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Anotac¸o˜es sobre limite de func¸o˜es
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Limite de func¸o˜es 3
1.1 Limite de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Unicidade do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Limite e sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriedades aritme´ticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Func¸a˜o de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Teorema do sanduı´che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Crite´rio de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Definic¸o˜es com limites de x→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Definic¸o˜es com limites de x→ −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Definic¸o˜es de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Definic¸o˜es de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . 23
1.5.5 Crite´rio de comparac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.6 lim
x→a f(x) =∞ e sequeˆncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Limites de func¸o˜es em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Capı´tulo 1
Limite de func¸o˜es
1.1 Limite de func¸o˜es
m Definic¸a˜o 1 (Definic¸a˜o de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de nu´meros
reais, f de A em R uma func¸a˜o real cujo domı´nio e´ A e a ∈ A ′ um ponto de
acumulac¸a˜o do conjunto A. Definimos
lim
x→a f(x) = L
sse
∀ε > 0, ∃δ > 0|x ∈ A,0 < |x− a| < δ⇒ |f(x) − L| < ε.
Dizemos que L e´ o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com
x tendendo para a e´ L.
0 < |x−a| < δ significa que x ∈ (a−δ, a)∪(a, a+δ), ou x ∈ (a−δ, a+δ), x 6= a.
Pela definic¸a˜o dada, na˜o e´ necessa´rio que a ∈ A em lim
x→a f(x), precisamos apenas que
a ∈ A ′, isto e´, todo intervalo (a − δ, a + δ) possua pontos de A distintos de a. A
func¸a˜o f pode mesmo na˜o estar definida em a e quando esta´ definida em a, na˜o vale
necessariamente lim
x→a f(x) = f(a).
Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A ′ onde A e´ o domı´nio da
func¸a˜o da qual queremos estudar lim
x→a f(x).
3
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 4
1.1.1 Unicidade do Limite
b Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se
lim
x→a f(x) = L1 e limx→a f(x) = L2 enta˜o L1 = L2.
ê Demonstrac¸a˜o. ∀ε > 0 existem δ1, δ2 positivos tais que para x ∈ A temos
que 0 < |x − a| < δ1 implica que |f(x) − L1| <
ε
2
e 0 < |x − a| < δ2 implica que
|f(x) − L2| <
ε
2
, usando a desigualdade triangular para δ = min{δ1, δ2} segue
|L1 − L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x) − L2| < ε
o que significa que L1 = L2.
b Propriedade 2 (Limite da func¸a˜o constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A
enta˜o lim
x→ag(x) = c.
ê Demonstrac¸a˜o. Tem-se que g(x) − c = 0 logo |g(x) − c| = 0 ∀x ∈ A enta˜o
∀ε > 0 ∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x− a| < δ⇒ |g(x) − c| = 0 < ε.
Z Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = xb 1
x
c enta˜o f(x) = 0 para x > 1,
pois 0 < 1
x
< 1 e daı´ b 1
x
c = 0, isso implica que
lim
x→∞ xb
1
x
c = 0.
b Propriedade 3 (Limite da func¸a˜o identidade). Seja g : A → R dada por
g(x) = x enta˜o vale
lim
x→ag(x) = a.
Lembrando que a na˜o necessariamente pertence ao conjunto A, enta˜o a princı´pio
na˜o tem-se g(a) = a.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos δ = ε e daı´ Para 0 < |x−a| < δ tem-se |g(x)−a| =
|x− a| < δ = ε.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 5
Z Exemplo 2. Dada uma func¸a˜o r : R→ R tal que lim
h→0
r(h)
h
= 0 pode na˜o vale
que lim
h→0
r(h)
h2
= 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se r(h)
h
= h e r(h)
h2
= 1.
1.1.2 Limite e sequeˆncias
F Teorema 1 (Crite´rio de sequeˆncias para limite). lim
x→a f(x) = L ⇔ limn→∞ f(xn) = L
para toda sequeˆncia de pontos xn ∈ A \ {a} tal que lim xn = a.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒.Suponhamos que lim
x→a f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A\{a}.
Pela definic¸a˜o de limite tem-se que ∀ ε > 0 ,∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ, x ∈ A⇒ |f(x) − L| < ε
e pelo limite da sequeˆncia ∀ ε1 > 0, ∃n0 ∈ N|n > n0 ⇒ 0 < |xn − a| < ε1, como e´
garantida a relac¸a˜o para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn−a| <
δ, usando essa desigualdade com a definic¸a˜o do limite de f(x) segue |f(xn) − L| < ε
que implica lim f(xn) = L.⇐ Agora para provar a recı´proca, vamos usar a contrapositiva que e´
lim
x→a f(x) 6= L⇒ lim f(xn) 6= L.
∃ε > 0 tal que ∀ n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn−a| < 1
n
e |f(xn)−L)| ≥ ε.
Enta˜o xn → a, mas na˜o se tem lim f(xn) = L.
$ Corola´rio 1 (Crite´rio de divergeˆncia por sequeˆncias). Dadas duas sequeˆncias
(xn), (yn) ∈ A \ {a} com lim xn = limyn = a enta˜o se lim f(xn) 6= lim f(yn) ou um
deles na˜o existir, enta˜o lim
x→a f(x) na˜o existe.
Z Exemplo 3. Sejam f : gR→ R definidas como
• f(x) = 0 se x ∈ R \Q, f(x) = x se x ∈ Q.
