Apostila de cálculo vetorial - Resek - UNIFEI

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Ca´lculo Vetorial
e
Sistemas de Coordenadas
— Uma Revisa˜o —
Departamento de F´ısica e Qu´ımica
Instituto de Cieˆncias Exatas
Universidade Federal de Itajuba´
Eduardo O. Resek
1o Semestre de 2010
Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 1
1 Introduc¸a˜o
No domı´nio da f´ısica elementar (cla´ssica) encontramos diversos tipos de quantidades. Dentre elas,
estaremos interessados na distinc¸a˜o entre quantidades escalares e vetoriais. Visando estritamente
nossos interesses futuros, e´ suficiente defin´ı-las da seguinte forma:
Escalares: grandezas que sa˜o completamente caracterizadas por suas magnitudes. Ex-
emplos: massa, volume, temperatura, tempo, etc.
Vetores: grandezas que sa˜o completamente caracterizadas por seus mo´dulos, direc¸o˜es e
sentidos. Exemplos: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, posic¸a˜o a partir de uma origem fixa,
etc.
A partir da´ı introduzimos os conceitos de campos escalares e vetoriais. Um campo e´ basicamente
uma func¸a˜o de ponto, isto e´, depende da posic¸a˜o no espac¸o e/ou no tempo. Assim, campos escalares sa˜o
especificados fornecendo-se suas magnitudes em todos os pontos do espac¸o; campos vetoriais exigem,
ale´m do mo´dulo, a especificac¸a˜o da direc¸a˜o e sentido em todos os pontos do espac¸o.
Estas definic¸o˜es sa˜o na˜o rigorosas e um tanto limitadas, mas sera˜o adequadas aos nossos propo´sitos.1
Como todos ja´ esta˜o devidamente familiarizados com a a´lgebra de escalares, passamos ao estudo
da a´lgebra vetorial.
2 A´lgebra Vetorial
Como vimos, um vetor A sera´ completamente caracterizado por seu mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. Rep-
resentamos o mo´dulo de A por |A| ou, a`s vezes, simplesmente A. Sendo B e C outros vetores, sa˜o
va´lidas as seguintes propriedades:
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B = A + B + C,
ou seja, a soma de vetores e´ definida, resulta em outro vetor e obedece a`s propriedades da comutativi-
dade e distributividade. Por outro lado, sendo α um escalar (α ∈ R), αA e´ tambe´m um vetor,
B = αA,
com as seguintes caracter´ısticas:
mo´dulo: |B| = |α| |A|
direc¸a˜o: a mesma de A
sentido:
{
o mesmo de A, se α > 0
o oposto ao de A, se α < 0
Versor (ou vetor unita´rio) de uma direc¸a˜o e´ um vetor desta direc¸a˜o cujo mo´dulo e´ igual a 1 (um).
Dado um vetor A, e´ fa´cil determinar o versor de sua direc¸a˜o. Consideramos:
B = αA,
pois A e seu versor teˆm a mesma direc¸a˜o, sendo que |B| = 1. Assim,
|B| = |α| |A| = 1 =⇒ |α| = 1|A| , ou α = ±
1
|A| ,
1Definic¸o˜es rigorosas envolvem propriedades de transformac¸a˜o sob mudanc¸a do sistema de coordenadas.
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sendo
{
+→ versor com direc¸a˜o e sentido de A
− → versor com direc¸a˜o de A mas sentido oposto.
�
�
�
�
��>
�
�>ˆa
A
Fig. 1 Denotando por aˆ o versor de A, temos enta˜o:
aˆ =
A
|A|
Tambe´m podemos escrever
A = |A|aˆ,
isto e´, todo vetor pode ser escrito como o produto de seu mo´dulo pelo versor de sua direc¸a˜o e sentido.
Para melhor visualisarmos os vetores introduzimos um sistema de coordenadas tridimensional,
dotado de uma origem O e treˆs eixos perpendiculares entre si, denotados por x, y, z ou x1, x2, x3. Um
vetor V pode enta˜o ser especificado por suas componentes em relac¸a˜o a este sistema de coordenadas:
-
6
�
�
�
�
�
�
�
��=
-
6
�
�= yˆxˆ
zˆ
x
y
z
ffi
V
-
Vy
6Vz
�
�
�
��=Vx
α (α1)
β (α2)
γ (α3)
Fig. 2
Vx = |V| cosα
Vy = |V| cosβ
Vz = |V| cos γ,
ou,
Vi = |V| cosαi, i = 1, 2, 3,
onde α, β, γ, sa˜o os aˆngulos
formados por V com os eixos
x, y, z, respectivamente (ou,
αi e´ o aˆngulo formado por V
com o eixo xi, i = 1, 2, 3).
