Equacoes_Lineares___2013.2

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1 
. 
 
 
EQUAÇÕES LINEARES: 
 
 Uma equação diferencial de 1ª ordem é dita equação diferencial linear quando ela pode ser escrita na forma: 
   xgyxfy  .,
. 
 O aspecto característico desta equação é o fato dela ser linear em 
'yy e 
, enquanto 
   xgxf e 
 podem ser 
quaisquer funções dadas de 
x
. 
 Exemplos: 
 
    32232323
22
2
55505 c)
0
5
2
025 b)
3 a)
xyxyyxx
dx
dy
dxyxxdydydxyxx
yxyyxy
xyxy



..'........
.'.'
.'
 
 
 SOLUÇÕES: 
1º Caso: Quando 
  0xg
; 
 No caso de 
  0xg
, temos, 
  .., 0 yxfy
 
 Temos: 
 
         
    ..
.....
.
,




dxxf
eydxxfyLn
dxxf
y
dy
dxxf
y
dy
yxf
dx
dy
yxf
dx
dy
yxfy
 
 0 0
 
 Podemos escrever: 
 
..
. dxxfeky
 
 
2º Caso: Quando 
  0xg
; 
 No caso de 
  0xg
, temos: 
   xgyxfy  .,
. 
 Logo: 
              ........ 01  dydxxgyxfdxxgdxyxfdyxgyxf
dx
dy
NM
  
 
 Verificamos que a equação obtida não é exata, pois, 
  xyxy NMNxfM  Logo, 0 e .
. 
 Portanto, vamos pesquisar um fator integrante para essa equação. 
 Sabemos que se 
 xy NM
N
.
1
 é uma função apenas de x, podemos descobrir um fator integrante. 
 No caso, 
       ,.. xxfxfNM
N
xy de apenas função ,0
1
11

 então: 
 
 
dxxf
eyxI
.
,
 é um fator integrante da 
equação. 
 
 
 
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO 
 
CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ 
ALUNO: _____________________________________________________________ 
 
 2 
 Multiplicando a equação pelo fator integrante, temos: 
  
      .... .,. xgeyxfye dxxfdxxf  
 
 Chamando 
    :temos , de xhdxxf .
 
 
           ....'....... ,, geyfeyegeyfyexgeyxfye hhhhhxhxh  ou 
 
 Mas, 
:logo ,'
dx
dy
y 
 
 
  .............. 0. .  dyedxgeyfedxgedxyfedyegeyfe
dx
dy
e hhhhhhhhh
 
 Resolvendo a equação, temos: 
 
   .. xjyexjdyeu hh   .
 Mas falta descobrir 
 xj
, então derivando a solução 
u
 em relação a 
x
 temos: 
 .''.. xjheyu hx  
 
 Comparando 
xu
 na diferencial total, temos: 
 
  hhh egyfexjhey ...''.. 
. Lembrando que 
       .'. xfxhdxxfxh   
 
 Portanto, podemos escrever: 
 
      ....'...'.. dxegxjegxjegyfexjfey hhhhh  
 
 Logo, a solução 
    Kdxegyexjyeu hhh   ....
 
 Ou, 
h
h
hh
e
Kdxeg
yKdxegye




..
...
. 
 Mas, 
    ;.dxxfxh
 
 Portanto, 
 
 
 
   
  







 
 



Kdxxgeey
e
Kdxxge
y
dxxfdxxf
dxxf
dxxf
...
..
..
.
.
 
 
 
 Logo, se 
   xgyxfy  .,
, com 
   0xg
 
   
  





 
 Kdxxgeey
dxxfdxxf
...
..
 
. 
 
 Exemplos: 
 1) Resolva a equação
03  yxy .'
: 
 Como 
  ,0xg
 estamos na situação de equação linear vista como 1º caso, logo: 
     2
3
3
2
 :então 3 com 
x
dxxdxxf
ekyekyxxfeky

  ..,,. ..
 
 
 2) Resolva a equação 
:' 3  yy
 
 É uma equação linear do tipo visto no 2º caso, com 
    .3 e 1  xgxf
 
 Como 
  :temos 0,xg
 
 
   
  





 
 Kdxxgeey
dxxfdxxf
...
..
 
  
  xxxdxdx ekyKeeyKdxeey  





 
 ...... 333 
 
 3 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Resolva as equações diferenciais de variável linear: 
 
23 c)
0 b)
02 a)
xyyx
yy
yy
.'.
'
.'



 
 d) 
xxyxy  3 '
 
 e) 
xyy  1 '
 
 
 
2) Resolva a equação diferencial dado o valor inicial: 
 
  .;.' 10 2  yxsenyxtgy