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Lista de C2 P1
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LISTA DE CÁLCULO 2 (P1) “Lista do Mágico”
1ª Questão (2,5) : Calcular a integral indefinida :
C
x
x
x
tgx
x
dx
x
x
x
x
tgx
x
x
dxxvdxxdv
dx
x
duxu
partesPor
xdxxxdxdxx
dxxx
x
xx
9
ln
3
2
7
.3
3
.
1
ln
3
2
3
1
ln
:
ln.sec.2
ln.
cos
2
.
333
7
33
1
3
4
1
3
4
3
22
223
4
2
2
3
2)Calcular a integral indefinida :
dx
x
x
x
x
22
2 ln4
cos
cos1 =
C
xx
x
xtgx
dx
xx
xxtgx
x
dx
x
vdx
x
dv
dx
x
duxu
tartespordx
x
x
dxxdx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
4ln4
1
)
1
(ln4
111
1
ln
)(
ln
sec
ln
4
cos
cos
cos
1
2
33
3
2
32
2
2
3ª Questão (2,5) : O gráfico da função 2
2
1
;
2
)(
2
x
x
xf , gira
em torno do eixo x. Dê a área da superfície obtida.
..2
4
5
3
4
.
3
2
..22
4
5
8
1
2
2
1
2
221
:var
12..2
2
1
12..2
2
1
1
8
1
2
1
22
2
)(12
3
3
2
4
5
2
32
4
5
2
1
2
1
2
1
8
1
2
2
2
8
1
autdttS
tyPara
tyPara
dt
dydtdyty
iáveldeMudança
dyydy
y
yS
yxPara
yxPara
yxxy
x
y
dy
dy
dx
xS
y
y
x
4ª Questão (2,5): Ache a solução geral da EDO :
2
2 14 yxy
Cx
x
y
Cx
x
y
dxx
y
dy
dxx
y
dy
yx
dx
dy
3
4
1
3
41
14
14
14
3
3
2
2
2
2
22
3ª Questão (2,5) : O gráfico da função
21;
3
)(
3
x
x
xf
, gira em
torno do eixo x. Dê a área da superfície obtida.
..221717
93
.
32
1
.
3
1
.2
172
21
2
4211
:var
1
3
2
))('(1)(2
17
2
317
2
2
33424
2
1
4
3
2
au
t
dtt
tx
tx
dxx
tdt
dxxtdtxtxt
iáveldeMudaça
dxx
x
dxxfxfS
x
4ª Questão (2,5): Ache a solução geral da EDO :
2
2 14 yxy
Cx
x
y
Cx
x
y
dxx
y
dy
dxx
y
dy
yx
dx
dy
3
4
1
3
41
14
14
14
3
3
2
2
2
2
22
1ª Questão (1,0): Calcular :
2x x x dx
1
2 22.
3 513 3 32 2222
53 3 3
1
2
2 32
5 3
2 322Re .
5 3
x x x dx x x dx x dx
x x x x
x dx x dx C C
x x x
C
x x x
sp x x x dx C
2ª Questão (1,5): Calcular :
ln
3
x
dx
x
:
1
ln
1 13
3 22
ln 1 1 1
ln .
3 2 22 2
ln 1 ln 13
2 2 2 22 2 4
ln ln 1
Re .
3 2 22 4
Por partes
u x du dx
x
dv dx v x dx
x x
udv uv vdu
x
dx x dx
xx x x
x x
x dx C
x x x
x x
sp dx C
x x x
3ª Questão (1,5) : Calcular :
2 1
1 1
x
dx
x x
Decomposição:
2 1
1
1 11 1
( 1) ( 1)2 1
1 1 1 ( 1)
2 1 ( 1) ( 1)
1
1 1 2
2
3
1 3 2
2
1 3
2 1 2 2(1) :
1 11 1
2 1 1 3
2 1 2 11 1
2 1 1 3
Re . ln 1 ln 1
2 21 1
x A B
x xx x
A x B xx
x x x x
x A x B x
Para x A A
Para x B B
x
Em
x xx x
x dx dx
dx
x xx x
x
sp dx x x
x x
C
4ª Questão (3,0): Calcular a área de rotação da superfície gerada
pela curva
3 , 0 2y x x
em torno do eixo x.
2
2 1
22 2
3 2 3 42 1 3 2 1 9
0 0
336 2
13
4 2var : 1 9 18
0 1
2 37
337 37 31 2 372 . . 37 1
118 9 9 3 271 1
Re .
b dy
S y dxx dxa
S x x dx x x dxx
x dx tdt
x dx tdt
Mudança de iavel x t
Para x t
Para x t
t
S t tdt t dts
sp Sx
37 37 1 . .
27
u a
5ª.Questão)(3,0) : Calcular o volume do sólido obtido pela rotação ao girar
em torno do eixo x a região limitada por
1y x
, x = 2 , x = 5 e y = 0.
2( )
5 52
1 1
2 2
2 25 155 5 2 2
22 2 2
15
Re . . .
2
b
V f x dxx
a
V x dx x dxx
x
x
sp V u vx
5ª.Questão(3,0) : Calcular o volume do sólido de rotação obtido
ao girar em torno do eixo x a
região limitada por 22 0.y x x e y
2( )
22 2
2 2 3 42 4 4
0 0
3 54 32 324 2 16
05 53 3
160 240 96 16
15 15
16
Re . . .
15
b
V f x dxx
a
V x x dx x x x dxx
x x
x
sp V u vx
1ª Questão (1,0) : Calcular :
x x x dx
1
2.
3 11 12 2 2
2
2 2 3 1
2
5
52 2 22 2 2 52
5 5 52 2 2
2
2 2 5Re .
52
x x x dx xdx x x dx
x x x
x dx C
x x x x
C x C x C
x
sp x x x dx x C
2ª Questão(1,5) : Calcular :
ln
4
x
dx
x
:
Por partes:
1
ln
1 14 4
4 3 3
ln 1 1
ln .
4 3 43 3
ln 1
3 33 9
ln ln 1
Re .
4 3 33 9
u x du dx
x
dv dx x dx v x dx
xx
udv uv vdu
x
dx x dx
x x x
x
C
x x
x x
sp dx C
x x x
3ª Questão(1,5): Calcular :
3 2
2 1
x
dx
x x
Por decomposição:
3 2
(1)
2 12 1
( 1) ( 2)3 2
2 1 2 1
3 2 ( 1) ( 2)
4
2 4 3
3
5
1 5 3
3
(1) :
4 5
3 2 3 3
2 12 1
3 2 4 5
Re . ln 2 ln 1
3 32 1
x A B
x xx x
A x B xx
x x x x
x A x B x
Para x A A
Para x B B
Em
x
x xx x
x
sp dx x x C
x x
4ª Questão (3,0 ) : Calcule o comprimento da curva :
2 ln
2 4
2 4
x x
y para x
2
1
22 2 22 1 4 1
1 1 1
2 4 4
2
4 2 2 4 2 216 8 1 16 16 8 1 4 1
1
2 2 416 16
2
1
4
2 24 41 1 ln 4
24 4 2 4
2 2
8
b dy
L dx
dxa
dy x x
x xdx
x x x x x x
xx x
x
x
x x
L x dx x dx
x x
ln 4 ln 2 ln 22 6
4 4 4
ln 2
Re . 6 . .
4
sp L u c
1ª Questão(1,0) : Calcular :
3
3
2
x dx
x
3
23 3 22
3
3 1
4 42 4
2.
4 3 41
2
42 43Re .
43
x dx x dx x dx
x
x x x
C C
x
x
sp x dx C
xx
2ª Questão (1,5) : Calcular :
arccos( )x dx
1
arccos
21
arccos arccos
21
2 2var : 1
2arccos arccos arccos 1
2Re . arccos arccos 1
u x du dx
x
dv dx v dx x
udv uv vdu
x
xdx x x dx
x
mudança de iavel x t xdx tdt
tdt
xdx x x x x x C
t
sp xdx x x x C
3ª Questão (1,5): Calcular :
1
1 2
x
dx
x x
Por decomposição :
1
(1)
1 21 2
1 ( 2) ( 1)
1
2 : 1 3
3
2
1 : 2 3
3
(1) :
2 1
1 3 3
1 2( 1)( 2)
1 2 1
3 1 3 2( 1)( 2)
1 2 1
ln 1 ln 2
3 3( 1)( 2)
1 2
Re . ln 1
3( 1)( 2)
x A B
x xx x
x A x B x
Para x B B
Para x A A
Em
x
x xx x
x dx dx
x xx x
x
x x C
x x
x
sp x
x x
1
ln 2
3
x C
4ª Questão (3,0): Determine o volume do sólido obtido com a rotação
em torno do eixo x da região compreendida entre as
parábolas:
2 21 5y x e y x
.
2( )
2 2 2: 1 5 2 4 2
2 22 2 22 5 1
0
2 4 4 2 22 25 10 2 1 2 24 12
3 2 2224 (2 ) 24 (2 2 ) 32 2
03 3
Re . 32 2 . .
b
V f x dxx
a
Extremos x x x x
V x x dxx
x x x x dx x dx
x
x
sp V u vx
5ª.Questão(3,0) : Determine o comprimento da curva 2 ln
3 9
2 4
x x
y para x
2
1
22 2 22 1 4 1
1 1 1
2 4 4
4 2 2 4 216 8 1 16 16 8 1
1
2 216 16
2 224 1 1
4 4
2 29 91 1 1 9ln
34 4 2 4
3 3
b dy
L dx
dxa
dy x x
x xdx
x x x x x
x x
x
x
x x
x
L x dx x dx x
x x
81 1 9 1 ln3ln9 ln3 36
2 4 2 4 4
ln3
Re . 36 . .
4
sp L u c
1ª Questão) (1,5) :Calcular a área da
região limitada pelas curvas :
y = senx; y = cosx ;
3 0 3
1
1
f x( )
g x( )
x x
2ª.Questão) (1,5): Encontre o comprimento
de arco da curva
u.c.
3ª.Questão)(1,5): Encontrar a área da
superfície obtida pela rotação em torno
do eixo x :
4ª.Questão)(1,5): Encontrar o volume do
sólido obtido pela rotação da região dada
em torno do eixo x
3 0 3
4
4
f x( )
g x( )
x x
5ª.Questão)(2,0): Calcular a integral :
6a.Questão (2,0) : Calcular a integral :
1ª Questão (3,0) Calcular as integrais:
a) (1,0):
1x x dx
2 2
1 1 2 1
2 4 2
1 1 .2 2
5 3 5 32 2( 1)( ) 1
2 1 1
5 3 15 15
t x t x dx tdt x t
x x dx t t tdt t t dt
t t x x x
x x
b) (1,0):
2 10 34
dx
x x
=
5 5
2
b
x t t dx dt t x
a
1
( )
2 2 2
3 3 35 10 5 34
1 5
3 3
dt dt t
arctg C
tt t
x
arctg C
c) (1,0):
2 3
3 2 6
x
dx
x x x
=
2 3
2 3
x dx
x x x
Decomposição:
2 3 1 7 1
; ;
( 2)( 3) 2 3 2 10 5
2 3 1 1 7 1 1
( )
( 2)( 3) 2 10 2 5 3
1 7 1
ln ln( 2) ln( 3)
2 10 5
x A B C
A B C
x x x x x x
x C
dx dx
x x x x x x
x x x C
2ª Questão (2,0 pontos): Esboce a região compreendida entre a reta y=x e
o gráfico de
2
2y x x
, e calcule sua área.
Intersecçõa:
f x( )
g x( )
x
2 22 3 0 0; 3
3 32 22 3
0 0
2 33 27 27 18 93 9
02 3 2 2 2
9
. .
2
x x x x x x x
S x x x dx x x dx
x x
S u a
3ª Questão (2,5 pontos): Calcule o volume do sólido obtido pela rotação , em
torno do eixo Oy , do conjunto de todos os pares (x,y) tais que :
2
2
0 2 , 1 1
2
x
x y e y x
0 1 1 ; 2 3
2
2 2 21 2 2 ; 1 1
2
3 3
1 (2 2)
1 2
1 1
2
3 2 32
12
1
9 1
3 1 9 6 1 2
2 2
8 4 4
4 . .
x y e y x y
x
y x y y x x y
V V V y dy y dyy
y
y y y
V u vy
4ª Questão (2,5 pontos): ): Determine a área da superfície gerada pela
rotação da curva de equação 2
2
y
x
, em torno do eixo Ox ,
, 0 1.com y
2 12 2 2 0; 0 0; 1
2 2
1
2 1, 22 ( ) 1 ( ) 2 2 1
20
1 1
2 22 1 2 1
2 2 2 2
2 20 0
1
2 1
2 2 1 2 1 ; 0 1; 2
20
32 322 32 . 2 ( 2 1 )
13 31
2
(2 2 1) .
3
y
x y x y x y x y x
b
S f x f x dx x dxx
xa
x x
x dx x dx
x x
x dx t x x t x t
t
S t tdtx
S ux
.a
1ª Questão (3,0) Calcular as integrais:
a) (1,0):
ln( )x
dx
x
Por partes:
ln ; 2
ln
2 ln 2 2 (ln 2)
dx dx dx
u x du dv v x
x x x
xdx xdx
x x x x C
xx
b) (1,0):
2 10 26
dx
x x
5 5
2
b
x t t dx dt t x
a
2 2 2
10 26 10 25 10 50 265 10( 5) 26
( ) ( 5)
2 2
1
dx dt dt
x x t t tt t
dt
arctg t C arctg x C
t
c) (1,0):
3 22
dx
x x x
=
1 1
2 2 21( 1) ( 1) ( 1)
2( 1) ( 1) 2
1 ( 1) ( 1)
2( 1)
1 1 1
1 ; 1 ; 1
2 2 1( 1)( 1)
1
ln ln( 1) .
1
A B C
x xx x x x x
A x Bx Cx x
A x Bx Cx x
x x
dx
A B C dx
x xxx x
x x C
x
2ª Questão (2,0 pontos): Esboce a região compreendida entre a reta y=x e
o gráfico de
2
3y x x
, e calcule sua área.
Intersecção :
2 2
3 2 3 0 1; 3
1 2
1 12 2
(3 ) (3 2 )
3 3
3
112
(3 ) (3 1 ) 9 9 9
33 3
1 6 1 27 32
2 9
3 3 3
32
. .
3
x x x x x x x
S x x x dx x x dx
x
x x
S u a
3ª Questão (2,5 pontos): Calcule o volume do sólido obtido pela rotação , em
torno do eixo Ox , do conjunto de todos os pares (x,y) tais que :
1
, 1 2.y x x
x
32 1 12 2 2
( )
12 31
8 1 1 16 3 2 6 11
1
3 2 3 6 6
11
. .
6
b x
V f x dx x dxx
a xx
V u vx
4ª Questão (2,5 pontos): Determine a área da superfície gerada pela
rotação da curva de equação 2
, 0 1
2
x
y com x
, em torno de y.
2
2 ( ) 1
1 2
2 2
2 2 1
2 20
1 1
2 22 1
2 2 2 2 1
20 0
22 1 2 1 2 2 ; 0 ; 1;
1
2
2
32 22 3 32 . . 2 [( 2) 1 )]
13 31
2
(2 2 1)
3
2
(2 2 1) . .
