Lista 1 .

Prévia do material em texto

1) Uma indústria de calçados fabrica um certo tipo de sandálias de couro. Após observação, por parte do
departamento de vendas, conclui-se que o lucro de produção de x unidades deste produto é descrito
pela função f(x)= -6(x + 3)(x - 67). Para que a fábrica obtenha lucro máximo nas vendas das sandálias,
podemos afirmar que o total unidades a ser vendido deve ser igual a
213 unidades
185 unidades
169 unidades
210
156
2) Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y2 e y = x-2
4/3
9/2
19/6
0
25
3) Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento x de sua
aresta é igual a:
A área da superfície do cubo
A metade da área da superfície do cubo
A área do quadrado de lado x
A área do triânculo equilátero de lado x
A área da circunferência de raio x
4) Qual a interpretação geométrica para derivada em um ponto onde x = x0?
é a reta tangente no ponto onde x = x0
é a inclinação da reta tangente no ponto onde x = x0
é a tangente no ponto onde x = x0
é um ponto que tem reta tangente igual a x0
é o próprio ponto onde x = x0 que calculamos a derivada através de uma regra
5) Se f(x) = x2 e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ).
2
3
4
5
0
6) Ache a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2 , com x > 0
√ 2⁄
x/2
x1/2
x
x/2
7) Suponha que as equações do movimento de um avião de papel durante os 10 primeiros segundos de
vôo são: = − 3 e = 4 − 3 cos (0 ≤ ≤ 10). Quais são os pontos mais alto e mais baixo
de sua trajetória e quando o avião atinge essas posições?
Maximo y = 7 nos instantes t = Pi e t = 3Pi
Minimo y = 1 nos instantes t = 0 e t = 2Pi
Maximo y = 1 nos instantes t = Pi e t = 3Pi
Minimo y = 7 nos instantes t = 0 e t = 2Pi
Maximo y = 70 nos instantes t = Pi e t = 3Pi
Minimo y = 10 nos instantes t = 0 e t = 2Pi
Maximo y = 7 nos instantes t = 0 e t = 3Pi
Minimo y = 1 nos instantes t = 0 e t = Pi
Maximo y = 7 nos instantes t = Pi e t = Pi
Minimo y = 0 nos instantes t = 0 e t = Pi
8) Encontre a área entre a curva y = 1 - x2 e o intervalo [0, 2] no eixo x.
2
1
10
-2/3
0
9) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.
retângulo de lados x = 10 e y = 12
retângulo de lados x = 10 e y = 20
x= 25 e y = 25
retângulo de lados x = 15 e y = 12
retângulo de lados x = 12 e y = 13
10) Calcule a integral indefinida: ∫ ²
t-2 -2t +C
t-2 +2t + C
t-1 +2t
t-1 +2t2 + C
t-1 -2t + C
11) Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t a
população é dada por P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t2). Podemos então afirmar que a taxa de crescimento
da população quando P = 200 é dada por:
30 tâmias por mês
40 tâmias por mês
50 tâmias por mês
60 tâmias por mês
70 tâmias por mês
12) Um teatro cobra na apresentação de uma peça, p reais por ingresso. O preço do ingresso relaciona-se
com o número x de frequentadores por apresentação pela fórmula,
p(x) = 100 - 0,5 x
podemos então afirmar que a receita máxima possível em Reais, por apresentação, é dada por:
5800
5 200
5000
5400
5600
13) Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa
constante. A bola começa a derreter quando t= 0 hora e leva 12 horas para desaparecer. A taxa de
variação do volume da bola quando t = 6 horas é dada por:
- 120 π cm3/s
-130 π cm3/s
- 144 π cm3/s
-156 π cm3/s
-160 π cm3/s
14) Calcule a integral indefinida: ∫ √− ( − 2) +− − 2 +− − 2− √ − 2 +− ( − 2) − 1 +
15) Calcule a integral: ∫ 5
2
0
16
10
-10
16) Ache a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2(1 2) ⁄⁄
0
1
x
1/2
17) Considere a função f(x) = x4 - 4x3 e marque a alternativa correta
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de máximo e mínimo da função,
respectivamente.
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de mínimo e máximo da função,
respectivamente.
f'(3) = 0 e quando x = 3 ocorre o ponto de máximo da função.
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem pontos de inflexão e de mínimo da função,
respectivamente
f'(0) = 0 e quando x = 0 ocorre o ponto de mínimo da função.
18) A derivada da função f (θ) = tg-1(θ²) é a função
( ) = 2²( )( ) = 12 ²( )( ) = 21 +( ) = 2 ²(( ) = ²(2 )
19) O cálculo da integral definida ∫ 2 ² 1 + ³ tem como resultado
892
22
1692
238
328
20) O traçado de uma estrada tem um trecho em curva que une dois pontos de coordenadas A( 0 , 0
) e B( 2 , 1 ). A curva é determinada por = . Encontre o comprimento deste trecho da
estrada.
Obs.: Utilize, se necessário, os valores arredondados com duas casas decimais para o caso de números
irracionais e dízimas periódicas tais como: 10=3,16; π=3,14; 5=2,24 ; 13 = 1,33 , entre outros.
2,34 u.c.
2,27 u.c.
3,16 u.c.
3,14 u.c.
2,24 u.c.
21)
22) O proprietário de um estacionamento de veículos verificou que o preço por dia de estacionamento
está relacionado com o número de carros que estacionam por dia pela expressão 10 p + 3x = 300.
Sabendo que p é o preço por dia de estacionamento e x é o número de veículos que estacionam por
dia podemos afirmar que a receita máxima obtida no dia é de
R$ 480,00
R$ 630,00
R$ 750,00
R$ 720,00
R$ 810,00
23) Encontre a área da região entre as funcões y = x2 e y = 2x - x2
1
10
1/3
5/4
3/2
24) A Diferenciação Logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de produtos, de
quocientes e de potências, cuja resolução pela Regra da Cadeia poderia ser exaustiva.
Entretanto, para que a técnica seja eficiente é necessário aplicarmos as propriedades dos logaritmos e
explicitarmos y' em função de x. Assim sendo, a derivada de f(x) = xln x é dada por
( ) = 2 ln( ) = 1 ln( ) = 12 ln( ) = (ln )′ = 1/( ) = (ln )′ = (ln )² = 2 ln 1
25) Conhecendo as derivadas das funções f e g , podemos usá-las para encontrar a derivada da
composição fog , através de um teorema denominado
Regra de L'Hôpital
Regra da Cadeia
Teorema Fundamental do Cálculo
Derivação Implícita
Teorema do Valor Médio
26) Calcule as inclinações da curva y 2 - x + 1 = 0 nos pontos A ( 2, -1 ) e B ( 2 , 1 ), respectivamente.
mA = 2 e mB = -2
mA = mB = 12
mA = mB = -12
mA = 12 e mB = -12
mA = -12 e mB = 12
27) Calcule a área compreendida pelas funções f(x) = x4 e g(x) = x.
1/10
10
5
3/10
3
28) Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da
escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão rápido o topo da escada está
escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da parede?
-3/4 m/seg
2 m/seg
- 3 m/seg
4 m/seg
- 4 m/seg
29) Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão
o custo do metal para produzir a lata.
raio = 500 cm e altura = diâmetro da lata
raio = (500/Pi)1/3 cm e altura = diâmetro da lata
raio = 500 Pi cm e altura = diâmetro da lata
raio = 500/Pi cm e altura = raio da lata
raio = 250 cm e altura = raio da lata
30) Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e.
1/2
1/4
1/8
2
ln 2
31) Uma cisterna (reservatório inferior de água) tem a forma de um cone circular reto invertido com base
de diâmetro 4m e altura igual a 4m. Se a cisterna está sendo abastecida de água a uma vazão (taxa)
de 2m3 /min, encontre a taxa na qual o nível de água está elevando quando este está a 1m da borda
da cisterna.
