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Análise Estrutural e Métodos Matriciais

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Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Método da Rigidez
Revisão e detalhamento do conceito de Deslocabilidade Interna e Externa
O Grau de Hiperestaticidade contabiliza os vínculos (internos ou externos) que, ao 
ser quebrados (anulados), liberam os deslocamentos associados
Em contrapartida ao conceito de Grau de Hiperestaticidade associado ao Método da
Flexibilidade, há o conceito de Deslocabilidade associado ao Método da Rigidez
Entende-se por deslocabilidade interna, as rotações pontuais (não rotuladas) de 
uma estrutura, enquanto a deslocabilidade externa se refere às translações 
correspondentes
A Deslocabilidade total de uma estrutura contabiliza os deslocamentos livres que, ao 
ser bloqueados (anulados), liberam os desequilíbrios associados
Portanto, o Método da Flexibilidade calcula esforços (forças e momentos) a partir do 
equilíbrio de deslocamentos (flexibilidades), enquanto, inversamente, o Método da 
Rigidez calcula deslocamentos (translações e rotações) a partir do equilíbrio de 
esforços (rigidezes)
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Determinação da deslocabilidade total de uma estrutura e conceito de incógnita
Considerando-se apenas os deslocamentos associados à flexão, têm-se:
1 Deslocabilidade Interna: di = 3
Deslocabilidade Externa: de = 1
Deslocabilidade Total: d = di + de = 4
2
34
M ?
M ?
M ?
θθθθ ? θθθθ ���� M ����
M ����
M ����
M ?, θθθθ ����
M ����, θθθθ ?
M ����, θθθθ ?
M ����, θθθθ ?
M ����, θθθθ ?M ����, θθθθ ?
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Quadro Comparativo
Original Flexibilidade Rigidez
00
00
=Σ⇒≠−=
=Σ⇒≠−=
δδδ de
de MMM
MM
MMM
de
de
→→
≠Σ⇒≠≠
=Σ⇒==
δ
δδδ 00
00
δδ
δδδ
→→
=Σ⇒==
≠Σ⇒≠−≠
M
MMM
de
de
00
00
1=M 1=δ
Flexibilidade Rigidez
Equilíbrio de esforços e 
deslocamentos.
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de 
recalque de apoio
Recalque de apoio unitário em viga engastada e apoiada
ρρρρ
Estrutura Original
X1 = 1
Sistema Principal
DMF1
-1
1/l1/l
Recalque de apoio ρ não produz flexão 
sobre o SP ⇒ DMF0 nulo.
Deslocamento de rotação produzido pelo 
recalque de apoio:
Equação de compatibilidade em X1 e 
solução:
ll rr ρδρδ =⇒=⋅−+⋅ 11 011
( ) ( )
JE
l
⋅⋅
−⋅−⋅
=
3
11
11δ
ρδδ ⋅⋅⋅−=⇒=⋅+ 211111
30
l
JEXXr
ρ2
3
l
EJ
ρ3
3
l
EJ
ρρρρ
ρ3
3
l
EJ
Dimensões das rigidezes
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de 
recalque de apoio
Recalque de apoio unitário em viga engastada e apoiada (cont.)
θ2
3
l
EJ
θ
l
EJ3
L
LF
l
JE ⋅
=


 ⋅⋅
2
3
L
F
l
JE
=


 ⋅⋅
3
3
θθθθ
θ2
3
l
EJ
Dimensões das rigidezes
LL
LF
l
JE ⋅
=


 ⋅⋅3
LL
F
l
JE
=


 ⋅⋅
2
3
Esforços produzidos 
por deslocamentos 
unitários
Dimensões das rigidezes
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Cálculo das rigidezes através do Método da Flexibilidade e conceito de 
recalque de apoio
Recalque de apoio unitário em bi-engastada
L
LF
l
JE ⋅
=


 ⋅⋅
2
6
L
F
l
JE
=


 ⋅⋅
3
12
Dimensões das rigidezes
LL
LF
l
JE ⋅
=


 ⋅⋅4
LL
F
l
JE
=


 ⋅⋅
2
6
Esforços produzidos 
por deslocamentos 
unitários
θθθθ
θ2
6
l
EJ
θ
l
EJ4
θ2
6
l
EJ
ρρρρρ2
6
l
EJ
ρ3
12
l
EJ ρ3
12
l
EJ
ρ2
6
l
EJ
θ
l
EJ2
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
O Método da Rigidez assume o comportamento linear do material e da
geometria e portanto, faz uso do princípio da superposição de efeitos.
O procedimento é baseado no conceito de Sistema Principal, ou SP, e na 
equação de compatibilidade do equilíbrio de esforços.
O SP corresponde a uma estrutura hiperestática produzida pelo travamento das 
deslocabilidades (internos ou externos)
Nas direções dos graus de liberdade das deslocabilidades travadas, recuperam-
se os equilíbrios de esforços através da aplicação da condição de 
compatibilidade de esforços em cada um destes graus de liberdade.
O princípio da superposição de efeitos é base da formulação das equações de 
compatibilidade de esforços.
A equação de compatibilidade de esforços é definida através do PTV, por 
intermédio do Método da Flexibilidade.
Procedimento do Método da Rigidez
1. Dada a estrutura original, definir o SP através do travamento das deslocabilidades
2. Calcular os desequilíbrios pontuais ao longo
dos graus de liberdade associados
aos travamentos, onde βi0 é o
esforço no grau de liberdade
i produzido pela carga externa (índice 0)
Sistema Principal
Desequilibrado
2
10β
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Estrutura Original
Neste exemplo, foram 
travados a rotação e 
translação no ponto C ...
... e a rotação do ponto D.
A B
C D
Sistema Principal
X3
X1 X2
1
2
3
β30
β10
β20
1
10β
1
30β
2
20β
3
20β
Desequilíbrio de momentos⇒≠= ∑
=
0
1
00
Barras
k
k
ii ββ
3
22β
Procedimento do Método da Rigidez (cont.)
3. Calcular os esforços (rigidezes) nos graus de liberdade produzidos pela aplicação dos 
deslocamentos unitários virtuais nos graus de liberdade associados aos travamentos
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Onde βij é esforço (rigidez) no grau de 
liberdade i produzido pelo 
deslocamento virtual unitário aplicado 
no grau de liberdade j (fazendo Xj = 
1,0)
0,11 =X 0,12 =X
0,11 =X
β31 β22
1
31β
2
21β
2
11β
1
11β 321β
β12
β13β33
β32β21β11
β23
1
32β
2
22β
2
12β
1
12β
1
33β
2
13β
1
13β
3
23β2
23β
Desequilíbrio de momentos⇒≠= ∑
=
0
1
Barras
k
k
ijij ββ
Análise Estrutural e Métodos Matriciais
Procedimento do Método da Rigidez (cont.)
• Aplicar o princípio da superposição de efeitos e definir as equações de compatibilidade de 
esforços em cada um dos vínculos travados (graus de liberdade) para se recuperarem os 
equilíbrios de esforços originais
• Em notação matricial, tem-se:
• Em notação indicial, tem-se:
• Onde βij são os coeficientes da matriz de rigidez, βi0 são os desequilíbrios de esforços 
produzidos pelos travamento das deslocabilidades e Xj são as incógnitas ou 
deslocamentos (correspondentes às deslocabilidades travadas)





=+++
=+++
=+++
0...
0...
0...
33323213130
32322212120
31321211110
XXX
XXX
XXX
ββββ
ββββ
ββββ










=










⋅










+










0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
βββ
βββ
βββ
β
β
β
0.0 =+ jiji Xββ