• g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 6
Nessas condic¸o˜es vale lim
x→0 f(x) = limx→0g(x) = 0 e na˜o existe limx→0g(f(x)).
Vale lim
x→0 f(x) = 0, pois tomamos ε = δ enta˜o par 0 < |x| < δ vale |f(x)| < δ = ε,
tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 < ε, tanto no caso de x
racional pois nesse caso vale |f(x)| = |x| < δ = ε, enta˜o em qualquer desses casos
temos |f(x)| < ε.
Tambe´m vale que lim
x→0g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x na˜o
nulo, portanto g(x) = 0 e daı´ |g(x)| = 0 < δ = ε.
Na˜o existe lim
x→0g(f(x)).
Seja xn → 0 por valores racionais, enta˜o f(xn) = xn e daı´ limg(f(xn)) =
limg(xn) = 0. Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e
limg(f(yn)) = limg(0) = 1, logo na˜o pode existir lim
x→0g(f(x)), pois o limite depende
de como se aproxima de zero (usamos o crite´rio de divergeˆncia por meio de
sequeˆncias).
b Propriedade 4. Se ∀ (xn) em A \ {a} com lim xn = a implicar (f(xn))
convergente enta˜o lim
x→a f(x) existe.
ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos que lim
x→a f(x) = L⇔ ∀ (zn) ∈ A\ {a} com lim zn = a
vale lim f(zn) = L. Por isso vamos tomar duas sequeˆncias arbitra´rias (xn) e (yn) com
lim xn = limyn = a em A \ {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn). Tomamos
(zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, daı´ lim zn = a, portanto lim f(zn) existe,
como (f(xn)) e (f(yn)) sa˜o subsequeˆncias de (f(zn)) enta˜o elas convergem para o
mesmo limite L, daı´ provamos que ∀ (zn) ∈ A \ {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L
que implica lim
x→a f(x) = L.
b Propriedade 5. Seja f : A→ R, a ∈ A ′, B = f(A \ {a}). Se lim
x→a f(x) = L enta˜o
L ∈ B.
Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A\{a}),
isto e´, existem pontos de f(A \ {a}) arbitrariamente pro´ximos de L.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 7
ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos o crite´rio de sequeˆncias. Como lim
x→a f(x) = L, enta˜o
existe sequeˆncia (xn) em A \ {a} tal que lim f(xn) = L, daı´ tome f(xn) = yn, (yn) e´
uma sequeˆncia em f(A \ {a}) tal que limyn = L, portanto L ∈ B.
Z Exemplo 4. lim
x→0 sen(
1
x
) na˜o existe.
Tomamos as sequeˆncias xn =
1
2npi
e yn =
1
2npi+ pi2
vale lim xn = 0 = limyn e
sen(
1
xn
) = sen(2npi) = 0 e sen(2npi + pi
2
) = 1 logo os limites sa˜o distintos enta˜o
lim
x→0 sen(
1
x
) na˜o existe.
Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn = 1
t+ 2pinvale
lim xn = 0 e sen(
1
xn
) = sen(t+ 2pin) = sen(t) = v.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 8
Z Exemplo 5. lim
x→0 xtg(
1
x
) na˜o existe.
Tal limite e´ equivalente ao limite
lim
y→∞
tg(y)
y
,
por meio de transformac¸a˜o x = 1
y
, x → 0, enta˜o y → ∞. Vamos tomar duas
sequeˆncias (tn), (yn) que tendem a infinito, de maneira que
tg(tn)
tn
e tg(yn)
yn
convergem para limites diferentes. Primeiro tome tn = 2npi, temos sen(2npi) = 0
e cos(2npi) = 1, portanto tg(2npi) = 0 e logo converge a` zero.
Agora para cada intervalo ((2n − 1)pi
2
, (2n + 1)pi
2
) a func¸a˜o tangente e´ uma
bijec¸a˜o em R, logo podemos tomar em cada um desses intervalos um valor xn em
((2n− 1)pi
2
, (2n+ 1)pi
2
) ( com isso xn tende a infinito e todas suas subsequeˆncias )
tal que
(2n− 1)pi
2
< xn < (2n+ 1)
pi
2
,
(2n+ 1)pi
2
< tg(xn) < (2n− 1)pi,
daı´
xn < tg(xn) < 2xn ⇒ 1 < tg(xn)
xn
< 2,
a sequeˆncia de termo zn =
tg(xn)
xn
e´ limitada, logo possui subsequeˆncia con-
vergente znk =
tg(xnk)
xnk
, que converge para um nu´mero em [1, 2] e ale´m disso
(xnk) = (yk) tende a infinito. Enta˜o, demos um exemplo de duas sequeˆncias que
tendem a infinito, de maneira que (tg(tn)
tn
) e (tg(yn)
yn
) tendem a valores diferen-
tes, para que o limite existisse para todas sequeˆncias (xn) que tendem a infinito,
deveria valer que lim tg(xn)
xn
= L para algum valor real L.
Z Exemplo 6. lim
x→0
1
x
na˜o existe, pois se existisse seria um nu´mero real a e
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 9
tomando a sequeˆncia xn =
1
n
, terı´amos que ter limn = a o que na˜o acontece, pois
vale limn =∞.
Z Exemplo 7. lim
x→abxc na˜o existe se a ∈ Z.
Tomamos as sequeˆncias que convergem para a, xn = a−
1
n+ 1
e yn = a+
1
n+ 1
,
daı´ bxnc = a − 1 e bync = a, logo essas sequeˆncias na˜o tem o mesmo limite,
implicando que na˜o existe lim
x→abxc.