Obs.: Da geometria espacial sabemos que Vc = 13πr2h, sendo Vc = volume do cone, r = raio da
base e h = altura do cone
==ℎ = 23ℎ = 89ℎ = 43
32) A Regra da Cadeia para derivação de função composta nos permite que, conhecendo as derivadas de
duas funções f e g, podemos utilizá-las para encontrar a derivada da função composta fog. Se a função
g for diferenciável no ponto x e a função f fordiferenciável no ponto g(x), então a função composta
fog é diferenciável no ponto x. Além disso, se f e g forem diferenciáveis e f og for a função composta
definida por f (g(x)) então esta composta é diferenciável e é dada pelo produto f´(g(x))g´(x). A partir
deste conceito de regra da cadeia, determine a derivada da função composta y=2x+1
12x+1
2x+1
122
122x+1
22x+1
33) Se x2 + y2 = 25, encontre dy/dx
x/y
-x/y
2x/y
y/x
3x/y
34) Encontre derivada da função f (x) = tgh-1(sen x)
sen x
cos x
tg x
sec x
cossec x
35) Encontre a derivada da função g (x) = x + 2.sen x
cos x
tg x - 2
1 + 2.cos x
sen 2x
tg x
36) Encontre a área sob a curva y = ex compreendida entre as retas x = 1 e x = 3
e
1 - e
e3 - e
2e
2
37) As funções y = 5x - x2 e y = x formam uma região no primeiro quadrante. Quais os limites de integração
compreendidos no eixo x para o cálculo da área
x = 1 a x = 5
x = 1 a x = 2
x = 0 a x = 4
x = 0 a x = 6
x = 1 a x = 4
38) Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml de modo que o
material gasto na confecção da lata seja mínimo. Dado 1 ml = 1 cm3.
= 175
= 200
= 175
= 1753
= 175
39) Discursiva: Calcule a integral:∫ √
40) Discursiva: Encontre sabendo que . ² − ln =
41) A figura abaixo é conhecida como cardioide, devido a sua aparência com um coração. Sabendo que
sua expressão e seu gráfico são dados abaixo. Encontre a equação da reta tangente á curva no ponto
(0, ½).
43) A curva abaixo é conhecida como bruxa de Agnesi. Seu gráfico e sua expressão estão representados
abaixo. Encontre a equação da reta tangente ao ponto (2, 1).
44) A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as
coordenadas do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de
integração. A forma canônica conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do
vértice. Portanto, aplicando a técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da
parábola: f(x) = x² - 2x + 1
xv = 1 e yv = 1
xv = - 1 e yv = 1
xv = - 1 e yv = - 1
xv = 1 e yv = 0
xv = 1 e yv = - 2
45) Considere a funçãof(x)=x3+4⋅x2-5. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto
de abcissa x=-1.
5y+2x+9=0
y+5x+7=0
5y-x+1=0
y+5x-3=0
5y-x+9=0
46) Encontre a integral indefinida de ∫ ( ). cos( )
³( )3 +³( )+³( )3 +³( )3 +³( )3 +
47) Considere a função f(x)=x² cujo gráfico está abaixo. Determine a equação da reta tangente ao gráfico
de f , no ponto P(2, 4).
y=4x-4
y=4x
y=-4
y=-4x+4
y=4x+4
48) Considere um triângulo T cujos lados são o eixo dos x, a reta x=1 e a reta r tangente ao gráfico de y= x²
no ponto de abscissa x=a.
Determine a de forma que o triângulo T tenha a maior área possível.
a=2
a=4
a=1
a=12
a=13
49) A derivada do produto de duas funções pode ser calculada pela fórmula: (UV)' = UV' + U'V.
Sejam U = sec(2x) e V = tg(3x). Calcule a derivada do produto dessas duas funções.
sec(2x)tg(3x) + tg(2x)sec(3x)
2sec(2x)tg(2x)tg(3x) + 3sec(2x)sec²(3x)
2sec(3x)tg(3x)tg(2x) + 3sec(3x)tg²(2x)
3sec(3x)tg²(2x) + tg(2x)sec(3x)
2sec(3x)tg(3x)tg(2x) + tg(2x)sec(3x)
50) Considere a função ( ) = √ . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado
abaixo, no ponto P( 4,2).
y=(14)x+1
y=x+(14)
y=(14)x
y=(14)x+7
y=4x+(12)
51) A equação horária de um móvel é y = t3 + 2t, onde a altura y é dada em metros e o tempo t é dado em
segundos. A equação da velocidade deste móvel será:
v(t)=3t2+2
v(t)=3t+2
v(t)=3
v(t)=t2+2
v(t)=2t2+3
52) A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as
coordenadas do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de
integração. A forma canônica conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do
vértice. Portanto, aplicando a técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da
parábola: f(x) = 2x - x².
xv = -1 e yv = -1
xv = 2 e yv = - 2
xv = 1 e yv = 1
xv = 2 e yv = - 3
xv = - 3 e yv = - 2
53) Seja f(x) = ex.sen(2x). Calcule a derivada de f(x) no ponto onde x = 0.
0
- 1
2
- 2
1
54) Na indústria automobilística, observou-se que a procura de uma determinada marca é de
(510000+4⋅p2)unidades, desde que ela seja vendida a um preço de p milhares de reais por unidade.
Que preço maximiza o rendimento desse automóvel ?
20.000 reais
30.000 reais
40.000 reais
50.000 reais
10.000 reais
55) Um problema típico do Cálculo é a determinação da equação da reta tangente a uma função dada.
Assim, determine a equação da reta tangente à função y = x2 + 1, no ponto onde x = 1.
y = 2x + 5
y = x + 1
y = 2x - 3
y = 2x
y = x - 3
56) Supondo que uma função f tenha derivada contínua para a≤x≤b então o comprimento da parte do
gráfico y=f(x) para a≤x≤b é ∫ab1+[f'(x)]2dx
Calcule o comprimento do gráfico de y=2⋅(x2+13)32 de x=1 até x=2.
7
10
13
14
15
57) Considere as funções f(x) = lnx/ex e g(x) = ( ln x )3. Calcule a derivada da soma f(x) + g(x) no ponto x =
1.
1
4/e
1/e
e
0
58) Buscar um sonho exige muito trabalho: mental, emocional e físico. Por vezes não é o que se deseja
fazer, mas para alcançar sonhos precisa-se fazer muitas coisas que não se tem vontade de fazer.
Assim num programa de televisão " Em busca de um sonho " um candidato à aquisição de sua casa
própria chegou a última etapa na qual deveria responder a questão:
"Sua casa terá um jardim em forma de um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa igual à 4m.
Calcule o valor máximo que pode alcançar a soma do triplo de um cateto com o outro cateto."
O candidato conseguiu alcançar o seu sonho, porque encontrou o valor ...
105
210
5
3⋅105
2⋅105
59) Determine a área, em função de a, de um triângulo T cujos lados são o eixo dos x , a reta x=1 e a reta r
tangente ao gráfico de = ² no ponto de abcissa x=a.
a3+a2+a4
a34 + a2 + a
4⋅a - a32
4 -2⋅a -2⋅a2+a32
a34-a2- a2
60) Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2?
4/3
1/3
10/3
8/3
8
61) Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por
f(x) = x3 - 3x?
62) Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 40m/s, num local em que g = 10
m/s2, tem posição s em função do tempo t dada pela função horária s(t) = 40t - 5t2 com t pertencente
ao intervalo [0, 8]. Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima em relação ao solo?
5 seg
2 seg
8 seg
3 seg
4 seg
63) Considere a função f(x)=x+lnx definida no domínio D = {x∈R|x>0}. Seja g a função inversa de f.
