Aula 06 Curso Online de Estatísitica e Mat Fin

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AULA 06 
 
 Olá, amigos! 
 Peço desculpas a todos, pelo fato de esta semana estar apresentando apenas um 
simulado, em vez de dois como tem sido a praxe. Motivos de força maior foram 
responsáveis por isso! Ok? O importante é que não deixemos de resolver as questões! 
 Deixemos de conversa mole! Marque o tempo, respire, e comece sua resolução! 
 
Q U E S T Õ E S 
 
6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a 
distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 
apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X 
menores ou iguais a x seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 
 
 
Obs.: O enunciado a seguir deverá ser usado na resolução das duas próximas 
questões! 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
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16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 
 
 
17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 
 
 
31. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N 
empregados produziram as estatísticas: 
 
∑
=
==
N
i
RXi
N
X
1
00,300.14$1 e ( ) 00,200.1$1 5,0
1
2
RXXi
N
S
N
i
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑
=
 
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; 
R$16.100,00}. Assinale a opção correta: 
 
a) P é no máximo ½ d) P é no máximo 1/2,25 
b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20 
c) P é no mínimo ½ 
 
43. (AFTN-98) Assinale a opção correta. 
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações 
relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. 
b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as 
observações amostrais são medidas. 
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada 
observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. 
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das 
observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios 
padrões e a média mais dois desvios padrões. 
e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose 
excessiva. 
 
55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado 
com base no ano de 1984. 
 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
Índice 75 88 92 100 110 122 
 
 No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: 
a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas 
a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. 
e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
 
 
 
 
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2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 
cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o 
credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. 
Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. 
a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 
b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 
c) R$ 12.200,00 
 
19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano 
durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante 
considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela 
convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 
 
7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram 
aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses 
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. 
a) Dois meses e vinte e um dias 
b) Dois meses e meio d) Três meses 
c) Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias 
 
15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 
10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% 
do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito 
de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do 
desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real 
paga pela empresa? 
a) 3,09% ao mês 
b) 4,00% ao mês 
c) 4,71% ao mês 
d) 4,59% ao mês 
e) 4,50% ao mês 
 
26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor 
descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. 
a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 
b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 
c) R$ 30.000,00 
 
36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no 
valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 
1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o 
pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o 
refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, 
vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais 
próximo da nova prestação mensal. 
a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 
b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 
c) R$ 625,00 
 
 
 
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46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses 
do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada 
aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos 
meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a 
taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 
c) R$ 82.265,00 
 
50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 
36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do 
pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao 
final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor 
que mais se aproxima dovalor unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 
b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 
c) $ 11.881,00 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a 
distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 
apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor X tal que a freqüência relativa de observações de X 
menores ou iguais a x seja 80%. 
 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 
 
Sol.: O primeiro passo desta resolução será justamente descobrir qual é esta coluna de 
freqüência fornecida pela prova! Ora, por não aparece, em lugar algum, um sinal de 
porcentagem (%), significa isso que estamos diante de uma freqüência absoluta! 
 Ademais, o enunciado falou que esta tabela representa uma amostra de 200 
elementos. Se somarmos os valores da coluna fornecida, encontraremos exatamente 
esse resultado: 200. Logo, concluímos: a freqüência fornecida é a fi (freqüência 
absoluta simples). É dela mesmo que precisamos para dar início à resolução de uma 
prova de estatística! 
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 Pois bem! A questão nos pergunta qual será o valor, inserido em uma das classes 
da tabela, que corresponderá ao percentual de 80% dos elementos do conjunto. O valor 
cuja freqüência relativa acumulada a ele associado seja 80%. 
 Daí, construamos a coluna da Freqüência Relativa Simples – Fi. Para tanto, 
usaremos a relação que há entre os dois tipos de freqüências simples (absoluta e 
relativa), e que é a seguinte: Fi=(fi/n). 
 Para a primeira classe, teremos: 
 Æ Fi = 3/200 = 0,015 = 1,5% 
 
 Observemos que, tirando o sinal de porcentagem, 1,5 é a metade de 3. 
 Será que só verificando isso já estamos aptos a construir o restante dessa coluna 
de forma bem rápida? Sim! 
 Pois quando estamos convertendo fi em Fi, ou vice-versa, basta enxergar uma 
relação qualquer de entre os valores respectivos, e estender essa relação ao restante da 
coluna. Mas para quem está meio incrédulo, façamos o cálculo da Fi, pela fórmula, para 
as duas próximas classes. Teremos: 
 Æ Fi=8/200=0,04=4% 
 Æ Fi=10/200=0,05=5% 
 
 E agora? Agora é acreditar e partir para o abraço! Completando o restante da 
coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, teremos: 
 
