Derivada

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Capítulo 3
Derivada
3.1 Retas tangentes e normais
Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente e a reta
normal a uma curva y = f(x) num determinado ponto (a, f(a)) da curva. Por
isso vamos determinar a equação da reta tangente considerando em primeiro
lugar a sua inclinação dada pelo número derivado de f em a.
3.1.1 Número derivado
Lembramos que se y = mx + n é a equação cartesiana de uma reta, o número
real m representa a inclinação da reta. Ele é dado pela razão incremental ou
taxa de variação
m =
y1 − y2
x1 − x2
onde (xi, yi) são pontos quaisquer da reta.
A técnica para determinar a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto
dado é considerar uma seqüência de retas secantes que se aproximam cada vez
mais da reta tangente.
Seja y = f(x) uma curva definida num intervalo I (ver figura). Fixamos
p(x0, f(x0)) um ponto da curva e escolhemos q um ponto próximo de p. Podemos
escrever q(x0+h, f(x0+h)) considerando |h| a distância entre as abscissas de p
e q (x0 e x0 +h pertencem a I e h pode ser positivo como negativo dependendo
da posição de q). A reta Sp,q que contem os pontos p e q é uma reta secante
a curva, ela corte transversalmente a curva. A inclinação de Sp,q é a razão
incremental
yq − yp
xq − xp =
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
17
3.2. FUNÇÃO DERIVADA 19
3.1.2 Equação da reta tangente
Além da inclinação podemos calcular a equação de Tp dependendo se f
′(x0) é
finito ou não.
Proposição. Seja f uma função e x0 ∈ Df , a equação de Tp a tangente de
y = f(x) ao ponto p(x0, f(x0)) é:
(i) Tp : y − f(x0) = f ′(x0)(x− a) se f ′(x0) é finito;
(ii) Tp : x = x0 se lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= ±∞.
Exercício 3.2. 1. Trace a reta tangente a f(x) = x2 no ponto de abscissa
x0 = 1.
2. Calcúle o número derivado de f(x) = 1 + 3
√
x− 2 em x0 = 2.
3.1.3 Reta normal
A reta normal a uma curva num ponto p a reta perpendicular à reta tangente
que passa por p. Lembramos que se y = mx+ n é a equação cartesiana de uma
reta, m 6= 0, então uma reta perpendicular tem por equação y = − 1
m
x + c. Se
m = 0, uma reta perpendicular teria por equação x = c.
Exercício 3.3. Verifique que a reta perpendicular a y = mx + n no ponto
p0(x0, y0) tem por equação y − y0 = − 1m (x− x0).
Proposição. Seja f uma função derivável em x0, tal que f
′(x0) 6= 0. A reta
normal de f em x0 tem por equação
y − f(a) = − 1
f ′(x0)
(x− x0).
Exemplo. f(x) = x2, a reta normal a f no ponto p(2, 4) tem por equação
y = − 1
4
x+ 9
4
3.2 Função Derivada
Quando uma função f é derivável em cada ponto dum intervalo I ∈ Df , podemos
definir a função f ′ dos números derivados:
f ′ : I → R
x 7→ f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Dizemos que a função f é derivável em I e que f ′ é a derivada de f em relação
a x.
20 CAPÍTULO 3. DERIVADA
Observação. Existe outras notações para a derivada de f em relação a x: dxf ,
Dxf ,
df
dx
...
Além da notação funcional (acima) nós usaremos também a notação diferencial:
df
dx
(x0) = f
′(x0)
Exemplos. Sejam P (x) = 5x2 + 6x− 1 e f(x) = x− 2
x+ 3
, usando diretamente a
definição encontre P ′(x) e f ′(x).
3.3 Regras de derivação
3.3.1 Tabela de derivadas das funções usuais
Função f Função derivada f ′ Intervalo de definição
f(x) = k (constante) f ′(x) = 0 R
f(x) = ax+ b f ′(x) = a R
f(x) =
1
x
f ′(x) = − 1
x2
R∗
f(x) =
√
x f ′(x) =
1
2
√
x
R∗+
f(x) = xn (n ∈ Q) f ′(x) = nxn−1 n ∈ Z: R se n ≥ 0 ; R∗ se n < 0
f(x) = ex f ′(x) = ex R
f(x) = log x f ′(x) = 1
x
R∗+
f(x) = cosx f ′(x) = − senx R
f(x) = senx f ′(x) = cosx R
f(x) = tanx f ′(x) = 1 + tan2 x = 1
cos2 x
R \ {kpi
2
; k ∈ Z}
3.3. REGRAS DE DERIVAÇÃO 21
3.3.2 Derivada de função composta, regra da cadeia
Conhecendo as derivadas de f e g, como podemos usá-las para encontrar a
derivada da composição f ◦ g?
