MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES

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MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES  1
SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)
 1. Os resultados são do Maple com Digits: = 16. A última coluna mostra os valores do polinômio de Taylor de sexto grau de 
f(x) = cossec2 x – x–2 próximo de x = 0. Note que o segundo arranjo do polinômio de Taylor é mais fácil de usar com uma calculadora:
( )2 4 6 2 2 21 1 2 1 1 2 1 16 3 15 289 675 675 289 15 3( )T x x x x x x xé ù= + + + = + + +ê úë û
x f(x)calculadora f(x)computador f(x)Taylor
0,1 0,33400107 0,3340010596845 0,33400106
0,01 0,333341 0,33334000010 0,33334000
0,001 0,3334 0,333333400 0,33333340
0,0001 0,34 0,3333334 0,33333333
0,00001 2,0 0,33334 0,33333333
0,000001 100 ou 200 0,334 0,33333333
0,0000001 10 000 ou 20 000 0,4 0,33333333
0,00000001 1 000 000 0 0,33333333
 Vemos que os resultados da calculadora começam a piorar seriamente em x = 0,0001, e para x menores, eles são completamente 
sem sentido. Os diferentes resultados “100 ou 200” etc. dependiam de se calculássemos [(sen x)2] –1 ou [(sen x) –1] 2. Com Maple, o 
resultado fica distante em mais de 10% quando x = 0,0000001 (compare com o resultado da calculadora!) Uma análise detalhada 
revela que os valores da função são sempre maiores que 13 , mas, eventualmente, o computador dá resultados inferiores a 
1
3 .
 O polinômio T6(x) foi obtido através da simplificação paciente da expressão para f(x), começando com sen2(x) = 12 (1 – cos 
2x), onde 
2 4 10
12
(2 ) (2 ) (2 )cos 2 1 ( ).
2! 4! 10!
x x xx R x= - + - - + Consequentemente, o exato valor do limite é T6(0) = 13 . Também 
pode ser obtido por várias aplicações da Regra l’Hôspital na expressão 
2 2
2 2
sen( )
sen
x xf x
x x
-= com simplificações intermediárias.
 2. A expansão de Taylor de ln x centrada em c = 1 é 
2 3 41 1 1
2 3 4ln ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x= - - - + - - - +
e x é calculado como 1 + h em que h é pequeno. Nós temos a situação descrita no texto: o 
cálculo de (1 + h) – 1, que deve naturalmente resultar em h, em vez disso resulta um valor 
arredondado de h, destruindo alguns de seus dígitos. Daí o comportamento estranho de 
h = 7 ´ 10–11 e –7 ´ 10–12. Quando 1 + h é indistinguível de 1, os valores calculados são 
0. O valor preciso é
0 1
ln (1 ) ln1lim ln 1.
h x
h d x
h dx =
é ù+ - ê ú= =ê úë û
Em vez de usar esse atalho, poderíamos usar a Regra l’Hôspital.
 3. De 
25
( )
(1,0001)x
xf x = (Podemos supor x > 0; por quê?), temos ln f(x) = 25 ln x – x ln (1,0001) e ( ) 25 ln (1,0001).
( )
f x
f x x
¢ = - Esta 
derivada, bem como a própria derivada f ¢(x), é positiva para 0 250 249 971,015,ln (1,0001)x x< < = » e negativa para x > x0. Por 
isso, o valor máximo de f (x) é 
0
25
0
0( ) ,(1,0001)x
xf x = um número muito grande para ser calculado diretamente. Usando logaritmos 
decimais, log10 f (x0) » 124,08987757, de forma que f (x0) » 1,229922 ´ 10124. O valor real do limite é lim ( ) 0;x f x¥ = seria um 
h ln(1 + h)/h
10–2 0,99503309
10–4 0,99995000
10–6 0,99999950
10–8 1 – 5 ´ 10–9
7 ´ 10–11 1,4285714
10–11 0
–10–2 1,0050336
–10–4 1,00005
–10–6 1,0000005
–10–8 1 + 5 ´ 10–9
–7 ´ 10–11 1,0
–7 ´ 10–12 1,4285714
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desperdício e deselegante utilizar a Regra l’Hôspital 25 vezes, uma vez que podemos transformar f (x) em 
25
/25( ) ,(1,0001) x
xf x
æ ö÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø 
e a expressão interior precisa de apenas uma aplicação da Regra l’Hôspital para dar 0.
