MECÂNICA Geral 4

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MECÂNICA GERAL 
 
Capítulo IV 
APLICAÇÕES 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia 
UNIVERSIDADE DO MINHO 
J.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta Claro 
 [e-version: 2007 r.1] 
MECÂNICA APLICADA - Cames 1 
4.1 SISTEMAS ARTICULADOS 
4.1.1 Análise Dinâmica Integrada 
 A análise integrada de sistemas mecânicos articulados, isto é, a análise tendo em consideração as 
componentes cinemática e cinética e ainda a questão das solicitações induzidas nos diferentes 
componentes, pode hoje em dia ser tratada com recurso a software específico. 
 Há, no entanto, outras questões ainda não acessíveis ao projectista, que têm essencialmente a ver 
com as simplificações básicas do estudo cinemático – comportamento real das juntas (efeito das 
folgas, choques, etc.) e deformabilidade das barras. 
 É de notar que este último factor pode ser quantificado, através dos métodos de determinação de 
tensões e deformações, mas não é ainda possível introduzir os seus efeitos na análise do 
comportamento global do mecanismo, para a qual os componentes continuam a ser considerados como 
perfeitamente rígidos e indeformáveis. 
4.1.2 Utilização de Software Específico 
 Sendo a utilização de software de análise dinâmica uma questão prática, na ordem do dia para o 
projecto mecânico, as especificidades dos diferentes produtos existentes no mercado não permitem 
uma abordagem generalista. 
 Neste âmbito, um Manual resumido será editado à parte destes textos, incidindo principalmente nos 
aspectos mais directamente aplicáveis à matéria aqui abordada e às particularidades do software 
disponibilizado. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 2 
4.2 CAMES 
4.2.1 Classificação 
 Came é um orgão mecânico cuja função é, por contacto directo, conduzir ou impôr um determinado 
movimento a um outro elemento, designado como seguidor. 
 As cames podem classificar-se em três grandes grupos, a saber: 
 - lineares - Fig.4.1.a) 
 - de disco - Fig.4.1.b) a f) 
 - cilíndricas - Fig.4.1.g) e h) 
 enquanto os seguidores se podem dividir em: 
 - de deslocamento linear ou de translacção - Fig.4.1.a) a e) e h) 
 - de deslocamento angular ou oscilantes - Fig.4.1.f) e g) 
ou ainda: 
 - de faca - Fig.4.1.d) 
 - de rolete - Fig.4.1.a) a c), g) e h) 
 - de prato - Fig.4.1.e) e f) 
podendo, no caso das cames de disco com seguidor radial, este ter a sua linha de acção alinhada com o 
centro de rotação da came - Fig.4.1.d) e f) - ou descentrada - Fig.4.1.c) e e). 
 
Figura 4.1 - Tipos de cames e de seguidores 
 Em qualquer caso, é imprescindível que o seguidor seja obrigado a manter o contacto com a 
MECÂNICA APLICADA - Cames 3 
superfície da came, quaisquer que sejam as condições de funcionamento. 
 Isto implica uma análise cuidada das características do movimento induzido pela came ao seguidor, 
nomeadamente em termos de aceleração e impulso, de modo a serem contabalançadas pela cinética do 
próprio seguidor e de todo o mecanismo que se encontre a juzante dele. 
 Em aplicações básicas poder-se-á contar simplesmente com a gravidade mas, na generalidade dos 
casos, torna-se necessário recorrer a molas ou sistemas mais elaborados (de pressão hidráulica, por 
exemplo) que não serão aqui abordados. 
 
 Um caso particular é o do emprego de um seguidor de ‘retorno positivo’, que garanta um controlo 
total sobre o movimento. Nas Fig.4.1.b) e 4.2.a) ilustra-se a utilização de uma came de diâmetro 
constante e nas Fig.4.2.b) e c), respectivamente, os casos de dupla-came e de came de face. 
 
 a) b) c) 
Figura 4.2 - Cames de retorno positivo 
 
 
 Neste capítulo o estudo do movimento e da geometria, bem como a correspondente análise 
cinemática e cinética, serão restringidos às cames de disco com seguidor radial, vulgarmente 
designadas como ‘cames radiais’. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 4 
4.2.2 Geometria da Came Radial 
 A Fig.4.3 mostra o caso de uma came com seguidor de rolete centrado com o eixo de rotação da 
came, na qual se identificam algumas características importantes, a saber: 
(φφφφ) ângulo de pressão: ângulo formado pela direcção do movimento do seguidor com a normal ao 
perfil primitivo, em cada ponto; 
 (a) circunferência de base: a menor circunferência, com centro no eixo da came, tangente ao perfil 
da came; 
 (b) ponto traçador: ponto teórico do seguidor, correspondente ao ponto extremo de um seguidor de 
faca, com auxílio do qual se define a curva primitiva da came (para um seguidor de faca, a 
curva primitiva coincide com a superfície da came); 
(d) ponto primitivo: ponto da curva primitiva correspondente à posição para a qual o ângulo de 
pressão é máximo; 
 (e) circunferência primitiva: circunferência, com centro no eixo da came, que passa pelo ponto 
primitivo; 
 (f) circunferência principal: a menor circunferência, com centro no eixo da came, tangente à curva 
primitiva. 
 
Figura 4.3 - Perfil de came radial 
MECÂNICA APLICADA - Cames 5 
4.2.3 Diagrama de Deslocamentos 
4.2.3.1 Introdução 
 A geometria de uma came é determinada pelo movimento que se pretende induzir ao seguidor. O 
problema resolve-se mais facilmente com recurso a uma inversão do mecanismo, considerando a came 
estacionária e o seguidor em rotação em sentido oposto, obtendo-se assim o denominado Diagrama de 
Deslocamentos. 
 Na realidade, o processo de concepção de uma came inicia-se pela traçagem do referido diagrama, 
em que: 
- a abcissa corresponde aos 360o de rotação completa da came, 
(devendo ter o perímetro da circunferência principal) 
- a ordenada representa o deslocamento linear pretendido do seguidor. 
tal como o esboçado na Fig.4.4, aplicado ao caso da came da Fig.4.3. 
 
Figura 4.4 - Diagrama de deslocamentos 
 
 Neste diagrama podem identificar-se facilmente os períodos de subida, de retorno e de 
estacionamento quer ‘em cima’ quer ‘em baixo’ do seguidor, sendo de salientar que uma came pode 
apresentar vários destes estágios ao longo de uma única rotação. 
 De notar também a existência de pontos de inflexão das curvas, que correspondem aos pontos 
primitivos do traçado da came e que, coincidindo com a maior inclinação da curva primitiva, se 
traduzem nos pontos de ângulo de pressão máximo. 
 A abcissa do diagrama divide-se num número conveniente de partes, dependendo unicamente da 
precisão requerida para a traçagem, correspondendo a sectores angulares de rotação da própria came. 
 
