EXTREMOS DE FUNCOES REAIS

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Matemática Essencial
Extremos de funções reais
Departamento de Matemática - UEL - 2010
Ulysses Sodré
http://www.mat.uel.br/matessencial/
Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Conteúdo
1 Introdução aosmáximos emínimos de funções reais 2
2 Pontos especiais 2
3 Teste da segunda derivada paramáximos emínimos 3
4 Funções crescentes e decrescentes 5
5 Método para obter extremos de função em um intervalo 8
6 Teste da primeira derivada paramáximos emínimos 11
7 Aplicações demáximos emínimos 14
‘Toda Escritura é divinamente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, para
corrigir, para instruir em justiça; para que o homem de Deus seja perfeito, e perfeitamente
preparado para toda boa obra.’ A Bíblia Sagrada, II Timóteo 3:16-17
Seção 1 Introdução aosmáximos emínimos de funções reais 2
1 Introdução aosmáximos emínimos de funções reais
Uma aplicação importante do Cálculo é o estudo de máximos e mínimos de
funções, de situações onde a reta tangente ao gráfico é horizontal, isto é,
estudo de pontos em que a derivada se anula. Também existem pontos de
máximo ou de mínimo em pontos onde a derivada não se anula, quando os
pontos estão nas extremidades do intervalo de definição da função.
2 Pontos especiais
Pontos Críticos: Ponto crítico para uma função f = f (x) é um ponto x tal que
f ′(x) = 0 ou um ponto onde a derivada não existe. Se f ′(x) = 0, o gráfico da
função possui uma reta tangente horizontal. Existem quatro situações que
impedem que uma função tenha derivada em um dado ponto:
1. A função não é contínua no ponto x.
Exemplo: A função f (x)= x|x| não é contínua em x = 0.
2. O gráfico de f = f (x) forma um bico no ponto de abscissa x.
Exemplo: A função f (x)= |x| forma um bico em x = 0.
3. O gráfico da função é suave, mas possui uma tangente vertical.
Exemplo: A função f (x)= 3px possui uma reta tangente em x = 0.
4. O gráfico da função possui uma cúspide no ponto de abscissa x.
Exemplo: A função f (x)= 3p|x| possui uma cúspide em x = 0.
Pontos extremos: Uma função f possui um ponto extremo de
1. máximo local em x0 se os valores f (x) para x próximos de x0 sãomenores
que f (x0). O gráfico de f próximo de x0 tem um pico em x0.
2. mínimo local em x0 se os valores f (x) para x próximo de x0 são maiores
que f (x0). O gráfico de f próximo de x0 é semelhante a um vale em x0.
Se o mínimo local é o menor valor de f = f (x) em seu domínio, este mínimo
é denominado mínimo global de f . Se o máximo local é o maior valor de
f = f (x) em seu domínio, este máximo é denominadomáximo global de f .
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Seção 3 Teste da segunda derivada paramáximos emínimos 3
Ao usar a palavra próximo, sempre estamos tratando com distâncias peque-
nas relativas ao problema específico, e as palavras pico ou vale no gráfico
devem representar algo claro para o estudante para não haver dúvidas nas
definições.
Pontos de inflexão: Ponto de inflexão de uma curva y = f (x) é umponto (x, y)
da curva onde f ′′(x) = 0. Neste ponto acontece a mudança de concavidade
(boca) da curva.
Exemplo: A curva y = x3 possui ponto de inflexão quando x = 0, pois
tomando a função f (x) = x3, temos que f ′(x) = 3x2 e f ′′(x) = 6x, logo
f ′′(0) = 0. A parte desta curva desenhada no primeiro quadrante tem
concavidade (boca) voltada para cima e a parte desta curva desenhada no
terceiro quadrante tem concavidade (boca) voltada para baixo.