No caso de campos vetoriais, cada uma das componentes e´ uma func¸a˜o de x, y, z.
Os versores dos eixos coordenados sa˜o comumente denotados pelos seguintes s´ımbolos:
Eixo x: xˆ, i, xˆ1, eˆ1
Eixo y: yˆ, j, xˆ2, eˆ2
Eixo x: zˆ, k, xˆ3, eˆ3
Em termos das componentes, podemos escrever:
V = Vxxˆ + Vyyˆ + Vzzˆ
ou
V =
3∑
i=1
Vixˆi
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Dados dois vetores A =
∑
iAixˆi e B =
∑
iBixˆi e α ∈ R, as propriedades de soma e multiplicac¸a˜o
por escalar se escrevem em termos de componentes, da seguinte forma:
A + B = (Ax +Bx)xˆ + (Ay +By)yˆ + (Az +Bz)zˆ
αA = (αAx)xˆ + (αAy)yˆ + (αAz)zˆ
3 Produtos entre Vetores
Sa˜o definidos basicamente dois tipos de produtos entre vetores: o produto escalar e o produto vetorial.
Podemos formar ainda outros tipos atrave´s de composic¸o˜es destes dois produtos ba´sicos.
3.1 Produto Escalar
Como o nome ja´ deixa a entender, o resultado deste tipo de produto entre dois vetores A e B dados
na˜o sera´ um outro vetor, mas um escalar:
A·B = AxBx +AyBy +AzBz =
3∑
i=1
AiBi.
Pode-se mostrar facilmente que esta definic¸a˜o e´ equivalente a
A·B = |A| |B| cos θ,
onde θ e´ o menor aˆngulo entre A e B.
Exerc´ıcio Demonstre esta equivaleˆncia.
Podemos observar que2
A·A = |A|2 = A2x +A2y +A2z =
3∑
i=1
A2i ≥ 0
A·A = 0⇐⇒ A = 0
(αA)·B = A·(αB) = αA·B
A·B = B·A
(A + B)·C = A·C + B·C
3.2 Produto Vetorial
Neste tipo de produto entre vetores o resultado e´ um outro vetor:
A×B =
∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣ = (AyBz −AzBy)xˆ + (AzBx −AxBz)yˆ + (AxBy −AyBx)zˆ
Esta definic¸a˜o, como tambe´m pode ser mostrado, e´ equivalente a` conhecida regra do produto vetorial:
C = A×B e´ um vetor
(i) perpendicular ao plano formado por A e B (ou seja, perpendicular a ambos os
vetores);
(ii) de mo´dulo igual a
|C| = |A| |B| sen θ
(iii) de sentido dado pela regra da ma˜o direita: gire A em direc¸a˜o a B com os dedos
da ma˜o direita segundo o menor aˆngulo entre eles: o sentido de C = A×B e´ o indicado
pelo polegar desta ma˜o.
2Muitas vezes denominamos a operac¸a˜o A·A de elevar o vetor A ao quadrado.
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-
A
�
�
�
�
�
�
�
���
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AAK
C
�\\
.��\\
.
Fig. 3
Exerc´ıcios
1) Os vetores da origem de um sistema de coordenadas ate´ os pontos A, B, C, D sa˜o:
A = xˆ + yˆ + zˆ
B = 2xˆ + 3yˆ
C = 3xˆ + 5yˆ − 2zˆ
D = zˆ− yˆ
Mostre que as linhas AB e CD sa˜o paralelas e determine a raza˜o de seus comprimentos.
2) Mostre que os vetores
A = 2xˆ− yˆ + zˆ, B = xˆ− 3yˆ − 5zˆ, C = 3xˆ− 4yˆ − 4zˆ
formam os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, e determine os demais aˆngulos deste triaˆngulo.
3) Mostre que, sendo xˆi os versores dos eixos x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z,
xˆi·xˆj = δij ,
onde δij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j .
4) Considere a relac¸a˜o entre treˆs vetores A, B, C:
C = A−B.
Demonstre, quadrando esta relac¸a˜o e interpretando geometricamente o resultado, a lei dos cossenos.