Utilizando a Regra da Cadeia, encontre g'(x)
g'(x)=g(x)/(g(x)-1)
g'(x)=(g(x)+1)/g(x)
g'(x)=1/g(x)
g'(x)=g(x)/(g(x)+1)
g'(x)=x.g(x)/(1+x)
64) Sabendo-se que a variável y é uma função da variável x, considere a função implícita de x descrita pela
expressão a seguir
x3+y3=6⋅x⋅y
Pode-se então afirmar que o valor da derivada de y em relação a x é dada por
y'(x)=x2-2⋅y2⋅x-y2
y'(x)=x2-2⋅y-2⋅x +y2
y'(x)=x2 + 2⋅y2⋅x-y2
y'(x)=2x2-2⋅y2⋅x-y2
y'(x)=x2-2⋅y2⋅x-2y2
Considere f a função definida pelo gráfico abaixo.
Encontre o valor de a+b+c+d sabendo que as retas
r: y = ax + b e s : y = cx + d são paralelas e tangentes ao gráfico de f e que f'(1) = 1/2
(Lembrete: a e c : coeficientes angulares
b e d : coeficientes lineares das retas r e s, respectivamente).
1
2
3
-3
-2
Para resolver uma integral pelo método de integração por partes deve-se aplicar a fórmula a seguir
∫f.g'=f.g-∫g.f'
Considerando que ∫g.f' deve ser mais simples que ∫f.g', pode-se afirmar que a melhor forma de aplicar o
método para calcular
∫x2.ln(x)dx
é considerar
f = x2 e g' = ln(x)
f = x e g ' = x. ln(x)
f = x2 . ln (x) e g ' = 1
f = ln (x) e g ' = x2
f = 1 e g' = x2. ln(x)
Seja m um númeropositivo. Considere a integral definida dada a seguir
∫1mxdx=32
Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se m for igual a:
1
4
1/2
3
2
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um
ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo
total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é
definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir
calculadoras é dado por C(x)=0,0001x3-0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras
produzidas. Determine a função custo marginal.
C´(x)=0,0003x2-0,16x+40
C´(x)=0,0003x2-0,16x
C´(x)=0,0003x2-0,16x+5040
C´(x)=0,0003x-0,16
C´(x)=0,0003x3-0,16x2+40x
Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x)
por uma pequena variação de x. Assim, se C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto,
então o Custo Marginal, quando q =q1, é dada por C´(q1), caso exista. A função C´ é chamada Função Custo
Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional.
Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x2+10x+3, podemos
afirmar que a função custo marginal será expressa por:
C´(x)= 10x+10
C´(x)= 5x
C´(x)=5x+10
C´(x)=10x+3
C´(x)=10x
Uma noção intuitiva para determinar o que é comprimento de uma curva seria o de colocar um barbante
sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. Se f´ for continua em [a,b], então o comprimento da
curva y=f(x),a≤x≤b é L=∫ab1+[f´(x)]2dx. Calcule o comprimento da curva y=2-3x,-2≤x≤1
310
10
210
3210
2310
Calcule a área da região do plano limitada pelos gráficos das funções :
y=x ; y=2 e y=1x.
72-2⋅2
3524
1
2
2
Seja f(x)= lnxx.
Determine as equações:
• da reta r tangente ao gráfico de f em x = e
• da reta s normal ao gráfico de f em x = 1
r: y=e
s: y=1 -x
r: y=1e
s: y=1 +x
r: y=e
s: y=1-x
r: y=1e
s: y=1 -x
r: y=e
s: y=1x
Considere duas funções f e g tais que g(x) = f(x2-3⋅x+2) Sabendo-se que a equação da reta tangente ao
gráfico de f em x = 2 é y=3x - 2 ,determine a equação da reta r, tangente ao gráfico de g em x = 0.
y=4 -9x
y=2x+1
y=3x -6
y=4+3x
y=6+4x
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Denomina-se Wronskiano o determinante dessa matriz quadrada formada pelas funções na primeira
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima
derivadas das funções na n-ésima linha.O nome desse determinante deve-se ao matemático polonês Josef
Wronski e é especialmente aplicado no estudo de equações diferenciais.
Sejam as funções: f(x)= e2⋅x ;
g(x)=senx e
h(x)= x2+3⋅x+1
Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0.
