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Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
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Taxa de Variação Relacionada 
Exemplo A: Um quadrado se expande de 
modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. 
Achar a taxa de variação de sua área no 
instante em que o lado mede 15 cm. 
R: A variação da área do quadrado no 
instante que o lado mede 15 cm é de 
150cm2/s. 
2 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo B: Um cubo se expande de modo 
que sua aresta varia a razão de 12,5 cm/s. 
Achar a taxa de variação de seu volume no 
instante em que sua aresta mede 10 cm. 
R: A variação do volume do cubo no 
instante que sua aresta mede 10 cm é de 
3750cm3/s. 
3 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo C: Um objeto se move sobre uma 
reta com velocidade dada pela função 
v(t)= 4t5. Achar a aceleração no instante 
t=2s. 
R: 320 u.c/s2. 
4 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo D: Uma partícula percorre uma 
curva segundo a lei e(t)= 10 + 6t2 – t3 (e em 
metros e t em segundos) Determinar: 
a) O instante em que a velocidade é nula. 
R= 0s ou 4s. 
b) A aceleração nesse(s) instante(s); 
R: a(0)= 12 m/s2 e a(4)= -12 m/s2 
c) O espaço percorrido até este instante. 
R: 32 m. 
5 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Orientações para solucionar um problema, segundo 
Stewart(2006, p.255): 
1) Leia-o cuidadosamente 
2) Se possível, faça um diagrama 
3) Introduza a notação (atribua símbolos para todas as 
grandezas que são funções do tempo. 
4) Expresse a informação dada e a taxa requerida em termos 
das derivadas. 
5) Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do 
problema. Se necessário, use a geometria da situação para 
eliminar uma das variáveis por substituição. 
6) Use a regra da cadeia para diferencial de ambos os lados da 
equação em relação a t. 
7) Substitua a informação dada dentro da equação resultante 
por substituição. 
 6 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 1: Infla-se um balão esférico de tal 
modo que o seu volume está aumentando 
à razão de 5 cm3/s. A que razão o diâmetro 
do balão cresce quando o diâmetro é de 12 
cm? 
R: O diâmetro do balão está crescendo a 
uma taxa de 5/(72π) cm/s. 
7 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercício 1: Está sendo bombeado ar para 
dentro de um balão esférico, e seu volume 
cresce a uma taxa de 100 cm3/s.Quão 
rápido o raio do balão está crescendo 
quando o diâmetro é de 50 cm? 
R: O raio do balão está crescendo a uma 
taxa de 1/(25π) cm/s. 
 
 
8 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 2: Uma escada com 20 pés de 
comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. Se a base da escada se afasta 
horizontalmente da parede à razão de 2 
pés/s, com que velocidade o topo da 
escada desliza parede abaixo quando está 
a 12 pés acima do solo? 
 
R: -8/3 pés/s. 
9 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercício 2: Uma escada com 10 pés de 
comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. Se a base da escada desliza, afastando-
se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido 
o topo da escada está escorregando para baixo 
na parede quando a base da escada está a 6 pés 
da parede? 
R: O todo da escada está deslizando para baixo 
a uma taxa de ¾ pé/s. 
O resultado será negativo, pois a distância do 
topo da escada ao solo está decrescento a uma 
taxa ¾ pé/s. 
10 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 3:Um tanque tem a forma de um 
cone circular com o vértice para baixo 
mede 12m de altura e tem no topo um 
diâmetro de 12m. Bombea-se água à taxa 
de 4 m3/min. Encontre a taxa com que o 
nível de água sobe: 
a) Quando a água tem 2m de 
profundidade; R: (4/π) m/min 
b) Quando a água tem 8m de 
profundidade. R: (1/4π) m/min 
 
