Revisão dos conteúdos para o Grau A - Álgebra Vetorial e Matricial

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
Álgebra Vetorial e Matricial 
 
Revisão dos conteúdos para o Grau A 
 
 
1. Dado o vetor 
u
 =(2,-4,1) 
 
a) calcule um vetor paralelo a 
u
 , com o sentido contrário a 
u
 e com 
módulo 3 u.c. 
 
V
 = 
21
)1,4,2(
.3.3
u
u 



 
V
 =
)
21
3
,
21
12
,
21
6
(

 
 
b) calcule o valor de x para que o vetor 
v
 =(
8
3
,
2
3
,x 
) seja paralelo ao 
vetor 
u
 
vetores paralelos são proporcionais! 
8
3
1
2
3
4
x
2



 
 
2
3
4
x
2 

 -4x = 2.
2
3
 
4
3
x 
 
 
2. Determine o valor de a para que os vetores 
u
 = (a,2,-4) e 
v
 =(2, 
2
3

,3) 
sejam: 
a) Paralelos 
 São proporcionais 
3
4
2
3
2
2
a 



 
3
4
2
a 

 3a = -8 a = 
3
8

 
 
 
 
b) Ortogonais 
Produto escalar nulo 
(a,2,-4). (2, 
2
3

,3)=0 
(2.a) + (2. 
2
3

) + (-4.3) = 0 
2.a = 3+12 
 
a = 15/2 
 
3. Dados os pontos M(2, -5, -2) e N(3, -4, 2) e os vetores 
s
 = (2, -3, 3) e 
r
 = (3, -5, -2), pede-se: 
a) o versor de 
MN
 
MN
 =(1,1,4) 
versor 
MN
MN

 = 
18
)4,1,1(
 
b) o valor de x e y para que o vetor 
v
 = (x, y, -3) seja paralelo a 
r
 
3
2
y
5
x
3





 
3
2
x
3



 -2.x = -9 x = 9/2 
 
c) 
MN
 x 
s
 
 
)5,5,15(
332
411
kji



 
 
 
 
4. Sejam os vetores 
)3,a,1(u 

, 
)3 ,1,1(v 

e 
w 
(2a+1,-1,3). Determinar 
a de modo que 
)wv).(vu( v . u  . 
a=-14/3 
5. Considere os vetores �⃗⃗� = 𝒊 ⃗⃗ +2𝒋 +2�⃗⃗� e �⃗⃗� = 3𝒊 ⃗⃗ +2𝒋 ⃗⃗ calcule: 
a) o ângulo formado entre �⃗⃗� e �⃗⃗� 
cos 𝜽=
𝟕
𝟑√𝟏𝟑
=0,647 
𝜽 ≅ 49º40’ 
b) o ângulo que o vetor �⃗⃗� forma com o eixo x. 
cos 𝜶=
𝟏
𝟑
=0,3333 
𝜽 ≅ 70º31’ 
 
6. I) Sabendo que A =






41
23
, determine uma matriz B de modo que 
A . B = I2 
 B = 






10/310/1
10/210/4 
 
II) Sendo M = 
𝟏 −𝟐 𝟎 𝟏
𝟐 𝟎 𝟒 −𝟏
𝟑 −𝟏 𝟎 −𝟒
𝟏 −𝟏 𝟑 𝟎
 , determine det M 
 det M = 95 
 
7. Resolva o sistema linear abaixo: 
 
2x+3y=2 
2y+2z=1 
6z+t=3 
t-2x=1 
 
 
 2 3 0 0 2 
 0 2 2 0 1 
 0 0 6 1 3 
-2 0 0 1 1 
 
 1 3/2 0 0 1 
 0 2 2 0 1 
 0 0 6 1 3 
-2 0 0 1 1 
 
1 3/2 0 0 1 
0 2 2 0 1 
0 0 6 1 3 
0 -3 0 -1 -3 
 
1 3/2 0 0 1 
0 1 1 0 1/2 
0 0 6 1 3 
0 -3 0 -1 -3 
 
1 3/2 0 0 1 
0 1 1 0 1/2 
0 0 1 1/6 1/2 
0 0 -3 1 3/2 
 
 
1 3/2 0 0 1 
0 1 1 0 1/2 
0 0 1 1/6 1/2 
0 0 0 -3/2 -3 
 
1 3/2 0 0 1 
0 1 1 0 1/2 
0 0 1 1/6 1/2 
0 0 0 1 2 
 
t=2 
z=1/6 
y=1/3 
x=1/2