MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS

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MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS  1
EXERCÍCIOS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)
 1. Faça uma conjectura sobre o valor de
2 20
1 1lim 
senx x x
æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø
 e determine quando parar de calcular antes que a perda de 
dígitos significativos destrua o seu resultado. (A resposta 
vai depender de sua calculadora.) Então encontre a resposta 
precisa utilizando um método de cálculo apropriado.
 2. Faça uma conjectura sobre o valor
0
ln (1 )lim 
h
h
h
+
 e determine quando parar de calcular antes que a perda de 
dígitos significativos destrua o seu resultado. Desta vez, a 
subtração prejudicial ocorre no interior da máquina; expli-
que como (supondo que a série de Taylor com centro a = 1 
é utilizada para aproximar ln x). Então encontre a resposta 
precisa utilizando um método de cálculo apropriado.
 3. Mesmo os problemas de cálculo de aparência inocente po-
dem levar a números que ultrapassam o alcance da calcula-
dora. Mostre que o valor máximo da função
2
( )
(1,0001)x
xf x =
 é maior que 10124. [Dica: Use logaritmos]. Qual é o limite 
de f(x) quando x  ¥?
 4. Qual é uma expressão numericamente confiável para subs-
tituir 1 cos ,x- especialmente quando x é um número pe-
queno? Você vai precisar usar identidades trigonométricas. 
(Lembre-se de que alguns pacotes de computador sinaliza-
riam uma condição de erro desnecessário, ou até mesmo 
mudariam para aritmética complexa, quando x = 0.)
 5. Tente calcular
D = ln ln(109 + 1) — ln ln(109)
 na sua calculadora. Esses números são tão próximos que 
você provavelmente vai obter 0 ou apenas alguns dígitos 
de precisão. No entanto, podemos usar o Teorema do Valor 
Médio para conseguir uma precisão muito maior.
 (a) Seja f (x) = ln ln x, a = 109, e b = 109 + 1. Então o 
Teorema do Valor Médio dá
f ¢(b) – f (a) = f ¢(c) (b – a) = f ¢(c)
 onde a < c < b. Como f ’ está diminuindo, temos f ¢(a) 
> f ¢(c) > f ¢(b). Use isso para estimar o valor de D.
 (b) Use o Teorema do Valor Médio uma segunda vez para 
descobrir por que as quantidades f ¢(a) e f ¢(b) no item 
(a) são tão próximas umas das outras.
 6. Para a série de 1,0011 ,n n
¥ -
=S estudada no texto, exatamente 
de quantos termos precisamos (em teoria) para tornar o erro 
inferior a 5 na nona casa decimal? Você pode usar as desi-
gualdades a partir da prova do Teste da Integral:
1
1
( ) ( ) ( ) 
N N
n N
f x dx f n f x dx
¥¥ ¥
+ = +
< <åò ò
 7. Arquimedes descobriu uma aproximação para 2p consideran-
do o perímetro p de um polígono regular de 96 lados inscrito 
em um círculo de raio 1. Sua fórmula, em notação moderna, é
96 2 2 2 2 3p = - + + +
 (a) Realize os cálculos e compare com o valor de p a par-
tir de fontes mais precisas, por exemplo, p = 192 sen 
(p/96). Quantos dígitos você perdeu?
 (b) Realize a racionalização para evitar subtração de núme-
ros aproximados e conte os dígitos exatos novamente.
 8. Este exercício está relacionado ao Exercício 2. Suponha 
que o seu dispositivo de computação tenha um excelente 
algoritmo para a função exponencial exp(x) = ex, mas um 
programa fraco para ln x. Use a identidade
ln ln 1
b
b
a ea b
e
æ ö- ÷ç ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø
 e Desigualdade de Taylor para melhorar a precisão de ln x.
 9. A equação cúbica
x3 + px + q = 0
 onde assumimos por simplicidade que p > 0 tem uma fórmu-
la de solução clássica para a raiz real, chamada fórmula de 
Cardano:
1/3
2 3
1/3
2 3
27 729 1081
3 2
27 729 108
2
q q p
x
q q p
é æ öê ÷+ +ç ÷çê ÷= ç ÷÷çê è øë
ùæ ö ú÷- +ç ÷ç ú÷+ç ÷÷ç úè ø û
 Para um usuário de uma calculadora de bolso, bem como 
para um programador inexperiente, a solução apresenta di-
versos obstáculos. Primeiro, o radicando do segundo termo 
é negativo e a tecla de potência fracionária pode não lidar 
com isso. A seguir, mesmo que tal tecla funcione, quando q é 
pequeno em magnitude e p é de tamanho médio, o pequeno 
número x é a diferença de dois números próximos de /3.p
 (a) Mostre que todos esses problemas são evitados pela 
fórmula
 
2/3 2 2/3
9
3 9
qx
a p p a-
-= + +
 onde 
2 327 729 108
2
q q p
a
+ +=
 Dica: Use a fórmula de fatoração
3 3
2 2
A BA B
A AB B
++ = - +
 (b) Calcule
( ) ( )2/3 2/3
4
2 5 1 2 5
u -= + + + +
2  MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS
 Se o resultado é simples, relacione-o com a parte (a), isto 
é, restabeleça a equação cúbica cuja raiz é u escrito nesta 
forma.
 10. (a) Considere a série de potências
1
( )
100 1
n
n
n
xf x
¥
=
= +å
 É fácil de mostrar que o seu raio de convergência é r = 
100. A série irá convergir muito lentamente para x = 99: 
descubra quantos termos fará o erro menor de 5 ´ 10–7.
 (b) Nós podemos acelerar a convergência da série, na parte 
(a). Mostre que
( )
100 100
x xf x f
x
æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø-
 e determine o número de termos da presente série 
transformada que leva a um erro inferior a 5 ´ 10–7. 
 [Dica: Compare com a série 1 ( /100 ),
n n
n x
¥
=S cuja soma 
você conhece.]
 11. Os números positivos
1 1
0
x n
na e x dx
-= ò
 podem, em teoria, ser calculados a partir de uma fórmula de 
redução obtida por integração pelas partes: a0 = e –1, 
 an = nan–1 – 1. Prove, usando 1 £ e1 – x £ e e o Teorema do 
Confronto que limn¥ an = 0. Em seguida, tente calcular 
a20 da fórmula de redução usando a calculadora. O que deu 
errado?
 O termo inicial a0 = e – 1 não pode ser representado 
exatamente na calculadora. Vamos chamar c aproximação 
do e – 1 que podemos inserir. Verifique a partir da fórmula 
de redução (por meio da observação do padrão após alguns 
passos) que
1 1 1 !
1! 2! !n
a c n
n
é ùæ ö÷çê ú= - + + + ÷ç ÷ê úç ÷è øë û

 e lembre-se de nosso estudo da série Taylor e Maclaurin que
1 1 1
1! 2! !n
+ + +
 converge para e – 1 quando n  ¥. A expressão entre col-
chetes converge para c – (e – 1), um número diferente de 
zero, que fica multiplicado por um fator n! de crescimento 
rápido. Conclui-se que, mesmo se todos os cálculos poste-
riores (depois de introduzir a0) foram realizados sem erros, 
a imprecisão inicial faria com que a sequência computado-
rizada {an} divergisse.
 12. (a) Um consolo após o resultado catastrófico do Exercício 
11: Se reescrevermos a fórmula de redução para ter
1
1 n
n
aa
n-
+=
 podemos usar a desigualdade utilizada no argumento do 
Teorema de Confronto para obter melhorias das aproxi-
mações de an. Tente a20 novamente utilizando esta abor-
dagem inversa. 
 (b) Usamos a fórmula de redução invertida para calcular 
quantidades para as quais temos fórmulas elementares. 
Para ver que a ideia é ainda mais poderosa, desenvol-
va-a para as integrais
1 1
0
n xx e dxq- -ò
 onde q é uma constante, 0 < q < 1, e n = 0, 1,.... Para 
tal q as integrais não são mais elementares (não so-
lucionáveis em “termos finitos”), mas o número pode 
ser calculado rapidamente. Encontre as integrais para a 
determinada escolha 13q = e n = 0, 1, ..., 5 com cinco 
dígitos de precisão.
 13. Uma calculadora avançada tem uma chave para uma função 
peculiar:
1 se 0
( ) 1 se 0
x
x
E x e x
x
ì =ïïïï= í -ï ¹ïïïî
 Depois de tantos avisos sobre a subtração de números pró-
ximos, você pode perceber que a definição
1
2senh ( )
x xx e e-= -
 dá resultados imprecisos para x pequeno, onde senh x está 
próximo de x. Mostre que a utilização da função E(x) cal-
culada acuradamente ajuda a restaurar a precisão de senh x 
para x pequeno.