Lista de C2(Mágico)(2ºsem 2012) P1

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LISTA DE CÁLCULO 2 (P1) “Lista do Mágico” 2ºsem 2012 
TODAS AS QUESTÕES ABAIXO SÃO PROVENIENTES DE P1 DA FEI 
1ª Questão (2,5) : Calcular a integral indefinida : 
C
x
x
x
tgx
x
dx
x
x
x
x
tgx
x
x
dxxvdxxdv
dx
x
duxu
partesPor
xdxxxdxdxx
dxxx
x
xx



















9
ln
3
2
7
.3
3
.
1
ln
3
2
3
1
ln
:
ln.sec.2
ln.
cos
2
.
333
7
33
1
3
4
1
3
4
3
22
223
4
2
2
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular a integral indefinida : 
 







dx
x
x
x
x
22
2 ln4
cos
cos1 = 
 
C
xx
x
xtgx
dx
xx
xxtgx
x
dx
x
vdx
x
dv
dx
x
duxu
tartespordx
x
x
dxxdx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x



























 
4ln4
1
)
1
(ln4
111
1
ln
)(
ln
sec
ln
4
cos
cos
cos
1
2
33
3
2
32
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão (1,0): Calcular : 
 2x x x dx
 
1
2 22.
3 513 3 32 2222
53 3 3
1
2
2 32
5 3
2 322Re .
5 3
x x x dx x x dx x dx
x x x x
x dx x dx C C
x x x
C
x x x
sp x x x dx C
 
 
 
 
 
 
     

         

  
   
 
 
2ª Questão (1,5): Calcular : 
ln
3
x
dx
x

 
 
:
1
ln
1 13
3 22
ln 1 1 1
ln .
3 2 22 2
ln 1 ln 13
2 2 2 22 2 4
ln ln 1
Re .
3 2 22 4
Por partes
u x du dx
x
dv dx v x dx
x x
udv uv vdu
x
dx x dx
xx x x
x x
x dx C
x x x
x x
sp dx C
x x x
   
   
   
   
  
   
  
     
     
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão (2,5 pontos): 
a) Calcular a integral :
2(2 3)x dx
 
2 1
2 2
1
2 3 2
2
1
(2 3)
2 2( 2 1)
1 1
2 2(2 3)
x t dx dt dx dt
t
x dx t dt C
C C
t x
 
 
     
    
 
     

 
 
b) Calcular a integral : 2 3 5
2 4 40
x x
dx
x x
 

 
 
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
3 5 35
1
4 40 4 40
3 5 35
1. 2
4 40 4 40
var : 2 ; ; 2
3 1 2 33
36 2 36 6
1 1
ln( 36) 33. . ( )
2 6 6
3 5
Re .
4 40
x x x
x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x
Mudança de iavel x t dx dt x t
t t
x dt x dt dt
t t t
t
x t arctg C
x x
sp
x x
  
 
   
  
  
   
    

     
  
    
 
 
  
  
2 11 2ln( 4 40) ( )
2 6
x
dx x x x arctg C

     
 
2ª Questão(1,5) : Calcular : 
ln
4
x
dx
x

: 
 Por partes: 
 
 
 
1
ln
1 14 4
4 3 3
ln 1 1
ln .
4 3 43 3
ln 1
3 33 9
ln ln 1
Re .
4 3 33 9
u x du dx
x
dv dx x dx v x dx
xx
udv uv vdu
x
dx x dx
x x x
x
C
x x
x x
sp dx C
x x x
 
 
 
 
  
     
  
    
   
  
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5) : Calcular : 
arccos( )x dx
 
 
 
 
 
1
arccos
21
arccos arccos
21
2 2var : 1
2arccos arccos arccos 1
2Re . arccos arccos 1
u x du dx
x
dv dx v dx x
udv uv vdu
x
xdx x x dx
x
mudança de iavel x t xdx tdt
tdt
xdx x x x x x C
t
sp xdx x x x C
  

   
  
  

   
       
   
 
 
 
3ª Questão (1,5): Calcular : 
  
1
1 2
x
dx
x x


 
 
Por decomposição : 
 
 
  
1
(1)
1 21 2
1 ( 2) ( 1)
1
2 : 1 3
3
2
1 : 2 3
3
(1) :
2 1
1 3 3
1 2( 1)( 2)
1 2 1
3 1 3 2( 1)( 2)
1 2 1
ln 1 ln 2
3 3( 1)( 2)
1 2
Re . ln 1
3( 1)( 2)
x A B
x xx x
x A x B x
Para x B B
Para x A A
Em
x
x xx x
x dx dx
x xx x
x
x x C
x x
x
sp x
x x
  
  
    
   
    
  
  
      
       
     
1
ln 2
3
x C 
 
 
 
3ª Questão(1,5): Calcular : 
  
3 2
2 1
x
dx
x x


 
 
Por decomposição: 
 
  
     
  
  
3 2
(1)
2 12 1
( 1) ( 2)3 2
2 1 2 1
3 2 ( 1) ( 2)
4
2 4 3
3
5
1 5 3
3
(1) :
4 5
3 2 3 3
2 12 1
3 2 4 5
Re . ln 2 ln 1
3 32 1
x A B
x xx x
A x B xx
x x x x
x A x B x
Para x A A
Para x B B
Em
x
x xx x
x
sp dx x x C
x x
  
  
   
   
    
    
    
  
  
       
 
 
 
5ª.Questão)(2,0): Calcular a integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,5) : Calcular : 
  
2 1
1 1
x
dx
x x


 
 
 
 
 
 
Decomposição: 
 
  
 
    
  
  
  
2 1
1
1 11 1
( 1) ( 1)2 1
1 1 1 ( 1)
2 1 ( 1) ( 1)
1
1 1 2
2
3
1 3 2
2
1 3
2 1 2 2(1) :
1 11 1
2 1 1 3
2 1 2 11 1
2 1 1 3
Re . ln 1 ln 1
2 21 1
x A B
x xx x
A x B xx
x x x x
x A x B x
Para x A A
Para x B B
x
Em
x xx x
x dx dx
dx
x xx x
x
sp dx x x
x x
  
  
   
   
    
    
    
  
  
      
    
 
C
 
 
 
 
 
3ª.Questão)(1,5): 
Calcular 
 
 
 
 
 
 
 
2 = 
 
Para x= -1 
 
Para x=0 
 
Para x=-1 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 
 
1ª Questão (3,0) Calcular as integrais: 
a) (1,0): 
1x x dx
 
   
 
2 2
1 1 2 1
2 4 2
1 1 .2 2
5 3 5 32 2( 1)( ) 1
2 1 1
5 3 15 15
t x t x dx tdt x t
x x dx t t tdt t t dt
t t x x x
x x
         
       
 
      
 
  
 
 
b) (1,0): 
2 10 34
dx
x x

 
= 
5 5
2
b
x t t dx dt t x
a
        
 
 
   
1
( )
2 2 2
3 3 35 10 5 34
1 5
3 3
dt dt t
arctg C
tt t
x
arctg C
     
   

 
 
 
 
 
c) (1,0): 
2 3
3 2 6
x
dx
x x x


 
=  
  
2 3
2 3
x dx
x x x

 
 
 
Decomposição: 
2 3 1 7 1
; ;
( 2)( 3) 2 3 2 10 5
2 3 1 1 7 1 1
( )
( 2)( 3) 2 10 2 5 3
1 7 1
ln ln( 2) ln( 3)
2 10 5
x A B C
A B C
x x x x x x
x C
dx dx
x x x x x x
x x x C

        
   

     
   
      
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª.Questão)(1,5): 
Calcular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão (2,5) : Calcular a integral indefinida : 
Cte
t
t
dtete
tt
edtevdtedv
dtdutu
partesPor
dtetdttdtt
dtte
t
t
t
tt
ttt
t
t





















)1(
2
3
1
2
33
9
.9
1
9
3
1
2
3
3
2
3
2
3
2
 
 
 
5ª.Questão)(2,0): Calcular a integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a.Questão (2,0) : Calcular a integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (1,5) Calcular a integral : 2 4 5
2 2 8
x x
dx
x x
 

 
 
2
2 2
2
2 2
2
2
2
4 5 2 13
1
2 8 2 8
3 5 2 13
1.
4 40 2 8
2 13 2 13 ( 4) ( 2)
2 8 ( 2)( 4) 2 4 ( 2)( 4)
17 5
log 2 13 ( 4) ( 2)
6 6
3 5 17 5
4 40 6 2 6
x x x
x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x
x x A B A x B x
x x x x x x x x
o x A x B x A B
x x dx d
dx x
x x x
  
 
   
  
  
   
    
   
       
         
 
  
  
  
 4
17 5
ln 2 ln 4
6 6
x
x
x x x C


     
 
 
 
 
 
 
4ª.Questão)(1,5): Calcular a integral: 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª.Questão) (1,5): Calcular a integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.Questão (2,0) : Calcular a integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.Questão)(1,5): 
Calcular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pontos): Esboce a região compreendida entre a reta y=x e o 
gráfico de 
2
3y x x  
, e calcule sua área. 
 
Intersecção : 
 
 
2 2
3 2 3 0 1; 3
1 2
1 12 2
(3 ) (3 2 )
3 3
3
112
(3 ) (3 1 ) 9 9 9
33 3
1 6 1 27 32
2 9
3 3 3
32
. .
3
x x x x x x x
S x x x dx x x dx
x
x x
S u a
          
        
 
          
 
    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pontos): Esboce a região compreendida entre a reta y=x e 
o gráfico de 
2
2y x x 
 , e calcule sua área. 
Intersecção: 
 
f x( )
g x( )
x 
 
   
2 22 3 0 0; 3
3 32 22 3
0 0
2 33 27 27 18 93 9
02 3 2 2 2
9
. .
2
x x x x x x x
S x x x dx x x dx
x x
S u a
       
         
  
      
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão) (1,5) : 
Determinar a área da região limitada pelas curvas 
no primeiro quadrante. 
 
 
 
 
 
= e -1 - 
 
 
Resp. A = u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5): Determine a área da região delimitada pelos gráficos: 
x+y=6 e 
42  xy
 
 
 
 
2 1 0 1
4
6
8
6 x
x
2
4
x x
 
 
 
      
2
9
6
27
6
1612242312
3
8
24
3
1
1
1
2
3
8
24
3
1
1
1
2
32
2
246
1;20264
1
2
32
1
2
2
1
2
2
21
22

































S
xx
xS
dxxxdxxxS
xxxxxx
 
 
 
 
 
 
Questão (2,5 pontos): 
Gráfico da região limitada por todos os pares (x,y) tais que 
2 1 1x y x    e calcule a área limitada pelo gráfico. 
f x( ) x
2
1
 
g x( ) x 1
 
f x( ) g x( ) solve x
0
1







 3 0 3
3
3
f x( )
g x( )
x
 
 
 
1 1
2 2[( 1) ( 1)] ( )
0 0
2 3 1 1 3 21 1( ) ( )
0` 62 3 2 3 6
1
Re . . .
6
S x x dx x x dx
x x
sp S u a
       

     

 
 
Gráfico da função e depois calcular a área da região limitada pela 
reta y=x+4 e pela parábola 2( ) 2 .y f x x x   
f x( ) x 4
 
g x( ) x
2
2x
 
f x( ) g x( ) solve x
1
4







 
0 5
10
f x( )
g x( )
x
 
 
4 4
2 2
1 1
3 2
4
1
[( 4) ( 2 )] ( 3 4)
3 64 1 3
( 4 ) ( 24 16) ( 4)
3 2 3 3 2
128 144 96 2 9 20 125
6 6
125
Re . . .
6
S x x x dx x x dx
x x
x
sp S u a
 

        
          
     


 
 
 
 
 
 
 
 
Questão (2,0 pontos): Esboce a região compreendida entre a reta y=x e o 
gráfico de 
2
3y x x  
, e calcule sua área. 
 
Intersecção : 
 
 
2 2
3 2 3 0 1; 3
1 2
1 12 2
(3 ) (3 2 )
3 3
3
112
(3 ) (3 1 ) 9 9 9
33 3
1 6 1 27 32
2 9
3 3 3
32
. .
3
x x x x x x x
S x x x dx x x dx
x
x x
S u a
          
        
 
          
 
    

 
3ª Questão (2,5 pontos): 
Gráfico da função e depois calcular a área limitada pela reta 
2 2y x 
 
e pelo gráfico da parábola : 
2y = f(x) = x - x - 2
 
 
f x( ) 2x 2
 
f x( ) g x( ) solve x
0
3







 
2 1.5 5
3
1
5
f x( )
g x( )
x
 
 
     
3 3
2 2
0 0
3 2
3
0
2 2 2 3
3 27 18 27 9
9
3 2 2 2 2
9
Re . . .
2
S x x x dx x x dx
x x
sp S u a
          
   
        
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Questão) (1,5) :Calcular a área da região limitada pelas 
curvas : 
y = senx; y = cosx ; 
 
3 0 3
1
1
f x( )
g x( )
x x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª.Questão) (1,5): Encontre o comprimento de arco da curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u.c. 
 