Classes R$ fi Fi 
350 – 380 3 1,5% 
380 – 410 8 4% 
410 – 440 10 5% 
440 – 470 13 6,5% 
470 – 500 33 16,5% 
500 – 530 40 20% 
530 – 560 35 17,5% 
560 – 590 30 15% 
590 – 620 16 8% 
620 – 650 12 6% 
 
 Como é que podemos ter alguma garantia de que fizemos essas contas 
corretamente? Somando a coluna da Fi. Claro! Esta soma terá, necessariamente, que 
dar 100%. Conferindo, teremos: 
 
Classes R$ fi Fi 
350 – 380 3 1,5% 
380 – 410 8 4% 
410 – 440 10 5% 
440 – 470 13 6,5% 
470 – 500 33 16,5% 
500 – 530 40 20% 
530 – 560 35 17,5% 
560 – 590 30 15% 
590 – 620 16 8% 
620 – 650 12 6% 
 Total=100% 
(Ok!) 
 
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 Agora, como próximo passo, construiremos a coluna da freqüência relativa 
acumulada crescente – Fac. Teremos: 
 
Classes R$ Fi Fi Fac 
350 – 380 3 1,5% 1,5% 
380 – 410 8 4% 5,5% 
410 – 440 10 5% 10,5% 
440 – 470 13 6,5% 17% 
470 – 500 33 16,5% 33,5% 
500 – 530 40 20% 53,5% 
530 – 560 35 17,5% 71% 
560 – 590 30 15% 86% 
590 – 620 16 8% 94% 
620 – 650 12 6% 100% 
 
 Daí, vejamos: até a primeira classe, acumulamos 1,5% dos elementos do 
conjunto! Até a segunda classe, 5,5%. Até a terceira, 10,5%. Até a quarta, 17%. Até a 
quinta, 33,5%. (Ainda estamos longe dos 80% desejados!) Até a sexta classe, 
acumulamos então 53,5% dos elementos. Até a sétima classe, 71%. 
Está bem perto agora! Se avançarmos toda a próxima classe (a oitava) pularemos 
de 71% para 86% dos elementos daquele conjunto! 
 Daí, concluímos: o valor, inserido numa das classes, que está associado à 
freqüência acumulada 80% está justamente nesta oitava classe (560 a 590). 
 Ficou claro isso? 
 Bem! Descoberta a classe de nosso interesse, traremos ela aqui para fora, e 
faremos aquele desenho que nos auxiliará na construção da já tão conhecida regra-de-
três. Teremos: 
 
 30 (=590-560) 
 
 
 X 
 
 560 590 
 
 
 71% 80% 86% 
 
 9% 
 
 
 15% (=86%-71%) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
%9%15
30 X= 
 
E, finalmente: 
Æ X=(9%x30)/15% Æ X=270%/15% Æ X=18 
 
 Este X calculado corresponde ao valor que terá que ser somado ao limite inferior 
da oitava classe, para chegarmos à resposta. Teremos: 
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 Æ 560 + 18 = 578 Æ Resposta! 
 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 
 
Sol.: Quando a questão fala em valor médio, está-se referindo justamente à Média 
Aritmética X . Já sabemos que, se estamos diante de uma distribuição de freqüências, 
como é o nosso caso, usaremos o método da variável transformada para calcular a 
média do conjunto. 
 Antes, porém, descubramos quem é essa coluna de freqüência fornecida pelo 
enunciado. Eoi chamada de P(%). Ora, se existe um sinal de porcentagem (%), então 
concluímos que a freqüência é relativa. Daí, olhamos logo para os valores da primeira e 
da última classe nesta coluna. Se algum deles for igual a 100%, então saberemos que 
se trata de uma freqüência relativa acumulada. 
 É o nosso caso? Sim! Esta coluna termina com 100%. Logo, conclusão: estamos 
diante da coluna da Freqüência Relativa Acumulada Crescente – Fac. 
 Daí, em um primeiro momento, construiremos a coluna da Fi, Freqüência Relativa 
Simples, da forma como já sabemos. Teremos: 
 
Classes Fac Fi 
70-90 5% 5% 
90-110 15% 10% 
110-130 40% 25% 
130-150 70% 30% 
150-170 85% 15% 
170-190 95% 10% 
190-210 100% 5% 
 
 Alguma garantia que foi construída corretamente essa coluna da Fi? Claro! 
Somando tudo, tem que dar 100%. 
 Checado isto, passamos agora à construção da coluna da freqüência absoluta 
simples – fi. Acabamos de ver, na questão anterior, qual a relação que existe entre as 
duas freqüências simples (fi e Fi): Fi=fi/n ou, escrito de outra forma: fi=Fi.n. 
 Atentemos para o fato de que o enunciado falou que n=200, quando disse que 
“...foram examinados 200 itens...”. Certo? 
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 Teremos, pois, para a primeira classe, que: 
 Æ fi= 200
100
5 x = 10 
 
 Olha aí! A relativa simples é 5% e a absoluta simples é 10. 
 Já matamosa charada? Claro! Basta tirar o símbolo de % e multiplicar por 2. 
 Teremos, com a utilização deste atalho, a seguinte coluna de freqüência: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 
 Como sabemos se estão certas as contas? Somando tudo, tem que dar 200. 
 Atenção: se o enunciado desta questão tivesse deixado de falar qual era o valor 
do n, adotaríamos o valor n=100. Ok? Isso ocorreu no último concurso (AFRF-2003)! 
 
 Dando seqüência, começaremos os passos para encontrar o valor da Média do 
conjunto, trabalhando com o método da Variável Transformada. 
 Primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 
 Segundo Passo: construir a coluna de transformação da variável, usando aquela 
sugestão que eu sempre recomendo: Ponto Médio menos primeiro Ponto Médio, tudo 
isso dividido pela amplitude da classe. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM (PM-80)=Yi 
 20 
70-90 5% 5% 10 80 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 
110-130 40% 25% 50 120 2 
130-150 70% 30% 60 140 3 
150-170 85% 15% 30 160 4 
170-190 95% 10% 20 180 5 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 
 Terceiro Passo: Construir a coluna Yi.fi e fazer seu somatório. Teremos: 
 
 
 
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Classes Fac Fi fi PM (PM-80)=Yi 
 20 
Yi.fi 
70-90 5% 5% 10 80 0 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 20 
110-130 40% 25% 50 120 2 100 
130-150 70% 30% 60 140 3 180 
150-170 85% 15% 30 160 4 120 
170-190 95% 10% 20 180 5 100 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 ∑=580 
 
 Quarto Passo: Calcular a Média da variável transformada Y. Teremos: 
Æ 9,2
200
580. === ∑
n
fiYi
Y 
 
 Quinto Passo: Fazer o desenho de transformação da variável. Teremos: 
 
 1ª)-80 2ª)÷20 
 
 
X Y 
 
 
 2ª)+80 1ª)x20 
 
 Último Passo: Partindo do lado da variável transformada, Y, com o valor da 
média desta variável que calculamos acima (Y =2,9), percorreremos o caminho de baixo 
(em vermelho), lembrando-nos das propriedades da Média. Ou seja: como a média é 
influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, subtração, produto e divisão), 
significa que qualquer conta que apareça neste caminho nós iremos realizar. 
 Daí, teremos: 
 
 Æ 1ª conta) 2,9 x 20 = 58,00 
 
 Æ 2ª conta) 58 + 80 = 138,00 
 
 Pronto! Chegamos, enfim, onde queríamos! 
 
Æ X =138,00 Æ Resposta! 
 
 
17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 
 
Sol.: Mesma tabela! E mais uma questão bem fácil. Isso, claro, desde que você se 
lembrasse de que Quinto Decil = Mediana! 
 Todos lembraram disso? 
 Aproveitando o ensejo, diremos logo outros sinônimos da Mediana. Teremos: 
 
Æ Mediana = 5º Decil (D5) = 2º Quartil (Q2) = 50º Percentil (P50) 
 
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 Vamos agora tomar as colunas que nos interessam. Teremos: 
 
Classes fi 
70-90 10 
90-110 20 
110-130 50 
130-150 60 
150-170 30 
170-190 20 
190-210 10 
 
 
 Primeiro Passo) Calcular n e (n/2). 
 
 Æ Conforme dito no enunciado: n=200. Logo: (n/2)=100. 
 
 
 Segundo Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada 
crescente. Teremos: 
 
Classes fi fac 
70-90 10 10 
90-110 20 30 
110-130 50 80 
130-150 60 140 
150-170 30 170 
170-190 20 190 
190-210 10 200 
 
 Terceiro Passo) Comparar os valores da fac com o valor de (n/2), fazendo a 
pergunta de praxe, a fim de descobrir qual é a Classe Mediana! Teremos: 
 
Classes fi fac 
70-90 10 10 10 é ≥100? Não! 
90-110 20 30 30 é ≥100? Não! 
110-130 50 80 80 é ≥100? Não! 
130-150 60 140 140 é ≥100? Sim! 
150-170 30 170 
170-190 20 190 
190-210 10 200 
 
 
 Quarto Passo) Trabalhando com classe mediana (130 a 150), faremos o 
desenho que nos auxiliará na regra-de-três. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
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 20 (=150-130) 
 
 
 X 
 
 130 150 
 
 
 80 100 140 
 
 20 
 
 
 60 (=140-80) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
2060
20 X= 
E, finalmente: 
Æ X=(20x20)/60 Æ X=400/60=40/6=20/3 Æ X=6,67 
 
 Último Passo) Somar o limite inferior da classe mediana ao valor calculado X. 
 
 Æ 130 + 6,67 = 136,67 = Mediana Æ Resposta! 
 
