Equacoes_Homogeneas___2013.2

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. 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE VARIÁVEIS HOMOGÊNEAS: 
 
  FUNÇÃO HOMOGÊNEA: 
 
 
 
 Uma função 
 yxf ,
 é dita homogênea se 
   yxftytxtf n ,..,. 
, onde 
n
 é o grau de homogeneidade. 
 Exemplos: 
 
 
 
 a) 
  23 yxyyxf ,
 
 Temos: 
       yxftyxytytyxtytytxtytxtf ,............,. 2222222 3 3 3 
. 
 Logo, 
  23 yxyyxf ,
 é uma função homogênea de grau 2. 
 
 
 
 
 b) 
  yxeyxf ,
 
 Temos: 
     yxfteeytxtf nyxtytxt ,..,. ...  
. 
 Logo, a função 
  yxeyxf ,
 não é homogênea. 
 
  EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS: 
 
 
 
 Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
é dita homogênea se as funções 
   yxNyxM ,, e 
 forem homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. 
 
 
 
 Observe que sendo 
   yxNyxM ,, e 
 homogênea, com o mesmo grau de homogeneidade, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 yxN
yxM
ytxtN
ytxtM
yxN
yxM
yxNt
yxMt
ytxtN
ytxtM
yxNtytxtNyxMtytxtM
n
n
nn
,
,
.,.
.,.
,
,
,.
,.
.,.
.,.
.,..,.,..,.


 :Logo
 e 
 . 
 
 Fazendo: 
dtxdxtdyxty ...  e 
, a equação 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
 se transforma em uma equação de 
variáveis separáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO 
 
CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ 
ALUNO: _____________________________________________________________ 
 
 2 
 
 Vejamos: 
 
    
 
 
0
:forma na escrita ser pode equação Esta
0 


dtxdxtdx
xtxN
xtxM
dtxdxtxtxNdxxtxM
...
.,
.,
.....,..,
 
 
 
 
 Como : 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
,
,
.,
.,
,
,
.,.
.,.
tN
tM
xtxN
xtxM
yxN
yxM
ytxtN
ytxtM
 1
 1
 escrever podemos , 
 
 Conseqüentemente a equação 
 
 
0 dtxdxtdx
xtxN
xtxM
...
.,
.,
, pode ser escrita na forma: 
 
 
 
0
1
1
 dtxdxtdx
tN
tM
...
,
,
. 
 
 Logo: 
 
 
            
 
   
0
11
1
 
 0111 0111




dt
tNttM
tN
x
dx
dttNxdxtNttMdttNxdxtNtdxtM
,.,
,
,..,.,,..,..,
. 
 
 Portanto, fazendo as transformações 
,... dtxdxtdyxty  e 
 transformamos uma equação homogênea 
em uma equação separável em 
tx e 
. Resolvendo a equação separável e substituindo 
x
y
t por 
 voltamos as 
variáveis originais. 
 
 Exemplo: Resolva a equação: 
    :.. 0 dyyxdxxy
 
 Solução: 
 
   
       
       yxNtyxttytxtytxMyxyxN
yxMtxyttxtytytxMxyyxM
dyyxdxxy
NM
,..,,
,..,,
..



 Se
 Se
0
 
 Como M e N são funções homogêneas de grau 1, logoa equação é uma equação homogênea. 
 
:temos e doSubstituin ,... dtxdxtdyxty 
 
 
          ............. 011 0  dtxdxttxdxtxdtxdxtxtxdxxxt
 
 Simplificando a equação por 
,x
 encontramos: 
 
 
 
 
 3 
 
 
    
   
Cdt
tt
t
x
dx
dt
tt
t
x
dx
dttxdxtt
dtdx
dttxdxtdtxdxtdxdxtdtxdxttdxt










 .
..
,...
,
...........
12
1
:Integrando
0
12
1
:Então
0112
:temos e Agrupando
0 011
2
2
2
2
 
 
 Encontramos: 
 
CttLnxLnCttLnxLn 212 2 12 
2
1
 22  ..
 
 
 Substituindo, 
,
x
y
t 
 
 














 2
2
 212 212 2 
2
22
2
2
2
2
2
C
x
xxyy
LnxLnC
x
y
x
y
LnxLnC
x
y
x
y
LnxLn ..
 
 
.. CexxyyCxxyyLnC
x
xxyy
xLn 22222
2
22
2 2 22 2
2
 


 
 
 Encontramos: 
 
 
., 2C22 doconsideran 2 eKKxxyy 
 
 
 Obs. Algumas equações diferenciais ordinárias podem ter mais de uma classificação, logo, mais de uma 
forma diferente de ser resolvida. Como exemplo temos o 2º exercício que mostra uma equação que é 
separável e homogênea e pede para resolver das duas formas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Verifique se as funções dadas abaixo são homogêneas, e em caso afirmativo determine o grau de 
 homogeneidade: 
 
 
 
 
  22
22
22
23 d)
532 c)
 b)
 a)
xyyxyxf
zyxzyxf
yxyxyxf
yxyxyxf




,
,,
.,
.,
 
 
 2) Resolva a equação diferencial 
,'
xy
yx
y
22
 


caso seja homogênea: 
 
 3) Resolva as equações diferenciais abaixo: 
 
   
 
x
xy
y
duyxdxyx
dyyxdxyx




2
 c)
0 b)
042 a)
22
'
...
..