3 Teste da segunda derivada paramáximos emínimos
Seja f = f (x) uma função que possui a primeira e tambéma segunda derivada
em R. Este teste funciona da seguinte forma:
1. Realizar a primeira derivada e a segunda derivada da função f = f (x).
2. Resolver a equação f ′(x)= 0 para obter os pontos críticos de f = f (x).
3. Construir uma lista com os pontos críticos na forma: {x1,x2, ...,xn}.
4. Calcular os valores { f ′′(x1), f ′′(x2), .., f ′′(xn)}= { f ′′(x j )}nj=1.
5. Se algum f ′′(x j )< 0, então este x j é um ponto demáximo de f = f (x).
6. Se algum f ′′(x j )> 0, então este x j é um ponto demínimo de f = f (x).
Exemplos: Para obter os pontos de máximo ou de mínimo da função:
1. f (x) = 3x2− 6x + 7, obtemos f ′(x) = 6x − 6 e f ′′(x) = 6. Resolvemos a
equação 6x−6= 0 para obter o ponto crítico x1 = 1. Aplicamos a segunda
derivada f ′′ em x1 para obter f ′′(x1)= 6> 0 e garantimos que x1 = 1 é um
ponto demínimo.
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Seção 3 Teste da segunda derivada paramáximos emínimos 4
2. f (x)= x3−12x+3, calculamos f ′(x)= 3x2−12 e f ′′(x)= 6x. Resolvemos
a equação 3x2−12= 0, que pode ser fatorada como (x−2)(x+2)= 0 para
obter dois pontos críticos x1 = −2 e x2 = 2. Aplicamos f ′′ nestes pontos
x1 e x2.
f ′′(x1)= f ′′(−2)= 6(−2)=−12< 0
f ′′(x2)= f ′′(2)= 6(2)= 12> 0
Pelos sinais de f ′′ nos pontos críticos, segue que x1 = −2 é ponto de
máximo e x2 = 2 é um ponto de mínimo para f = f (x).
3. f (x) = x4− 8x2+ 5, calculamos f ′(x) = 4x3− 16x e f ′′(x) = 12x2− 16. A
equação 4x3−16x = 0, que pode ser escrita na forma x(x −2)(x +2) = 0
possui três raízes, que são os pontos críticos x1 = −2, x2 = 0 e x3 = 2.
Aplicamos f ′′ nestes pontos x1, x2 e x3
f ′′(x1)= f ′′(−2)= 12(−2)2−16= 32> 0
f ′′(x2)= f ′′(0)= 12(0)2−16=−16< 0
f ′′(x3)= f ′′(2)= 12(2)2−16= 32> 0
Pelos sinais de f ′′ nos pontos críticos, segue que x1 = −2 e x3 = 2 são
pontos de mínimo, enquanto que x2 = 0 é um ponto de máximo para
f = f (x).
4. f (x)= ax2+bx+c, sendo a 6= 0, cujo gráfico é umaparábola. Calculamos
f ′(x) = 2ax + b e f ′′(x) = 2a. Resolvemos a equação 2ax + b = 0,
para obter o ponto crítico x1 = −b
2a
. Aplicando a derivada segunda
neste ponto, obtemos f ′′(x1) = 2a que pode ser positivo ou negativo,
dependendo do valor de a.
(a) Se a > 0 então f ′′(x1) = 2a > 0 e o ponto x1 é um ponto de mínimo.
A concavidade (boca) da parábola está voltada para cima.
(b) Se a < 0 então f ′′(x1) = 2a < 0 e o ponto x1 é um ponto de máximo.
A concavidade (boca) da parábola está voltada para baixo.
Exercícios:
1. Explicar omotivo pelo qual a função f (x)= 13x3−2x2+13x−17nãopossui
nemmáximo e nemmínimo em R.
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Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 5
2. Mostrar a função f (x)= 3x5−25x3+60x−2 possui os seguintes pontos
críticos: x1 =−2, x2 =−1, x3 = 1 e x4 = 2. Analisar quais deles são pontos
de máximo ou de mínimo.
