Aula5_2013

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Aula 5: 
TOPOMETRIA Planimetria
continuação
Universidade do Oeste de Santa Catarina
Curso de Engenharia Sanitária e Ambiental
Topografia
Prof.: Msc. Carla Suntti
Videira, 14 de Setembro de 2013
Poligonal
É um conjunto de alinhamentos consecutivos constituído de ângulos e 
distâncias.
CLASSIFICAÇÃO (TIPOS)
•POLIGONAL ABERTA: é aquela em que o ponto de partida não
coincide com o de chegada.
•Pode estar apoiada ou não na partida ou na chegada. Neste tipo de
poligonal não há condições de se verificar a precisão (rigor) das
medidas lineares e angulares, isto é, saber quanto foi o erro angular ou
linear.
APOIADA QUER DIZER UM ALINHAMENTO EM QUE SE CONHECE A SUA MEDIDA E/OU
ORIENTAÇÃO,COM PRECISÃO
� Aplicação: levantamento de canais, estradas, adutoras, redes elétricas, etc;
Poligonal
• POLIGONAL FECHADA: é aquela em que o ponto de partida coincide
com o de chegada. Pode estar apoiada ou não (partida).
• É possível verificar o rigor/precisão das medidas angulares e lineares, ou
seja, podem-se determinar os erros cometidos e compará-los com erros
admissíveis (tolerância).
• Utilização: projetos de loteamentos, conjuntos habitacionais, levantamentos
de áreas, usucapião, perímetros irrigáveis, etc;
•É importante determinar o sentido do caminhamento sobre a poligonal.
Este pode ser horário ou anti-horário
Poligonal
Poligonal
•Para o levantamento de uma poligonal é necessário ter no mínimo
um ponto com coordenadas conhecidas e uma orientação.
•Segundo a NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7), na hipótese do apoio
topográfico vincular-se à rede geodésica (Sistema Geodésico Brasileiro
– SGB), a situação ideal é que pelo menos dois pontos de coordenadas
conhecidas sejam comuns.
•Neste caso é possível, a partir dos dois pontos determinar um azimute
de partida para o levantamento da poligonal.
Poligonal
•Pontos conhecidos
Um ponto é conhecido quando suas coordenadas UTM
(E,N) ou Geográficas (latitude e longitude) encontram-se
determinadas.
Estes pontos são implantados no
terreno através de blocos de concreto
(denominados marcos) e são protegidos por
lei. Normalmente, fazem parte de uma rede
geodésica nacional, de responsabilidade
dos principais órgãos cartográficos do país
(IBGE, DSG, DHN, entre outros). Quando
destes pontos são conhecidas as altitudes
(h), estes são denominados RN -
Referência de Nível.
Poligonal
•Marcos de concreto
Poligonal
LEVANTAMENTO REGULAR
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
• Objetivo: determinar o ângulo compreendido entre duas direções.
São empregados 4 processos de medição de ângulos (os mais usuais):
� Aparelho não orientado
� Aparelho orientado pela Bússola
� Aparelho orientado no Norte Verdadeiro
� Aparelho orientado na ré
� Aparelho orientado na vante
PLANIMETRIA
1) Aparelho não orientado
A leitura da direção AB (L1) e AC (L2), será obtida 
pela diferença entre L1 e L2. O teodolito não 
precisa estar orientado segundo uma direção 
específica 
Se α for negativo soma-se 360º. 
α = L2 – L1 
O aparelho deve ser estacionado,
nivelado e centrado com perfeição, sobre
um dos pontos da poligonal a ser medida
(o prolongamento do eixo principal do
aparelho deve coincidir com a tachinha
sobre o piquete).
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
2) Aparelho orientado pela bússola
3) Aparelho orientado pelo Norte Verdadeiro
As leituras L1 e L2 passam a ser azimutes 
magnéticos de A para B e de A para C. 
Neste caso as leituras denominam-se 
de azimutes verdadeiro.
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
O Norte é determinado pelo GPS
4) Aparelho orientado na ré
Etapas para medida do ângulo:
�Executar a pontaria (fina) sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento);
�Zerar o círculo horizontal do aparelho nesta posição (procedimento
padrão→ Hz = 000º00'00");
�Liberar e girar o aparelho (sentido horário), executando a pontaria (fina)
sobre o ponto a vante (segundo alinhamento);
�Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor LCD que
corresponde ao ângulo horizontal externo medido.
Será formado ângulo 
horizontal externo
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
4) Aparelho orientado na ré
Ângulos horizontais externos medidos em todos os pontos de uma 
poligonal fechada. 
A relação entre os ângulos horizontais externos de uma poligonal fechada é dada 
por:
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
∑Hze= 180º.(n + 2) 
n: número de pontos ou estações da poligonal.
Os ângulos horizontais 
externos variam de 0º a 360º
Poligonal fechada
∑ ângulos externos = (n + 2) x 180ª
5) Aparelho orientado na vante
Será formado ângulo 
horizontal interno
Etapas para medida do ângulo:
�Executar a pontaria (fina) sobre o ponto a vante (primeiro alinhamento);
�Zerar o círculo horizontal do aparelho nesta posição (procedimento
padrão→ Hz = 000º00'00");
�Liberar e girar o aparelho (sentido anti-horário), executando a pontaria
(fina) sobre o ponto a ré (segundo alinhamento);
�Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor LCD que
corresponde ao ângulo horizontal interno medido.
Processo semelhante 
ao ré. O aparelho é 
zerado no ponto vante
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
5) Aparelho orientado na vante
Ângulos horizontais internos medidos em todos os pontos de uma 
poligonal fechada. 
A relação entre os ângulos horizontais internos de uma poligonal fechada é dada 
por:
MÉTODOS DE MEDIÇÃO ANGULAR
Os ângulos horizontais 
internos variam de 0º a 360º
∑Hzi= 180º.(n - 2) 
n: número de pontos ou estações da poligonal
Poligonal fechada
∑ ângulos internos = (n - 2) x 180ª
• Serve para todo tipo de relevo, extensões relativamente grandes e
fornece boa precisão.
• É subdividido em 3 tipos de levantamento:
1.Levantamento por Irradiação (ou por coordenadas polares);
2.Levantamento por Interseção (ou por coordenadas bipolares);
3.Levantamento por Caminhamento (ou poligonação).
LEVANTAMENTO REGULAR
LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÃO
Também conhecido como método da Decomposição em Triângulos 
ou das Coordenadas Polares.
• Destinado a pequenas áreas, onde todos os vértices devem ser visíveis a 
partir de um ponto, com uma direção de referência (dentro ou fora do 
perímetro). 
ETAPAS:
1) Demarcar o contorno da superfície a ser levantada;
2) Localizar, estrategicamente, um ponto (P), dentro ou fora da superfície
demarcada, e de onde possam ser avistados todos os demais pontos que a
definem.
3) A partir deste ponto (P) medir as distâncias dos pontos definidores da
referida superfície, bem como, os ângulos horizontais entre os alinhamentos
que possuem (P) como vértice.
As medidas dos lados e dos ângulos da poligonal que
interessa são obtidas através de resolução trigonométrica de
triângulos com aplicação das leis dos Senos e Co-senos.
De (P) são medidos os ângulos 
horizontais (Hz1 a Hz7) e as 
distâncias horizontais (DH1 a DH7).
LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÃO
Método muito utilizado em 
projetos que envolvem a 
amarração de detalhes
Se houver lados curvos ao longo da poligonal, será 
necessário fazer um maior número de irradiações, de forma 
que estas permitam um bom delineamento das curvas
LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÃO
Conhecido como método das Coordenadas Bipolares
� Destinado a pequenas áreas, de relevo acidentado.
ETAPAS:
1) Demarcar o contorno da superfície a ser levantada;
2) Localizar, estrategicamente, um ponto (P) e (Q), dentro ou fora da
superfície demarcada, e de onde possam ser avistados todos os demais
pontos que a definem.
3) Medir a distância horizontal entre os pontos (P) e (Q), que
constituirão uma base de referência, bem como, todos os ângulos
horizontais formados entre a base e os demais pontos demarcados.