1
-1
2
-2
7
Qual o valor da integral indefinida da função e5x ?
e + C
(1/5).e5x + C
x + C
e5x + C
ex + C
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo
fechado [-1/2, 4]
máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5
máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3
máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3
máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3
máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1
Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x).
3/2
0
1 e 4
0 e 4
3/2 e 0
A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no
ponto (3, 3).
x + y = 6
x - y = 6
2x + y = 7
2x + y = 6
-x + 2y = 6
A posição de uma partícula é dada pela equação s(t) = t3 - 6t2 + 9t. Encontre a distância total percorrida pela
partícula durante os primeiros cinco segundos.
25 m
40 m
20 m
28 m
35 m
Considere as afirmativas abaixo sendo f uma função derivável e x=c um ponto interior ao domínio de f .
(i) Se f'(c) = 0 ou f'(c) não existe então f possui um ponto crítico quando x=c
(ii) Se f'(c) = 0 e f''(c)<0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) =
0 e f''(c)>0 então f possui um máximo local quando x=c
(iii) Se f'(c) = 0 e f''(c)>0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) =
0 e f''(c)<0 então f possui um máximo local quando x=c
(iv) Se f'(c) = 0 e f''(c)= 0 nada se conclui a priori
(i), (iii) e (iv) são verdadeiras; (ii) é falsa.
(i), (ii) e (iv) são verdadeiras; (iii) é falsa.
(i) e (iv) são verdadeiras; (ii) e (iii) são falsas.
(i) é verdadeira; (ii) , (iii) e (iv) são falsas.
(i) e (iii) são verdadeiras; (ii) e (iv) são falsas.
Considere a integral I = ∫03dxx-1 e as afirmativas abaixo:
(i) I é uma integral imprópria divergente
(ii) I é uma integral imprópria convergente para L= ln2
(iii) I é uma integral definida, sendo I = ln2
(i) é verdadeira, (ii) e (iii) são falsas
(i) é falsa, (ii) e (iii) são verdadeiras
(iii) é verdadeira, (i) e (ii) são falsas
(i) e (iii) são verdadeiras, (ii) é falsa.
(ii) é verdadeira, (i) e (iii) são falsas
Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixes em cativeiro de base retangular que
está na margem de um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados do criadouro, não sendo
necessário colocar rede ao longo desta margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área possível.
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular do criadouro que satisfaz a condição acima.
30mx60m, sendo utilizados 30m da margem do rio como um lados do criadouro.
30mx60m, sendo utilizados 60m da margem do rio como um lados do criadouro.
30mx60m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro.
20mx50m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro.
35mx50m, sendo utilizados 50m da margem do rio como um lados do criadouro.
Pergunta
-cossec(x) + C
-cossec(x)
cos(x) + C
sen(x) + C
-cotg(x) + C
Pergunta
1
0
-1/2
(-3.41/3-3)/4
x+1
A integral indefinida ∫ 8xdx9+4x2 tem sua solução através da utilização de uma sustituição para reduzí-la à
forma padrão.
Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução desta integral
∫ un du = un+1n+1 + C
∫ dua2+u2 = arc senh (ua) + C
∫ dua2 -u2 = arc sen (ua) + C
∫duu = un+1n+1 + C
∫ dua2+u2 = 1aarc tg (ua) + C
A integral indefinida ∫ ( ) tem sua solução através da utilização de uma substituição para reduzí-la à
forma padrão.
Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução
∫secu du=ln|secu+tg u|+C
∫cosu du=senu + C
∫duu =ln|u|+C= + 1 +
∫ cosec u du= -ln|cosec u+cotg u|+C
A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva y = 2x2 + 3. Podemos, então, afirmar que a
equação da reta (r) é dada por:
y= 8x
y = 8x + 1
y = -8x + 1
y = 8x - 5
y = 8x + 5
O coeficiente angular da reta tangente à curva y = x1-x no ponto ( 0, 0) é dado por
m = y2-y1x2-x1 , sendo ( x1 , y1 ) = ( 0 , 0 ) e ( x2 , y2 ) = ( 2 , -2 )
f'(0)= 1
f'(0)= 0
m = -2
f'(0)= -1
Em trabalhos científicos, as informações numéricas são resumidas calculando-se algum tipo de média ou valor
médio dos dados observados. A mais comum é a Média Aritmética de um número finito de dados, porém, este
conceito pode ser ampliado para calcular a de todos os valores de f(x quando x varia em um intervalo [ a , b
] pelo Teorema do Valor Médio para Integrais:
Se f for contínua em [ a , b ] , então o valor médio de f em [ a , b ]é definido por fm = 1b-a∫abf(x)dx
Desse modo, se a distribuição da temperatura T de um objeto, exposto a uma fonte calor durante o período
de tempo t, foi aproximada pela função f(x)=x sendo 1≤t≤4, então oinstante t em que o objeto atinge a
temperatura média no intervalo de tempo dado é:
t=149
t=19681
t=169
t=9
t=2,5
Escreva a equação da reta tangente à parábola y = x2 - x no ponto P(2, 2)
y = 3x - 4
y = 3x + 4
y = -3x - 4
y = -3x + 4
y = 2x - 4
Determinando a derivada da função f(x)=x2senx3, obtemos:
2xsenx3+3x4cosx3
2xcosx3
6x3cosx3
2xsenx3cosx3
2x cos3x2
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido
resultante.
2/15
1/15
2Pi/15
Pi/15
15
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 e x = 0 ao redor do eixo y.
96Pi/5
10Pi/5
2Pi/5
Pi/5
1/5
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/seg.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
25 Pi cm/seg
(25Pi)-1 cm/seg
10 Pi cm/seg
- 30 Pi cm/seg
Pi cm/seg
Encontre a derivada da função f(x) = x1/2, utilizando o conceito de limite.
x
(1/2)x-1/2
1/2
1/2x1/2
0
Encontre dy/dx para sen(y/x)
cos(y/x)[(dy.x/dx)-y]
dy/dx + sen(x)
cos(x)-sen(x/2)
dy/dx +sen(cos(x))
Um fabricante de móveis em madeira produz pés de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que
serão torneados por uma serra de fita que segue o traçado de uma curva determinada por y = x , de
x=1 até x=4 .
Os pés de apoio são obtidos quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x. Encontre o
volume V de cada pé de apoio produzido por este método.
V = 15 π2 u.v.
V = 15 u.v.
V = 3 π2 u.v.
V = 2π u.v.
V = 152 u.v.
Considere f uma função contínua em [a , b] e diferenciável em (a , b) .
Se f'' (x) > 0 para todo x em (a , b) então
f é crescente em [a , b]
f é decrescente em [a , b]
f é constante em [a , b]
f é crescente em (a , b), nada podendo-se afirmar sobre o comportamento da função nos
extremos x=a e x=b
f é decrescente em (a , b), nada podendo-se afirmar sobre o comportamento da função nos
extremos x=a e x=b
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece duas relações básicas entre as integrais definida e indefinida,
através da diferenciação e integração.
Uma parte deste teorema tem como interpretação geométrica o cálculo de áreas, enquanto a outra parte
fornece um método para o cáculo de integrais definidas diretamente a partir de primitivas. Esta segunda parte
pode ser enunciada na forma:
Se f for contínua em [a , b] e se F for uma primitiva de f em [a , b] , então
∫ f(x)dx=F(x)+C
∫ab f(x)dx=F(a)-F(b)
∫ab f(x)dx=F(b)-F(a)
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx sendo c um ponto interior de [a , b]
∫abf(x)dx= f(c)(b - a) sendo c um ponto interior de [a , b]
Um tanque com tampa em forma de cilindro tem um volume de 250 m3 . Se o raio da base do cilindro é r
,pergunta-se qual é a altura h desse tanque para que seja mínima sua área total .