5) Sendo a um vetor constante e r o vetor posic¸a˜o de um ponto P (x, y, z) gene´rico (o vetor que vai
da origem do sistema de coordenadas ate´ P ), determine qual a superf´ıcie representada pelas seguintes
equac¸o˜es:
a) (r− a)·a = 0
b) (r− a)·r = 0
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6) Mostre que
xˆ×xˆ = yˆ×yˆ = zˆ×zˆ = 0
xˆ×yˆ = zˆ, yˆ×zˆ = xˆ, zˆ×xˆ = yˆ
yˆ×xˆ = −zˆ, zˆ×yˆ = −xˆ, xˆ×zˆ = −yˆ
7) Determine um vetor unita´rio perpendicular simultaneamente aos vetores a e b, sendo
a = 2i + j− k
b = i− j + k
8) Mostre que
A = xˆ cosα+ yˆ senα
B = xˆ cosβ + yˆ senβ
sa˜o vetores unita´rios no plano xy formando aˆngulos iguais a α e β, respectivamente, com o eixo x.
Obtenha por meio do produto escalar entre esses dois vetores, a fo´rmula para cos(α− β).
9) Deduza a lei dos senos:
senα
|A| =
senβ
|B| =
sen γ
|C|
���
���
���
���:
�
�
�
�
�
�
�
�
��
���
J
J
J
J
J
J
J
JJ]
A
B C
γ
α
β
Fig. 4
10) A forc¸a magne´tica sofrida por uma part´ıcula de carga q em movimento com velocidade v num
campo de induc¸a˜o magne´tica B e´ dada por
F = qv×B.
Atrave´s de treˆs experimentos, encontrou-se que
se v = 1,0 xˆ,
F
q
= 2,0 zˆ− 4,0 yˆ
se v = 1,0 yˆ,
F
q
= 4,0 xˆ− 1,0 zˆ
se v = 1,0 zˆ,
F
q
= 1,0 yˆ − 2,0 xˆ
(unidades MKS). A partir desses resultados, determine B na regia˜o do espac¸o considerada.
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4 Ca´lculo Diferencial e Integral com Vetores
Consideraremos agora a extensa˜o das ide´ias anteriormente introduzidas ao ca´lculo diferencial e integral.
Estudaremos nesta sec¸a˜o os conceitos de derivada direcional, gradiente, divergente e rotacional de uma
func¸a˜o vetorial, bem como os de integrac¸a˜o ao longo de uma trajeto´ria, de uma superf´ıcie ou volume,
quando introduziremos as ide´ias de fluxo e circulac¸a˜o (ou circuitac¸a˜o) de um vetor.
4.1 Derivada Direcional e Gradiente
A derivada direcional de uma func¸a˜o escalar φ(x, y, z) no ponto P (x, y, z) nada mais e´ que a taxa de
variac¸a˜o de φ com respeito a` distaˆncia, medida segundo uma certa orientac¸a˜o (direc¸a˜o), no ponto P
considerado.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� ∆l
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
���nˆ
∆l cos θ
θ
φ = φ0 + ∆φ
φ = φ0
��
.
P
`` `` `` `` ``
Fig. 5
A equac¸a˜o φ(x, y, z) = φ0 sendo φ0 uma
constante, representa o lugar geome´trico
de todos os pontos (x, y, z) tais que φ =
φ0, portanto uma superf´ıcie. Se a par-
tir do ponto P ∈ φ0 imprimirmos um
deslocamento ∆l numa direc¸a˜o qualquer,
o ponto P ′ da´ı resultante pertencera´ a
uma outra superf´ıcie da mesma famı´lia,
definida pela equac¸a˜o φ = φ0+∆φ. E´ ev-
idente que, considerando o deslocamento
entre as duas superf´ıcies, |∆l| = ∆l sera´
mı´nimo quando a direc¸a˜o de ∆l for per-
pendicular a` superf´ıcie φ = φ0 (θ = 0).
De acordo com a definic¸a˜o de derivada direcional e com a figura 5, podemos enta˜o escrever para o
ponto P :
dφ
dl
: derivada direcional segundo a direc¸a˜o de ∆l, no limite em que ∆l→ 0;
dφ
dl cos θ
: derivada direcional segundo a direc¸a˜o de ma´xima variac¸a˜o de φ.
Definimos pois o gradiente da func¸a˜o escalar φ no ponto P como o vetor com as seguintes
caracter´ısticas:
(i) intensidade: igual a` da derivada direcional ma´xima de φ em P ;
(ii) direc¸a˜o: a da derivada direcional ma´xima de φ naquele ponto, ou seja, perpendicular
a` superf´ıcie φ = φ0 que contem o ponto P ;
(iii) sentido: o dos φ crescentes.
