Distribuição Binomial e Poisson

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1
Variáveis aleatórias (v. a.) 
 
Devido à variabilidade inerente aos seres vivos, a maioria das variáveis de interesse é aleatória, ou seja, produz 
valores diferentes quando observadas em repetições feitas mesmo sob condições idênticas. Daí a importância de se 
estudar o conceito de variável aleatória. 
 
Crianças de mesma idade, mesmo sexo, mesma classe sócio-econômica, mesma raça, medidas pela mesma 
pessoa, têm pesos diferentes. Então, o peso da criança deve ser estudado através do conceito de variável aleatória. 
 
Definição: Seja Ω o espaço amostral associado ao experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função 
que associa a cada ponto amostral, wi, um número real. Ou seja, uma variável aleatória é uma função que tem como 
domínio Ω e como contradomínio um subconjunto dos números reais, Rx  R. 
 
 
 Ω X(w) Rx 
 
 
 w1 x1 
 
 w2 x2 
 . 
 . 
 . 
 wn xn 
 
 
 
As variáveis aleatórias, usualmente, são representadas por letras maiúsculas e seus respectivos valores por letras 
minúsculas. 
 
Ex.1.: X = número de filhotes nascidos vivos em uma determinada ninhada de 10 cães da raça Basset, x = 0, 1, ..., 
10. 
 
Ex. 2: Retiram-se, ao acaso, um artigo de um lote com 6 artigos e definem-se as variáveis; 
X :Número de falhas que o artigo sorteado tem 
Y : Tempo de vida do artigo sorteado 
Ω = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}, ai = i-ésimo artigo 
Os possíveis valores da variável X são 0, 1, ..., e os de Y são os números reais não negativos. Ou seja, o 
contradomínio de X e Y são: 
Rx : {x; x = 0, 1, 2, ...} 
Ry : {y; y  0, y R} 
 
A variável aleatória pode ser classificada em: 
 
• Variável aleatória discreta: o conjunto dos possíveis valores que a variável pode assumir é finito ou infinito 
enumerável. 
 
Ex.1: Seja X o número de sessões de fisioterapia que um paciente necessita até o desaparecimento de uma dor 
lambar em um tratamento que exige no máximo 10 sessões. 
Rx = { 1, 2, 3, 4, ..., 10}  Rx = conjunto dos possíveis valores de X. 
 
Ex.2: X : número de falhas que o artigo sorteado tem, pois Rx : {x; x = 0, 1, 2, ...} é um conjunto infinito enumerável. 
 
• Variável aleatória contínua: o conjunto dos possíveis valores que a variável pode assumir é infinito não 
enumerável. 
 
 Ex.: Seja Y o tempo de vida de um grupo de pacientes após determinada cirurgia. 
 Ry = { y; y > 0, y   }  Rx = conjunto dos possíveis valores de Y. 
 Y é uma variável aleatória contínua pois pode assumir qualquer valor real positivo. 
 
Função de probabilidade (distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória discreta - fdp 
É a função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência. 
f (xi) = P (X = xi). 
 
 2
Isto é, os valores possíveis de uma variável aleatória e suas respectivas probabilidades determinam a função 
(distribuição) de probabilidade da variável aleatória, como mostrado no exemplo a seguir. 
 
Ex.1: Seja X o número de crianças do sexo masculino numa família com dois filhos. Considere os eventos F1 = { a 1ª 
criança é do sexo feminino } e F2 = { a 2ª criança é do sexo feminino }. Esses eventos são independentes, pois P( F2 | 
F1 ) = P( F2 ). Analogamente, M1 e M2 são os eventos a 1ª criança e a 2ª criança, respectivamente, são do sexo 
masculino e também são independentes. 
 
Ω = { F1 F2 , F1 M2 , M1 F2 , M1 M2 } A variável aleatória X atribui a cada ponto de Ω um valor numérico 
 
 Ω X Rx 
 
 
 w1 = F1 F2 x1 = 0 
 
 w2 = F1 M2 x2 = 1 
 
 w3 = M1 F2 x3 = 2 
 
 w1 = M1 M2 
 
 
P(X=0) = P(F1 ∩ F2 ) = P(F1)P(F2) = 
4
1
2
1
2
1
 
 
P(X=1) = P(F1 ∩ M2 ) + P(M1 ∩ F2) = P(F1)P(M2) + P(M1)P(F2) = 
4
2
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 
 