3. Determinar os pontos de máximo e de mínimo para as funções:
(a) f (x)= x
2−x−1
x2+x+1 (b) f (x)=
(x−1)2
(x+1)3 (c) f (x)=
x2−1
5x2+4x
4 Funções crescentes e decrescentes
Definições:
1. Uma função f = f (x) é crescente quando a variável x se move da
esquerda para a direita, os valores de f (x) aumentam. Neste caso, se
x < y então f (x)≤ f (y), como por exemplo: f (x)= 2x+7
2. Uma função f = f (x) é decrescente quando a variável x se move da
esquerda para a direita, os valores de f (x) diminuem. Neste caso, se
x < y então f (x)≥ f (y), como por exemplo: f (x)=−2x+7
3. Uma função f = f (x) é constante quando a variável x se move da
esquerda para a direita, os valores de f (x) permanecem iguais, isto é,
se x < y então f (x)= f (y), como por exemplo: f (x)= 7
Nota: Existem funções que são crescentes em alguns intervalos e decres-
centes em outros intervalos. Por exemplo, a função f (x)= x2 é crescente para
x > 0 e decrescente para x < 0.
Sinais dos coeficientes angulares: O crescimento oudecrescimento de funções
reais pode ser estudado pelos sinais das Declividades (coeficientes angulares
das tangentes) das funções.
1. Uma função f = f (x) é crescente em um intervalo I1 se as inclinações k
das retas tangentes são positivas sobre este intervalo I1.
Exemplo: f (x)= 5x−3 tem declividade k = 5> 0
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Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 6
2. Uma função f = f (x) é decrescente em um intervalo I2 se as inclinações
k das retas tangentes são negativas sobre este intervalo I2.
Exemplo: f (x)=−5x−3 tem declividade k =−5< 0
3. Uma função f = f (x) é constante em um intervalo I3 se as inclinações k
das retas tangentes são nulas sobre este intervalo I3.
Exemplo: f (x)= 12 tem declividade k = 0
Sinais das derivadas das funções: O crescimento ou decrescimento de
funções reais pode ser estudado pelos sinais das derivadas das funções.
1. Uma função f = f (x) é crescente sobre um intervalo I1 se f ′(x) > 0 para
todo x ∈ I1. Por exemplo: f (x) = x2 é crescente em I1 = (0,∞), pois
f ′(x)= 2x > 0 para todo x ∈ I1
2. Uma função f = f (x) é decrescente sobre um intervalo I2 se f ′(x)< 0 para
todo x ∈ I2. Por exemplo: f (x) = x2 é decrescente em I2 = (−∞,0), pois
f ′(x)= 2x < 0 para todo x ∈ I2
3. Uma função f = f (x) é constante em um intervalo I3 se f ′(x) = 0 para
todo x ∈ I3. Por exemplo: f (x) = 7 é constante em I3 = (−∞,+∞) = R,
pois f ′(x)= 0 para todo x ∈ I3
Não precisamos desenhar o gráfico para saber se uma função é crescente ou
decrescente, mas lembramos que a construção do gráfico fornece uma ótima
ajuda para o estudante.
Os pontos onde o gráfico possui uma reta tangente horizontal, são pontos
onde a derivada da função é igual a zero, locais onde ocorrem pontos de
máximo ou pontos de mínimo da função.
Método para obter intervalos onde a função é crescente ou decrescente:
1. Calculamos a primeira derivada de f .
2. Resolvemos a equação f ′(x)= 0 para obter os pontos críticos de f .
3. Criamos uma lista ordenada {x1,x2, ...,xn} com os pontos críticos.
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Seção 4 Funções crescentes e decrescentes 7
4. Se existem pontos onde a função não é contínua ou não tem derivada,
tais pontos devem ser acrescentados à lista no local próprio, mas lem-
bramos que pontos de descontinuidade ou pontos onde a função não
tem derivada não são pontos críticos.