 
 
Questão (2,5 pontos): Encontrar o comprimento da função: 
3
23(3 4 )2( ) ; ( ) ;0 4
6
t
x t t y t t

    
2
2
22 22
2; 2 4 ;
1
3 1
2
2 23(4 3) 3 3 (4 3)
. .2 12 9;
6 6 2 3
22 4
42 2(2 3) ; (2 3) ( 3 ) 16 12 28
0
0
Re .
28 . .
t
L dt x t t tyx x x
t
t t
y ty y
t L t dt t tyx
sp
L u c
  
      
  
     

         

 
 
5ª.Questão(3,0) : Determine o comprimento da curva 2 ln
3 9
2 4
x x
y para x   
 
2
1
22 2 22 1 4 1
1 1 1
2 4 4
4 2 2 4 216 8 1 16 16 8 1
1
2 216 16
2 224 1 1
4 4
2 29 91 1 1 9ln
34 4 2 4
3 3
b dy
L dx
dxa
dy x x
x xdx
x x x x x
x x
x
x
x x
x
L x dx x dx x
x x
 
  
 
                
      
    
         
      
 
      
       
  
       
 81 1 9 1 ln3ln9 ln3 36
2 4 2 4 4
ln3
Re . 36 . .
4
sp L u c
 
 
 
    
 
 
 
Questão (2,5 pontos): Calcule o comprimento da curva dada em forma 
paramétrica: 
5
2 22
, 0 1.
2 5
t t
x e y t   
 
 
 
 
2 2
2
1
2 23
2 52 32
.
5 2
2 2
12
(1 ) log 1
0
2 2
1 1 2 1
0 1 ; 1 2
5 3
2 22 4 2 2
( 1). .2 2 2 1
1 1 5 3
5 3
2 2 1 1
2
5 3 5 3
t
l ds x y dtAB
t
x t x t y t y t
x y t t o l t tdtAB
u t u t udu dt e t u
t u t u
u u
l u u udu u u duAB

 
    
   
     
 
    
        
     
      
   
 
 
 
  
 
 
 
 
4 2 2 2 1 1
2
5 3 5 3
4 2 112 2 10 2 3 5
2
15 15
   
  
 

   
    
     
 
 
 
 
Questão (2,5 pontos): Calcular o comprimento do 
arco da função :
3
2 2(2 1)
( ) ; ( ) 0 4
2 3
t t
x t y t para t
   
 
22 222
2; ;
2
1
3 1
2
2 2(2 1) 3 (2 1)
.2 2 1;
3 2 3
22 24
42 2( 1) ; ( 1) ( ) 8 4 12
02
0
Re .
12 . .
t t
L dt x t tyx x x
t
t t
y ty y
t
t L t dt tyx
sp
L u c
  
      
  
     

         

 
 
 
 
5ª.Questão)(2,0): Calcular o comprimento do arco da curva dada 
na forma paramétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão) (1,5): Encontre o comprimento de arco da curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u.c. 
 
 
Calcular o comprimento de arco de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rsp.: L = u,c, 
 
 
 
2ª Questão (2,5): Determine o comprimento do arco , dado em coordenadas 
polares por : 
 
2
0;
3
2 3
 





 senr
 
 
  ..
2
3
3
)
4
3
6
(2cos.
2
1
.4cos4
62
003
3
)
3
(cos2)]
3
(cos)
3
()[
3
(cos2
)
3
()
3
(cos4)
3
(cos4
3
1
*))
3
()(
3
(cos6)
3
(cos2
)(
)(
6
0
0
2
2
0
2
2
0
224
2
0
246
2
0
2
2
2
3
2
2
6
2
1
cutsentttdtL
ttdtdt
ddsen
dsen
dsenL
d
d
dr
rL
AB
AB
AB






















































 
 
 
 
 
5ª.Questão)(2,0): 
Calcular o comprimento de arco de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rsp.: L = u,c, 
 
5ª.Questão)(2,0): Calcular o comprimento do arco da curva dada na 
forma paramétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ = 
 
=36 = 36 
 
 
 
u=sent 
 
 
 
Resp. L = 3 u.c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (2,5) : Calcule o comprimento do arco , dado pelas suas 
equações paramétricas : 
10;2)(;3)( 2
3
 tttyttx
 
 
 
  )122(2122
)
3
(662.3
21
10;2
11:var
1399
93
2
3
.2
93
3
3
2
1
32
1
2
2
1
2
1
0
1
0
2
2
1
2
1
2
22
2
1




































v
dvvvdvvL
vtPara
vtParavdvdt
vttviáveldeMudança
dttdttL
t
dt
dy
tt
dt
dy
dt
dx
dt
dx
dt
dt
dy
dt
dx
L
AB
AB
t
t
AB
 
 
 
1ª Questão) (2,0) : Seja a função 
 
 
22
2
4
1ln
,
yx
yx
yxf



 
Determine o domínio de 
 yxf ,
 e represente-o graficamente. 
 
 
 
 
 
5 0 5
5
0
5
f1 x( )
f2 x( )
f3 x( )
f2 u( )
f3 u( )
f3 v( )
f1 v( )
f2 t( )
f3 t( )
x x  x  u  u  v  v  t  t 