Z Exemplo 8. Seja f : R \ {0} dada por f(x) = |x|
x
, enta˜o lim
x→0
|x|
x
na˜o existe. Se
x > 0 enta˜o |x|
x
=
x
x
= 1 se x < 0, |x|
x
=
−x
x
= −1, tomamos uma sequeˆncia xn =
1
n
daı´ f(xn) = 1 e tomando yn =
−1
n
tem-se f(yn) = −1, os limites sa˜o distintos, logo
lim
x→0
|x|
x
na˜o existe.
Z Exemplo 9. Se a na˜o e´ inteiro, enta˜o lim
x→abxc = bac.
Dado a na˜o inteiro, tem-se que a ∈ (m,m+ 1) onde m e´ inteiro, logo podemos
escolher δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ (m,m + 1) e daı´ para esses valores, vale
bxc = m = bac, implicando que bxc− bac < ε para qualquer ε > 0.
b Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f, gA→ R. Se g(x) e´ limitada numa
vizinhanc¸a de a e lim
x→a f(x) = 0 enta˜o limx→a f(x).g(x) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A tal que lim xn = a, temos
que (g(xn)) e´ limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de
sequeˆncias, como a sequeˆncia (xn) e´ arbitra´ria, segue que lim
x→a f(x).g(x) = 0.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 10
Z Exemplo 10. lim
x→0 xb
1
x
c = 1 pois escrevemos 1
x
= b 1
x
c+ { 1
x
} daı´
xb 1
x
c = 1− x{ 1
x
}
como { 1
x
} e´ limitada, segue que lim
x→0 xb
1
x
c = 1.
1.2 Propriedades aritme´ticas dos limites
b Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = M enta˜o
lim
x→a f(x) + g(x) = L+M.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, daı´
temos lim f(xn) = L e limg(xn) = M, e por propriedade de limite de sequeˆncias
lim f(xn) + g(xn) = L +M, pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) concluı´mos que
lim
x→a f(x) + g(x) = L+M.
b Propriedade 8. Se lim
x→a fk(x) = Lk enta˜o
lim
x→a
n∑
k=1
fk(x) =
n∑
k=1
Lk.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = M 6= 0
enta˜o lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, daı´
temos lim f(xn) = L e limg(xn) =M, e por propriedade de limite de sequeˆncias
lim f(xn)
g(xn)
=
L
M
pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) concluı´mos que lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 11
b Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = M 6= 0
enta˜o lim
x→a f(x)g(x) = L.M
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, daı´
temos lim f(xn) = L e limg(xn) =M, e por propriedade de limite de sequeˆncias
lim f(xn)g(xn) = LM
pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) concluı´mos que lim
x→a f(x)g(x) = L.M
b Propriedade 11. Se lim
x→a fk(x) = Lk enta˜o
lim
x→a
n∏
k=1
fk(x) =
n∏
k=1
Lk.
$ Corola´rio 2. Se p ∈ N, f : A→ R dada por f(x) = xp enta˜o
lim
x→a xp = ap.
$ Corola´rio 3. Se f : A→ R e´ polinomial f(x) = n∑
k=0
akx
k enta˜o
lim
x→c
n∑
k=0
akx
k =
n∑
k=0
akc
k.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.2.1 Func¸a˜o de Dirichlet
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 12
m Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o de Dirichlet). E´ a func¸a˜o g : R→ R definida como
g(x) =
 1 se x ∈ Q0 se x /∈ Q
b Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R na˜o existe lim
x→ag(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Como Q e R\Q sa˜o ambos densos em R, podemos tomar uma
sequeˆncia de racionais (xn) que converge para a e daı´ g(xn) = 1, enta˜o limg(xn) = 1,
pore´m tomando uma sequeˆncia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos
g(yn) = 0 e limg(yn) = 0, como os limites sa˜o diferentes segue que lim
x→ag(x) na˜o
existe.
1.2.2 Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es
F Teorema 2 (Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es). Sejam A,B ⊂ R, f de A em R
e g de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim
x→a f(x) = b e limy→bg(y) = c ainda com c = g(b),
tem-se lim
x→ag(f(x)) = c.
ê Demonstrac¸a˜o. Da existeˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0
existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y− b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restric¸a˜o de
y 6= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existeˆncia do limite
de f tomando δ1 como εf, ε para f, temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A,
0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x) − b| < δ1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do
primeiro limite que |g(f(x)) − c| < ε implicando que lim
x→ag(f(x)) = c.
Se x 6= a implicar f(x) 6= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o
argumento com pequenas alterac¸o˜es:
Da existeˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que
y ∈ B, 0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restric¸a˜o de y 6= b.
Usando a existeˆncia do limite de f tomando δ1 como εf, ε para f, temos que para δ1
existe δ2 > 0 tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f(x) − b| < δ1 ( aqui usamos que
x 6= a implica f(x) 6= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro
limite que |g(f(x)) − c| < ε implicando que lim
x→ag(f(x)) = c.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 13
Z Exemplo 11. Nesse exemplo mostramos que e´ necessa´rio supor g(b) = c.
Suponha que g(x) = x,∀ x 6= 1 e g(1) = 0. Temos que
lim
x→1 g(x) = 1 6= g(1) = 0.
Tomando f(x) = 1, ∀ x, segue que
lim
x→a f(x) = 1,
pore´m
lim
x→ag(f(x)) = limx→ag(1) = 0 6= limx→1 g(x) = 1.