5. Devemos exibir pontos auxiliares ti intercalados com os pontos da lista
de modo a cobrir toda a reta real com algo da forma:
−∞< t0 < x1 < t1 < x2 < t2 < ...< xn−1 < tn−1 < xn < tn <∞
6. Calculamos a derivada f ′ nos pontos auxiliares ti para concluir:
(a) Se f ′(ti+1) > 0, então f é crescente no intervalo (xi ,xi+1), isto é,
quando os valores x aumentam, os valores de f (x) aumentam.
(b) Se f ′(ti+1) < 0, então f é decrescente no intervalo (xi ,xi+1), isto é,
quando os valores de x aumentam, os valores de f (x) diminuem.
7. Sobre o intervalo (−∞,x1) (primeiro à esquerda), se f ′(t0) > 0 então a
função f é crescente e se f ′(t0)< 0 então a função f é decrescente.
8. Sobre o intervalo (xn,+∞) (último à direita), se f ′(tn)> 0 então a função
f é crescente e se f ′(tn)< 0 então a função f é decrescente.
Existemváriosmétodos para realizar este processo quando estudamos funções
polinomiais de grau baixo ou outras funções simples. Mas, se você consegue
calcular valores de (derivadas de) funções com a sua calculadora, você pode
usar este procedimento com quaisquer funções.
Os pontos auxiliares devem ser timados com cuidado, para que estejam nos
intervalos certos, pois necessitamos apenas de um ponto em cada intervalo
para saber se f ′ é positiva ou negativa no intervalo. Em geral, tomamos
números inteiros ou números fáceis de calcular as derivadas nos pontos
desejados.
É importante construir este processo, mesmo que a pergunta não esteja
diretamente relacionada a pontos críticos, nem se refira a intervalos, ou se
está implícito que temos que obter os pontos críticos e analisar se as funções
crescem ou decrescem nos intervalos entre os pontos críticos.
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Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 8
Exemplos: Obter os pontos críticos e intervalos onde a
1. função f (x)= x2+2x+9 é crescente ou decrescente.
Solução: Derivamos a função f para obter f ′(x) = 2x +2. Resolvemos a
equação 2x +2 = 0 para obter x1 = −1. À esquerda de x1 = −1 usamos o
ponto auxiliar t0 = −2 e à direita usamos o ponto auxiliar t1 = 0. Assim,
f ′(t0) = f ′(−2) = −2 < 0, logo f é decrescente no intervalo (−∞,−1).
Como f ′(t1)= f ′(0)= 2> 0, então f é crescente no intervalo (−1,∞).
2. função f (x)= x3−12x+3 é crescente ou decrescente.
Solução: Derivamos a função f para obter f ′(x)= 3x2−12. Resolvemos
a equação 3x2−12= 0, obtendo x1 =−2 e x2 = 2. À esquerda de x1 =−2
tomamos o ponto t0 = −3, entre x1 = −2 e x2 = 2 tomamos t1 = 0, e à
direita de x2 = 2 escolhemos t2 = 3. Aplicando f ′ nos pontos auxiliares,
obtemos f ′(t0) = f ′(−3) = 27− 12 > 0, logo f é crescente em (−∞,−2).
Como f ′(t1)= f ′(0)=−12< 0, então f é decrescente em (−2,+2), e como
f ′(t2)= f ′(3)= 27−12> 0, f é crescente em (2,∞).
Não do valor exato da derivada em cada ponto auxiliar, basta saber o sinal
da derivada neste ponto. Às vezes os cálculos são tão complicados, que
devem ser evitados e até interrompidos tão logo tenhamos a informação que
a derivada é positiva ou negativa.
Exercício: Obter os pontos críticos e intervalos onde ocorre o crescimento ou
decrescimento de cada função:
(1) f (x)= x2+2x+9 (2) f (x)= 3x2−6x+7 (3) f (x)= x3−12x+3
5 Método para obter extremos de função em um intervalo
1. Calculamos a derivada de f , e resolvemos a equação f ′(x)= 0 para obter
a lista dos pontos críticos de f .
2. Excluímos todos os pontos críticos que estão fora do intervalo [a,b].
3. Anexamos à lista as extremidades a e b do intervalo, e os pontos onde a
função não é contínua ou não tem derivada.