P(X=2) = P(M1 ∩ M2 ) = P(M1)P(M2) = 
4
1
2
1
2
1
 
 
 
A função (distribuição) de probabilidade da variável aleatória X será: 
 
X 0 1 3 
f (x) = P (X = x) 1/4 2/4 1/4 
 
 
Uma função de probabilidade deve satisfazer: 1)(0  ixXP e 


n
i
ixXP
1
1)( . 
Ex. 2: Suponha que 3 artigos são retirados, ao acaso, um a um, com reposição, de uma caixa que contém 10 artigos, 
dos quais 2 são defeituosos. Seja a variável aleatória X : número de artigos perfeitos sorteados. Determinar a função 
de probabilidade de X. 
Ω = {D1D2D3, D1D2P3, D1P2D3, P1D2D3, D1P2P3, P1D2P3, P1P2D3, P1P2P3}, onde Pi = i-ésimo artigo perfeito e Di = 
i-ésimo artigo defeituoso, i = 1, 2, 3. 
Como o sorteio é feito com reposição, os eventos Pi e Di são independentes. 
Rx : {x; x = 0, 1, 2, 3}. As probabilidades associadas aos valores da v.a. X são: 
 3
 
      
     
      
51200
10
8
10
8
10
8
10
833
38400
10
2
10
8322
10
2
10
8
10
8
10
8
10
2
10
8
10
8
10
8
10
222
09600
10
2
10
8311
10
2
10
2
10
8
10
2
10
8
10
2
10
8
10
2
10
211
11
00800
10
2
10
2
10
2
10
200
3
321
2
321321221
2
321321321
321321321
3
321321
,)()()(
,)()(
)()(
,)()(
)()(
)()(
,)()()()()(






























 
PPPPXPf
XPf
DPPPDPPPDPXPf
XPf
DDPPDPDPPDDPXPf
DDPDPDPDDPXPf
DPDPDPDDDPXPf
ind
 
 
A fdp da v.a. X é dada por: 









































 contrário caso , 
 se , ,
 se , ,
 se , ,
 se , ,
)()(
0
351200
10
8
238400
10
2
10
83
109600
10
2
10
83
000800
10
2
3
2
2
3
x
x
x
x
xXPxf 
A f(x) é uma fdp, pois   110 )( e )( xfRxxf x . 
 
Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta - FDA 
 



xx
i
xx
i
ii
xXPxfxXPxF )()()()( onde xi Rx  . 
Exemplo: Determine a função de distribuição acumulada da v.a. X : número de artigos perfeitos. 
 


























31
3248800
2110400
1000800
00
1512004880032321033
4880038400104002121022
104000960000800101011
00800000
3
2
1
0
x
x
x
x
x
xF
fFffffxfXPF
fFfffxfXPF
fFffxfXPF
fxfXPF
i
i
i
i
x
i
x
i
x
i
x
i
 ,
 ,,
 ,,
 ,,
,
)(
,,)()()()()()()()()(
,,,)()()()()()()()(
,,,)()()()()()()(
,)()()()(
 
 
MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA X 
 
Valor Esperado (média): Dada a v.a. X, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos devalor médio ou valor 
esperado ou esperança matemática de X. 



xxi xx
ii xxfxXPxXE )()()( . 
 4
(Exemplo feito em sala) 
 
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn, 
 
         222222 )()()()( xxfxfxXEXEXEXEXVar 
 
(Exemplo feito em sala) 
 
Propriedades de E(X) e Var(X): 
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço amostral e a e b constantes quaisquer. 
1. E(a) = a 
2. E(aX) = aE(X) 
3. E(aX + b) = aE(X) + b 
4. E(aX - b) = aE(X) - b 
5. E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) 
6. E(aX - bY) = aE(X) – bE(Y) 
7. Var(a) = 0 
8. Var(aX) = a2Var(X) 
9. Var(aX + b) = a2Var(X) 
10. Var(aX - b) = a2Var(X) 
11. Se X e Y são v. a. independentes, Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) 
12. Se X e Y são v. a. independentes, Var(aX - bY) = a2Var(X) + (-b2)Var(Y) = a2Var(X) + b2Var(Y). 
 
(Exemplo feito em sala) 
 
MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS 
 
a) Modelo (distribuição) de Bernoulli – Experimento ou ensaio de Bernoulli 
 
Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. 

Exemplos: 
• o resultado de um exame médico para detectar uma doença é positivo ou negativo; 
• um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; 
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5. 
 
Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso(S) 
ou fracasso (F). 
Para experimentos desse tipo, o espaço amostral é Ω = {S, F}. 
No exemplo resultado de um exame médico para detectar uma doença, se o interesse é em resultado positivo, 
diremos que temos um sucesso (S) quando ocorrer positivo e fracasso ou falha (F) quando ocorrer resultado 
negativo. 
Esses experimentos (se forem independentes e com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) recebem o 
nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli. 
 
Variável aleatória de Bernoulli: 
Seja a v. a. X definida como o número de sucessos num ensaio de Bernoulli. X assume apenas dois valores: 
 
 1, se ocorrer “sucesso” 
 X = 
 0, se ocorrer “fracasso” 
 
Isto é, X(S) = 1 se o resultado do ensaio é sucesso e X(F) = 0 se o resultado é fracasso. 
Seja P(S) = p a probabilidade de sucesso e P(F) = 1 – p a probabilidade de fracasso. 
 
“X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. 
A função (distribuição)de probabilidade de X pode ser representada por: 
 
X 0 1 
f (x) = P (X = x) 1 - p p 
 
 
 5
Isto é, a função de probabilidade da distribuição de Bernoulli é dada por: 
f( x ) = P( X = x ) = px ( 1 – p )1 – x , x = 0 , 1. 
 
f( 0 ) = P(X=0) = p0 (1 – p)1 – 0 = 0 . (1 – p)1 = 1 – p  probabilidade de ocorrer fracasso 
 
f( 1 ) = P(X=1) = p1 (1 – p)1 – 1 = p1 . (1 – p)0 = p  probabilidade de ocorrer sucesso 
 
 
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial. 
 
b) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) BINOMIAL 
 
Uma seqüência de ensaios (provas) de Bernoulli da origem ao modelo binomial quando: 
1. Cada ensaio (prova) tem dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, designados por sucesso (S) ou 
fracasso (F). 
2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante de ensaio para ensaio, logo, a probabilidade de 
fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante. 
3. Os ensaios (provas) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso ou do fracasso de um 
deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de fracasso nos ensaios (provas) subseqüentes. Isto é, o 
resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. 
Exemplo: Suponha um experimento aleatório avaliar 3 crianças, de uma população de crianças com idade de 0 
a 5 anos, ao estado de desnutrição (se desnutrida ou não desnutrida). 
 
O espaço amostral será:  DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ,,,,,,, , sendo D = 
criança não desnutrida e D = criança desnutrida. 
 
Seja X a variável aleatória que representa o número de crianças desnutridas entre as 3 crianças avaliadas. Então, 
.321 XXXX  
 
 0 , se ocorrer fracasso (a 1ª criança não é desnutrida) 
1X  )(~1 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (a 1ª criança é desnutrida) 
 
 
 0 , se ocorrer fracasso (a 2ª criança não é desnutrida) 
2X  )(~2 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (a 2ª criança é desnutrida) 
 
 
 
 0 , se ocorrer fracasso (a 3ª criança não é desnutrida) 
3X  )(~3 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (a 3ª criança é desnutrida) 
 
wi 1X 2X 3X .321 XXXX  
DDD 0 0 0 0 
DDD 0 0 1 1 
DDD 0 1 0 1 
DDD 1 0 0 1 
DDD 0 1 1 2 
DDD 1 0 1 2 
DDD 1 1 0 2 
DDD 1 1 1 3 
 6
O conjunto dos possíveis valores de X será: Rx = {0, 1, 2, 3}. 
 
Probabilidade de sucesso = P(Xi =1) = p, 0 < p < 1 
 
Os eventos D = criança não desnutrida e D = criança desnutrida são independentes, isto é, o resultado obtido para 
uma das crianças (não ser desnutrida ou ser desnutrida) não afeta o resultado das outras crianças (não serem ou 
serem desnutridas), logo, 
 
           
              
                   
   
              
                   
         
      3
2
2
3
3
131112
2
2
13)1)(1()1()1()1)(1(1
1
1
11110
ppppDDDPDDDPXP
pppppppppppXP
DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP
DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP
pppppppppppXP
DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP
DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP
ppppDDDPDDDPXP








 
A função (distribuição) de probabilidade da variável aleatória X = número de crianças desnutridas entre as 3 
avaliadas é dada por: 
x 0 1 2 3 
   xXPxf   31 p  213 pp   pp 13 2 3p 
 
O comportamento de X fica determinado pela função: 
 
   
 













contrário caso 
 
,0
3,2,1,0,1
3
xpp
xxXPxf
xnx
 
 
 
onde 
 !3!
!33
 
 
xxx 






= número de possibilidades de x crianças serem classificadas como desnutridas entre as 3 
crianças avaliadas. 
 
