Equacoes_Exatas___Fator_Integrante___2013.2

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1 
. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM EXATAS 
FATOR INTEGRANTE 
 
 
 Seja a equação diferencial 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 Sabemos que quando ocorre 
x
N
y
M





 ela é dita exata. Se a equação não for exata, tenta-se 
transformar essa equação em uma equação exata, mediante uma multiplicação por um fator adequado. 
 
 Ex.: A equação 
... 1 e 1 pois exata, é não 0 






x
N
y
M
dyxdxy
 
 Mas se multiplicarmos a equação por 
,
2
1
x

 obtemos: 
0
1
2
 dy
x
dx
x
y
..
, que é uma equação diferencial exata, 
pois 
2
1
xx
N
y
M






. Esse fator 
,
2
1
x

 é chamado fator integrante. 
 
  DEFINIÇÃO: 
 Seja a equação diferencial 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 Uma função 
  yxI ,
é um fator integrante da equação 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
, se a equação diferencial 
       0  dyyxNdxyxMyxI .,.,.,
 é exata. 
 Em geral, toda equação tem um fator integrante, como será provado, porém em alguns casos é difícil 
 encontrá–la. 
 Ex.: Verifique se a função 
 
y
yxI
1
 ,
 é fator integrante da equação 
  012  dyyxdxy ...
: 
 Solução: 
 Observe que a equação 
  012  dyyxdxy ...
 não é exata, pois: 
    
   
   yxNyxM
yyxNyxyxN
yyxMyyxM
xy
x
y
,,
,.,
.,,







 
 1
2 2 . 
 Se 
 
y
yxI
1
 ,
 é um fator integrante da equação 
  012  dyyxdxy ...
, a equação
   011 2  dyyxdxy
y
....
é 
exata. 
 
 
 
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO 
 
CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ 
ALUNO: _____________________________________________________________ 
 
 2 
 Aplicando a propriedade distributiva, a equação fica da seguinte forma: 
0
1






 dy
y
xdxy ..
. 
 Temos: 
 
   
   
   .,,
,,
,,
yxNyxM
yxN
y
xyxN
yxMyyxM
xy
x
y








 
1 
1
1 
 
 Portanto, 
 
y
yxI
1
 ,
 é um fator integrante da equação. 
 
  TEOREMA: 
 Se 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
 não é uma equação exata e possui uma solução geral 
  ,,, RKKyxu  
 
 então, existe um fator integrante. 
 
 Demonstração: 
 Diferenciando 
  :temos ,, Kyxu 
 
0





 dy
y
u
dx
x
u
du ..
. 
 Logo: 
dx
dy
y
u
x
u
dy
y
u
dx
x
u











 ..
. (1) 
 Da equação inicial podemos tirar que 
 
  dx
dy
yxN
yxM
 
,
,
 (2) 
 
 Comparando (1) e (2), temos: 
 
 yxN
yxM
y
u
x
u
,
,





 :
. 
 Sendo 
 
 
 ,,
,
,
yxI
yxN
yxM

 segue-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
             .,,,,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
yxNyxIyxuyxMyxIyxuyxI
yxN
yxu
yxM
yxu
yxI
yxN
yxM
yxu
yxu
yx
yx
y
x  e ou 
 
 
 Mas, 
        ..,.,.,.,.. 0





 dyyxNyxIdxyxMyxIdy
y
u
dx
x
u
du
 
 
 Colocando o fator 
 yxI ,
 em evidência, temos: 
       ..,.,., 0 dyyxNdxyxMyxI
 
 Portanto, para toda equação diferencial que possui solução temos um fator integrante, 
 yxI ,
. 
 
 
 
 
 3 
 
  DETERMINAÇÃO DO FATOR INTEGRANTE: 
 Muitas vezes o fator integrante é determinado por inspeção. O êxito de encontrar o fator integrante vai depender, 
então, da habilidade do calculista, em reconhecer que determinado grupo de termos constitui uma equação diferencial 
exata, ou um fator integrante para aquela equação. 
 Em alguns casos, os fatores integrantes podem ser determinados com o auxílio do teorema a seguir, que nos dá 
condições de descobrir um fator integrante quando as funções 
   yxNyxM ,, e 
 satisfazem as determinadas 
condições. 
 
 Seja a equação diferencial 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
 e a função 
 yxI ,
 um fator integrante; 
 a) Se 
   ,. xgNM
N
xy 
1
 função somente de x, então 
 
 
,,
.dxxg
eyxI 
 é um fator integrante da equação 
 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 
 b) Se 
   ,. yhNM
M
xy 
1
 função somente de y, então 
 
 
,,
.dyyh
eyxI 


 é um fator integrante da equação 
 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 
c) Se 
   ,.... yxgxNyxfyM  e 
 então a função, 
 
NyMx
yxI
..
,


1
 é um fator integrante da equação 
 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 
 Ex.: Resolva a equação diferencial 
xxyy  2'
, encontrando um fator integrante: 
 Solução: 
 Transformando para a forma diferencial, encontramos: 
  02  dydxxxy .
. 
 Observe que: 
        .,,,, 0 e 2 1 e 2  yxNxyxMyxNxxyyxM xy
 Logo, não é uma equação diferencial 
exata. 
 
 
 
 
 Vamos então pesquisar um fator integrante: 
 Se 
    ,.. xxNM
N
xy 202
1
11



 função apenas de 
,x
 então 
 
22 xdxx eeyxI 

 
.
,
é um fator integrante. 
 Consequentemente a equação 
   02
2
 dydxxxye x ..
 é exata. 
 Conferindo: 
  02 222   dyedxexeyx xxx ......
 é exata, vejamos: 
 
   
22222
2 e 2 e 2 Se xx
x
y
xxx exNexMeyxNexeyxyxM   ....,....,
 
 Portanto, resolvendo a equação 
  02 222   dyedxexeyx xxx ......
: 
 Seja 
 yxu ,
 a solução da equação, logo: 
   .. xgyexgdyeu xx   
22
 
 Então: 
    ..'....'...
2222
 22 xxxxx exxgexeyxxgeyxu
 
 
 Portanto, 
    Kedxxedxexxg xxx   
222
2
1
2
2
1
 .....
. 
 4 
 Logo, a solução é 
KeyeKeyeKeyeu xxxxxx 22. ou 
2
1
 ou 
2
1 222222
  .....
 
 ou 
2
1
 
2
1
 
2.
2 2
22
2
1 





x
xx
x
eKy
e
K
y
e
eK
y .
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Determine um fator integrante para cada equação abaixo: 
 
   
 
    0223 d)
02 )c
01 )b
0222 a) 2222




dyyxdxyx
dyxdxy
dyxdxy
dyyxxdxyxy
..
...
..
.......
 
 2) Encontre um fator integrante e resolva a equação 
x
yyx
y


2.
'
: