Apol 3 Algebra Linear Nota 80

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APOL 3 – Álgebra Linear – NOTA 80. 
Questão 1/10 
Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço 
vetorial. 
 A De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em 
seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada 
genericamente. 
 B De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, 
deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente. 
 C De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em 
seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser 
realizada genericamente. 
 D 1. De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em 
seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve 
ser realizada globalmente. 
 
Questão 2/10 
Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} , depois assinale 
a alternativa correta: 
( ) A é linearmente dependente. 
( ) A gera todo o espaço R². 
( ) A é uma base de R². 
( ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A. 
 A V F F F 
 B V F V V 
 
 
 C V V F F 
 
 
 D F F V V 
Questão 3/10 
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um 
espaço vetorial: 
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0) 
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta: 
 A R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende 
ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. 
 B R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende 
ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo. 
 C R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois 
não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não-nulo. 
 D R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois 
não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. 
Questão 4/10 
Dados os sistemas de equações lineares S1 e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale 
a alternativa correta: 
 
 
 
( ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³. 
( ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³. 
( ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo. 
( ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo. 
 A V F V F 
 B V V F F 
 
 
 C F V F V 
 
 
 D F F V V 
Questão 5/10 
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial: 
 A O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço vetorial do 
conjunto de todas as matrizes reais de “m” linhas e “1” coluna, Mmx1, sendo “m” um número inteiro maior do 
que 2. 
 B O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real. 
 
 
 C O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os 
polinômios reais de grau 4. 
 
 
 D O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer 
do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3. 
Questão 6/10 
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta: 
 
 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser 
entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x. 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode 
ser entendida como: 
( ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4). 
 A V F V 
 B F F V 
 
 
 C V V F 
 
 
 D V V V 
Questão 7/10 
Dada a expressão c1.u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta: 
 
a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v. 
 
b) Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v. 
 
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira. 
 A Nenhuma das afirmativas acima está correta. 
 B Somente a afirmativa “a” acima está correta. 
 C Somente as afirmativas “a e c” acima estão corretas. 
 
 
 D Todas as afirmativas acima estão corretas. 
Questão 8/10 
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1.(1,2)+ c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em 
relação as soluções. 
 A Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial. 
 B Sistema Impossível. 
 
 
 C Sistema Possível e Determinado. 
 
 
 D Sistema Possível e Indeterminado. 
Questão 9/10 
Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada: 
 A Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R². 
 B Dado S = {(1,2);(2,4)} tem-se ger(S) = R². 
 
 
 C Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem-se ger(S) = R³. 
 
 
 D Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem-se ger(S) = R³. 
Questão 10/10 
Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta: 
 A A = {(1,2)} é linearmente dependente. 
 B B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente. 
 C C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente. 
 
 
 D D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente dependente.