 
31. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N 
empregados produziram as estatísticas: 
 
∑
=
==
N
i
RXi
N
X
1
00,300.14$1 e ( ) 00,200.1$1 5,0
1
2
RXXi
N
S
N
i
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑
=
 
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; 
R$16.100,00}. Assinale a opção correta: 
 
a) P é no máximo ½ 
b) P é no máximo 1/1,5 
c) P é no mínimo ½ 
d) P é no máximo 1/2,25 
e) P é no máximo 1/20 
 
Sol.: Esta questão trata acerca de um teorema que era, até o dia desta prova do AFRF-
2003, desconhecido de muita gente...! E como pegou gente de surpresa essa questão! 
 Nem eu conhecia o tal de Tchebichev. 
 Esta foi a primeira vez que a Esaf utilizou este teorema de uma forma mais 
direta! Mas já o havia cobrado, embora que meio disfarçadamente, em outras questões 
de provas anteriores a esta. 
 Se alguém teve a oportunidade de ler, tratei deste assunto – Teorema de 
Tchebichev – no último Ponto que escrevi, há alguns dias. 
 Lá explanei o assunto com maiores detalhes, resolvendo, inclusive, esta presente 
questão. 
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 Então, a recomendação que faço é esta: dêem uma lida no meu último Ponto. 
 Na seqüência, vou apenas reprisar a resolução que está naquela aula, acreditando 
que vocês se aprofundarão na leitura da teoria que lá está presente. Ok? 
 A resolução desta questão se faz em três passos. Vamos a eles: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo 
fornecido pelo enunciado e a média do conjunto. 
 
O desenho de nossa questão é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12500 14300 16100 
 
 D D 
 
Daí, teremos que: D=1.800 
 
2º Passo) Calcularemos o valor da fração K (=(Distância D)/(Desvio-Padrão S) 
Teremos: 
 
Æ K=
S
D
 Æ K=(1800/1200)=1,5 
 
 
3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tchebichev, a qual nos fornecerá a 
proporção máxima de elementos do conjunto que estará fora daqueles limites 
estabelecidos pela questão. Teremos: 
 
PMÁXIMA= 2
1
K
 
 
 Teremos, pois, que: 
 
Æ PMÁXIMA= 25,2
1
5,1
1
2 = Æ Resposta! 
 
 Uma só ressalva há que ser feita em relação a esta questão. Para que ela 
estivesse perfeita, seria preciso ser dito que a resposta (1/2,25) é a proporção máxima 
dos elementos do conjunto fora dos limites 12.500 a 16.100, só que de forma que estes 
limites estivessem incluídos na proporção! 
 Compreendem? Proporção dos valores abaixo de 12.500 inclusive; e acima de 
16.100 inclusive. E isso não foi dito dessa forma! A questão fala apenas 
“...proporção...fora dointervalo...”, sem dizer que os limites do intervalo estariam 
incluídos! 
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 Na ocasião, até elaborei um recurso para um aluno amigo meu, mas a Esaf 
infelizmente não o aceitou. 
 É isso! Leiam, não esqueçam, o meu último Ponto sobre esse tema! 
 
 
43. (AFTN-98) Assinale a opção correta. 
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações 
relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. 
b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as 
observações amostrais são medidas. 
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada 
observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. 
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das 
observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios 
padrões e a média mais dois desvios padrões. 
e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose 
excessiva. 
 
Sol.: Analisemos item a item. 
 
ITEM A) Errado! A primeira parte deste enunciado já é suficiente para descartamos esta 
opção, uma vez que colide frontalmente com uma das propriedades da média 
aritmética, segundo a qual a soma dos desvios dos elementos de um conjunto em 
relação à média será sempre igual a zero! Não poderia ser, jamais, negativa! 
 
ITEM B) Errado! Coeficiente de Variação, também chamado (pela Esaf) de Dispersão 
Relativa, é um quociente, entre o valor do Desvio-Padrão e da Média de um conjunto. 
Lembramos disso? CV=S/ X . Daí, trata-se de uma medida adimensional, independendo 
das unidades em que as observações são medidas! 
 
ITEM C) Pula! Deixemos para o fim! 
 
ITEM D) Errado! Este item trata a respeito de uma propriedade do Desvio-Padrão, a 
qual costumo chamar de Propriedade Visual do Desvio-Padrão! Visual por quê? Porque 
só olhando para o desenho abaixo, já temos condições de entendê-la. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3S -2S -S X +S +2S +3S 
 
 ≈68% 
 
 ≈95% 
 
 ≈99% 
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 Explicando: os elementos compreendidos sob a curva e limitados por: 
Æ Média menos um desvio-padrão até média mais um desvio-padrão 
compreende aproximadamente 68% do total dos elementos do conjunto; 
Æ Média menos dois desvios-padrões até média mais dois desvios-
padrões compreende aproximadamente 95% do total dos elementos do 
conjunto; 
Æ Média menos três desvios-padrões até média mais três desvios-
padrões compreende aproximadamente 99% do total dos elementos do 
conjunto. 
 
