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Aula de Gráficos - Papel Milimetrado

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7.1 Introdução 
7.1.1 Construção de Tabelas e Gráficos 
 A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas 
do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o 
fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. 
 Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem 
ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais 
clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados. 
Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais: 
a) Escolha a área do papel com tamanho adequado; 
b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo 
vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x; 
c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores 
intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7). Se possível, cada um dos 
eixos deve começar em zero; 
d) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado; 
e) Colocar título e comentários � é conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa 
entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto. 
f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado. 
g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo 
adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um 
ponto no centro). 
 
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�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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 7.1.2 Construção de uma Escala Linear 
Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer, 
inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo 
da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo-se “L” por “D”, obtém-se uma 
certa constante denominada de módulo da escala (Mod). 
Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de 
comprimento. 
Força (N) 4 9 20 26 32 
 
O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o 
modulo da escala, é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da força 
será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com 
espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se 
trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número 
para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja 
utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razões estéticas). No exemplo acima, um número 
conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser 
evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala. 
Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir 
o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da 
origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod = 
18/32 = 0,5625 cm/N. Com d determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada 
uma das medidas da tabela. 
No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5cm/N, tem-se a correlação dada pela tabela 
7.1. 
 
Força (N) 4 9 20 26 32 
Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0 
Tabela 7.1 – Comprimento em cm que representa cada valor de Força. 
Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É 
tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer 
é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indica-
se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com 
excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de 
modo a se ter uma boa visualização de seus valores. 
 
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����������
���
	��������	������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
7.3.1 Escalas Especiais 
Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar, 
visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1. 
7.3.2 Ajuste de curvas a dados experimentais – Método dos Mínimos Quadrados. 
Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1o grau, 
cuja representação gráfica é uma reta. 
Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e 
representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão 
perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os 
coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais. 
Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador deverá 
ajustar a reta aos pontos a partir da observação visual. Este procedimento tem a desvantagem de 
observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é 
subjetiva devida a interpretação de cada um. 
Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar 
matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o Método dos Mínimos Quadrados, no 
qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos 
experimentais. Os coeficientes desta reta são: 
2 2
2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i i i i
i i
i i i i i
i i
N x y x y
a
N x x
y x x y x
b
N x x
− ⋅
=
−
⋅ − ⋅
=
−
� � �
� �
� � � �
� �
 
Para exemplificar o uso do Método dos Mínimos Quadrados, resolva o exercício 3. 
7.2 Material Utilizado 
a) Régua milimetrada; 
b) Lápis ou lapiseira; 
c) Borracha; 
d) Calculadora; 
e) Papel milimetrado 
 
7.3 Exercícios 
1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma 
aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será: 
����
����������
���
	��������	����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
2 2
0
1 500
2
S S at S t= + � = + �
Obtendo o valor da posição para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela: 
Tempo t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Posição 
S(cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600 
Tabela 7.2 – Tempo x Posição. 
Com os dados da tabela 7.2 foi construído o gráfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na 
figura 7.1.�
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
S(m)
t(s) 0 2 4 6 8 10
500
520
540
560
580
600
S(m)
t(s)
�
Figura 7.1 – Gráficos S x t – Escolha de uma escala adequada. 
a) Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado? 
Justifique sua resposta. 
2. Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função P(t) = 200t, onde 
t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos Pxt em escalas 
diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no 
outro ela aumente lentamente. 
3. Represente no gráfico ��x�� os pontos da tabela 7.3. 
X(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Y(m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31 
Tabela 7.3 – Y versus X 
a) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare 
os valores encontrados com os de outros alunos. 
b) Aplicando o Método dos Mínimos quadrados, determine a equação da reta que melhor se ajusta 
aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada “a olho”. 
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���
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7.4 Bibliografia Sugerida 
� HELENE, O. ET al. O que é uma medida física? Revista Brasileira de Ensino de Física, Rio de 
Janeiro, v.13, n.12, 1991. 
� LKHACHEV, V. P.; CRUZ, M.T.; J. Quantas medidas são necessárias para o conhecimento de uma 
grandeza física? Revista Brasileira de Ensino de Física, Rio de Janeiro, v.22, n. 4, 2000. 
� HALLIDAY, D; RESNICK, R; e WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
V.2.

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