Definição: Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de 
sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de 
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: 
 
   
 













contrário caso 
 ..., 
,0
,3,2,1,0,1 nxpp
x
n
xXPxf
xnx
 
 
onde 
 !!
!
 
 
xnx
n
x
n







= número de possibilidades de ocorrerem x sucessos nos n ensaios de Bernoulli realizados. 
 
Usaremos a notação  pnBX ,~ , para indicar que a variável aleatória X tem distribuição Binomial com 
parâmetros n e .p 
 7
Média (valor esperado) e variância da variável aleatória Binomial~iX Bernoulli  p , i 1, 2, 3, ..., .n 
 
        pppppppxxXPxXE
i
ii
i x
xx
i
x
iii 




 111
1
0
0101
1
0
11101)( , 
para todo i 1, 2, 3, ..., .n 
    
 
   pppppppppXVar
ppxppxXVar
xXPxxXPxXEXEXVar
i
x
xx
i
x
xx
ii
x
iii
x
iiii
i
ii
i
ii
ii



























111)1(0)(
1)1()(
)()()(
2211120102
2
1
0
1
1
0
12
2
1
0
1
0
222
 
 
 
para todo i 1, 2, 3, ..., .n 
 
Se  pnBX ,~ então: 
 
nXXXXX  ...321 
 
nXXXX ..., ,,, 321 são variáveis aleatórias de Bernoulli. 
 
A média de X será: 
           
npppppXE
XEXEXEXEXXXXEXE nn


...)(
...... 321321 
 
npXE  )( 
 
E a variância de X será: 
 
           
)1()1(...)1()1()1()(
...... 321321
pnpppppppppXVar
XVarXVarXVarXVarXXXXVarXVar nn


 
 
)1()(2 pnpXVar  
 
Exemplo 1: Suponha que o nascimento de menino e de menina seja igualmente provável e que o nascimento de 
qualquer criança não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento. Determine a probabilidade de: 
a) Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos 
b) Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos 
c) No máximo 1 menino em 10 nascimentos 
d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos 
Solução: 
O evento de interesse é nascimento de menino. Então, define-se: 
Sucesso (S): nascimento de menino 
Fracasso (F): nascimento de menina 
P(S) = p = 1/2 e P(F) = 1- p = 1/2 
A variável aleatória X = número de meninos em 10 nascimentos (número de sucessos) 
 8
Rx = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Do enunciado do problema tem-se que a variável aleatória X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n = 
10 e p = 1/2 pois, 
1. Cada nascimento é um ensaio (prova) de Bernoulli com dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, 
nascimento de menino (Sucesso = S) ou nascimento de menina (Fracasso = F). 
2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante e igual a 1/2 de ensaio (nascimento) para ensaio 
(nascimento), logo, a probabilidade de fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante e igual a 1/2. 
3. Os ensaios (nascimentos) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso (nascimento de 
menino) ou do fracasso (nascimento de menina) de um deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de 
fracasso nos ensaios (nascimentos) subseqüentes. Isto é, o resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer 
ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. 
Como X ~ B( 10, 1/2 ), sua função de probabilidade será: 
 
   
 













contrário caso 
 
,0
10,...,3,2,1,0,1
10
xpp
xxXPxf
xnx
 
 
 
a) 
 
2051,0
2
1
!6!0.1.2.3.4
!6.7.8.9.10
!410!4
!10
2
1
2
1
4
10
)4(
104104



























 
 
 
 XP 
 
b)  
9453,00547,01
2
1
2
1101)4(
)3()2()1()0(1)4(1)4(
2
1
2
110)4(
)10()9()8()7()6()5()4()4(
3
0
10
1010
4























































x
xx
xx
x
x
XP
XPXPXPXPXPXP
x
XP
XPXPXPXPXPXPXPXP
 
c) 0107,0
2
1
2
110)1()0()1(
101
0






















xx
x x
XPXPXP 
 
d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos equivale a menos de 2 meninos em 10 nascimentos. Isto é: 
 
X = sucesso = nascimento de menino 
X’ = fracasso = nascimento de menina 
 
P( X’ > 8) = P( X < 2) = P( X ≤ 1 ) = 0,0107 
 
Exemplo 2: 30% das pacientes picadas com uma agulha infectada com hepatite B desenvolvem a doença. Suponha 
que selecionamos cinco indivíduos da população de pacientes que foram picados com uma agulha infectada com 
hepatite B. 
a) Qual a de que pelo menos três indivíduos, entre os cinco, desenvolvam a hepatite B? 
Resp.: P(X ≥ 3) = 0,1630 
b) Qual a probabilidade de que no máximo um paciente desenvolva a doença? 
Resp.: P(X ≤ 1) = 0,5282. 
c) Qual o número esperado de pessoas que desenvolveriam a doença? E a variância? 
Resp.: E(X) = 1,5 e Var(X) = 1,05 
 
Exemplo 3: Considere uma prova com 10 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a 
resposta ao acaso (“chuta”). Para o aluno ser aprovado, tem que acertar pelo menos 6 questões. 
Se 100 alunos irão fazer a prova, espera-se quantos aprovados? Resp.: 1,97 ≈ 2 alunos. 
 9
c) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) DE POISSON 
 
A distribuição de Poisson descreve fenômenos de contagem de eventos em um espaço contínuo, como o tempo, 
uma superfície, um volume, etc. 
Exemplos: 
a) Número de bactérias em certo volume de sangue; 
b) Número de partículas radioativas emitidas durante certo intervalo de tempo; 
c) Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio por unidade de área; 
d) Acidentes por unidade de tempo. 
Diremos que os eventos discretos que ocorrem num intervalo contínuo (de tempo, volume, área, etc) formam um 
processo de Poisson com parâmetro  se satisfaz as seguintes propriedades: 
a) A variável aleatória representa o número de ocorrências de um evento em um intervalo; 
b) As ocorrências dos eventos são aleatórias e independentes umas das outras; 
c) A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo de tempo (ou de volume, de área) é constante e 
proporcional ao tamanho do intervalo; 
d) O número médio de ocorrências do evento por unidade de tempo, volume, área, , é constante ao longo do 
tempo, volume, área. 
 
Definição: Uma variável aleatória discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua distribuição de 
probabilidade for do tipo: 
 
onde: 
 
Notação: X ~ P()  indica que a variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro . 
Média e Variância 
Se X é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, então: 
 
Exemplos: 
1) Sabe-se que um certo líquido contém, em média, 4 bactérias por cm3. 
a) Qual a probabilidade de não haver bactérias em 1 cm3 do líquido 
b) Qual a probabilidade de que em 1/2 cm3 do líquido haja pelo menos uma bactéria 
Solução: 
 
a) X: número de bactérias em certo volume do líquido 
X ~ P()  
1 cm3 do líquido   = 4 
 
b) 1/2 cm3 do líquido   = 2 
 
 
2) Chegam, em média, 10 pacientes por dia a um posto de saúde, que tem capacidade para atender apenas 15 
pacientes. Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais pacientes tenham que ficar 
aguardando vaga para atendimento 
Solução: 
 X: número de pacientes que chegam ao posto de saúde por dia 
X ~P(= 10)  
Para um ou mais pacientes ficarem aguardando vaga para atendimento, X > 15 logo, a probabilidade de que, 
em determinado dia, um ou mais pacientes tenham que ficar aguardando vaga para atendimento será: 
 10
 
 

 
A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição Binomial 
 
Se em uma distribuição binomial, o número de provas de Bernoulli, n, é grande, a probabilidade de sucesso, p, é 
pequena e o produto np =  permanece constante, podemos usar a distribuição de Poisson como aproximação para 
a binomial. 
 
Exemplo: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. Determinar a 
probabilidade de que, em 2000 indivíduos injetados exatamente 3 tenhamreação negativa. 
 
Solução: X: número de indivíduos com reação negativa, entre os 2000 injetados 
 
X ~ B(2000; 0,001)    2000321001,01001,02000)( 2000 ..., , , , , 





  x
x
xXP xx 
1805,0999,0001,0
!1997!0.1.2.3
!1997.1998.1999.2000
999,0001,0
!1997!3
!2000999,0001,0
3
2000
)3(
2001,0.2000)(
19973
1997319973









 
 
 
 XP
npXE
 
 
 
Como n é grande, p é pequeno e np permanece constante podemos usar a Poisson como aproximação da binomial. 
X  P( = np = 2)  1804,0!3
2)3(
32


 
eXP