Obs.: do exposto acima depreende-se que, para a criação de um Diagrama de Deslocamentos, 
deverão ter sido definidos previamente os diâmetros do rolete (caso exista) e da circunferência 
principal (ou da circunferência de base) da came; a forma de dimensionar estes parâmetros, 
assim como as implicações dos seus valores no resultado final, serão abordadas mais adiante 
neste capítulo. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 6 
4.2.4 Movimentos Básicos do Seguidor 
4.2.4.1 Movimento uniforme 
 O movimento uniforme (ou, mais exactamente, o movimento a velocidade constante) corresponde a 
um deslocamento regido por uma equação do tipo, 
 y = C ⋅ θ 
em que (y) é o deslocamento do seguidor, (C) uma constante e (θθθθ) o ângulo de rotação da came. 
 Considerando que se pretende uma elevação total (d) numa rotação de (ββββ) radianos, então: 
 d = C ⋅ β ou seja, C = d/β 
pelo que, 
 y = d/β ⋅ θ 
ou seja, (y = d) para (θθθθ = ββββ), o que equivale à equação de uma recta - Fig.4.5. 
 Por sua vez, velocidade e aceleração do seguidor serão dadas por, 
 v = dy/dt = d/β dθ/dt = d/β⋅ω 
 a = d2y/dt2 = d/β dω/dt = 0 
em que (ωωωω) é a velocidade angular (constante) da came. 
 
Figura 4.5 - Diagrama de movimento uniforme 
Nota: no caso de o movimento ser de descida, e não de subida como o ilustrado, a análise e respectivas conclusõesseriam idênticas, sendo apenas necessário ajustar o sinal nas equações acima. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 7 
4.2.4.2 Movimento uniforme modificado 
 Pelo facto de implicar uma passagem abrupta da condição de repouso à de velocidade constante (e 
vice-versa) tornam-se óbvios os inconvenientes da utilização de um movimento uniforme 'puro'. 
 A situação - que se traduz na existência de acelerações teóricamente infinitas na zona de transição, 
como se pode ver na Fig.4.5 - levaria à geração de forças elevadíssimas no ínício do movimento e à 
impossibilidade de o seguidor se manter em contacto com a superfície da came, no fim da subida. 
Questões similares se põem na sua utilização para o retorno (descida) do seguidor. 
 Assim, uma solução simples reside no 'arredondamento' das zonas de transição, com o auxílio de 
arcos de raio igual à elevação total (d), tal como ilustrado na Fig.4.6. 
 
Figura 4.6 - Movimento uniforme modificado 
4.2.4.3 Movimento parabólico 
 Correspondendo à construção de uma curva de deslocamentos como a da Fig.4.7, 
 
Figura 4.7 - Diagrama de movimento parabólico 
a respectiva equação vem como, 
 y = C ⋅ θ2 
expressão que apenas é aplicável para (0 ≤ θθθθ ≤ ponto de inflexão). 
MECÂNICA APLICADA - Cames 8 
 Considerando que o ponto de inflexão é tal que (y = d/2), pelo que (θθθθ = ββββ/2) e (C = 2⋅⋅⋅⋅d/ββββ2), então 
na primeira parte do movimento, 
 y = 2⋅d (θ/β)2 
e, por seu turno, 
 v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β2)⋅θ 
 a = d2y/dt2 = 4⋅d⋅ω2/β2 
 Para a segunda parte do movimento, após o ponto de inflexão, vem que: 
 y = C1 + C2 θ + C3 θ2 
donde, tendo em atenção que (θθθθ = ββββ) para (y = d), 
 d = C1 + C2 β + C3 β2 
 Por sua vez, como para (θθθθ = ββββ) a velocidade é nula e para (θθθθ = ββββ/2) é máxima, então de: 
 dy/dt = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅θ 
resulta que: 
 0 = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅β 
 2⋅d⋅ω/β = C2⋅ω + 2⋅C3⋅ω⋅(β/2) 
sendo possível calcular: 
 C1 = -d C2 = 4⋅d/β C3 = -2⋅d/β2 
 Assim, virá finalmente: 
 y = d⋅[1-2⋅(1- θ/β)2] 
 v = dy/dt = (4⋅d⋅ω/β)⋅(1-θ/β) 
 a = d2y/dt2 = -4⋅d⋅ω2/β2 
cujos resultados podem ser visualizados na Fig.4.8, em que (B) designa o ponto de inflexão da curva 
de deslocamentos, à esquerda e à direita do qual são aplicáveis um ou outro dos grupos de equações 
deduzidos acima. 
 
 Adicionalmente, a Fig.4.8 inclui a curva correspondente à terceira deriva do deslocamento - 
designada como o impulso ou choque - e que, correspondendo à variação da aceleração, fornece uma 
indicação adicional da qualidade do accionamento conseguido. 
 No caso do movimento parabólico torna-se evidente que, apesar de a aceleração ser constante, 
existem situações de impulso 'infinito' no princípio e no fim do movimento, bem como no ponto de 
inflexão, sendo assim de esperar alguns problemas de funcionamento nestes pontos. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 9 
 Por esta razão, sistemas empregando este tipo de movimento estão sujeitos a consideráveis 
restrições de velocidade de rotação. 
 
Figura 4.8 - Movimento parabólico 
4.2.4.4 Movimento harmónico simples 
 A curva para este tipo de movimento pode ser obtida conforme mostra a Fig.4.9, sendo o 
deslocamento do seguidor dado por: 
 y = d/2 ⋅[1-cos(π⋅θ/β)] 
 
Figura 4.9 - Diagrama de movimento harmónico simples 
enquanto para a velocidade e a aceleração temos: 
 v = dy/dt = [π⋅d⋅ω/(2⋅β)]⋅sen(π⋅θ/β) 
 a = d2y/dt2 = [(d/2) ⋅(π⋅ω/β)2]⋅cos(π⋅θ/β) 
MECÂNICA APLICADA - Cames 10 
 
 Como mostra a Fig.4.10, os problemas de funcionamento devido à existência de impulso 'infinito' 
no início e no fim do movimento levam a restrições na sua aplicação, não muito diferentes daquelas 
verificadas para o movimento parabólico. 
 
Figura 4.10 - Movimento harmónico simples 
4.2.4.5 Movimento cicloidal 
 Geometricamente, a curva para pode ser obtida como ilustrado na Fig.4.11, sendo o deslocamento 
do seguidor dado por: 
 y = d ⋅[(θ/β) - (1/2π)⋅sen(2πθ/β)] 
Figura 4.11 - Diagrama de movimento cicloidal 
MECÂNICA APLICADA - Cames 11 
sendo a velocidade e a aceleração dadas por: 
 v = dy/dt = (d⋅ω/β) ⋅[1 - cos(2πθ/β)] 
 a = d2y/dt2 = (2πd) ⋅[(ω/β)2⋅sen(2πθ/β)] 
 
 Os diagramas correspondentes encontram-se na Fig.4.12. A notória ausência de problemas de 
funcionamento faz com que este tipo de perfil seja indicado para mecanismos de alta velocidade. 
 
Figura 4.12 - Movimento cicloidal 
MECÂNICA APLICADA - Cames 12 
4.2.5 Determinação Gráfica do Perfil da Came 
4.2.5.1 Came com Seguidor de Rolete Centrado de Deslocamento Linear 
 Inicia-se o procedimento dividindo o diagrama de deslocamentos num número conveniente de 
partes, tendo em consideração os pontos mais relevantes do movimento - isto é, início e fim de subida, 
descida, etc. Estes troços são depois sub-divididos equitativamente, contrabalançando a precisão 
requerida com o número de pontos de traçagem a obter. Seguidamente, divide-se a circunferência de 
base da came nos sectores angulares equivalentes à divisão efectuada no diagrama de deslocamentos. 
 Partindo de um diagrama de deslocamentos, como o da Fig.4.13.b) - o valor da ordenada de cada 
ponto pode ser transferido para o correspondente raio do sector angular, no desenho da came - 
Fig.4.13.a) - adicionando-o à circunferência principal. 
 
(a) 
(b) 
Figura 4.13 - Came com seguidor de rolete centrado 
MECÂNICA APLICADA - Cames 13 
 A união de todos os pontos assim determinados dá origem à curva primitiva da came, que 
corresponde à trajectória do ponto de traçagem. 
 Finalmente, o esboço das circunferências do rolete em todos os ponto determinados, e a traçagem 
de uma linha tangente a todas elas, permite a obtenção da superfície da came. 
4.2.5.2 Came com Seguidor de Rolete Descentrado de Deslocamento Linear 
 No desenho da came, começa-se por traçar uma circunferência de raio igual ao descentramento do 
seguidor (distância, na perpendicular, entre a linha de acção do seguidor e o eixo da came). 
 Seguidamente divide-se esta circunferência no número de sectores angulares correspondentes às 
divisões definidas no diagrama de deslocamentos. Na intercepção de cada um dos raios, assim 
marcados, com a circunferência de descentramento traçam-se as respectivas perpendiculares - 
Fig.4.14. 
 
 Nota: estas perpendiculares correspondem, de facto, à linha de acção do seguidor 
 
 
Figura 4.14 - Came com seguidor de rolete descentrado 
 
 A transferência dos valores das ordenadas do diagrama de deslocamentos é feita para estas 
perpendiculares, definindo os pontos da curva primitiva. A continuação do procedimento é idêntica ao 
caso do rolete centrado. 
 
MECÂNICA APLICADA - Cames 14 
4.2.5.3 Came com Seguidor de Prato de Deslocamento Linear 
 O procedimento é genericamente idêntico aos anteriores, para seguidor centrado ou descentrado, 
conforme o caso, até à traçagem da curva primitiva. 
 Tendo em atenção que, neste caso, o ponto de traçagem corresponde ao ponto central do prato, o 
passo seguinte é o esboço de linhas perpendiculares à linha de actuação do seguidor, passando pelo 
ponto de traçagem (que, na realidade, são esboços da superfície de contacto do prato). 
 A curva da came obtem-se por traçagem de uma linha tangente à superfícies do prato, em todas as 
posições definidas. 
 Adicionalmente, é possível determinar a largura mínima do prato que, dependendo do diagrama de 
deslocamentos, pode não ser simétrico - valores a e b, na Fig.4.15. 
 
Figura 4.15 - Came com seguidor de prato 
 
4.2.5.4 Came com Seguidor de Rolete de Deslocamento Angular 
 Inicia-se o procedimento por traçar a circunferência correspondente ao eixo de rotação do seguidor, 
com centro no eixo da came, dividindo-a depois no número de sectores angulares previamente definido 
no diagrama de deslocamentos (1”, 2”, ..., na Fig.4.16). 
 Nota: nestes casos, a ordenada dodiagrama de deslocamentos corresponde a variações angulares e 
não lineares 
 Seguidamente, esboça-se o seguidor na sua posição de partida e sobrepõe-se-lhe o arco de oscilação 
pretendido, marcando-lhe as diferentes posições angulares (1’, 2’,...) constantes do diagrama de 
deslocamentos. 
 A curva primitiva é então determinada pela intercepção do arco, com centro no eixo da came, saído 
de cada ponto acima referido (1’, 2’, ...) com o arco de raio igual ao comprimento do seguidor (*) e 
centro no eixo da posição considerada (1”, 2”, ...). 
 
(*) entendendo-se por comprimento do seguidor a distância entre o seu eixo e o eixo do respectivo rolete 
MECÂNICA APLICADA - Cames 15 
 A superfície da came é traçada do mesmo modo que nos casos anteriores. 
 
Figura 4.16 - Came com seguidor oscilante 
MECÂNICA APLICADA - Cames 16 
4.2.6 Parâmetros de Desempenho 
 Quando indevidamente seleccionados, os sistemas de cames empregues em mecanismos de 
média/alta velocidade tornam-se em importantes fontes de ruído e de vibração, sendo frequente a sua 
ruptura por fadiga. Assim, além de exigirem um nível de manutenção elevado, podem originar 
deficiências gerais de funcionamento de todo um equipamento. 
 Normalmente, uma análise cuidadosa dos diagramas de aceleração e de choque (ou impulso) 
permite a detecção de pontos de funcionamento problemáticos e a sua correcção no estágio de 
projecto. Todavia, em sistemas de média/baixa velocidade, apenas o deslocamento e a velocidade são 
realmente importantes factores de escolha e decisão. 
 
4.2.6.1 Comparação de movimentos do seguidor 
 Uma comparação entre os diferentes tipos de movimentos básicos, descritos atrás, poder-se-ia 
realizar igualando à unidade os parâmetros (d), (ωωωω) e (ββββ) e calculando os valores característicos 
resultantes: 
 
 Tipo de Movimento 
 Uniforme Parabólico Harmónico Cicloidal 
ymax 1 2 π/2 2 
vmax 0 4 π2/2 2π 
amax 0 0 π3/2 4π2 
Nota: desprezando as descontinuidades de início/fim de 
movimento, bem como o ponto de inflexão no 
movimento parabólico 
 
 Numa rápida análise à Tabela acima, pode constatar-se ser o movimento uniforme o mais 
aconselhável e o movimento cicloidal o de piores características. 
 
 Como esta conclusão é evidentemente errónea face à realidade dos factos, o estudo comparativo 
deve ser mais aprofundado. 
 Assim, e traçando os diagramas de velocidade, aceleração e impulso - Fig.4.17, tendo em 
consideração que: 
- a velocidade é considerada nula, no início e no fim do movimento; 
- a aceleração é tomada como ‘positiva’ quando a velocidade aumenta e ‘negativa’ quando 
diminui; 
- a área total circunscrita pela curva de aceleração é nula, isto é, as áreas acima e abaixo da 
linha de zero equivalem-se; 
algumas conclusões poderão ser retiradas. 
 
 Numa primeira análise, constata-se que o movimento uniforme apenas poderá ter um interesse 
teórico, uma vez que a magnitude atingida simultaneamente pela aceleração e pelo impulso lhe retiram 
MECÂNICA APLICADA - Cames 17 
qualquer aplicabilidade prática. 
 Tendo em consideração a relativamente baixa aceleração que se verifica no movimento parabólico, 
este seria uma boa solução caso não se verificassem os três picos de impulso que vedam qualquer 
hipótese da sua utilização para velocidades elevadas. 
 O movimento harmónico apresenta igualmente pontos de muito elevado impulso, pelo que a sua 
utilização enferma das mesmas restrições do movimento parabólico. 
 Quanto ao movimento cicloidal, apesar de ter uma aceleração que, globalmente, é superior à dos 
outros movimentos, apresenta um impulso de grandeza finita, assegurando assim um funcionamento 
capaz, mesmo a altas velocidades. 
 
Nota: em Anexo pode ser consultada uma comparação extensiva dos movimentos do seguidor, bem 
como uma análise de aplicabilidade, para todas as curvas básicas usuais. 
 
Figura 4.17 - Diagramas comparativos 
MECÂNICA APLICADA - Cames 18 
4.2.6.2 Ângulo de Pressão 
 O ângulo de pressão é definido pela normal à superfície da came, no ponto de contacto, com a 
direcção segundo a qual o seguidor se desloca. 
 Este ângulo define a decomposição da força execrcida pela came, nos sentidos radial e tangencial, e 
portanto a proporção dessa força que é, efectivamente, empregue no deslocamento (radial) do 
seguidor. A componente tangencial, uma vez transmitida ao seguidor, é descarregada nos seus 
apoios/guia em pura perda. 
 Adicionalmete, elevados ângulos de pressão em conjunção com a (imprescindível) folga funcional 
da guia e condições de lubrificação deficiente, desgaste dos componentes, etc., podem levar ao 
encravamento e mesmo à ruína do sistema. 
 Tendo em consideração que, em termos práticos, o tamanho da came depende do diâmetro do seu 
próprio veio, da curvatura do seu perfil e do ângulo de pressão resultante, este último pode ser 
reduzido aumentando o tamanho da came. A contrapartida é a de maiores massas rotativas 
desbalanceadas, maior atravancamento e, de uma forma geral, maiores dimensões dos restantes orgãos 
mecânicos. 
 Assim, o problema põe-se em termos de conseguir o projecto de uma came de dimensões razoáveis 
que, simultaneamente, apresente um ângulo de pressão suficientemente baixo. 
 
 O ângulo de pressão pode ser expresso em termos matemáticos. No entanto, dependendo do tipo de 
movimento (perfil da came), a respectiva equação pode ser impossível de resolver excepto por meios 
gráficos ou métodos analíticos aproximados. 
 Para o caso genérico de uma came com seguidor de rolete descentrado, apresentado na Fig.4.18: 
 
Figura 4.18 - Ângulo de pressão 
pode ser demonstrado que a velocidade instantânea do seguidor é dada por (v4 = ωωωω2 ⋅⋅⋅⋅ O2P), donde: 
 v4 = ω2 ⋅[e + (a + y) tanφ] 
em que: 
 ω2 = velocidade de rotação da came 
 rA = raio do círculo primitivo 
 e = descentramento came/seguidor 
 φ = ângulo de pressão 
 
 a = (rA2 - e2)½ 
MECÂNICA APLICADA - Cames 19 
ou seja: 
 tanφ = (v4/ω2 - e) / (a + y) 
em que, uma vez que tanto (v4) como (ωωωω2) constam da equação, se pode concluir que o ângulo de 
pressão (φφφφ) não depende da velocidade angular da came. 
Nota: no caso de seguidor concentrico, a expressão acima reduz-se a: tanφ = (v4/ω2)/(a + y) 
 Para a determinação do ângulo de pressão, ao longo da rotação da came, basta substituir (y) pelos 
valores correspondentes, dados pela equação do tipo de movimento em causa. 
 A influência do tipo de movimento no ângulo de pressão é demonstrada na Fig.4.19, em que se 
encontram traçados os deslocamentos correspondentes a um mesmo valor de (φ), para movimentos 
uniforme, modificado, harmónico simples, cicloidal e parabólico. 
 
A - Uniforme, B - Unif.modificado, C - Harmónico simples, D - Cicloidal , E - Parabólico 
Figura 4.19 - Curvas de deslocamento para um mesmo ângulo de pressão 
 Os resultados estão expressos em termos do diâmetro primitivo necessário, relativamente ao 
deslocamento (y) pretendido e, de A a E, encontram-se ordenados pelo maior diâmetro necessário para 
assegurar um mesmo valor de ângulo de pressão. 
 Normalmente o ângulo de pressão é limitado a um máximo de 30o a 35o, valores que a prática 
indica como suficientes para garantir a ausência de problemas na maioria das aplicações. 
 De notar ainda que, para uma mesma geometria de came, o descentramento do seguidor é um modo 
efectivo de diminuir o ângulo de pressão, bem como a utilização de seguidores planos e de rolete 
oscilante. 
4.2.6.3 Factor de Came 
 Existe uma forma empírica de projecto de cames com seguidor de translacção com rolete, baseada 
no chamado ‘factor de came’: 
 f = l / y 
em que: 
 l = comprimento de arco de circunferência primitiva (em mm) 
 y = deslocamento do seguidor (em mm) conseguida no decurso desse arco 
 Valores usuais de (f) para diferentesângulos de pressão e movimentos básicos do seguidor, são 
listados a seguir. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 20 
 Adicionalmente, e como o comprimento do arco da circunferência primitiva (l) e o respectivo raio 
(rP) são relacionados por: 
 l = rP ⋅ β 
então: 
 rP = l / β = f ⋅ y / β 
o que permite definir, à partida, o raio primitivo da came para se obter determinado ângulo de pressão, 
conhecidos que sejam o deslocamento pretendido, o ângulo de rotação da came em que se processa e 
retirado o factor de came da Tabela abaixo. 
 