(Lembrete: Volume do cilindro V = π.r2.h
Área total = 2π.r2+2πr.h)
h = 10π
h = 5π3
h = 5π3
h = 10π3
h =5π
Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em relação a x é igual a zero,
isto é, f '(x) = 0. Considerando a função
y=x+1x
é possível afirmar que
O único ponto de tangente horizontal ao gráfico da função possui coordenadas iguais a (1, 2).
O único ponto de tangente horizontal ao gráfico da função possui coordenadas iguais a (-1, -2).
Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-1, -2).
Existem três pontos de tangente horizontal ao gráfico da função.
O gráfico da função não possui pontos de tangente horizontal
Sabendo que f é uma função definida pelo gráfico abaixo tal que f' (-2) = 3/5 e f (3) = 8/5 e r é uma reta
tangente ao gráfico de f em x = -2 e x = 3, determine f' (3)/f (-2)
7/3
-3/7
3/5
-3/5
1
Escreva a equação para reta tangente à parábola y = x2- x, no ponto P(2, 2).
3x - 4
- 3x - 4
- 3x + 4
3x + 4
3x
Sejam u e v funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação:
[uv]'=v.u'-u.v'v2 e [e u ]' = e u . u'
Seja a função
y=ex / (1 + e x ).
Utilizando as regras estabelecidas pode-se afirmar que a derivada de y em relação a variável x no ponto x = 0 é
igual a
y'(0) = 1
y'(0) = 1/2
y'(0) = 1/4
y'(0) = 0
y'(0) = 2/3
Você faz parte da equipe de planejamento de vendas. Suponha que a receita de venda de uma mercadoria seja
dada por meio de uma função r(t) = -t2/100 + 8t + 200, na qual t é o tempo medido em meses. Quanto se
arrecadou após 2 anos?
R$ 50.257,92
R$ 40.257,92
R$ 30.257,92
R$ 70.257,92
R$ 60.257,92
Calcule a derivada da função f(x) = 5x10 - 3x8 + x4.
f(x)=50x-24x7 + 4x3
f(x)=50x9 - 24x7 + 4x3
f(x)=50x9 - 24x7 + 4x
f(x)=50x9 - 24x6 + 4x3
f(x)=9x9 - 7x7 + 4x3
Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de
comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo de galinheiro, determine as dimensões
do mesmo para que sua área seja máxima.
x = 3 m e y = 10 m
x = 2 m e y = 12 m
x = 5 m e y = 6 m
x = 4 m e y = 8 m
x = 1 m e y = 14 m
Considere a função f cujo gráfico é dado na figura abaixo.
Sabendo que as retas r e s são tangentes ao gráfico da função f nos pontos
x = -3 e x=1 respectivamente, e que f' (-3) = - 3/2. Determine a equação da reta s
y = 4 x - 4
y = 4,5 x + 4,5
y = 1,5 x - 4
y = - 1,5 x - 4
y = 4,5 x - 4
Encontre a área limitada pela reta y = x - 1 e a curva y2 = 2x + 6
18
10
5
23
21
Qual a área sob a curva f(x) = sen x para o intervalo fechado [-Pi; Pi]?
0
2
4
-2
sen(2)
Sabendo-se que f é uma função da variável x e que ln( f ) representa o logaritmo na base natural da função f,
considere a seguinte regra de derivação:
[ ln(f )]' = ( f '/ f )
Observando a regra estabelecida podemos afirmar que a derivada da função y = ln (x3 + x) em relação a
variável x no ponto x =1 é igual a
y'(1)= 1
y'(1) = 2
y'(1) = 0
y'(1) = - 2
y'(2) = ln 2
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo.
60 e 60
50 e 70
80 e 40
100 e 20
30 e 90
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo.
12 e 8
10 e 10
15 e 5
11 e 9
16 e 4
Sejam f e g funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação:
(fg)'=g.f'-f.g'g2 e (fn)'=n.fn-1.f'
Utilizando as regras de derivação dadas podemos afirmar que a derivada em relação a x da função
y=[x1+ x2 ]5/3
calculada no ponto x = 1 é dada por
y'(1) = 0
y'(1) = 1
y'(1) = 5/3
y'(1) = -1
y'(1) = 1/3