1.3 Limites e desigualdades
1.3.1 Teorema do sanduı´che
F Teorema 3 (Teorema do sanduı´che). Sejam f, g, h de A em R, a ∈ A ′ e
lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A \ {a} enta˜o
lim
x→ah(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. ∀ε > 0 ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ A,
0 < |x− a| < δ1 ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε
e
0 < |x− a| < δ2 ⇒ L− ε < g(x) < L+ ε
, tomando δ = min{δ1, δ2} tem-se L− ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L+ ε
que implica lim
x→ah(x) = L.
b Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A ′,se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) =
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 14
M com M > L enta˜o existe δ > 0 tal que g(x) > f(x) para todo x ∈ A com
0 < |x− a| < δ.
ê Demonstrac¸a˜o. Pela definic¸a˜ode limite temos ∀ε > 0, ∃δ1 > 0 tal que x ∈ A
, 0 < |x − a| < δ1 implica f(x) ∈ (L − ε, L + ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ2 > 0 tal
que x ∈ A , 0 < |x − a| < δ2 implica g(x) ∈ (M − ε,M + ε), podemos tentar tomar
M − ε = L + ε, com isso M− L
2
= ε, como M > L tal ε cumpre a condic¸a˜o ε > 0,
tomando ε = M− L
2
e δ = min{δ1, δ2} tem-se f(x) < L − ε = M − ε < g(x), isto e´,
f(x) < g(x) para x ∈ A, 0 < |x− a| < δ.
$ Corola´rio 4. Se lim
x→a f(x) = L < M enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) < M para
todo x ∈ A com 0 < |x− a| < δ.
Tome g(x) =M para todo x ∈ A, assim lim
x→ag(x) =M e aplicamos a propriedade
anterior.
$ Corola´rio 5. Sejam lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = M. Se g(x) ≥ f(x) para todo
x ∈ A− {a} enta˜o M ≥ L.
Pois se fosse L > M, existiria δ > 0 tal que f(x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o
que entra em contradic¸a˜o com g(x) ≥ f(x).
$ Corola´rio 6 (Conservac¸a˜o de sinal). Se lim
x→ag(x) = M > 0 enta˜o existe δ > 0
tal que g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x−a| < δ, tomamos f(x) = 0 e usamos
a propriedade ja´ demonstrada.
b Propriedade 14 (Existeˆncia de limite e limitac¸a˜o da func¸a˜o). Sejam X ⊂ R,
f : X→ R, a ∈ X ′. Se existe lim
x→a f(x) enta˜o f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, isto
e´, existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x− a| < δ, x ∈ X⇒ |f(x)| < A.
Seja L = lim
x→a f(x) e ε = 1 na definic¸a˜o de limite, enta˜o existe
δ > 0|x ∈ X,0 < |x− a| < δ⇒ |f(x) − L| < 1
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 15
L− 1 < f(x) < L+ 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se
−L− 1 < −f(x) < −L+ 1
como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L+ 1 ≤ |L|+ 1 e −L+ 1 ≤ |L|+ 1 e
−f(x) ≤ |L|+ 1, f(x) ≤ |L|+ 1⇒ |f(x)| ≤ |L|+ 1
tomando A = |L|+ 1 segue a propriedade.
1.3.2 Crite´rio de Cauchy para limites
b Propriedade 15. lim
x→a f(x) existe sse
∀ ε > 0∃δ > 0 |0 < |x− a| < δ,0 < |y− a| < δ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a f(x) = L enta˜o
∀ ε > 0,∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x− a| < δ, |y− a| < δ⇒ |f(x) − b| < ε
2
, |f(y) − b| <
ε
2
tomando a desigualdade triangular segue
|f(x) − f(y)| ≤ |f(y) − b|+ |f(x) − b| < ε
2
+
ε
2
= ε
logo nessas condic¸o˜es |f(x) − f(y)| < ε.
Para toda sequeˆncia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condic¸o˜es dadas
a sequeˆncia (f(xn)) e´ de Cauchy em R como R e´ completo ela converge o que implica
que existe o limite lim
x→a f(x).
1.4 Limites laterais
m Definic¸a˜o 3 (Limite a` direita). Seja a ponto de acumulac¸a˜o a` direita de A,
isto e´, ∀ δ > 0 vale A ∩ (a, a+ δ) 6= ∅ enta˜o
lim
x→a+ f(x) = L⇔ ∀ ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A,0 < x− a < δ⇒ |f(x) − L| < ε.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 16
Podemos escrever 0 < x− a < δ como a < x < a+ δ.
m Definic¸a˜o 4 (Limite a` esquerda). Seja a ponto de acumulac¸a˜o a` esquerda de
A, isto e´,∀ δ > 0 vale A ∩ (a− δ, a) 6= ∅ enta˜o
lim
x→a− f(x) = L⇔ ∀ ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A,0 < a− x < δ⇒ |f(x) − L| < ε.
Podemos denotar os limites laterais como
lim
x→a− f(x) = f(a−)
lim
x→a+ f(x) = f(a+).
b Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X→ R, a ∈ X ′+. Tomando Y = X∩ (a,+∞)
e g = f|Y enta˜o
lim
x→a+ f(x) = L⇔ limx→ag(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Se x ∈ Y temos x ∈ (a,+∞), de onde segue a < x, 0 < x− a.
Se lim
x→a+ f(x) = L⇒
∀ ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x− a < δ⇒ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)
de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ε, L + ε)
que implica lim
x→ag(x) = L.
Se lim
x→ag(x) = L enta˜o
∀ ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ Y,0 < x− a < δ⇒ |g(x) − L| < ε
mas em Y, g = f enta˜o |f(x) − L| < ε que implica lim
x→a+ f(x) = L.
b Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A ′+ ∩ A ′− enta˜o lim
x→a f(x) = L
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 17
sse existem e sa˜o iguais os limites laterais
lim
x→a+ f(x) = L = limx→a− f(x)
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a+ f(x) = L = limx→a− f(x) enta˜o ∀ ε > 0, ∃(δ1, δ2)(> 0) tais
que x ∈ X∩ (a, a+ δ1) implica |f(x)− L| < ε e x ∈ X∩ (a− δ2, a) implica |f(x)− L| < ε.
Tomando δ = min{δ1, δ2} enta˜o x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) implica |f(x) − L| < ε e
lim
x→a f(x) = L. Falta a outra parte.
b Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma func¸a˜o mono´tona limitada,
a ∈ A ′+ e b ∈ A ′−. Enta˜o existem os limites laterais
lim
x→a+ f(x) = L, limx→b− f(x) =M.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto e´ na˜o vazio
pois a e´ ponto de acumulac¸a˜o a` direita e limitado inferiormente , pois f e´ limitada
inferiormente, logo ele possui ı´nfimo L . L + ε na˜o e´ cota inferior de B , logo existe
δ > 0 tal que a+ δ ∈ A e vale L ≤ f(a+ δ) < L+ ε, como f e´ na˜o-decrescente tem-se
com a < x < a+ δ que L ≤ f(x) < f(a+ δ) < L+ ε daı´ lim
x→a+ f(x) = L.
Z Exemplo 12. Vale lim
x→a+bxc = a e limx→a−bxc = a − 1 logo na˜o existe o limite
lim
x→abxc se a e´ inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse
intervalo vale bxc = a logo lim
x→a+bxc = a, da mesma maneira tem-se a− 1 < a−δ <
x < a, logo nesse intervalo vale bxc = a− 1 de onde tem-se lim
x→a−bxc = a− 1 .
b Propriedade 19. lim
x→a+ f(x) = L ( limx→a− f(x) = L) ⇔ ∀ (xn) em A decrescente
(crescente) com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que lim
x→a+ f(x) = L ⇔ limx→ag(x) = L onde g : B → R onde
B = A∩(a,∞). Pore´m lim
x→ag(x) = L⇔ ∀ (xn) em B com lim xn = a vale limg(xn) = L.
Vamos enta˜o provar a propriedade.⇒). Se lim
x→a+ f(x) = L enta˜o limx→ag(x) = L que implica ∀ (xn) em B com lim xn = a
vale limg(xn) = L, em especial para as sequeˆncias (xn) que sejam decrescentes.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 18
⇐). Vamos usar a contrapositiva que e´ se lim
x→ag(x) 6= L enta˜o existe (xn) em A
decrescente com lim xn = a tal que limg(xn) 6= L. Supondo que temos lim
x→ag(x) 6= L
enta˜o existe sequeˆncia (yn) em B com limyn = a tal que limg(yn) 6= L, como
(yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A, podemos tomar (xn) subsequeˆncia de (yn) tal que lim xn = a
e limg(xn) 6= L (pois as subsequeˆncias devem convergir para o mesmo valor das
sequeˆncias), assim fica provado o resultado.
Z Exemplo 13. Tomamos f : R \ {0} → R definida como f(x) = 1
1+ a 1x
com
a > 1, vamos analisar os limites laterais lim
x→0+ f(x) e limx→0− f(x).
Seja (xn) em R \ {0} tal que lim xn = 0 enta˜o vale lima
1
xn = ∞, pois como
lim xn = 0 podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitra´rio e 0 < xn0 <
1
c
< 1
daı´ axn0 < a
1
c ⇒ M < ac < a 1xn0 e como xn e´ decrescente para n0 < n vale
xn < xn0 portanto axn < axn0 ⇒M < a 1xn0 < a 1xn logo lima 1xn =∞ de onde segue
que lim f(xn) = lim
1
1+ a
1
xn
= 0 que por sua vez implica lim
x→0+ f(x) = 0.
Admitimos agora (yn) crescente em R \ {0} tal que limyn = 0. a
1
yn =
1
a
1
−yn
, como yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) e´ decrescente e tende a zero
logo pelo resultado anterior lima
1
−yn = ∞ ⇒ lima 1yn = lim 1
a
1
−yn
= 0, portanto
lim 1+ a
1
yn = 1 e lim f(xn) = lim
1
1+ a
1
xn
= 1 daı´ vale lim
x→0− f(x) = 1.
b Propriedade 20. Seja f : A→ R mono´tona. Se existe (xn) em A com xn > a,
lim xn = a e lim f(xn) = L enta˜o lim
x→a+ f(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha f na˜o decrescente, vamos mostrar que
B = {f(x), x ∈ R, x > a}
e´ um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitra´rio e fixo tal que x > a existe
xn > a que satisfaz x > xn > a, pois lim xn = a, f na˜o decrescente implica f(x) ≥
f(xn), como (f(xn)) e´ convergente, vale que tal sequeˆncia e´ limitada inferiormente,
portanto existe M tal que f(xn) > M ∀ n ∈ N daı´ f(x) ≥ f(xn) > M para f(x) ∈ B
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 19
arbitra´rio, logo B e´ limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele
possui ı´nfimo .