Factores de Came para movimentos básicos 
 Tipo de Movimento 
Ângulo de 
Pressão 
 
Uniforme 
Uniforme 
modificado 
 
Harmónico 
Parabólico 
e Cicloidal 
10 5.67 5.84 8.91 11.34 
15 3.73 3.99 5.85 7.46 
20 2.75 3.10 4.32 5.50 
25 2.14 2.58 3.36 4.28 
30 1.73 2.27 2.72 3.46 
35 1.43 2.06 2.24 2.86 
40 1.19 1.92 1.87 2.38 
45 1.00 1.83 1.57 2.00 
4.2.6.4 Raio de Curvatura 
 Nem sempre o projecto correcto de uma came (em termos de deslocamento, velocidade, aceleração 
e ângulo de pressão) resulta no correcto movimento do seguidor. 
 A Fig.4.20 (a) mostra duas soluções possíveis para uma mesma curva primitiva: duas superfícies 
diferentes, para dois diêametros de rolete diferentes. Para o rolete maior, há uma área da came 
materialmente impossível (um ‘laço’) que, uma vez maquinada, origina uma zona de transição 
ponteaguda. O resultado final é um rolete que segue uma trajectória ‘rebaixada’, longe da pretendida. 
 
 (a) duas soluções (b) situação limite 
Figura 4.20 - Raio mínimo da curva primitiva 
MECÂNICA APLICADA - Cames 21 
 Na Fig.4.20 (b) encontra-se a situação limite em que um rolete consegue seguir a curva pretendida, 
ou seja, quando: 
 rR ≥ ρK 
em que (rR) representa o raio do rolete e (ρρρρK) o raio de curvatura. 
 
 A obtenção de uma expressão analítica para o raio mínimo da curva primitiva pode ser 
demonstrada, para um caso genérico como o ilustrado na Fig.4.21. 
Figura 4.21 - Raio da curva primitiva 
em que, sendo (rA) o raio da circunferência primitiva e (y4) o deslocamento do seguidor, dependente 
do angulo (θθθθ2) da came, o raio da curva primitiva em qualquer ponto é dado por: 
 r = rA + y4 
 A equação geral do raio de curvatura pode ser deduzida por cálculo diferencial, como: 
 [r2 + (dr/dθ2)2]3/2 
 ρ = -  
 r2 + 2⋅(dr/dθ2)2 - r⋅(d2r/dθ22) 
ou, como (dr/dθ2) = (dy4/dθ2), 
 [(rA + y4)2 + (dy4/dθ2)2]3/2 
 ρK = -  
 (rA +y4)2 + 2⋅(dy4/dθ2)2 - (rA + y4)⋅(d2y4/dθ22) 
em que o sinal negativo indica a existência de uma concavidade na curva. 
 Nas cames, usualmente, o raio (ρρρρK) atinge o seu valor mínimo quando (dy4/dθθθθ2=0), o que ocorre 
para (θθθθ2=0) e (y4=0). Recordando que (dθθθθ2/dt=ωωωω2), (dy4/dt=v4) e (d2y4/dt2=a4), além de que 
(d2θθθθ2/dt2=0) para (ωωωω2=const), pode concluir-se que a curvatura primitiva mínima será dada por: 
 rA2 
 ρK, min. = -  
 rA - (a4/ω22) 
MECÂNICA APLICADA - Cames 22 
dependendo, assim, do raio da circunferência primitiva e da razão entre a velocidade de rotação da 
came e a aceleração do seguidor. 
 Por seu turno, o raio mínimo da superfície da came deverá ser de, 
 ρC, min. = ρK, min. + rR 
 No caso de curvatura convexa o estudo é em tudo semelhante, excepto no facto da expressão de 
(ρρρρK) ser positiva. Neste caso, o raio mínimo de curvatura corresponde ao ponto de máxima aceleração 
negativa. 
 Para seguidores de prato plano, a came deve ter dimensões suficientes para evitar que o raio de 
curvatura do perfil seja nulo, no período de aceleração negativa. Para evitar esta situação basta garantir 
que: 
 ρC, min. = rB + y + (a4/ω22) > 0 
4.2.6.5 Relação de Acelerações 
 No decurso da elevação ou da descida do seguidor, existem pelo menos dois pontos de aceleração 
máxima, uma positiva e outra negativa. A ‘relação de acelerações’ define-se como a razão entre estes 
dois valores absolutos máximos. 
 Utilizando os índices (i) e (ii) para definir a primeira e segunda partes do movimento do seguidor, a 
relação de acelerações é dada por: 
 K = ai,max/aii,max 
 Assim, e se o movimento for de elevação, (K>1) indica que a aceleração positiva é mais elevada 
que a aceleração negativa, e vice-versa. 
 Por vezes, no projecto de cames, é conveniente limitar um destes picos, mas não necessáriamente os 
dois. Na hipótese de um seguidor que seja mantido contra a respectiva came unicamente por acção da 
gravidade, o contacto perder-se-á caso a aceleração negativa ultrapasse os 9.8 m/s2. Neste caso a 
solução, para evitar o recurso à acção de molas, passaria por garantir uma relação de acelerações 
diferente da unidade. 
 
 Analizando, por exemplo, um caso de elevação parabólica em que podem ser individualizadas duas 
fases distintas do movimento de subida - uma primeira que se processa durante um ângulo (ββββI) de 
rotação da came, e uma segunda num ângulo (ββββii), sendo o ângulo total de elevação de (ββββ=ββββi+ββββii) - para 
a primeira parte do movimento teremos uma equação básica do tipo: 
 yi = C ⋅ θ 
em que, sendo (yi=y/2) para (θθθθ=ββββ), então (C=y/2ββββi2) e portanto, 
 yi = (y⋅θ2)/(2⋅β2) 
pelo que: 
 vi = (y⋅ω)/(2⋅βi) ⋅ θ 
 ai = (y⋅ω2)/βi2 
MECÂNICA APLICADA - Cames 23 
sendo que a aceleração máxima ocorrerá para (θ=βi), com o valor: 
 ai,max. = (y⋅ω)/βi 
 Para a segunda fase do movimento de subida, teremos: 
 yii = C1 + C2 ⋅ θ + C3 ⋅ θ2 
em que, sendo (yii=y) e (vii=0), para (θθθθ=ββββi+ββββii), enquanto que (aii=ai=(y⋅⋅⋅⋅ωωωω)/ββββi), para (θθθθ=ββββI), então: 
 yii = - [y/(2⋅βi⋅βii)] ⋅ [βi2 + βii2 - 2⋅(βi + βii)⋅θ + θ2] 
e, por sua vez, 
 aii = (y⋅ω2)/(βiβii) 
Assim, a relação de acelerações será, 
 ai (y⋅ω2)/βi2 βii 
 K =  =  =  
 aii (y⋅ω2)/βiβii βi 
pelo que se pode concluir que a relação desejada poderá ser conseguida por simples ajuste das duas 
partes (ββββI e ββββii) do ângulo de rotação da came correspondente à elevação do seguidor. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 24 
4.2.7 Casos Particulares 
4.2.7.1 Cames Tangentes e de Arcos de Circunferência 
 Frequentemente, a necessidade de fabrico de cames em grande quantidade e a custos razoáveis 
implica a introdução de simplificações na sua geometria e, portanto, ao compromisso do seu 
desempenho, nomeadamente em termos de velocidades e acelerações. 
 Nestes casos é também comum o recurso à ‘mecânica inversa’, isto é, partir de um perfil de came 
exequível - usualmente constituído por uma combinação de arcos, rectas, involutas, etc., fáceis de 
gerar em máquinas-ferramentas comuns - e determinar a posteriori o diagrama de deslocamentos 
correspondente. Seguidamente é realizada a análise cinemática do movimento resultante, detectados e 
reparados os possíveis problemas de funcionamento e o projecto gradualmente melhorado, por 
aproximações sucessivas. 
 
 O primeiro exemplo, ilustrado na Fig.4.22(a), é de uma came constituída por três arcos de 
diferentes raios, vulgarmente designada por ‘came de arcos’. Os pontos A, B, C e D são tangentes aos 
arcos adjacentes e normalmente implicam alterações súbitas de aceleração, devido à mudança de raio 
de curvatura. 
 
 O segundo exemplo, na Fig.4.22(b), é de uma ‘came tangente’ composta por segmentos de recta 
tangentes a arcos de circunferência. Além de problemas semelhantes aos do exemplo anterior, nesta 
came não é de todo conveniente o emprego de seguidores de prato, devido às suas superfícies planas. 
 
 (a) (b) 
Figura 4.22 - Came de arcos e Came tangente 
4.2.7.2 Curvas Melhoradas 
 Em aplicações de alta velocidade os movimentos básicos, vistos atrás, são muitas vezes 
inadequados em termos de deslocamento, velocidade ou aceleração. Uma solução passa pela adopção 
de combinações de parcelas de várias curvas básicastendo em atenção que, nos pontos de união, deve 
ser assegurada a sua perfeita tangencia e a constância da aceleração. 
MECÂNICA APLICADA - Cames 25 
 Outro método consiste na criação de uma curva polinomial. Com este tipo de curva é possível uma 
boa aproximação a qualquer movimento, muito embora o seu cálculo possa ser complicado. 
A equação é do tipo, 
 y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + ... + Cn⋅θn 
sendo (y) o deslocamento do seguidor e (θθθθ) o angulo de posição da came. As constantes (Ci) dependem 
das ‘condições de fronteira’, ou seja, das particularidades geométricas do movimento e serão em 
número idêntico ao das condições a serem cumpridas. 
 
 Assim e se, por exemplo, se pretender que: 
 
 Movimento do seguidor 
θθθθ y v a 
0 0 0 0 
β d 0 0 
 
para seis condições, teremos: 
 y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + C4⋅θ4 + C5⋅θ5 
cujas primeira e segunda derivada serão: 
 v = ωC1 + 2ωC2⋅θ + 3ωC3⋅θ2 + 4ωC4⋅θ3 + 5ωC5⋅θ4 
 a = 2ω2C2 + 6ω2C3⋅θ + 12ω2C4⋅θ2 + 20ω2C5⋅θ3 
 
 Subsituindo as condições da Tabela acima nestas três equações, obtem-se 
 0 = C0 
 d = C0 + C1⋅β + C2⋅β2 + C3⋅β3 + C4⋅β4 + C5⋅β5 
 0 = ωC1 
 0 = ωC1 + 2ωC2⋅β + 3ωC3⋅β2 + 4ωC4⋅β3 + 5ωC5⋅β4 
 0 = + 2ω2C2 
 0 = + 2ω2C2 + 6ω2C3⋅β + 12ω2C4⋅β2 + 20ω2C5⋅β3 
a partir das quais se podem calcular: 
 C5 = C1 = C2 = 0 C3 = 10⋅d/β3 C4 = -15⋅d/β4 C5 = 6⋅d/β5 
 
 Assim, finalmente, virão o deslocamento, 
 10⋅d 15⋅d 6⋅d 
 y =  θ3 -  θ4 +  θ5 
 β3 β4 β5 
MECÂNICA APLICADA - Cames 26 
a velocidade, 
 30dω 60dω 30dω 
 v =  θ2 -  θ3 +  θ4 
 β3 β4 β5 
a aceleração, 
 60dω2 180dω2 120dω2 
 a =  θ -  θ2 +  θ3 
 β3 β4 β5 
e o impulso, 
 60dω3 360dω3 360dω3 
 i =  -  θ +  θ2 
 β3 β4 β5 
 
 Na Fig.4.23 encontram-se as curvas correspondentes. De notar que, embora substancialmente 
diferentes, os resultados são comparáveis com os obtidos por um movimento cicloidal. 
 
Figura 4.23 - Curvas de deslocamento polinomial 
 
MECÂNICA APLICADA - Cames 27 
4.3 VOLANTES DE INÉRCIA 
4.3.1 Aplicação 
 Num sistema mecânico, tal com no mais simples dos mecanismos, existe sempre uma ‘entrada’ e 
uma ‘saída’, um órgão motor e outro movido. 
 O binário motor (BM) disponível, num ciclo de trabalho, deve ser suficiente para vencer o binário 
resistente (BR). No entanto, dependendo da natureza da fonte de energia e das características do 
trabalho a realizar pelo sistema, um e outro podem e muitas vezes devem variar ao longo desse mesmo 
ciclo. 
 Na Figura 4.24 estão esboçadas várias situações possíveis. 
 
(i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iv) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.24 – Combinações possíveis de binários motores e resistentes 
Binário motor (BM) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário resistente (BR) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário motor (BM) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário resistente (BR) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário resistente (BR) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário motor (BM) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário motor (BM) 
Ângulo de rotação (α) 
Binário resistente (BR) 
Ângulo de rotação (α) 
MECÂNICA APLICADA - Cames 28 
 Num gráfico [Binário (B) versus Ângulo (α)], como os da Figura anterior, a área limitada pela 
curva traduz o ‘trabalho’ realizado, na forma, 
 ‘trabalho’ = B ⋅ αTotal [N⋅m] ⋅[rad] 
e, num ciclo, as áreas correspondentes ao trabalho fornecido tem de igualar a área correspondente ao 
trabalho absorvido, ou seja, 
 BR ⋅ α Total = BM ⋅ α Total 
 Assim, e para um caso de binário motor resistente (BR) variável, a Figura 4.25 ilustra a 
determinação do binário motor (BM) constante necessário, ao longo de um ciclo completo de trabalho 
[ϕ0, ϕ5]. 
 
Figura 4.25 – Determinação do binário motor (BR) constante 
 para um binário resistente (BM) variável 
 Para igualar os trabalhos fornecido e absorvido, torna-se necessário assegurar a igualdade das áreas 
acima e abaixo da linha média, que corresponderá ao binário motor necessário: 
 a1 + a2 + a5 = a2 + a4 
sendo que, ao longo do ciclo haverá carência de energia nos intervalos [ϕ1, ϕ2] e [ϕ3, ϕ4] e excesso nos 
intervalos [ϕ0, ϕ1], [ϕ2, ϕ3] e [ϕ4, ϕ5]. 
 É assim evidente a necessidade de um órgão capaz de absorver, ou disponibilizar, pelo menos o 
maior valor diferencial de energia representado nestes intervalos. 
 A capacidade de acumular/devolver energia do volante, sob a forma de energia cinética, é 
conseguida pela variação da sua velocidade de rotação, dependendo do seu momento mássico de 
inércia (Im). 
 