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Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 9
4. Aplicamos a função f em cada ponto da lista, sendo que o maior valor é
o valor máximo de f , e o menor valor é o valor mínimo de f .
Exemplo: Para obter os mínimos e máximos da função f (x) = x4 − 8x2 + 5
sobre o intervalo [−1,3], primeiro, derivamos a função e fazemos a derivada
igual a zero para obter os pontos críticos, isto é:
4x3−16x = 0
Dividimos a equação por 4 para obter x3−4x = 0, fatorando a mesma como:
x(x−2)(x+2)= 0
Os pontos críticos são -2, 0 e 2. Como o intervalo não inclui -2, nós retiramos
este ponto da lista.
Acrescentamos as extremidades do intervalo: -1 e 3 à lista. Dessemodo, a lista
de números que podem ser mínimos ou máximos, é formada por:
{−1,0,2,3}
Aplicando a função a estes valores, obtemos (nesta ordem) f (−1)=−2, f (0)=
5, f (2)=−11, f (3)= 14. Logo, f (3)= 14 é o máximo e f (2)=−11 é o mínimo.
Neste exemplo, o máximo não ocorre em um ponto crítico, mas em uma
extremidade do intervalo [a,b].
Exemplo: Temos 200 metros de arame para cercar um jardim retangular com
amaior área possível. Qual devem ser as dimensões do jardim?
Solução: Seja x amedida da largura e y amedida do comprimento do jardim.
A área retangular é dada por A = xy . Como o perímetro é 200 metros,
sabemos que 2x + 2y = 200, e extraindo o valor de y nesta relação obtemos
y = 100− x. Agora, podemos reescrever a função que fornece a área usando
apenas a variável x, na forma:
A(x)= xy = x(100−x)= 100x−x2
A derivada desta função com respeito à variável x é A′(x)= 100−2x. Tomando
a expressão da derivada igual a zero, obtemos
100−2x = 0
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Seção 5 Método para obter extremos de função em um intervalo 10
Figura 1: Parábola associada ao problema do jardim
Resolvendo esta equação, obtemos apenas um ponto crítico x = 50.
Qual é o intervalo que representa o domínio desta função? Quais são as
extremidades deste intervalo? Aqui,vamos considerar x ≥ 0 e y ≥ 0 para
podermos calcular a área. Como y = 100−x, devemos ter que x ≤ 100. Assim,
o intervalo é [0,100].
Calculando a função A(x)= x(100−x) nos pontos 0, 50 e 100, obtemos A(0)=
0, A(50)= 2500, A(50)= 0. Assim, temos y = 100−50= 50, e a área máxima é
A(50)= 50(50)= 2500.
Exercícios:
1. Obter os mínimos e os máximos da função f (x) = 3x4−4x3+5 sobre o
intervalo [−2,3].
2. Obter o valormínimo e o valormáximo da função f (x)= x3+3x+1 sobre
o intervalo [−2,2].
3. Obter os pontos demáximo e demínimo da função f (x)= 2x+3 sobre o
intervalo [3,6].
4. Se x ≥ 1 e y ≥ 1 e x.y = 16, qual é a maior e qual é a menor soma possível
destes números?
5. Se x ≥ 0 e y ≥ 0 e x + y = 12, qual é o maior e qual é o menor produto
soma possível destes números?
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Seção 6 Teste da primeira derivada paramáximos emínimos 11
6 Teste da primeira derivada paramáximos emínimos
Agora estudaremos um método para obter extremos locais de uma função
f sobre um intervalo [a,b], utilizando informações sobre os intervalos de
crescimento e decrescimento da função, ou obter extremos absolutos (globais).
Este processo inicia do mesmo modo que a análise de intervalos de cresci-
mento ou decrescimento, e segue o procedimento para obter extremos (ab-
solutos) de funções.
