Cálculo I: Limites, Derivadas e Função Par

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Cálculo I: 1a prova, Turmas M – Dep. de Matemática – ICEx – UFMG 15 de abril de 2016, 13h00 Duração: 1h40.
Instruções: - Podem ser usados os conceitos exibidos em sala de aula. Qualquer outro conceito, para ser utilizado, deve ser introduzido e justificado.
Nome e matrícula:
1. (12 pts) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→3−
(x2 + 2)
(x+ 1)(x− 3)
Solução: O denominador é composto de dois termos: quando x → 3−, o termo (x + 1) se aproxima do valor positivo 4,
enquanto (x−3) se aproxima de 0 porém sempre com valores negativos. Logo, o denominador como um todo se aproxima de
0 com valores negativos. Note que o limite no numerador é lim
x→3−
(x2 + 2) = 11 > 0. Conclui-se que o quociente toma valores
arbitrariamente grandes porém com sinal negativo, i.e. lim
x→3−
(x2 + 2)
(x+ 1)(x− 3) = −∞.
b) lim
x→1
tan(x− 1)
x− 1
Solução: Podemos escrever: lim
x→1
tan(x− 1)
x− 1 = limx→1
sen(x− 1)
x− 1 cos(x− 1) = limx→1
sen(x− 1)
x− 1 limx→1 cos(x− 1) = 1 · 1 = 1.
Justificativa: Por um lado, a continuidade da função cos(·) nos fornece limx→1 cos(x − 1) = cos(0) = 1. Por outro lado a
mudança de variáveis u = x− 1 nos fornece: lim
x→1
sen(x− 1)
x− 1 = limu→0
sen(u)
u
= 1.
c) lim
x→∞
sen(x2 + x)
x+ 1
Solução: Como −1 ≤ sen(x2 + x) ≤ 1, temos que −1
x+ 1
≤ sen(x
2 + x)
x+ 1
≤ 1
x+ 1
. Como lim
x→∞
1
x+ 1
= 0 = lim
x→∞
−1
x+ 1
, o
Teorema do Sanduíche implica que lim
x→∞
sen(x2 + x)
x+ 1
= 0.
2. (10pts.) Calcule a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = esen(
3
√
x)
Aplicando a Regra da cadeia obtemos: f ′(x) = esen(
3
√
x) · cos( 3√x)1
3
x−2/3 =
1
3
3
√
x2
cos( 3
√
x)esen(
3
√
x).
b) f(x) = ln(x)[1 + cos2(x)].
Pela Regra da Cadeia: [1 + cos2(x)]′ = 2 cos(x)(−sen(x)) logo, aplicando a Regra do Produto, obtemos:
f ′(x) =
1
x
[1 + cos2(x)] + ln(x)[2 cos(x)(−sen(x))] = 1
x
[1 + cos2(x)]− 2ln(x) cos(x)sen(x)
3. (8 pts.) Uma função f : R→ R satisfaz as seguintes propriedades:
• f(2) = 0;
• lim
x→0+
f(x) = 1;
• lim
x→2+
f(x) = −∞ e lim
x→2−
f(x) = +∞;
• lim
x→+∞ f(x) = 1;
• f é estritamente crescente em (0, 2) e em (2,+∞);
• f é função par.
a) Esboce o gráfico de uma tal função:
b) Determine os seguintes valores: limx→−∞ f(x), limx→−2+ f(x).
Solução:
limx→−∞ f(x) = 1, pois a função é par e limx→∞ f(x) = 1.
limx→−2+ f(x) = +∞, pois a função é par e limx→2− f(x) = +∞.
c) f é derivável no ponto x = 2? Justifique.
Solução: Não, pois ela não é contínua nesse ponto. Note que toda função derivável em um ponto é, necessariamente, contínua
nesse mesmo ponto.
d) Supondo que f seja contínua no intervalo (2,∞), ela teria alguma raiz nesse intervalo? Justifique.
Sim. Como limx→2+ f(x) = −∞, a função f tem que assumir valores negativos para valores de x próximos a 2 no intervalo
(2,∞). Por outro lado, como limx→∞ f(x) = 1, a função f também toma valore positivos quando x é suficientemente grande
no intervalo (2,∞).
Como f é contínua e troca de sinal no intervalo (2,∞), o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de uma raiz
nesse intervalo.
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