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Análise Estrutural e Métodos Matriciais Método da Rigidez Revisão e detalhamento do conceito de Deslocabilidade Interna e Externa O Grau de Hiperestaticidade contabiliza os vínculos (internos ou externos) que, ao ser quebrados (anulados), liberam os deslocamentos associados Em contrapartida ao conceito de Grau de Hiperestaticidade associado ao Método da Flexibilidade, há o conceito de Deslocabilidade associado ao Método da Rigidez Entende-se por deslocabilidade interna, as rotações pontuais (não rotuladas) de uma estrutura, enquanto a deslocabilidade externa se refere às translações correspondentes A Deslocabilidade total de uma estrutura contabiliza os deslocamentos livres que, ao ser bloqueados (anulados), liberam os desequilíbrios associados Portanto, o Método da Flexibilidade calcula esforços (forças e momentos) a partir do equilíbrio de deslocamentos (flexibilidades), enquanto, inversamente, o Método da Rigidez calcula deslocamentos (translações e rotações) a partir do equilíbrio de esforços (rigidezes) Análise Estrutural e Métodos Matriciais Determinação da deslocabilidade total de uma estrutura e conceito de incógnita Considerando-se apenas os deslocamentos associados à flexão, têm-se: 1 Deslocabilidade Interna: di = 3 Deslocabilidade Externa: de = 1 Deslocabilidade Total: d = di + de = 4 2 34 M ? M ? M ? θθθθ ? θθθθ ���� M ���� M ���� M ���� M ?, θθθθ ���� M ����, θθθθ ? M ����, θθθθ ? M ����, θθθθ ? M ����, θθθθ ?M ����, θθθθ ? Análise Estrutural e Métodos Matriciais Análise Estrutural e Métodos Matriciais Análise Estrutural e Métodos Matriciais Análise Estrutural e Métodos Matriciais Análise Estrutural e Métodos Matriciais Análise Estrutural e Métodos Matriciais Quadro Comparativo Original Flexibilidade Rigidez 00 00 =Σ⇒≠−= =Σ⇒≠−= δδδ de de MMM MM MMM de de →→ ≠Σ⇒≠≠ =Σ⇒== δ δδδ 00 00 δδ δδδ →→ =Σ⇒== ≠Σ⇒≠−≠ M MMM de de 00 00 1=M 1=δ Flexibilidade Rigidez Equilíbrio de esforços e deslocamentos. Análise Estrutural e Métodos Matriciais Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de recalque de apoio Recalque de apoio unitário em viga engastada e apoiada ρρρρ Estrutura Original X1 = 1 Sistema Principal DMF1 -1 1/l1/l Recalque de apoio ρ não produz flexão sobre o SP ⇒ DMF0 nulo. Deslocamento de rotação produzido pelo recalque de apoio: Equação de compatibilidade em X1 e solução: ll rr ρδρδ =⇒=⋅−+⋅ 11 011 ( ) ( ) JE l ⋅⋅ −⋅−⋅ = 3 11 11δ ρδδ ⋅⋅⋅−=⇒=⋅+ 211111 30 l JEXXr ρ2 3 l EJ ρ3 3 l EJ ρρρρ ρ3 3 l EJ Dimensões das rigidezes Análise Estrutural e Métodos Matriciais Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de recalque de apoio Recalque de apoio unitário em viga engastada e apoiada (cont.) θ2 3 l EJ θ l EJ3 L LF l JE ⋅ = ⋅⋅ 2 3 L F l JE = ⋅⋅ 3 3 θθθθ θ2 3 l EJ Dimensões das rigidezes LL LF l JE ⋅ = ⋅⋅3 LL F l JE = ⋅⋅ 2 3 Esforços produzidos por deslocamentos unitários Dimensões das rigidezes Análise Estrutural e Métodos Matriciais Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de recalque de apoio Recalque de apoio unitário em bi-engastada L LF l JE ⋅ = ⋅⋅ 2 6 L F l JE = ⋅⋅ 3 12 Dimensões das rigidezes LL LF l JE ⋅ = ⋅⋅4 LL F l JE = ⋅⋅ 2 6 Esforços produzidos por deslocamentos unitários θθθθ θ2 6 l EJ θ l EJ4 θ2 6 l EJ ρρρρρ2 6 l EJ ρ3 12 l EJ ρ3 12 l EJ ρ2 6 l EJ θ l EJ2 Análise Estrutural e Métodos Matriciais O Método da Rigidez assume o comportamento linear do material e da geometria e portanto, faz uso do princípio da superposição de efeitos. O procedimento é baseado no conceito de Sistema Principal, ou SP, e na equação de compatibilidade do equilíbrio de esforços. O SP corresponde a uma estrutura hiperestática produzida pelo travamento das deslocabilidades (internos ou externos) Nas direções dos graus de liberdade das deslocabilidades travadas, recuperam- se os equilíbrios de esforços através da aplicação da condição de compatibilidade de esforços em cada um destes graus de liberdade. O princípio da superposição de efeitos é base da formulação das equações de compatibilidade de esforços. A equação de compatibilidade de esforços é definida através do PTV, por intermédio do Método da Flexibilidade. Procedimento do Método da Rigidez 1. Dada a estrutura original, definir o SP através do travamento das deslocabilidades 2. Calcular os desequilíbrios pontuais ao longo dos graus de liberdade associados aos travamentos, onde βi0 é o esforço no grau de liberdade i produzido pela carga externa (índice 0) Sistema Principal Desequilibrado 2 10β Análise Estrutural e Métodos Matriciais Estrutura Original Neste exemplo, foram travados a rotação e translação no ponto C ... ... e a rotação do ponto D. A B C D Sistema Principal X3 X1 X2 1 2 3 β30 β10 β20 1 10β 1 30β 2 20β 3 20β Desequilíbrio de momentos⇒≠= ∑ = 0 1 00 Barras k k ii ββ 3 22β Procedimento do Método da Rigidez (cont.) 3. Calcular os esforços (rigidezes) nos graus de liberdade produzidos pela aplicação dos deslocamentos unitários virtuais nos graus de liberdade associados aos travamentos Análise Estrutural e Métodos Matriciais Onde βij é esforço (rigidez) no grau de liberdade i produzido pelo deslocamento virtual unitário aplicado no grau de liberdade j (fazendo Xj = 1,0) 0,11 =X 0,12 =X 0,11 =X β31 β22 1 31β 2 21β 2 11β 1 11β 321β β12 β13β33 β32β21β11 β23 1 32β 2 22β 2 12β 1 12β 1 33β 2 13β 1 13β 3 23β2 23β Desequilíbrio de momentos⇒≠= ∑ = 0 1 Barras k k ijij ββ Análise Estrutural e Métodos Matriciais Procedimento do Método da Rigidez (cont.) • Aplicar o princípio da superposição de efeitos e definir as equações de compatibilidade de esforços em cada um dos vínculos travados (graus de liberdade) para se recuperarem os equilíbrios de esforços originais • Em notação matricial, tem-se: • Em notação indicial, tem-se: • Onde βij são os coeficientes da matriz de rigidez, βi0 são os desequilíbrios de esforços produzidos pelos travamento das deslocabilidades e Xj são as incógnitas ou deslocamentos (correspondentes às deslocabilidades travadas) =+++ =+++ =+++ 0... 0... 0... 33323213130 32322212120 31321211110 XXX XXX XXX ββββ ββββ ββββ = ⋅ + 0 0 0 3 2 1 333231 232221 131211 30 20 10 X X X βββ βββ βββ β β β 0.0 =+ jiji Xββ
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