3
d dx
S x y dyy
dyc
y dy
y
y
y dy y dy
y
t y t y tdt dy y t
y t
t
S t t dty
S u cy
1ª Questão (2,5 pontos):
a) Calcular a integral :
2(2 3)x dx
2 1
2 2
1
2 3 2
2
1
(2 3)
2 2( 2 1)
1 1
2 2(2 3)
x t dx dt dx dt
t
x dx t dt C
C C
t x
b) Calcular a integral : 2 3 5
2 4 40
x x
dx
x x
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
3 5 35
1
4 40 4 40
3 5 35
1. 2
4 40 4 40
var : 2 ; ; 2
3 1 2 33
36 2 36 6
1 1
ln( 36) 33. . ( )
2 6 6
3 5
Re .
4 40
x x x
x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x
Mudança de iavel x t dx dt x t
t t
x dt x dt dt
t t t
t
x t arctg C
x x
sp
x x
2 11 2ln( 4 40) ( )
2 6
x
dx x x x arctg C
3ª Questão (2,5 pontos):
Gráfico da função e depois calcular a área da região limitada pela
reta y=x+4 e pela parábola 2( ) 2 .y f x x x
f x( ) x 4
g x( ) x
2
2x
f x( ) g x( ) solve x
1
4
0 5
10
f x( )
g x( )
x
4 4
2 2
1 1
3 2
4
1
[( 4) ( 2 )] ( 3 4)
3 64 1 3
( 4 ) ( 24 16) ( 4)
3 2 3 3 2
128 144 96 2 9 20 125
6 6
125
Re . . .
6
S x x x dx x x dx
x x
x
sp S u a
4ª Questão (2,5 pontos):
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo Oy do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que
2
0 3 ; 3 0.
3
x
x y e y f x( ) x
2
3
3
x
2
3y 9
10 0 10
20
40
f x( )
x
3 32 3 4 2
3
0
0 0
6
2
3
2
6
3
3
2 ( 3) 2 ( 3 ) 2
3 3 12 2
81 27 81 162 243 81
2 ( ) 2 ( ) 2 .
12 2 12 6 2
81
Re . . .
2
:
.3 .6 (3 9)
9
54 3 ( 3 ) 54 3 18 18 9
2 2
x x x x
V x dx x dx
sp V u v
ou
Vprocurado Vcilindro Vy y dy
y
y
9 108 27 81
54 3 .
2 2 2
81
Re . . .
2
sp V u v
1ª Questão) (1,5) :
Determinar a área da região limitada pelas
curvas no primeiro
quadrante.
= e -1 -
Resp. A = u.a.
2ª.Questão) (1,5):
Calcular
lnx =
Rsp.:
3ª.Questão)(1,5):
Calcular
2 =
Para x= -1
Para x=0
Para x=-1
Rsp.
4ª.Questão)(1,5): D
Calcular
Resp.
5ª.Questão)(2,0):
Calcular o comprimento de arco de
Rsp.: L = u,c,
6a.Questão (2,0) : D
A região limitada pelo triângulo de vértices
A , B e C gira em torno do eixo x. Calcular
O volume do sólido resultante.
Dados A(1,4) , B(3,2) e C(3,4).
Equaçao da reta AB :
y=ax+b
B(3,2) : 2 =3 a+ b
A(1,4) : 4 = a +b
Reta BC :
Resp .:
1ª Questão (2,5) : Calcular a integral indefinida :
Cte
t
t
dtete
tt
edtevdtedv
dtdutu
partesPor
dtetdttdtt
dtte
t
t
t
tt
ttt
t
t
)1(
2
3
1
2
33
9
.9
1
9
3
1
2
3
3
2
3
2
3
2
2ª Questão (2,5): Determine a área da região delimitada pelos
gráficos: x+y=6 e
42 xy
2 1 0 1
4
6
8
6 x
x
2
4
x x
2
9
6
27
6
1612242312
3
8
24
3
1
1
1
2
3
8
24
3
1
1
1
2
32
2
246
1;20264
1
2
32
1
2
2
1
2
2
21
22
S
xx
xS
dxxxdxxxS
xxxxxx
3ª Questão (2,5) : Calcule o comprimento do arco , dado pelas suas
equações paramétricas :
10;2)(;3)( 2
3
tttyttx
)122(2122
)
3
(662.3
21
10;2
11:var
1399
93
2
3
.2
93
3
3
2
1
32
1
2
2
1
2
1
0
1
0
2
2
1
2
1
2
22
2
1
v
dvvvdvvL
vtPara
vtParavdvdt
vttviáveldeMudança
dttdttL
t
dt
dy
tt
dt
dy
dt
dx
dt
dx
dt
dt
dy
dt
dx
L
AB
AB
t
t
AB
4ª Questão (2,5): Ache a solução geral da EDO :
xxy
dx
dy
4
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
4
1
4
4
1
4
1
42
:var
24)(
x
x
x
tx
xx
Cey
C
e
ey
Cdteey
dtxdxdtxdxtx
iáveldeMudança
Cdxeey
xxdxdxxPm
3ª.Questão)(1,5): Encontrar a área da
superfície obtida pela rotação em torno
do eixo x :
4ª.Questão)(1,5): Encontrar o volume do
sólido obtido pela rotação da região dada
em torno do eixo x
3 0 3
4
4
f x( )
g x( )
x x
5ª.Questão)(2,0): Calcular a integral :
6a.Questão (2,0) : Calcular a integral :
2ª. Questão) (2,0 ):Consider a equação diferencial:
,32)cos( yeyxx y
Determine:
a) A solução geral.
b) A solução particular satisfazendo :
00 y
a)
b) Para x = 0 ; y = 0 :
2ª. Questão) (2,0 ):Consider a equação diferencial:
xsenxyyx ,
Determine:
a) A solução geral.
b) A solução particular satisfazendo :
2
2
y
a)
u= x
b) Solução particular :
1=0+1+C
Resp. y = -cosx +
a) 1ª Questão (2,5): Resolver a EDO:
' 42 2
y
y x
x
y=u.v
u)
'
2 2
2 2 2
0
2
ln( ) 2ln( ) ln( ) ln( )
u du u du dx
u
x dx x u x
du dx
u x u x u x
u x
v)
' 2 4 2 2
3
( ) 2 2 2
2
3
dv
uv Q x x x dv x dx dv x dx
dx
x
v C
3 5
2 22 2( )
3 3
x x
y x C Cx
2ª Questão (2,5): Encontre a solução da equação diferencial :
'
2
1 1
, 0y y x
x x
que satisfaça a condição : y(1)=2
1 ln( ) dx xxI x e e x
Multiplicando a equação membro a membro por I(x), temos:
'' 1 1
1
:
ln( )
xy y xy
x x
Integrando xy dx C
x
xy x C
Condição : y(1)-2, obtemos:
ln1
2 2
1
ln 2
Re :
C C
x
sposta y
x
1ª Questão (2,5) Encontre a solução da equação diferencial:
2 3 , 0
dy
x y x y y y
dx
2 3( 1)
1 1
2 2
:
21 1
2 2
2 1
Re :
2
x ydy y x dx
dy x dx xdx dx
x x
Integrando
x
dy xdx dx y C
xx
x
sposta y C
x
Questão (2,5) Encontre a solução da equação diferencial
1
; 0.
dy x
x
dx xy
que satisfaça a condição: y(1)=4
1 1 1
1
2
ln( ) .
2
x
ydy dx dx dx ydy dx dx
x x x
y
x x C
Da condição : y(1)-4 temos:
24
ln1 1 7
2
2
Re : ln( ) 7
2
C C
y
sposta x x
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