Equacoes_Separaveis___2013.2

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM: 
 
 Uma equação diferencial de 1ª ordem pode ser escrita na forma diferencial ou na forma normal. 
  FORMA NORMAL  
 yxfy ,, 
 
 Exemplos: 
 
xseneyey
yx
dx
dy
xxyy
xx c)
35 b)
6 a) 2
.,
,



 
 
 FORMA DIFERENCIAL  
    0 dyyxNdxyxM .,.,
 
 Exemplos: 
 
03 c)
01327( b)
06( a)
2
2



dydxx
dyydxyx
dydxxxy
..cos
).().
).
 
 Observe que o 1º exemplo da forma normal e o 1º exemplo da forma diferencial é a mesma equação escrita nas 
duas formas. 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS: 
 
 
 
 
 Seja uma equação diferencial, na forma diferencial, 
    0 dyyxNdxyxM .,.,
. 
 A equação se diz separável ou de variáveis separáveis, se: 
 – 
   xAyxM ,
  função somente de x; 
 – 
   yByxN ,
  função somente de y. 
 
 Exemplos: 
 
0
1
 5 5 5 b)
03 a)


dy
y
dxxsen
y
dy
dxxsendxxsenydy
dyxdxx
.......
...cos 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO 
 
CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ 
ALUNO: _____________________________________________________________ 
 
 2 
 
 SOLUÇÃO GERAL: 
 Consideremos a equação separável: 
 
0 dyyBdxxA ).().(
 
 A solução é: 
RKKdyyBdxxA   onde ,).(.)(
 
 
Exemplos: 
 1) Resolver a equação 
:. 0 dxxdy
 
 Solução: 
 
2
 ou 
2
22 x
KyK
x
yKdxxdy   .
 
 
 2) Resolver a equação 
1
1
2 


y
x
y,
: 
 Solução: 
 
011 11 
1
1
 
1
1 22
22






 dyydxxdyydxx
y
x
dx
dy
y
x
y ).().().().(,
 
 Então: 
 
...).().( Ky
y
x
x
KdydyydxdxxKdyydxx     32 11 
32
22
 
 
 Observe no 2º exemplo que nem sempre temos condições de explicitar y em função de x. Logo, a solução ficará na 
forma implícita. 
 
 3) Resolver a equação 
 1 0 que sabendo 0 :)(,..  ydyydxex
 
 Solução: 
 
:logo 10 Mas;
geral; solução 
2
 
2
,)(
..

 
y
K
y
eKdyydxe xx 
 
.particular solução uma é 
2
1
2
 Portanto,
2
1
2
1
2
0


y
e
KKe
x
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Determine a solução geral das seguintes equações: 
 
 
 
 
y
x
y
dxyxdyx
dyydxxsen
9
4
 c)
0(1 b)
0 a)
2



,
..).
.cos.
 
 
    036 1 e)
0 d)
2
22


yxyxx
xyy
.'.
'. 
 
 2) Resolva as equações: 
 
0 0 c)
0 1 4 b)
0 0 01 a)
2
3
52




)(;cos.
)(;.
)(;).(..
,
,
yxyy
yexy
ydyydxex
y
x
 
 
    11 011 d) 2  ydy
y
dxx ;..
 
 3) Resolva a equação 
    0132 2  dyxdxyx ...
e dê a resposta na forma implícita mais simples possível: