Lista 5 - Cálculo 2

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Universidade Federal de Pelotas
Instituto de F´ısica e Matema´tica
Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Disciplina: Ca´lculo 2 - Lista: 5 - Profa: Camila Pinto da Costa
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1. Encontre as a´reas delimitadas pelas curvas:
(a) y = 4− x2, eixo x.
(c) y =
√
x+ 1, eixo x, eixo y, x = 8
(e) y = sinx, eixo x, x = pi
3
, x = 2pi
3
(b) y = 4x−x2; eixo x, x = −2, x = 1.
(d) y = x2 + x− 12, eixo x
(f) y = sec2 x, eixo x, eixo y, x = pi
4
.
2. Encontre a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas x2 − y + 1 = 0, x − y + 1 = 0
de duas formas: primeiro com elementos de a´rea paralelos ao eixo x e depois com
elementos de a´rea paralelos ao eixo y.
3. Encontre, por integrac¸a˜o, a a´rea do triaˆngulo tendo como ve´rtices (5, 1), (1, 3) e
(−1,−2).
4. Encontre a a´rea delimitada pelas curvas abaixo:
(a) (b) 
 
5. Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b divida a regia˜o limitada pelas curvas
y = x2 e y = 4 em duas regio˜es de a´reas iguais.
6. Encontre os valores de c tal que a a´rea da regia˜o limitada pelas para´bolas y = x2−c2
e y = c2 − x2 seja 576.
7. Calcule a a´rea das regio˜es abaixo, usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo:
(a) Limitada pela curva y = 2x+ 5, pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 0.
(b) Limitada pela curva y =
√
x− 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 5 e x = 10.
(c) Limitada pela curva y = sinx, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = pi.
(d) Limitada pela curva y = 5x− 2x2, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2.
8. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas:
(1) R1 : y = 2x+ 5; x = −1 e x = 0 e R2 : y = 5, x = 0 e x = 1.
(2) y = |sinx|; x = −pi e x = pi.
(3) y = 2|x|; x = −1 e x = 1.
1
9. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas:
(1) y2 = 2x e x2 = 2y.
(2) y = 5− x2 e y = x+ 3.
(3) y =
1
6
x2 e y = 6.
(4) y = ex − 1, y = −x e x = 1.
(5) x+ y = 3 e y + x2 = 3.
(6) x3 − x e y = 0.
(7) y = ex, x = 0, x = 1 e y = 0.
(8) y = −1− x2, y = −2x− 4.
(9) y = 4− x2 e y = x2 − 14
(10) y = 1− x2 e y = −3
Respostas:
1. (a) 32
3
.
(c) 52
3
(e) 1
(b) 37
3
.
(d) 343
6
(f) 1
2. 1
6
3. 12
4. (a) 32
3
(b) e− 1
e
+ 10
3
5. 4
2
3
6. ±6
2
7) 
 
8) (1) 
 
R: 9 u.a. 
(2) 
 
R: 4 u.a. 
 
(3) 
 
 
 
 
R:2 u.a. 
 
y=5 
y=2x+5 
3
9) (1) 
R: 
�
�
 u.a. 
(2) 
R: 
�
�
 u.a. 
(3) 
 
R: 48 u.a. 
(4) 
 
R: 
����
�
 u.a. 
(5) 
R: 
�
�
 u.a. 
(6) 
R: 
�
�
 u.a. 
 
 
 
R: 	 − 1 u.a. 
(8) R: 
��
�
 u.a (9) R: 72 u.a (10) R: 
��
�
 u.a 
(7) 
4