 4. ( ) ( )2 1 12 21 cos 2 sen 2 sen .x x x- = = ⋅ Outra forma (não tão geralmente válida como a primeira): 
 
sen1 cos1 cos .
1 cos 1 cos
xxx
x x
+- ⋅ =+ + 
 5. Para f(x) = ln ln x; com x Î [a, b], a = 109 e b = 109 + 1, precisamos de 2 2
1 ln 1( ) , ( ) .
ln (ln )
xf x f x
x x x x
+¢ ¢¢= = -
 (a) f ¢(b) < D < f ¢(a), onde f ¢(a) » 4,8254942434 ´ 10–11, f ¢(b) » 4.8254942383 ´ 10–11.
 (b) Vamos estimar que f ¢(b) – f ¢(a) = (b – a) f ¢¢(c1) = f ¢¢(c1). Uma vez que f ¢¢ aumenta (diminui seu valor absoluto), temos 
 ½ f ¢(b) – f ¢(a)½ £ ½ f ¢¢(a)½ » 5,0583 ´ 10–20.
 6. Aplicando as desigualdades para f (x) = x–1,001, obtemos 10,001 1,001 0,001
1
1000 1 1000
( 1) N N
r
N n N
¥
+
+
< = £+ å e a condição suficiente para 
 rN +1 < 5 ´ 10–9, conforme requerido, é 90,001
1000 5 10 ,
N
-£ ´ o que ocorre pela primeira vez quando N = (2 ´ 1011)1000. Por outro 
lado, os restos estão diminuindo e se M = N –1, então a parte do lado esquerdo das desigualdades mostram que rM + 1 > 5 ´ 10–9. 
Comparado com uma potência de 10 usando logaritmos com base 10, o nosso valor de N > 1011 301.
 7. (a) O valor calculado de 11 dígitos de 192 sen 96
p é 6,2820639018, enquanto o valor (no mesmo dispositivo) de p antes da racio-
nalização é 6,282063885, que é 1,68 ´ 10–8 menor que o resultado trigonométrico.
 (b) 96
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3
p =
+ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + + +
 mas é claro que podemos evitar cálculos repetitivos armazenando resultados intermediários em uma memória: 
1 2 1 3 2 4 3
1 2 3 4
962 3 , 2 , 2 , 2 , e portanto p p p p p p p p
p p p p
= + = + = + = + =
 De acordo com esta fórmula, uma calculadora fornece p » 6,2820639016, que está dentro de 2 ´ 10–10 do resultado trigono-
métrico. Com Digits = 16; o Maple dá p » 6,282063901781030 antes da racionalização (fora do resultado trig em cerca 
de 1,1 ´ 10–14) e p » 6,282063901781018 depois da racionalização (erro de cerca de 1,7 ´ 10–15), um ganho de cerca de um 
dígito de precisão para a racionalização. Se estabelecemos Digits: = 100; a diferença entre o cálculo do Maple de 192 sen 
96
p e o radical é de apenas cerca de 4 ´ 10–99.
 8. A identidade ln ln 1
b
b
a ea b
e
æ ö- ÷ç ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø pode ajudar como segue: Suponha que b seja a aproximação fraca de ln a, e indique 
h = (a – eb) /eb; uma vez que alguma proximidade entre a e eb é de se esperar, h é um número pequeno. Isso decorre do Teorema do 
Valor Médio: ,
ln
b
ca e e
a b
- =- onde c fica entre b e ln a, daí h = (ln a – b) ⋅ e
c–b. O uso da Expansão de Taylor é simples. Indo até 
a terceira derivada, 2 312 3
2ln (1 )
3!(1 )
h h h h
hq+ = - + + (0 < q < 1) significa mais ou menos que o número de dígitos válidos 
depois da a correção 
2
1ln
2
b b
b b
a e a ea b
e e
æ ö- - ÷ç ÷ç» + - ÷ç ÷çè ø triplica.