4.3.2 Determinação do Momento Mássico de Inércia 
 Para um disco de raio (R) em rotação a uma velocidade (ω), analisando um elemento (dm) a um 
raio (r) do centro – Figura 4.26, 
 
αααα 
[rad] 
BM 
BR 
ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5
BM 
BR 
a1 
a2
a3
a4
a5
MECÂNICA APLICADA - Cames 29 
Figura 4.26 – Energia cinética de um disco 
a sua energia cinética é dada por, 
 dE = ½ dm (ω⋅r)2 
pelo que, integrando, 
 E = ω2/2 ⋅ ∫ dm⋅r2 
 = ½ ⋅ ω2 ⋅ Im 
em que, 
 Im = ∫ dm ⋅ r2 
é o Momento de Inércia Mássico, ou dinâmico, do volante. 
 
4.3.3 Geometrias Correntes 
 Sendo componentes em rotação, o seu balanceamento é normalmente imprescindível (1). 
 Para as configuraçãoes, de revolução, mais comuns é possível estabelecer um procedimento rápido 
de determinação do momento mássico de inércia, em função da geometria. 
a) Volante de Disco 
 Constituído por um cilíndrico de espessura uniforme – Figura 4.27 – pode ser um órgão específico 
para o efeito em vista ou um simples componente geral do equipamento (veio, polie, engrenagem, 
etc.). 
 Nota: no dimensionamento de equipamentos complexos é mesmo aconselhável uma cuidadosa 
contabilização da capacidade de armazenamento de energia cinética dos vários componentes 
envolvidos, como boa prática no cálculo do volante necessário ao sistema – no ponto 4.3.4 
aborda-se esta questão, tendo em conta diferentes velocidades de rotação das massas. 
 
(1) Exceptuam-se os casos dos chamados ‘contra-pesos’ em que, frequentemente, a sua geometria tem simultaneamente em 
atenção a equilibragem de outras peças, além do próprio volante; p.ex. na cambota de um motor de explosão. 
R
r 
dm
ω
MECÂNICA APLICADA - Cames 30 
 
Figura 4.27 – Volante de disco 
 Considerando um anel elementar de raio (r), o seu momento de inércia mássico será dado por: 
 dIm = r2 dm 
em que a massa elementar, 
 dm = 2 ⋅ π ⋅ b ⋅ ρ ⋅ r dr 
sendo (ρ) a densidade do material [Kgm/m3]. 
 Assim, para o disco virá. 
 Im = 2 ⋅ π ⋅ b ⋅ ρ ⋅ ∫ r3 dr 
 = (π/32) ⋅ b ⋅ ρ ⋅ d4 
 
b) Volante de Cinta 
 Neste tipo de volantes o contributo da alma é geralmente desprezável uma vez que, na maioria dos 
casos, é constituída por um par de discos ou cones muito abertos, em chapa fina, e portanto de massa 
muito menor que o aro externo. 
 Assim, pode considerar-se apenas a inércia do aro metálico, ou cinta – Figura 4.28, 
 
Figura 4.28 – Volante de cinta 
 Para um diâmetro médio (d) da cinta, vem que: 
cinta 
alma 
d 
b 
r 
dr
MECÂNICA APLICADA - Cames 31 
 Im = m ⋅ (d2/4) 
 Nota: caso a massa da alma não seja desprezável, deve aplicar-se-lhe o mesmo princípio exposto atrás 
para os discos, adicionando os resultados. 
 
c) Volante de Braços 
 Neste tipo de volantes, o contributo da alma (quando exista) é desprezável, pelo que se considera a 
inércia da cinta, adicionada do efeito correspondente à massa dos braços– Figura 4.29. 
 
Figura 4.29 – Volante de braços 
 Neste tipo de volante, normalmente obtido por fundição, a contribuição do próprio cubo pode não 
ser desprezável, pelo que pode convir equacioná-la. 
 
d) Volante de uma forma qualquer 
 Como já visto para o caso dos volantes de disco, o momento mássico de inércia de um corpo 
relativamente a um eixo de simetria baricentrico, pode definir-se como, 
 Im = ∫ r2 dm 
 = 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ ∫ b ⋅ r3 dr 
em que (Im) é proporcional ao integral (∫ b ⋅ r3 dr). 
 Este integral é determinável graficamente, para uma dada geometria da secção radial do volante, tal 
como ilustrado na Figura 4.30 (a). 
 Considerando o sistema de eixos da Figura 4.30 (b), pode então ser construído o diagrama do 
produto (b⋅r3) em função de (r), tal como ilustrado. 
 Na elaboração do gráfico deve ser estabelecida uma escala como, por exemplo: 
 - segundo (r), 1 cm ≡ C1 [cm] 
 - segundo (br3), 1 cm ≡ C2 [cm4] 
 
braços
cinta 
cubo 
MECÂNICA APLICADA - Cames 32 
Figura 4.30 – Determinação gráfica de momentos mássicos de inércia (Im) 
 Assim, a área (A) limitada pela curva obtida e pelo eixo (r) – neste exemplo, expressa em [cm2] – é 
proporcional ao integral (∫ b ⋅ r3 dr) que, por sua vez, poderá ser calculado como, 
 (∫ b ⋅ r3 dr) = C1 ⋅ C2 ⋅ A [cm5] 
 
4.3.4 Redução dos Momentos de Inércia Mássicos a uma mesma Velocidade de Rotação 
 Como referido atrás, a capacidade de armazenamento de energia cinética dos componentes de um 
sistema (veios, polies, engrenagens, etc.) pode ser muito significativa e afectar, minimizando-o, o 
dimensionamento do volantes necessário. 
 Para tal, e uma vez que estes componentes rodam muitas vezes a diferentes velocidades, é 
necessário reduzir a sua inércia à correspondente à da velocidade do veio para o qual o volante está a 
ser projectado. 
 Sejam (Im1, Im2, Im3, ...) os momentos mássicos de inércia das massas ligadas aos veios (1, 2, 3, ...), 
com velocidades de rotação de (ω1, ω2, ω3, ...), a energia cinética total do sistema é dada por, 
 E = ½ ⋅ (I1⋅ω12 + I2⋅ω22 + I3⋅ω32 + ...) 
 = ½ ⋅ ω12 ⋅ [I1 + I2 ⋅(ω2/ω1)2 + I3 ⋅(ω3/ω1)2 + …] 
pelo que o momento mássico de inércia total, reduzido à velocidade de rotação do veio (1), vem como, 
 (Im eq.)1 = I1 + I2 ⋅(ω2/ω1)2 + I3 ⋅(ω3/ω1)2 + ... 
-----oOo----- 
a) 
b) 
b⋅r3 
r 
r1 
r2 
b1 b2 
A 
MECÂNICA GERAL 
 