A medida da distância poderá ser realizada através de método direto, indireto ou 
eletrônico e amedida dos ângulos poderá ser realizada através do emprego de teodolitos 
óticos ou eletrônicos.
Faz uma interseção entre as medidas de 
dois pontos (estação)(base de apoio)
LEVANTAMENTO POR INTERSEÇÃO
Superfície demarcada por
sete pontos com os pontos (P)
e (Q) estrategicamente
localizados no interior da
mesma.
De (P) e (Q) são medidos os
ângulos horizontais entre a
base e os pontos (1 a 7).
De cada triângulo são conhecidos dois ângulos e um
lado (base definida por PQ). As demais distâncias e ângulos
necessários à determinação da superfície em questão são
determinados por relações trigonométricas.
LEVANTAMENTO POR INTERSEÇÃO
Não há possibilidade do 
controle do erro
Este método se resume em visar da estação A (base) os vértices do
polígono, e ler os azimutes (ângulos) de cada um.
Na sequência transporta-se a Estação Total para uma segunda
estação B, da qual lê-se os pontos já visados por A, lendo-se as
deflexões.
� Para exatidão do trabalho a base no interior do polígono. 
É o único processo que se emprega quando alguns vértices
do polígono são inacessíveis. O polígono deve ser livre de
obstáculos
LEVANTAMENTO POR INTERSEÇÃO
É utilizado no levantamento de superfícies relativamente grandes e de 
relevo acidentado. 
Requer uma quantidade maior de medidas e oferece maior 
confiabilidade no que diz respeito aos resultados.
ETAPAS:
1) Reconhecimento do Terreno: nesta fase, faz-se a implantação dos
piquetes (estacas) para a delimitação da superfície a ser levantada. A partir desta
delimitação gera-se uma POLIGONAL.
2) Levantamento da Poligonal: percorre-se as estações da poligonal, uma a
uma, no sentido horário, medindo-se ângulos e distâncias horizontais. Estes
valores, bem como o croqui de cada ponto, são anotados em cadernetas de
campo apropriadas ou registrados na memória do próprio aparelho.
3) Levantamento dos Detalhes: emprega-se o método das
perpendiculares ou da triangulação (quando o dispositivo utilizado para
amarração é a trena), ou ainda, o método da irradiação (quando o dispositivo
utilizado é o teodolito ou a estação total).
LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO
4) Orientação da Poligonal: é feita através da determinação do rumo ou
azimute do primeiro alinhamento. Para tanto, é necessário utilizar uma bússola
(rumo/azimute magnéticos) ou partir de uma base conhecida (rumo/azimute
verdadeiros).GPS.
4) Computação dos Dados: terminadas as operações de campo, deve-se
proceder a computação, em escritório, dos dados obtidos. Este é um
processo que envolve o fechamento angular e linear, o transporte dos
rumos/azimutes e das coordenadas e o cálculo da área.
4) Desenho da Planta e Redação do Memorial Descritivo: depois de
determinadas as coordenadas (X, Y) dos pontos medidos, procede-se a
confecção do desenho da planta (próximas aulas)
LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO
• Inclui: 
1) Fechamento dos ângulos horizontais; 
2) Transporte dos azimutes;
3) Fechamento das distâncias horizontais; 
4) Transporte das coordenadas;
5) Cálculo da área.
FECHAMENTO DOS ÂNGULOS HORIZONTAIS
• Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é
necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a
poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se houve algum
erro na medição dos ângulos.
• Em um polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos/internos
deverá ser igual a:
•O erro angular (ea) cometido será:
∑ ângulos internos = (n - 2) x 180ª∑ ângulos externos = (n + 2) x 180ª
n= número de estações da poligonal
ea = ∑ ângulos medidos – (n + 2) x 180ª
ea = ∑ ângulos medidos – (n - 2) x 180ª
FECHAMENTO DOS ÂNGULOS HORIZONTAIS
• Este erro deverá ser menor que a tolerância angular (εa)
• Tolerância angular: é o erro angular máximo aceitável nas medições.
• Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar
uma distribuição do erro cometido entre as estações.