Esta propriedade visual, que não se confunde em nada com o Teorema de 
Tchebichev, apresenta duas características que são amiúde exploradas por questões 
teóricas. São as seguintes: 
1ª característica) Não se aplica a todos os conjuntos! Somente para 
distribuições simétricas ou bem próximas da simetria! 
2ª característica) É uma propriedade de aproximação, e não de exatidão! 
(Lembre-se que os percentuais são apenas aproximados: ≈68%, ≈95%, ≈99%. 
 
Pois bem! Este item explorou estas duas características e errou duas vezes: a 
primeira quando disse “...para qualquer distribuição...” Não é! Somente se for 
distribuição simétrica! A segunda vez quando falou “...pode-se afirmar com certeza...”. 
Que nada! Certeza nenhuma: os percentuais são aproximados apenas! 
 
ITEM E) Errado! Mesocúrtica é a situação de curtose intermediária: nem de mais e nem 
de menos! Curtose excessiva é a curva Platicúrtica! 
 
Voltemos à opção C: 
 
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada 
observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. 
 
Correto! Embora o texto seja péssimo, ele quer tratar de uma transformação da 
variável, em que as operações desta transformação seriam: 
 Æ 1ª) subtrair todos os elementos do conjunto pela Média; 
 Æ 2ª) Dividir todos os elementos pelo Desvio-Padrão. 
 
 Desenhemos esta transformação: 
 
 1ª)- X 2ª)÷S 
 
 
X Y 
 
 
 Ora, queremos chegar ao Coeficiente de Variação da variável transformada Y. E o 
CV, conforme já sabemos, é definido por CV=S/ X . 
 Daí, partindo do lado da variável X, com a média X , e percorrendo o caminho de 
transformação acima, teremos, logo de cara, a subtração da média por ela mesma! 
Resultado: zero. A segunda operação é uma divisão. Ora, zero dividido por qualquer 
coisa é zero mesmo! Conclusão: chegamos ao lado de cá, sabendo que a média da 
variável Y é igual a zero. Ou seja: Y =0. 
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 Enfim, na hora de calcularmos o Coeficiente de Variação desta variável Y, 
teríamos que o denominador (Y ) é igual a zero. E qualquer divisão por zero é uma 
divisão indefinida! Por isso diz o enunciado deste item que, neste caso, o Coeficiente de 
Variação não está definido! 
 Eu devo confessar-lhes que levei um bom tempo (leia-se: alguns anos!) para 
conseguir enxergar a intenção desse texto...! Mas consegui em boa hora! E vamos 
embora! Adiante. 
 
55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um indice de preço calculado 
com base no ano de 1984. 
 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
Índice 75 88 92 100 110 122 
 
 No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: 
a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de 
preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. 
e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
 
Sol.: Esta questão é simples e é fácil. Difícil mesmo é acreditar em como a Esaf 
conseguiu complicá-la! 
 A Mudança de Base é uma questão que trará uma tabela com duas linhas e várias 
colunas, exatamente como a que foi apresentada. Na linha de cima, diferentes anos. Na 
de baixo, diferentes índices. Geralmente, esses índices representam preços de alguma 
coisa. Pois bem! Somente um destes preços será 100. Reparem bem! Qual é o ano que 
tem o índice 100? É o ano de 1984. Ele é, originalmente, o nosso ano base! 
 Daí, mudar a base para outro ano significa, tão somente, que este outro ano 
passe a ter o índice 100, e não mais 1984. 
 Para que isso ocorra, basta dividir todos os índices da tabela original pelo índice 
deste outro ano que se pretende seja o novo ano base, e depois multiplicar esse 
resultado por 100. 
 Por exemplo, se eu quiser que 1981 seja a nova base, o novo índice deste ano 
terá que passar a ser igual a 100. E quanto é hoje? É 75. O que é preciso fazer para que 
75 vire 100? 
 Æ Primeiro: dividir 75 por 75. (Aí vira 1) 
 Æ Depois: multiplicar por 100. (Aí vira 100) 
 
 Só resta observar que estas duas operações acima podem ser traduzidas por 
apenas uma: dividir por 0,75. Senão, vejamos: 
 
75,0
75
100
75
75100
75
75 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=x 
 
 Pronto! A questão era só isso! Não tinha mais o que inventar. Mas a elaboradora 
quis, e colocou, a meu ver, duas opções válidas. As seguintes: 
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de 
preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória.CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 
 
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 Em suma, caberia recurso para esta questão. É o que penso! Pesquisei em 
diversas obras conceituadas, e várias delas de autores estrangeiros, e o que encontrei 
só me tornou mais convicto de que a opção B está perfeita, de ponta a ponta! 
 O fato é que esta questão não veio a ser anulada. Nem sei se alguém apresentou 
recurso. 
 
 
2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 
cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o 
credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. 
Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. 
a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 
b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 
c) R$ 12.200,00 
 
Sol.: Esta é uma questão bem interessante! Não que seja difícil, absolutamente! Mas é, 
de certa forma, enganosa. 
 É uma questão parece mas não é! 
 Vejamos o desenho: 
 X 
 
 
 
 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,, 
 
 
 
 
O que parece ser essa questão? Parece ser uma operação de Rendas Certas! 
Quais são as três características das Rendas Certas? 1ª) Parcelas de mesmo valor; 2ª) 
Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3ª) Taxa no regime composto! 
Pois bem! As duas primeiras características estão presentes. Mas não a terceira! 
O regime dessa operação é o simples. Daí, concluímos: não se trata de uma 
operação de rendas certas, e sim, de equivalência simples de capitais. 
A data focal dessa operação será a do X, uma vez que o enunciado pede que se 
calcule o valor, naquela data, que seja equivalente a todas as outras parcelas. 
Ora, como foi estabelecido que a taxa da operação é uma taxa de juros simples, 
então as operações de desconto que serão realizadas serão, todas elas, operações de 
desconto simples por dentro (desconto racional). 
E se bem nos lembrarmos, a operação de desconto simples por dentro é 
equivalente à operação de juros simples. Assim, poderemos perfeitamente tratar essa 
questão como sendo uma de aplicação de juros simples. 
Mas, e agora? Será que teríamos que projetar cada uma dessas parcelas de 
R$1000, (por meio dos juros simples), e depois somar todos os montantes? Isso daria 
muito trabalho e demoraria muito tempo para ser feito. O melhor é usarmos o seguinte 
artifício: atribuiremos o valor zero (0) para a primeira parcela de R$1000 e seguiremos 
com os valores 1, 2, etc para as demais parcelas, até chegarmos à última. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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 X 
 
 
 
 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,, 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 Feito isso, somaremos os valores atribuídos à primeira parcela e à última, e 
dividiremos essa soma por dois. Teremos: (0+9)/2=4,5. 
 
 Pronto! Esse 4,5 é o nosso prazo médio! Nesta data (4,5) haverá uma nova 
parcela, que substituirá todas as outras de R$1000. Vejamos: 
 
 X 
 
 
 
 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 1.000,, 
 
 
 
 0 1 2 3 4 4,5 5 6 7 8 9 
 
 
 4,5 meses 
 
 
 E qual será o valor desta nova parcela? Será o valor da soma! 
 Nosso novo desenho da questão será, agora, o seguinte: 
 
 X 
 
 10.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 4,5 meses 
 Agora, sim! Temos uma operação corriqueira de juros simples. Para descobrir o 
Montante (que é o X), faremos: 
 
 Æ 
ni
MC
.100100 += Æ 5,44100100
000.10
x
M
+= Æ M=11.800,00 Æ Resposta! 
 
 Esse artifício sempre poderá ser utilizado, se o regime da operação for o simples. 
Se for o composto, trabalharemos a questão com uma operação de rendas certas! 
 
 
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19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano 
durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante 
considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela 
convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 
 
Sol.: Nesse caso, teremos que encontrar dois montantes dessa operação de juros 
compostos: o da convenção exponencial e o da convenção linear. 
 Ora, o valor do Capital não foi fornecido. Podemos, se quisermos, adotar o valor 
cem (C=100). Não há problema nenhum em fazer isso. 
 
 Comecemos pela Convenção Exponencial. Teremos: 
 
 Æ M=C.(1+i)n Æ M=100.(1+0,40)1,5 Æ M=100x1,656502 Æ M=165,65 
 
 Agora, calculemos o Montante da Convenção Linear. Teremos: 
 
 Æ M=C.(1+i)n1.(1+i.n2) 
 
 Onde n1 e n2 correspondem, respectivamente, à parte inteira e à parte quebrada 
do tempo. Neste caso, em que o tempo de aplicação é um ano e meio (n=1,5a), 
então, n1=1 e n2=0,5. Teremos: 
 
 Æ M=100.(1+0,40)1.(1+0,40x0,5) Æ M=168,00 
 
 Como já era de esperar, o Montante da Convenção Linear é ligeiramente maior 
que o da Convenção Linear. Então, houve aí uma perda percentual. 
 Como calcular a perda percentual entre dois valores? Da seguinte forma: 
 
 Æ Perda Percentual = (Valor Maior/Valor Menor) – 1 
 
 Daí, teremos: 
 
Æ Perda Percentual = (168/165,65) – 1 = 1,014 – 1 = 0,014 = 1,4% Æ Resposta! 
 