Teorema 3.1. Sejam duas funções deriváveis f e g com g(Dg) ⊂ Df . Então a
função composta f ◦ g é derivável no seu domínio e
(f ◦ g)′(x) = [f ′ ◦ g(x)].g′(x)
En notações diferenciais, se escrevemos u = g(x) e u0 = g(x0) a derivada de
f(u) em relação a x no ponto x0 é dada por
df
dx
(u0) =
df
du
(u0).
du
dx
(x0)
�A derivada de f(u) é a derivada da função externa calculada na função
interna vezes a derivada da função interna.�
Exemplos. 1. Seja f(x) = 4 cos(x3), ache f ′(x). Denotamos u = x3, assim
que y = 4 cosu. Pela regra da cadeia
df
dx
[y] =
dy
du
.
du
dx
=
d
du
[4 cosu].
d
dx
[x3] =
(−4 senu).(3x2) = 12x2 sen(x3)
2. Ache
dw
dt
se w = tanu e u = 4t3+ t. Nesse caso, a regra da cadeia assume
a forma
d
dt
[w] =
dw
du
.
du
dt
=
d
du
[tanu].
d
dt
[4t3+t] = (1+tan2 u).(12t2+1) =
(1 + tan2(4t3 + t)).(12t2 + 1).
3.3.3 Tabela das operações com derivadas
As funções u e v são definidas e deriváveis num intervalo I
Função Derivada Condições
u+ v u′ + v′
ku (k constante) ku′
uv u′v + uv′
1
v
− v
′
v2
v(x) 6= 0 por x ∈ I
u
v
u′v − uv′
v2
v(x) 6= 0 por x ∈ I
un (n ∈ Q) n.un−1.u′ n ∈ Z: u(x) 6= 0 por x ∈ I se n < 0
22 CAPÍTULO 3. DERIVADA
3.4 Aplicações da derivada
3.4.1 Monotonia e derivada
Considerando o sentido geométrico do sinal da função derivada podemos de-
terminar os intervalos onde uma função cresce ou decresce. Temos a seguinte
proposição.
Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no
intervalo ]a, b[.
(i) Se f ′(x) > 0 para todos x ∈]a, b[, então f é crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈]a, b[, então f é decrescente em [a, b].
(iii) Se f ′(x) = 0 para todo x ∈]a, b[, então f é constante em [a, b].
3.4.2 Máximos e mínimos
Definição 3.2. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um
intervalo I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I ∩Df .
Definição 3.3. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um
intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I ∩Df .
Em ambos casos chamamos esses ponto de extremos relativos. Geometrica-
mente vemos que são caracterizados por uma tangente horizontal. Por tanto, o
valor da função derivada dâ uma condição necessária para a existência de um
extremo relativo em c. Temos a seguinte proposição.
Proposição. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ∈]a, b[ e
que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f ′(c) existe, então
f ′(c) = 0.
Observação. Esta condição não é suficiente.
Uma função definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos ex-
tremos relativos. O maior valor da função num intervalo é chamado máximo
absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é chamado
mínimo absoluto.
3.4.3 Concavidade
Embora o sinal da derivada de f revele onde o seu gráfico é crescente ou de-
crescente, ele não revela a direção da curvatura. Esta pode ser caracterizada
em termos da monotonia das inclinações das retas tangentes, ou seja, se f for
derivável, da monotonia da função derivada.
3.4. APLICAÇÕES DA DERIVADA 23
Teorema 3.2. Seja f duas vezes derivável em um intervalo I (f é derivável e
sua função derivada f ′ é derivável em I).
(i) Se f ′′(x) > 0 em I, então f tem concavidade para cima em I.
(ii) Se f ′′(x) < 0 em I, então f tem concavidade para baixo em I.
Conseqüentemente podemos caracterizar os extremos relativos por meio do
sinal da derivada segunda. Com efeito,
Proposição (Teste da derivada segunda). Seja f duas vezes derivável no ponto
critico x0 (f
′(x0) = 0).
(i) Se f ′′(x0) > 0 então x0 é um mínimo relativo.
(ii) Se f ′′(x0) < 0 então x0 é um máximo relativo.
Definição 3.4. Um ponto em que a derivada segunda se anula é chamado de
ponto de inflexão.
Por exemplo, no gráfico de f(x) = x3, temos um pontode inflexão que é
x0 = 0.
Num ponto de inflexão, o teste da derivada segunda não é conclusivo (f pode
ter um máximo ou um mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0 como no caso
da curva acima).