 9. (a) ( ) ( )1/3 1/32 3 2 31 12 2Seja 27 729 108 e 27 729 108 .A q q p B q q pé ù é ù= + + = - +ê ú ê úë û ë û
MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES  3
 Então 
1/33 3 2 2 31
427 e 729 (729 108 ) 3 .A B q AB q q p pé ù+ = = - + = -ë û Substitua na fórmula 
3 3
2 2
A BA B
A AB B
++ = - + , 
onde substituímos B por 3 :p
A
-
( ) ( )
1
3 2/3 2/3
2 3 2 2 31 1
2 2
27 /3( )
27 729 108 3 9 27 729 108
qx A B
q q p p p q q p
-= + = é ù é ù+ + + + + +ê ú ê úë û ë û
 que quase produz a fórmula dada, uma vez que substituindo q por –q resulta na substituição de x por –x; uma simples discussão 
dos casos q > 0 e q < 0 permite substituir q por ½ q ½ no denominador, de modo que isso envolva apenas números positivos. Os 
problemas mencionados na introdução desse exercício desapareceram.
 (b) Um ataque direto funciona melhor aqui. Para economizar espaço, seja 2 5,a = + então podemos racionalizar, usando 
 1 12 5 e 4a a a- -= + - = (verifique!):
( )1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
2/3 2/3 1/3 1/3 1
4 4
1
u a a a a a aa a a a a a
- -
-
- - -
- -= ⋅ = = -+ + - -
 e elevamos ao cubo a expressão para u: u3 = a – 3a1/3 + 3a–1/3 – a–1 = 4 – 3u, u3 + 3u – 4 = (u – 1) (u2 + u + 4) = 0, de modo que a 
única raiz real é u = 1. Uma verificação com a fórmula a partir da parte (a): p = 3, q = –4,assim 729q2 + 108p3 = 14 580 = 542 ´ 5, e 
( ) ( )2/3 2/3
36 ,
54 27 5 9 81 54 27 5
x -= + + + +
 que simplifica para a forma dada.
 10. (a) Para x = 99, o resto após n termos é 
1
1
1 1
99 99 99100
100100 1 100
nj j
n j j
j n j n
r
+¥ ¥
+
= + = +
æ ö÷ç= < = ÷ç ÷çè ø+å å e é suficiente para tornar n tão gran-
de que ( ) 1 799100100 5 10 ;n+ -< ´ depois da alguma manipulação logarítmica, a resposta é n ³ 1901. [Usando as ideias de parte 
(c), podemos mostrar que essa é realmente a primeira vez que o erro é muito pequeno.]
 (b) Usando a dica, 
1 100
1 ,
100 1 100100
n
n x
n
x x x
x
¥
=
= ⋅ =- -å assim sucessivamente subtraindo, 
 
( )1100
1 1
( ) ,
100 100100 1 100 100 1
nn n
n n n
n n
xx x x xf x f
x
¥ ¥
= =
æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç- = - = - = - ÷ç÷ç ÷ç÷ç è øè ø- + +å å como afirmado. Aqui o resto em x = 99 é estimado 
como segue: 
( )99 1100
1
1
(0,0099) ,
0,9901100 1
j n
n j
j n
r
+¥
+
= +
= <+å e para tornar a última expressão menor que 5 ´ 10–7, só é preciso que
 n ³ 3. O cálculo (não realmente necessário): 
2 3
2 3
99 0,99 (0,99) (0,99)(99) 98,99099.
100 99 100 1 100 1 100 1
f
é ùê ú» - + + »ê ú- + + +ë û
 11. A prova de que lim 0:nn
a
 ¥
= A partir de 1 £ e1–x £ e segue que xn £ e1–xxn £ xn e, e a integração dá 
 1 1 11
0 0 0
1 1, isto é, ,
1 1 1 1
n x n n
n
e ex dx e x dx x edx a
n n n n
-= £ £ = £ £+ + + +ò ò ò e uma vez que 
1lim lim 0,
1 1n n
e
n n ¥  ¥
= =+ + 
 decorre do Teorema do Confronto que lim 0.nn
a
 ¥
= É claro, a expressão 1/ (n + 1) no lado esquerdo poderia ter sido substituída 
por 0 e a prova ainda estaria correta.