Anexo I 
ao 
Capítulo IV 
Cinemática de Curvas Básicas de Cames 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia 
UNIVERSIDADE DO MINHO 
 J.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta Claro 
[e-version: 2007 r.0] 
MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo I -1 
ANEXO I - CINEMÁTICA DE CURVAS BÁSICAS DE CAMES 
I.1. Equações do movimento 
 
A
ce
le
ra
çã
o 
0 
(ω
⋅R
P⋅
d)
2 /[
d2
-(
R
P⋅
θ)
2 ]3
/2
 
[(d
/2
) ⋅
(π
⋅ω
/β)
2 ]⋅
co
s(
π
⋅θ
/β)
 
d/
2⋅
(π
⋅ω
/β)
2 ⋅
[co
s(
π
⋅θ
/β)
-c
os
(2
π
⋅θ
/β)
] 
(2
π
d⋅
ω
2 /β
)2
⋅
se
n(
2π
θ/
β)]
 
 
(4
⋅
d⋅
ω
2 )
/β2
 
-4
⋅
d⋅
(ω
/β)
2 
 
24
⋅
d⋅
ω
2 /β
2 ⋅
(θ
/β)
 
-2
4⋅
d⋅
ω
2 /β
2 ⋅
(1
-θ
/β)
 
6⋅
d⋅
ω
2 /β
2 ⋅
(1
-2
⋅
θ/
β) 
V
el
oc
id
ad
e 
d/
β⋅ω
 
(ω
⋅R
P⋅
θ)
/[d
2 -
(R
P⋅
θ)
2 ]1
/2
 
[π
⋅d⋅
ω
/(2
⋅
β)]
⋅se
n(
π
⋅θ
/β)
 
π
⋅d
⋅
ω
/(2
⋅
β)⋅
[se
n(
π
⋅θ
/β)
-1
/2
⋅
se
n(
2π
⋅θ
/β)
] 
(d
⋅
ω
/β)
 ⋅[
1 
- c
os
(2
π
θ/
β)]
 
 
(4
⋅
d⋅
ω
⋅θ
)/β
2 
(4
⋅
d⋅
ω
/β)
⋅
(1
-θ
/β)
 
 
12
⋅
d⋅
ω
/β⋅
(θ
/β)
2 
12
⋅
d⋅
ω
/β⋅
(1
-θ
/β)
2 
6⋅
d⋅
ω
⋅θ
/β2
⋅
(1
-θ
/β)
 
D
es
lo
ca
m
en
to
 
d/
β ⋅
 θ
 
d–
[d
2 -(
R
P⋅
θ)
2 ]1
/2
 
d/
2 
⋅
[1
-c
os
(π
⋅θ
/β)
] 
d/
2⋅
[1
-c
os
(π
⋅θ
/β)
-1
/4
⋅
(1
-c
os
(2
π
⋅θ
/β)
)] 
d 
/π
⋅[(
π
θ/
β-1
/2
)⋅s
en
(2
π
θ/
β)]
 
 
2⋅
d⋅
(θ
/β)
2 
d⋅
[1
-2
⋅
(1
-θ
/β)
2 ] 
 
4⋅
d⋅
(θ
/β)
3 
d⋅
[1
-4
⋅
(1
-θ
/β)
3 ] 
d⋅
(θ
/β)
2 ⋅
(3
-2
⋅
θ/
β) 
C
ur
va
 
R
ec
ta
 
A
rc
os
 d
e 
C
ir
cu
nf
er
ên
ci
a 
H
ar
m
ón
ic
a 
Si
m
pl
es
 
H
ar
m
ón
ic
a 
D
up
la
 
C
ic
lo
id
al
 
Pa
ra
bó
lic
a 
( θθ θθ
/ ββ ββ ≤≤ ≤≤
0.
5)
 
(θ
/β≥
0.
5)
 
C
úb
ic
a 
N
º 1
 
( θθ θθ
/ ββ ββ ≤≤ ≤≤
0.
5)
 
( θθ θθ
/ ββ ββ ≥≥ ≥≥
0.
5)
 
C
úb
ic
a 
N
º 2
 
MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo I -2 
I.2. Características cinemáticas do movimento 
 
A
pl
ic
aç
ão
 
Im
pr
at
ic
áv
el
 c
om
 
es
ta
ci
on
am
en
to
 n
os
 e
xt
re
m
os
 
B
ai
xa
s v
el
oc
id
ad
es
 
Ex
ce
le
nt
e 
pa
ra
 v
el
oc
id
ad
es
 
m
od
er
ad
as
 
Ex
ce
le
nt
e 
pa
ra
 a
lta
s v
el
oc
id
ad
es
 
V
el
oc
id
ad
es
 b
ai
xa
s e
 m
od
er
ad
as
 
B
ai
xa
s v
el
oc
id
ad
es
 
M
od
er
ad
as
 a
 a
lta
s v
el
oc
id
ad
es
 
O
bs
er
va
çõ
es
 
C
ho
qu
es
 n
os
 e
xt
re
m
os
 
Im
pu
ls
o 
co
ns
id
er
áv
el
 
Im
pu
ls
o 
ra
zo
áv
el
 p
ar
a 
m
éd
ia
s 
ve
lo
ci
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MECÂNICA APLICADA - Cames Anexo I -3 
I.3. Alguns considerandos finais 
CurvasBásicas 
 
 
Recta: fracas características a qualquer velocidade, devido ao choque que se verifica no início e no 
fim do levantamento 
Recta Modificada: melhor que a anterior, mas só utilizável a muito baixas velocidades 
Arcos de Circunferência: os choques no início e no fim do movimento são reduzidos, mas à custa de 
um elevado ângulo de pressão 
Elipse: de características idênticas às da curva harmónica simples, quando correctamente escolhida a 
proporção dos eixos; de fabrico difícil e elevada dimensão (para controlar o ângulo de pressão) não é, 
em geral, muito utilizada 
Harmónica Simples: de cálculo complicado, embora de construção simples, apresenta um 
comportamento razoável a velocidades elevadas 
Harmónica Dupla: semelhante à anterior, tem ainda a vantagem de uma maior suavidade no início 
do levantamento 
Cicloidal: a melhor das curvas básicas, permitindo altas velocidades de funcionamento 
Parabólica: inferior à anterior, para velocidades elevadas 
Cúbica Nº 1: originando cames de elevadas dimensões, a sua utilização só é viável para baixas 
velocidades (em que o efeito da inércia de massas desbalanceadas seja pequeno) 
Cúbica Nº 2: tem características semelhantes à de curva harmónica simples 
 
 
 
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