 
7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram 
aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses 
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. 
a)Dois meses e vinte e um dias 
b)Dois meses e meio d) Três meses 
c)Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias 
 
Sol.: Questão de prazo médio, ou seja, questão de copiar-colar! As taxas entre si estão 
na mesma unidade? Sim! E os prazos estão entre si na mesma unidade? Sim! Então não 
tem o que pensar muito. Apliquemos a fórmula, façamos as contas e acertemos a 
questão. Teremos: 
).50000().30000().20000(
)2..50000()3..30000()4..20000(
iii
iiiPM ++
++= 
 Cortando todos as taxas i do numerador e do denominador (“e pode fazer isso?”), 
ficaremos apenas com valores numéricos, para chegarmos ao seguinte resultado: 
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19
mesesPM 7,2
000.100
000.270 == 
 
 Para ficar igual à resposta, transformaremos 0,7 meses em dias (multiplicando 
por 30, já que um mês tem 30 dias na matemática financeira), e chegaremos, agora 
sim, ao nosso resultado final: 
 
 Æ PM=2,7 meses = 2 meses e 21 dias Æ Resposta! 
 
15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 
10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo umdesconto de 3% 
do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito 
de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do 
desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real 
paga pela empresa? 
f) 3,09% ao mês 
g) 4,00% ao mês 
h) 4,71% ao mês 
i) 4,59% ao mês 
j) 4,50% ao mês 
 
Sol.: Já resolvemos questão deste assunto em aula passada. Para saber essa tal de 
taxa de juros real, precisamos apenas descobrir qual será o valor inicial e o valor final 
da operação. 
 Vejamos: o valor final (valor de face do título!) é de R$10.000,00. 
 Este vai sofrer um desconto de 3%. Aqui não foi especificado que tipo de 
desconto é esse. Faremos apenas a seguinte conta: 
 Æ 00,30010000
100
3 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x =Desconto! 
 
 Mas não foi apenas esse desconto de 3% que foi trazido no enunciado. Além dele, 
houve ainda uma taxa de R$50,00 e mais 1% do título como imposto financeiro. 
 Ora, teremos: 
 Æ 00,10010000
100
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ x + 50 = 150,00 
 
 Este valor (R$150,00) será cobrado da empresa no momento do desconto do 
título, ou seja, na data do início. De sorte, obviamente, que ele irá diminuir o que a 
empresa levará naquele dia! 
 Logo, além dos R$300 do desconto, tem ainda R$150,00 de taxas e impostos, a 
serem arcados pela empresa. Conclusão: 
 Æ 300+150=450,00 
 
 Os valores que iniciarão e terminarão essa operação são os seguintes: 
 
 10.000,00 
 9.550,00 
 
 
 
 1m 
 
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20
 Descobrindo a taxa de juros envolvida nesta operação, teremos: 
 
ni
JC
.100
= Æ 
i.1
450
100
9550 = Æ 
9550
45000=i Æ i=4,71% ao mês Æ Resposta! 
 
26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor 
descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. 
a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 
b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 
c) R$ 30.000,00 
 
Sol.: A questão nos fala em Desconto Racional Composto, ou seja, Desconto por 
Dentro, no regime composto. 
 A equação deste tipo de desconto é a seguinte: 
 
 Æ N=A.(1+i)n ou Æ A=N/(1+i)n 
 
 Pois bem! O que a questão fornece? O valor do desconto Dd=6.465,18, o valor 
da taxa i=5%, e o tempo de antecipação n=4 meses. 
 E o que é solicitado? O valor descontado! Ora, valor descontado é o mesmo que 
Valor Atual. 
 Daí, olhemos para a fórmula que nos faria chegar ao valor atual: 
 
Æ A=N/(1+i)n 
 
 Facilmente percebemos que esta fórmula, do jeito em que está apresentada, não 
resolverá nosso problema, uma vez que não dispomos do N (Valor Nominal do título)! 
 Todavia, sabemos que D=N-A (Desconto = Valor Nominal menos Valor Atual). 
 Daí, desenvolvendo a fórmula acima, trocando N por (D+A), chegaremos ao 
seguinte: 
 
Æ A=N/(1+i)n Æ A=(D+A)/(1+i)n Æ A.(1+i)n=D+A 
 
Æ A.(1+i)n – A = D Æ A.[(1+i)n – 1] = D 
 
Æ A = D / [(1+i)n – 1] 
 
Agora, sim! Uma vez que taxa e tempo estejam na mesma unidade (e estão!), 
resta-nos aplicar a fórmula acima para chegarmos ao resultado. Teremos: 
 
Æ A = D / [(1+i)n – 1] Æ A=6.465,18/[(1+0,05)4 – 1] 
 
Æ A = 6.465,18 / [1,215506 – 1] = 6.465,18/0,215506 
 
Æ A = 30.000,00 Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
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36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no 
valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 
1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o 
pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o 
refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, 
vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais 
próximo da nova prestação mensal. 
a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 
b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 
c) R$ 625,00 
 
Sol.: Esse tipo de questão também já é nosso conhecido! 
 Para este enunciado, a primeira coisa a ser feita é descobrir o valor da taxa da 
operação. Ora, estamos diante de uma aplicação de amortização. Daí, teremos: 
 
 Æ T = P . An¬i Æ 15.000=1.184,90xA18¬i 
 
 Daí, consultando na Tabela Financeira do Fator de Amortização, encontraremos 
que i=4%. 
 