Seja L ′ = inf B = inf{f(x), x ∈ R, x > a}, vale que lim
x→a f(x) = L ′ (resultado
ja´ demonstrado), disso segue pelo crite´rio de sequeˆncias para limite lateral que
lim f(xn) = L ′ = L, pela unicidade de limite, portanto limx→a f(x) = L.
Z Exemplo 14. Seja f : R \ {0} dada por f(x) = sen( 1
x
)
1
1+ 2 1x
. Determine o
conjunto dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0, xn 6= 0.
Tomando o mo´dulo da expressa˜o∣∣∣∣sen( 1x) 11+ 2 1x
∣∣∣∣ = 11+ 2 1x < 1
pois 0 < 2
1
x , daı´ na˜o podemos ter limites dessa expressa˜o fora do intervalo [−1, 1],
vamos mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .
Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn = −1
t+ 2pin
vale
sen(
1
xn
) = sen(−t) = v, ale´m disso (xn) e´ decrescente com lim xn = 0, portanto
vale lim f(xn) = lim
v
1+ 2
1
xn
= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite
ja´ calculado).
1.5 Limites no infinito e limites infinitos
1.5.1 Definic¸o˜es com limites de x→∞
m Definic¸a˜o 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A→ R, dizemos que
lim
x→∞ f(x) = L⇔ ∀ ε > 0 ∃A > 0, x > A⇒ |f(x) − L| < ε.
Tal definic¸a˜o abrange a definic¸a˜o para limite de sequeˆncias, que e´ tomada como
o caso A = N.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 20
m Definic¸a˜o 6. lim
x→∞ f(x) =∞ ⇔
∀ A > 0, ∃B > 0 | x > B⇒ f(x) > A.
b Propriedade 21. Se lim
x→∞ f(x) =∞ enta˜o limx→∞ 1f(x) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Pela primeira propriedade temos ∀ B > 0, ∃A > 0 | x > A ⇒
f(x) > B enta˜o a func¸a˜o assume apenas valores positivos a partir de certo valor de
x, se f(x) > 0 enta˜o 0 < 1
f(x)
1
f(x)
<
1
B
= ε
logo vale lim
x→∞
1
f(x)
= 0.
Z Exemplo 15. Pode acontecer de lim
x→∞
1
f(x)
= 0 pore´m lim
x→∞ f(x) 6=∞, como o
caso de f(x) = −x vale
lim
x→∞
1
−x
= 0
e
lim
x→∞−x = −∞.
m Definic¸a˜o 7. lim
x→∞ f(x) = −∞ ⇔
∀ A > 0,∃B > 0 | x > B⇒ f(x) < −A.
b Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e na˜o-decrescente,
B ilimitado superiormente enta˜o
lim
x→∞ f(x) = sup{f(x), x ∈ B}.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 21
ê Demonstrac¸a˜o.
f e´ limitada superiormente logo existe sup{f(x), x ∈ B} = L. Como L e´ o supremo,
dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ε, L], como f e´ na˜o-decrescente temos
para x > xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L− ε, L] o que implica
lim
x→∞ f(x) = L.
b Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado.
Se lim
x→∞ f(x) = L1 e limx→∞g(x) = L2 enta˜o
lim
x→∞ f(x) + g(x) = L1 + L2.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 arbitra´rio existe A1 > 0 tal que x ∈ B, x > A1
implica |f(x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B, x > A2 implica |f(x) − L1| < ε2
|g(x)−L2| <
ε
2
pela existeˆncia de lim
x→∞ f(x) = L1 e limx→∞g(x) = L2, tomando A > A1+A2
valem ambas propriedades descritas e daı´ temos por desigualdade triangular
|f(x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f(x) − L1|+ |g(x) − L2| < ε2 +
ε
2
= ε.
1.5.2 Definic¸o˜es com limites de x→ −∞
m Definic¸a˜o 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A→ R, dizemos que
lim
x→−∞ f(x) = L
sse
∀ ε > 0 ∃A > 0, x < −A⇒ |f(x) − L| < ε.
m Definic¸a˜o 9. lim
x→−∞ f(x) = −∞ sse
∀ A > 0, ∃B > 0 | x < −B⇒ f(x) < −A.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 22
m Definic¸a˜o 10. lim
x→−∞ f(x) =∞ sse
∀ A > 0,∃B > 0 | x < −B⇒ f(x) > A.
1.5.3 Definic¸o˜es de limites tendendo ao infinito
m Definic¸a˜o 11. Dizemos que lim
x→a+ f(x) =∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x− a < δ⇒ f(x) > A.
m Definic¸a˜o 12. Dizemos que lim
x→a− f(x) =∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a− x < δ⇒ f(x) > A.
m Definic¸a˜o 13. Dizemos que lim
x→a f(x) =∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ⇒ f(x) > A.
Negar que lim
x→a f(x) =∞ significa dizer
∃A > 0, ∀ δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x− a| < δ e f(x) < A.
b Propriedade 24. Se lim
x→a f(x) =∞ e limx→ag(x) =∞ enta˜o
lim
x→a(f(x) + g(x)) =∞.
Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente
grandes com x pro´ximo de a, enta˜o f(x) + g(x) tambe´m assume valor arbitraria-
mente grande nessas condic¸o˜es. Por isso dizemos que ∞ +∞ na˜o e´ uma forma
indeterminada, ela e´ determinada com valor ∞.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 23
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A > 0 arbitra´rio , temos por condic¸o˜es de que lim
x→a f(x) =∞ e lim
x→ag(x) =∞ , existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < |x− a| < δ1 ⇒ f(x) > A,
0 < |x− a| < δ2 ⇒ g(x) > A,
tomando enta˜o δ = min{δ1, δ2} segue que tanto f(x) > A e g(x) > A para |x−a| < δ,
por isso tambe´m temos f(x) + g(x) > 2A > A com |x − a| < δ e daı´ segue que
lim
x→a(f(x) + g(x)) =∞ , por definic¸a˜o de limite infinito .
b Propriedade 25. Se lim
x→a f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhanc¸a de a
enta˜o lim
x→a f(x).g(x) =∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a−ε, a+ε) implica
g(x) > c e f(x) > A
c
, daı´ g(x).f(x) > A o que implica lim
x→a f(x).g(x) =∞.
Z Exemplo 16.
lim
x→0
1
x2
(2+ sen( 1
x
)) =∞
pois o limite da primeira func¸a˜o e´ infinito e a segunda func¸a˜o e´ limitada inferi-
ormente por 1 .
1.5.4 Definic¸o˜es de limites tendendo a menos infinito
m Definic¸a˜o 14. Dizemos que lim
x→a+ f(x) = −∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x− a < δ⇒ f(x) < −A.
m Definic¸a˜o 15. Dizemos que lim
x→a− f(x) = −∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a− x < δ⇒ f(x) < −A.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 24
m Definic¸a˜o 16. Dizemos que lim
x→a f(x) = −∞ quando
∀ A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ⇒ f(x) < −A.
$ Corola´rio 7. Se lim
x→a f(x) =∞ enta˜o f e´ ilimitada numa vizinhanc¸a de a. Pois
para qualquer A > 0 que escolhermos, ira´ existir δ > 0 tal que |x−a| < δ implique
f(x) > A, logo f na˜o e´ limitada.
$ Corola´rio 8. Se lim
x→a f(x) = −∞ enta˜o f e´ ilimitada numa vizinhanc¸a de a.
Pois para qualquer A > 0 que escolhermos, ira´ existir δ > 0 tal que |x − a| < δ
implique f(x) < −A, logo f na˜o e´ limitada.
b Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se lim
x→a f(x) =∞ enta˜o na˜o acontece
de lim
x→a f(x) = L para algum L real ou limx→a f(x) = −∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a f(x) = L enta˜o f seria limitada numa vizinhanc¸a de a,
o que na˜o pode acontecer. Se lim
x→a f(x) = −∞ enta˜o existiria δ > 0 tal que |x− a| < δ
implicaria f(x) < −A e por lim
x→a f(x) =∞ implicaria existir δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1
implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ, δ1} terı´amos que ter f(x) > A e f(x) < −A,
logo f(x) > 0 e f(x) < 0 o que e´ absurdo.
1.5.5 Crite´rio de comparac¸a˜o
b Propriedade 27 (Crite´rio de comparac¸a˜o). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhanc¸a
qualquer de a, enta˜o lim
x→a f(x) = ∞ implica limx→ag(x) = ∞, isto e´, se a func¸a˜o
"menor"tende ao infinito a "maior"tambe´m tende ao infinito.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f(x),
como lim
x→a f(x) = ∞ enta˜o para todo A > 0 existe δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica
f(x) > A, tomando δ2 < min{δ1, δ} tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) > A daı´ g(x) > A o
que implica lim
x→ag(x) =∞.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 25
$ Corola´rio 9. Se lim
x→a f(x) existe e limx→ag(x) = ∞ enta˜o g(x) > f(x) numa
vizinhanc¸a de a, pois f e´ limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| < A e g e´ ilimitada
numa vizinhanc¸a de a valendo g(x) > A > f(x).
Z Exemplo 17. lim
x→0
1
|x|
=∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ = 1
A
tem-se
de 0 < |x| < 1
A
que A < 1
|x|
logo lim
x→0
1
|x|
=∞.
Z Exemplo 18. Tomando −1 < x < 1, x 6= 0 tem-se 0 < |x| < 1 e daı´ |x|2 <
|x|, isto e´, x2 < |x| logo 1
x2
>
1
|x|
isso implica que lim
x→0
1
x2
= 0 pelo crite´rio de
comparac¸a˜o.
b Propriedade 28 (Teorema do sanduı´che). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x
suficientemente grande, se lim
x→∞ f(x) = limx→∞h(x) = L enta˜o limx→∞g(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale
L− ε ≤ f(x) ≤ L+ ε
para x > A2 vale
L− ε ≤ g(x) ≤ L+ ε
e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 +A2 +A3 e x > B segue que
L− ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L+ ε
que implica lim
x→∞g(x) = L.