Processo para obter extremos locais de uma função em um intervalo:
1. Calculamos a derivada de f .
2. Resolvemos a equação f ′(x)= 0 para obter os pontos críticos de f .
3. Geramos a lista com os pontos críticos do intervalo [a,b].
4. Acrescentamos à lista as extremidades a e b e os pontos onde a função
não é contínua ou pontos onde a função não possui derivada). A lista
deve estar ordenada com os pontos do intervalo: {a = x0,x1, ...,xn = b}.
5. Intercalamos pontos auxiliares ti entre os pontos xi da lista, tal que
−∞< t0 < x1 < t1 < x2 < t2 < ...< xn−1 < tn−1 < xn < tn <∞
6. Calculamos a derivada f ′ em todos os pontos auxiliares ti .
7. Para cada ponto crítico xi , existe um ponto auxiliar à sua esquerda e
outro à sua direita: ti < xi < ti+1. Vamos considerar quatro casos:
(a) Se f ′(ti ) > 0 e f ′(ti+1) < 0, então f é crescente à esquerda de xi , f é
decrescente à direita de xi , e f possui ummáximo local em xi .
(b) Se f ′(ti )< 0 e f ′(ti+1)> 0, então f é decrescente à esquerda de xi , f
é crescente à direita de xi , e f possui ummínimo local em xi .
(c) Se f ′(ti ) < 0 e f ′(ti+1) < 0, então f é decrescente à esquerda de xi e
também decrescente à direita de xi , então f não tem nem máximo
local máximo nemmínimo local em xi .
(d) Se f ′(ti ) > 0 e f ′(ti+1) > 0, então f é crescente à esquerda de xi e
também crescente à direita de xi , então f não possui nem máximo
local nemmínimo local em xi .
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Seção 6 Teste da primeira derivada paramáximos emínimos 12
As extremidades do (intervalo) domínio de definição da função, exigem um
tratamento separado: Existe um ponto auxiliar t1 à direita da extremidade a,
e um ponto auxiliar tn à esquerda da extremidade b:
1. Na extremidade esquerda a, se f ′(t1)< 0 então f ′ é decrescente à direita
de a, assim, a é ummáximo local.
2. Na extremidade esquerda a, se f ′(t0)> 0 então f ′ é crescente à direita de
a, assim, a é ummínimo local.
3. Na extremidade direita b, se f ′(tn)< 0 então f ′ é decrescente à esquerda
de b, logo b é ummínimo local.
4. Na extremidade direita b, se f ′(tn)> 0 então f ′ é crescente à esquerda de
b, logo b é ummáximo local.
Se houver confusão ao usar a lista, ela deve desaparecer após o seu uso.
Já tratamos sobre o cálculo de f ′ em pontos auxiliares entre pontos críticos
para analisar se a função é crescente ou decrescente. Agora vamos aplicar
aquela informação para analisar se existem picos do gráfico, ou vales do
gráfico, ou nada em volta de cada ponto crítico e das extremidades do
intervalo. Isto é, o significado geométrico da derivada ser positiva ou negativa
é facilmente transformada em conclusões sobre máximos e mínimos locais.
Exemplo: Obter os pontos de máximo e mínimo locais (relativos) da função
f (x)= 2x3−9x2+1 sobre o intervalo [a,b]= [−2,2].
Solução: Derivamos a função, resolvemos a equação f ′(x) = 0, para obter
6x2−18x = 0, ou seja, x(x−3)= 0, para obter os pontos críticos: 0 e 3. Como
3 não está no intervalo, nós retiramos o 3 da lista.
Acrescentamos as extremidades do intervalo a =−2 e b = 2 à lista, para obter
a lista ordenada {−2,0,2} de pontos especiais. Usaremos os pontos auxiliares -
1 e 1. Assim, f ′(−1)= 24> 0 e a função é crescente. Temos que f ′(1)=−12< 0
e a função é decrescente.
Assim, como f é crescente à esquerda e f é decrescente à direita de 0, o ponto
0 é ummáximo local. Como f é crescente à direita da extremidade esquerda
a =−2, a extremidade esquerda deve ter ummínimo local.