11 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercício 3a:Um tanque de água tem a 
forma de um cone circular invertido com 
base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a 
água está sendo bombeada dentro do 
tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a 
taxa na qual o nível da água está elevando 
quando a água está a 3 m de profundidade. 
R: O nível da água está elevando a 
aproximadamente 0,28 m/min. 
12 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercícios 3b: Um tanque de água tem a 
forma de um cone circular reto invertido, de 
altura 12 pés e raio da base 6 pés. 
Bombeia-se água à razão de 10 gal/min. 
Determine aproximadamente a taxa à qual 
o nível da água sobe no tanque quando a 
profundidade é 3 pés. (1 galão é 
aproximadamente 0,1337 pés3. 
R: 0,189 pé/min 
 
 
13 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercício 3c: Acumula-se areia em um 
monte de forma cônica, à razão de 10 
dm3/min. Se a altura do monte é sempre 
igual a duas vezes o raio da base, a que 
razão cresce a altura do monte quando esta 
é igual a 8 dm. 
R: 5/16π dm/min 
 
 
14 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 4: O carro A está atravessando o oeste 
a 50 mi/h e o carro B está atravessando o norte a 
60 mi/h. Ambos estão dirigindo para a 
intersecção de duas estradas. A que taxa os 
carros estão se aproximando um do outro 
quando o carro A está a 0,3 mi e o carro B está a 
0,4 mi da intersecção? 
•As derivadas são negativas porque a distância 
de A até a intersecção e a distância de B até a 
intersecção estão decrescendo. 
R: dz/dt é igual – 78 mi/h, ou seja, os carros se 
aproximam e um do outro a uma taxa de 78 mi/h. 
15 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 5: Se dois resistores com resistência R1 e R2 
estão em paralelo, como na figura, então a resistência 
total R, medida em ohms, é dada por 
 
 
 
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0,3 ohms/s e 
0,2 ohms/s, respectivamente, quão rápido está variando 
R quando R1 =80 ohms e R2 =100 ohms? 
R: dR/dt é igual 0,132 ohms/s. 
1 1 1
1 2R R R
 
16 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 6: Uma pedra lançada numa lagoa 
provoca uma série de ondulações concêntricas. 
Se o raio r da onda exterior cresce 
uniformemente à taxa de 1,8 m/s, determine a 
taxa com que a área de água perturbada está 
crescente: 
a) quando r = 3m; 
b) Quando r= 6m. 
R: a) 10,8π m2/s 
 b) 21,6π m2/s 
 
17 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exercício 6: Ao se aquecer um disco 
circular de metal, seu diâmetro varia à 
razão de 0,01 cm/min. Quando o diâmetro 
está com 5 metros, a que taxa está a área 
de uma face variando? 
 
R: 2,5π cm2/min 
 
 
 
 
18 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 7: Uma partícula percorre uma curva 
segundo a lei e(t) = 2t – t2. Determine o instante 
no qual a velocidade é nula. 
 
R: t=1 
 
 
 
 
 
19 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Exemplo 8: (ANTON, 2007, p.206): Suponha que o Sol nascente passe 
diretamente sobre um prédio de 30 metros de altura e seja 

o ângulo de 
elevação do Sol. Encontre a taxa segundo a qual o comprimento x da 
sombra do prédio está variando em relação a  , quando 045  . 
 
R: aproximadamente -1,05 m/grau 
20 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
Duas bobinas acopladas têm auto-indutância, 
onde o coeficiente de mútua indução L é 
igual a 0,05 Henry e a corrente i1 que 
percorrea bobina 2 é igual a 
5 (400 )sen t
 
ampéres. Determinar a tensão v2 na bobina 2, 
sendo 
2
di
v L
dt
 . 
APLICAÇÕES EM ELÉTRICA 
21 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
 Prof. Adriana H Borssoi 
 
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REFERÊNCIAS 
 
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. 
 vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2007. 
 
STEWART, James. Cálculo I, 5 ed. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2006. 
 
22 Material compilado pelo Prof. Me. Armando Paulo da Silva