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 Cálculos: Usando a fórmula 1 1 11 !
1! 2! !
a e n
é ùæ ö÷çê ú= - - + + + ÷ç ÷ê úç ÷è øë û
 com uma calculadora de 11 dígitos:
n an n an n an
0 1,7182818284 7 0,1404151360 14 –5,07636992
1 0,7182818284 8 0,1233210880 15 –77,1455488
2 0,4365636568 9 0,1098897920 16 –1235,3287808
3 0,3096909704 10 0,0988979200 17 –21001,589274
4 0,2387638816 11 0,0878771200 18 –378029,60693
5 0,1938194080 12 0,0545254400 19 –7182563,5317
6 0,1629164480 13 0,2911692800 20 –143651271,63
 É claro que os valores calculados a partir da fórmula de redução direta irão divergir para –¥. Se em vez disso calcularmos utili-
zando a fórmula de redução no Maple (com Digits: = 16), temos alguns resultados estranhos: a20 = –1000, a28 = 1014, a29 = 0, 
e a30 = 1017, como exemplos. Mas, para n maior, os resultados são pelo menos pequenos e positivos (por exemplo, a1000 » 0,001). 
Para n > 32 175, obtemos a agradável mensagem de erro muito grande do objeto. Se, em vez de usar a fórmula de redução, 
integrarmos diretamente com o Maple, os resultados são muito melhores.
 12. (a) A fórmula invertida foi iniciada com n = 30, sabendo que 1 13031 31 ,a e£ £ de modo que o intervalo entre os limites de a29 é 
reduzido por um fator de 30; para a28 por um fator extra de 29, e assim por diante, até que os limites para a20 estejam numa dis-
tância 161 5,1 10 .
31 30 29 21
e -- < ´⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Essa é uma precisão suficiente, mesmo quando usamos um computador. O resultado 
de uma calculadora de 11 dígitos é a20 » 0,049881742885 para todos os 11 dígitos.
 (b) A integração de 
1 1
0
n x
nb x e dx
q- -= ò por partes dá bn = (n – q) bn–1 –1, ou, na forma invertida, 
 [ ]1
1 1 * .n nn
b bb
n n nq q q-
+= = +- - - Novamente, de 1 £ e
1–x £ e concluímos (multiplicando por xn–q e integrando) que 
 1
1 1n
eb
n nq q£ £+ - + - , então lim 0.nn b ¥ = Além disso, à medida que diminuímos 
 n maior para um m menor usando [*], o intervalo entre os limites para bm torna-se 
 
1
( 1 )( 2 ) ( 1 )
e
m m nq q q
-
+ - + - + + e este número (assumindo que m seja dada) pode 
 tornar-se tão pequeno quanto se queira, escolhendo um n suficientemente grande. 
 Os resultados são mostrados à direita. (Para m = 0,1, ..., 5 podemos tomar n = 11 
 com 5 dígitos de precisão.)
 13. Podemos começar expressando ex e e–x em termos de E(x) = (ex – 1)/x (x ¹ 0), onde E(0) = 1 para tornar E contínuo em 0 (pela Re-
gra de l’Hôspital). Nomeadamente, ex = 1 + xE (x), e–x = 1 – xE(–x) e [ ] [ ]121 ( ) 1 ( )senh ( ) ( ) ,2
xE x xE x
x x E x E x
+ - - -= = + - 
onde a adição envolve apenas números positivos E(x) e E(–x), apresentando assim nenhuma perda de precisão devida à subtração. 
 Outra forma, a qual chama a função E apenas uma vez:
 Escrevemos [ ][ ]
( ) ( )
( )
2 12
21 1 ( ) 1( ) 1senh ,
2 1 ( ) 1 2
x
x
x x E x E xxE xex
xE x x E xe
é ù++ -- ê úë û= = =+ + tirando vantagem do fato que 
senh x
x
 é uma 
 função par; assim, substituiu x por |x| não altera seu valor.
m bm
0 2,85335
1 0,90223
2 0,50372
3 0,34326
4 0,25861
5 0,20684