•Equação para o cálculo do erro de fechamento angular:
m: número de ângulos medidos na poligonal 
p: precisão nominal do equipamento de medição angular. 
Εfa = p. √ m
FECHAMENTO DOS ÂNGULOS HORIZONTAIS
• Um critério utilizado para a eliminação do erro angular cometido é distribuí-
lo nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal.
• Outro critério empregado é distribuir proporcionalmente o erro para cada
estação.
• Os valores de correção encontrados para cada ângulo devem ser somados
ou subtraídos aos mesmos conforme o erro seja para menos ou para mais.
Caso o erro cometido seja maior que o erro 
tolerável é necessário refazer as medições angulares.
ea < Efa o levantamento satisfaz o fechamento angular
ea > Efa o levantamento NÃO SATISFAZ o fechamento angular 
TRANSPORTES DOS AZIMUTES
o Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal,
é necessário efetuar o cálculo dos azimutes para todas as demais
direções da poligonal. Isto é feito utilizando os ângulos horizontais
medidos em campo.
n n-1 iAzn= (Az n-1 +/- Ai ) +/- 180º 
Azn: azimute do alinhamento
Az n-1: azimute do alinhamento anterior 
Ai : ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos
Se o caminhamento for a sentido anti-horário
Se o alinhamento for a sentido horário
n n-1 iAzn= (Az n-1 + Ai ) +/- 180º 
Azn= (Az n-1 - Ai ) +/- 180º 
Se (Az n-1 + Ai ) < 180º, 
então + 180º 
Se (Az n-1 - Ai ) > 180º, 
então -180º 
CÁLCULO DAS COORDENADAS
FECHAMENTO DAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS
• Para determinar o erro linear é necessário transformar os dados em 
coordenadas, trabalhando-se com um sistema de eixo ortogonais.
• São as coordenadas cartesianas (retangulares) ou polares.
• Os eixos das coordenadas são constituídos de um meridiano de 
referencia (verdadeiro/magnético) chamado de eixo das ordenadas, ou 
eixo Y, dando a direção N/S é um paralelo de referencia, situado 
perpendicularmente ao meridiano, dando a direção E/W e chamado 
de eixo das abscissas ou eixo dos X
CÁLCULO DAS COORDENADAS EM PLANIMETRIA
o COORDENADAS CARTESIANAS e POLARES
• Em um ponto “A” num plano topográfico (horizontal), a sua situação
neste plano pode ser determinada pelos valores “Xa” e “Ya” ou pelo
ângulo “α“e a distância “d”, constituindo os primeiros as coordenadas
retangulares (cartesianas) e os segundos as coordenadas polares.
Coordenadas PolaresCoordenadas Cartesianas
CÁLCULO DAS COORDENADAS EM PLANIMETRIA
• As projeções planas são obtidas em função da distância entre os
vértices de um alinhamento e o azimute ou rumo, magnético ou geográfico,
deste mesmo alinhamento.
• A projeção em “X” é a representação da distância entre os dois 
vértices do alinhamento sobre o eixo das abscissas e a projeção em “Y” a 
representação da mesma distância no eixo das ordenadas
Com os conceitos 
de Trigonometria 
plana é possível 
calcular as 
projeções em “X” 
e “Y” 
∆X= D. seno AZ
∆Y= D. cos AZ
CÁLCULO DAS COORDENADAS 
EM PLANIMETRIA
o Em um ponto “O” no plano e uma direção de referência “OY”
que passa por ele, qualquer outro ponto “A” do plano é
determinado pelo ângulo que a direção “OA” forma com a
referência e a distância “d” existente entre “O” e “A”.
• Estes dois valores,
ângulo “α” e a distância “d”,
constituem as coordenadas polares
do ponto “A” e medem-se
diretamente no terreno.
CÁLCULO DAS COORDENADAS EM PLANIMETRIA
CÁLCULO DAS COORDENADAS EM PLANIMETRIA
� Ordenada de um ponto: distância desse ponto ao paralelo
de referencia, medido no sentido N - S no eixo Y.
� É + quando na direção N
� É – quando na direção S
� Abscissa de um ponto: distância desse ponto ao
meridiano de referencia, medido no sentido E - W no eixo X.
