de fazermos o desenho dessa questão, que por sinal é bem simples, 
percebemos, já na leitura do enunciado, a presença de uma taxa nominal. Já estamos 
que ela terá que ser convertida em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas 
proporcionais. Fazendo isso, teremos: 
 Æ 120% ao ano, c/ capit. mensal = (120/12) = 10% ao mês = taxa efetiva! 
 
 Pronto. Agora, passemos ao desenho da questão. Teremos: 
 
 X (=valor à vista!) 
 
 
 
 
 
 
 
 14,64 14,64 14,64 14,64 
 23,60 
 
 O que vemos? Uma compra a prazo, sujeita a uma taxa composta! É 
amortização? Sem dúvidas! Só que o valor de uma entrada não nos interessa! 
 Daí, para fazermos essa entrada desaparecer, só precisamos efetuar uma 
subtração. Teremos, pois, que: 
 
 (X-23,60) 
 
 
 
 
 
 
 
 14,64 14,64 14,64 14,64 
 
 Agora, só nos resta aplicarmos a fórmula da Amortização! Teremos: 
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 Æ T=P.An¬i Æ (X-23,60)=14,64 . A4¬10% 
 
 Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a +
−+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
 Daí, teremos que: 
 
Æ T=P.An¬i Æ (X-23,60)=14,64 x 3,169865 
 
Æ Daí: X-23,60 = 46,40 Æ E: X=70,00 Æ Resposta! 
 
 
É isso! 
Forte abraço a todos, e fiquem com Deus! 
 
 
in