1.5.6 lim
x→a f(x) =∞ e sequeˆncias.CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 26
b Propriedade 29. lim
x→a f(x) =∞ sse lim f(xn) =∞ com xn ∈ B\{a} e lim xn = a.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒. Do limite da func¸a˜o tem-se ∀ A > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ implica f(x) > A, do limite da sequeˆncia temos que existe n0 ∈ N tal
que n > n0 implica |xn − a| < δ e daı´ f(xn) > A que significa lim f(xn) =∞.⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma
sequeˆncia xn que satisfaz 0 < |xn−a| <
1
n
e f(xn) < A, daı´ lim xn = a e lim f(xn) 6=∞.
b Propriedade 30. Seja P : R→ R com P(x) = n∑
k=0
akx
k com an 6= 0, n ≥ 1. Se
n e´ par enta˜o lim
x→∞P(x) = limx→−∞P(x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n
e´ ı´mpar enta˜o lim
x→∞P(x) = ∞ e limx→−∞P(x) = −∞ com an > 0 e limx→∞P(x) = −∞ e
lim
x→−∞P(x) =∞ se an < 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos P(x) = anxn
→1︷ ︸︸ ︷
(
n−1∑
k=0
ak
anxn−k︸ ︷︷ ︸→0
+1). Se n e´ par lim
x→∞ xnan =
∞ = lim
x→−∞ xnan com an > 0 e limx→∞ xnan = −∞ = limx→−∞ xnan se an < 0, portanto o
mesmo segue para P(x).
Se n e´ ı´mpar, lim
x→∞ xnan =∞ e limx→−∞ xnan = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se
lim
x→∞ xnan = −∞ e limx→−∞ xnan =∞.
b Propriedade 31. Seja f : [a,∞)→ R limitada. Para cada t ≥ a definimos
Mt = sup{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt
mt = inf{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt
wt =Mt−mt, chamada de oscilac¸a˜o de f em I = [t,∞). Nessas condic¸o˜es, existem
lim
t→∞Mt e limt→∞mt.
∃ lim
t→∞ f(t)⇔ limt→∞wt = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Mt e´ na˜o-crescente e mt e´ na˜o-decrescente. Se s > t vale que
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 27
{f(x) | x ∈ [s,∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t,∞)} = At, portanto supAt ≥ supAs, implicando
Mt ≥Ms logo mt e´ na˜o-crescente. Da mesma maneira mt e´ na˜o-decrescente, pois de
As ⊂ At segue infAs ≥ infAt e daı´ ms ≥ mt que significa que mt e´ na˜o-decrescente.
Ambas func¸o˜es sa˜o limitadas logo os limites lim
t→∞Mt e limt→∞mt existem.
lim
t→∞Mt = L, limt→∞mt = l⇒ limt→∞wt = L− l.
Agora provamos a equivaleˆncia enunciada. ⇐). Se lim
t→∞wt = 0 enta˜o ⇒ limt→∞ f(t)
existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt sa˜o ı´nfimo e supremo respectiva-
mente), se ⇒ lim
t→∞wt = 0 enta˜o L − l = 0 ⇒ L = l, daı´ por teorema do sanduı´che
tem-se
L = lim
t→∞mt ≤ limt→∞ f(t) ≤ limt→∞Mt = L
de onde segue lim
t→∞ f(t) = L.⇒). Se lim
t→∞ f(t) = L enta˜o ∀ ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L − ε < f(t) <
L+ε, logo L−ε ≤ mt ≤ f(t) ≤Mt ≤ L+ε pois mt e´ ı´nfimo e Mt e´ supremo, portanto
Mt −mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que
lim
t→∞Mt = limt→∞mt = L daı´ limwt = 0.
1.6 Limites de func¸o˜es em espac¸os me´tricos
m Definic¸a˜o 17. Sejam A ⊂ M, a ∈ A e f : A → N, b ∈ N e´ o limite de f(x)
quando x tende a a quando
∀ ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ⇒ d(f(x), b) < ε.
1.7 Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es
b Propriedade 32 (Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es). Sejam f, g : R+ → R
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 28
limitadas em cada intervalo limitado, g crescente, com
lim
x→∞
∆f(x)
∆g(x)
= L lim
x→∞g(x) =∞
enta˜o
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale
ε− L <
∆f(x)
∆g(x)
< ε+ L
como g e´ crescente vale ∆g(x) > 0 enta˜o podemos multiplicar a desigualdade por tal
termo, substituir x por x+ k onde k natural e aplicar a soma
n−1∑
k=0
, que resulta em
(ε− L)(g(x+ n) − g(x)) + f(x) < f(x+ n) < (ε+ L)(g(x+ n) − g(x)) + f(x)
por soma telesco´pica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo
pois g→∞
(ε− L)(1− g(x)
g(x+ n)
) +
f(x)
g(x+ n)
<
f(x+ n)
g(x+ n)
< (ε+ L)(1− g(x)
g(x+ n)
) +
f(x)
g(x+ n)
agora passamos as sequeˆncias, tomamos x = yn em [M,M + 1] e xn = n + yn e´
uma sequeˆncia arbitra´ria que tende a infinito, g e f sa˜o limitadas em [M,M+ 1] daı´
(ε− L)(1− g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
<
f(xn)
g(xn)
< (ε+ L)(1− g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
a passagem do limite nos garante que lim f(xn)
g(xn)
= L pois g(yn) e f(yn) sa˜o limitadas
e limg(xn) =∞ .
	Limite de funções
	Limite de funções
	Unicidade do Limite
	Limite e sequências
	Propriedades aritméticas dos limites
	Função de Dirichlet 
	Limite da composição de funções
	Limites e desigualdades
	Teorema do sanduíche
	Critério de Cauchy para limites
	Limites laterais
	Limites no infinito e limites infinitos
	Definições com limites de x 
	Definições com limites de x- 
	Definições de limites tendendo ao infinito
	Definições de limites tendendo a menos infinito
	Critério de comparação
	 limxa f(x)= e sequências.
	Limites de funções em espaços métricos
	Stolz-Cesàro para limite de funções