� É + quando na direção E
� É – quando na direção W
CÁLCULO DAS COORDENADAS 
EM PLANIMETRIA
� Ordenada ou latitude deum ponto é a projeção do ponto
no eixo dos Y e será + (N) ou – (S)
� Abscissa ou longitude será a projeção do ponto no eixo
dos X, podendo ser + (E) ou – (W)
CÁLCULO DAS COORDENADAS RELATIVAS E ABSOLUTAS 
� Com o conceito de coordenadas polares, calcula-se para cada
alinhamento as suas coordenadas relativas a um sistema cartesiano
local localizado no primeiro ponto do alinhamento
FECHAMENTO DAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS
� A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas
dos demais pontos até retornar ao ponto de partida.
� A diferença entre as coordenadas calculadas e as fornecidas para
este ponto resultará no chamado erro planimétrico ou erro linear
cometido.
� Como os ângulos foram ajustados, este erro será decorrente
de imprecisões na medição das distâncias.
FECHAMENTO DAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS
� A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono sobre
um sistema de eixos ortogonais deve ser nula.
� Ou seja, a soma das longitudes parciais leste (E) deverá ser
igual a soma das longitudes parciais oeste (W)
� Da mesma forma: a soma das latitudes norte (N) e sul (S)
devem ser iguais
� Caso do contrário houve erro no fechamento da poligonal
�� � ��	 �	�� �	 � �
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FECHAMENTO DAS DISTÂNCIAS HORIZONTAIS
� Para que ter-se uma ideia da precisão do levantamento topográfico
realizado, será necessário determinar-se o Erro de Fechamento
Linear Relativo (Ep).
� Este erro é a comparação do erro absoluto (Ef) com o perímetro
(P)
� Normalmente esta é dada em forma de escala, como por exemplo,
1:1000.
� O significado disto é que, em uma poligonal com 1000 m o erro
aceitável seria de 1 m.
�� � 	 ��� P = perímetro da poligonal
CORREÇÃO DO ERRO LINEAR
• Quando o erro é superior ao limite aceitável, é preciso executar
novamente o trabalho. Caso o erro seja aceitável, é necessário distribuir
esse erro, para permitir o fechamento da poligonal
• Fórmulas para correção:
��	��� �	
��
� . ����
��	��� �	
��
∑� . ����
1ª opção
2ª opção
ex= erro
P= Perímetro da poligonal
l = distância medida
∑x= ∑xE + ∑xW
∑y= ∑xN + ∑xS
x, y = coordenadas
��	��� �	
��
� . ����
��	��� �	
��
∑	 . 	���
Ponto mais a oeste
• É importante tanto para o cálculo do polígono como para desenhá-lo no
mapa sabermos qual das estações (estaca) está mais a OESTE (W) e mais
ao SUL (S). Desta forma todas as coordenadas totais estarão no
primeiro quadrante
• Parte-se das coordenas parciais corrigidas, onde adota-se uma das estacas
como origem provisória e a partir dela acumula-se algebricamente as
abscissas.
• Será a estação que apresentar omaior valor negativo.
Coordenadas Totais
• Constituem acumulações algébricas das coordenadas parciais, partindo-se
do ponto mais a oeste como origem.
• As abscissas totais (X) são as acumulações algébrica das abscissas
parciais, a partir do ponto mais ao oeste
•As ordenadas totais (Y) são as acumulações algébrica das ordenadas
parciais, a partir do ponto mais ao sul
Cálculo da área do Polígono
• O cálculo de área de polígonos mais utilizado é o processo das
coordenadas totais, também chamado de coordenadas dos vértices ou de
Gauss.
Área do polígono
A = área 1’.1.2.2’ + área 2’.2.3.3’ + 
área 4’.4.5.5’ – área 5’.5.6.6’ – área 
6’.6.7.7’ – área 7’.7.1.1’
Áreas parciais
A= 1’.1.2.2’ = X2 +X1 . (Y2-Y1)
2
� � 	∑ � !". �!#$%$&!# �	∑� !". '�()%$&!#2
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