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Seção 6 Teste da primeira derivada paramáximos emínimos 13
Como f é decrescente à esquerda da extremidade direita b = 2, a extremidade
direita deve ser ummínimo local.
Os processos para obter extremos absolutos e extremos locais são similares,
mas também existem diferenças fundamentais. As únicas relações entre eles
são que, pontos críticos e extremidades (e pontos de descontinuidade, etc.)
fazem um enorme papel em ambas as situações, e que o máximo absoluto
é certamente um máximo local, e da mesma forma, o mínimo absoluto é
certamente ummínimo local.
Por exemplo, apenas aplicar a função nos pontos críticos não indica sobre
quais pontos são extremos locais. Mas, sabendo quais dos pontos críticos são
extremos locais, é apenas um pequeno passo para obter quais são extremos
absolutos: valores ainda devemser aplicados na função! Assim, não confunda
os dois processos!
Desse modo, é fácil criar problemas para obter o valores extremos de uma
função em um intervalo, mas é difícil produzir uma aplicação simples de
extremos locais.
Exercício: Obter todos os máximos e mínimos locais (relativos) da função
1. f (x)= (x+1)3−3(x+1) sobre o intervalo [−2,1].
2. f (x)= (x+1)3−3(x+1) sobre o intervalo [−3,2].
3. f (x)= 1−12x+x3 sobre o intervalo [−3,3].
4. f (x)= 3x4−8x3+6x2+17 sobre o intervalo [−3,3].
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Seção 7 Aplicações demáximos emínimos 14
7 Aplicações demáximos emínimos
1. A tabela abaixo indica a concentração y de alumínio (mg/kg) em uma
espécie de planta em função do acúmulo de fósforo x (mg/kg) no solo.
Fósforo (x) 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Alumínio (y) 8.95 4.69 1.73 0.8 0.7 0.9 2.87 6.41 11.25
A curva de ajuste quadrático é y = a+bx+cx2, onde os coeficientes tem
valores aproximados: a = 14.043, b =−0.582 e c = 0.006.
Figura 2: Concentração de alumínio devido ao fósforo no solo
Usando a função de ajuste, obtenha o ponto de menor concentração de
alumínio nesta situação?
2. Se y = ax2+ bx + c é a equação do gráfico de uma função quadrática,
obter os valores a, b e c se f (−1) = 12, f (0) = 8 e f (1) = 6. Usando a
função obtida, calcular os valores f (2), f (3), f (4) e f (5). Use a derivada
para obter o ponto de máximo ou de mínimo no intervalo [-2,4].
Matemática Essencial - Extremos de funções reais - Ulysses Sodré -Matemática - UEL - 2010
Seção 7 Aplicações demáximos emínimos 15
3. A tabela mostra a densidade volumétrica y do solo (mg/m3) em difer-
entes alturas x (m) do perfil do solo, para um dado tipo de manejo.
x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
y 1.14 1.26 1.31 1.32 1.30 1.27 1.26 1.27 1.33 1.47 1.69
A curva de ajuste cúbico é y = a+bx+cx2+dx3, com coeficientes tendo
valores aproximados: a = 1.1399, b = 3.1625, c =−16.95 e d = 25.657
Figura 3: Densidade volumétricaem função da altura do perfil
(a) Quais são os pontos demáximo edemínimodadensidade volumétrica
se 0< x < 0.5?
(b) Qual é o ponto de inflexão desta curva?
(c) Em quais intervalos há crescimento e decrescimento desta função?
(d) Em quais intervalos, a declividade da curva é positiva ou negativa?
Matemática Essencial - Extremos de funções reais - Ulysses Sodré -Matemática - UEL - 2010
	Introdução aos máximos e mínimos de funções reais
	Pontos especiais
	Teste da segunda derivada para máximos e mínimos
	Funções crescentes e decrescentes
	Método para obter extremos de função em um intervalo
	Teste da primeira derivada para máximos e mínimos
	Aplicações de máximos e mínimos