 Agora nos preocuparemos em descobrir uma coisa: quanto ainda falta ser pago?
 Se eram doze prestações, e já paguei doze, então faltam seis. A uma taxa de 4% 
ao mês, quanto isso representa? Amortização de novo! 
 
 Æ T = P . An¬i Æ T=1.184,90xA6¬4% 
 
 Nova consulta à Tabela Financeira da Amortização, e vemos que A6¬4%=5,242137 
 
 Teremos: Æ T=1.184,90x5,242137 Æ T=6.211,40 
 
 É este o valor que ainda terá que ser pago! Só que não mais em seis parcelas, e 
sim em doze, graças a um acerto com o credor. Daí, aplicando amortização pela terceira 
vez, descobriremos o valor das novas prestações. Teremos: 
 
 Æ T = P . An¬i Æ P = T / An¬i Æ P = 6.211,40 / A12¬4% 
 
 Æ P = 6.211,40 / 9,385074 Æ P ≈ 662,00 Æ Resposta! 
 
 
46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses 
do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada 
aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos 
meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a 
taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 
c) R$ 82.265,00 
 
Sol.: Esta questão já se tornou até corriqueira. Já sabemos que a solução aqui passa 
por um tal de tracejado de níveis. Não é verdade? 
 Desenhando a questão, teremos o seguinte: 
 
 
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 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2000, 
 
 4000, 
 
 6000, 
 
 Usando o artifício de dividir as parcelas em níveis, fazendo três tracejados (uma 
vez que são três grupos de parcelas), teremos o seguinte: 
 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 1º nível 
 
 2000, 2º nível 
 
 4000, 3º nível 
 
 6000, 
 
 
 
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 Ora, pelo desenho acima, fica evidenciado que as parcelas de cada nível têm 
R$2.000,00. De modo que: 
 Æ 1º nível: 18 parcelas de R$2.000,00; 
 Æ 2º nível: 12 parcelas de R$2.000,00; 
 Æ 3º nível: 6 parcelas de R$2.000,00. 
 A taxa da questão é uma taxa composta de 3% ao mês. Trabalharemos cada 
nível, fazendo uma operação de Rendas Certas. Teremos: 
 Æ 1º nível: Æ T=P. S n i Æ T’=2000. S 18 3% 
 Æ 2º nível: Æ T=P. S n i Æ T’’=2000. S 12 3% 
 Æ 3º nível: Æ T=P. S n i Æ T’’’=2000. S 6 3% 
 
 Fazendo, de uma feita, as três consultas à Tabela Financeira das Rendas Certas, 
teremos: 
 
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
i
is
n
in
1)1( −+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 
4 4,060401 4,121608 4,1836274,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100 
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
12 12,682503 13,41209 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173 
 
 Ora, o X da questão será dada pela soma T’+T’’+T’’’. Fazendo essa soma, vemos 
que o valor 2000 é um fator comum! Daí, podemos fazer o seguinte: 
 
Æ X=2000.(6,468410+14,192029+23,414435) Æ X=2000x44,074874 
 
Daí, chegamos a: X=88.149, Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
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50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 
36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do 
pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao 
final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor 
que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 
b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 
c) $ 11.881,00 
 
Sol.: Neste enunciado aparece uma taxa nominal. Transformando-a em taxa efetiva, 
por uso do conceito de taxas proporcionais, teremos que: 
Æ 36% ao ano, c/ capit. trimestral = (36/4)= 9% ao trimestre (taxa efetiva!) 
 O enunciado nos fala de um empréstimo. Quando é que pegamos o valor de um 
empréstimo? Hoje, obviamente. Pegamos hoje para devolver no futuro! Daí, o desenho 
de nossa questão será o seguinte: 
 
 20.900, 
 
 
 
 
 
 
 P P 
 
 Observemos que a taxa composta é trimestral e o intervalo entre as parcelas 
também é o trimestre! Tudo compatível. 
 O que nos resta? Aplicarmos, diretamente, a fórmula da Amortização. Teremos: 
 
Æ T=P.An¬i Æ 20.900=P x A2¬9% 
 
 Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a +
−+=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
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 Daí, teremos que: 
 
Æ 20.900=Px 1,759111 Æ P=20.900 / 1,759111 
 
Æ Daí: P=11.881,00 Æ Resposta! 
 
 
 É isso, meus caros! 
 Chegamos ao fim de mais este simulado. 
 Espero, de coração, que vocês estejam levando a sério esta oportunidade de 
resolver questões de provas passadas, marcando o tempo, conferindo as resoluções, 
relembrando o que estava meio esquecido, e aprendendo o que ainda não era 
conhecido! 
 O aprendizado se faz assim: tijolo por tijolo. Chega uma hora em que a casa está 
pronta, e você é o dono e ninguém toma! 
 Forte abraço a todos! Fiquem com Deus, e até semana que vem!