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� dl
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
���nˆ
∇φ
θ
φ = φ0 + dφ
φ = φ0
��
.
P
Fig. 6
Representamos o gradiente por ∇φ ou
gradφ. Da definic¸a˜o, podemos escrever:
|∇φ| = dφ
dl cos θ
Enta˜o:
dφ =∇φ·dl ou dφ
dl
=∇φ·dl
dl
Esta equac¸a˜o define φ matematicamente.
A partir dela, podemos determinar ∇φ
em qualquer sistema de coordenadas em
que conhec¸amos a forma de dl.
Por exemplo, em se tratando de coordenadas cartesianas:
dl = xˆ dx+ yˆ dy + zˆ dz
=⇒∇φ·dl = (∇φ)xdx+ (∇φ)ydy + (∇φ)zdz
Por outro lado:
dφ
dl
=
∂φ
∂x
dx
dl
+
∂φ
∂y
dy
dl
+
∂φ
∂z
dz
dl
dφ =
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz
Assim, com a definic¸a˜o de ∇φ,
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz = (∇φ)xdx+ (∇φ)ydy + (∇φ)zdz.
Como as diferenciais dx, dy, dz sa˜o independentes, podemos igualar os coeficientes correspondentes
a`s diferenciais nos dois membros desta expressa˜o, resultando
(∇φ)x = ∂φ
∂x
, (∇φ)y = ∂φ
∂y
, (∇φ)z = ∂φ
∂z
,
ou
∇φ = ∂φ
∂x
xˆ +
∂φ
∂y
yˆ +
∂φ
∂z
zˆ.
Exemplo Determinar o gradiente de f = f(r) = f(
√
x2 + y2 + z2).
Soluc¸a˜o De acordo com a expressa˜o obtida para ∇f ,
∇f(r) = xˆ∂f(r)
∂x
+ yˆ
∂f(r)
∂y
+ zˆ
∂f(r)
∂z
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Mas
∂f(r)
∂x
=
df(r)
dr
∂r
∂x
=
df(r)
dr
x√
x2 + y2 + z2
=
df(r)
dr
x
r
.
Analogamente:
∂f(r)
∂y
=
df(r)
dr
y
r
,
∂f(r)
∂z
=
df(r)
dr
z
r
Enta˜o:
∇f(r) = df
dr
(xxˆ + yyˆ + zzˆ)
1
r
∇f(r) = df
dr
rˆ
4.2 Integrac¸a˜o Vetorial
Antes de continuarmos a discutir outros aspectos relativos a diferenciac¸a˜o de vetores, e´ conveniente
estudarmos alguns to´picos referentes a integrac¸a˜o envolvendo vetores.
4.2.1 Integral de Linha
A integral de linha de um campo vetorial F = F(r) = F(x, y, z) desde um ponto a ate´ um ponto b
dados, ao longo de uma trajeto´ria C e´ um escalar representado por
b∫
a
C
F· dl,
onde dl e´ um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C. O ca´lculo da integral e´ efetuado
como o de uma integral Riemanniana ordina´ria: dividimos a porc¸a˜o
����
�
�
���
θi
∆li
Fi
C
a
b
Fig. 7
da curva C entre a e b em N partes, calculamos Fi·∆li
para cada uma delas e somamos tudo, tomando o lim-
ite em que N →∞ (ou ∆li → 0).
b∫
a C
F· dl = lim
N→∞
N∑
i=1
Fi·∆li =
= lim
N→∞
N∑
i=1
Fi ∆li cos θi
Em geral, o resultado depende na˜o somente dos pon-
tos extremos a e b, mas tambe´m da curva C que os
une.
O caso particular de integrac¸a˜o ao longo de uma curva fechada e´ denotado de forma especial como∮
C
F· dl,
e denominado circulac¸a˜o ou circuitac¸a˜o de F em torno (ou ao longo) de C. O resultado pode ou na˜o
ser nulo. A classe dos campos vetoriais para os quais a integral acima se anula para qualquer que seja
a curva fechada C e´ de especial importaˆncia na f´ısica matema´tica.
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4.2.2 Integral de Superf´ıcie — Fluxo
Dado um campo vetorial F numa regia˜o do espac¸o, definimos o fluxo ΦF do campo atrave´s de uma
superf´ıcie S como a integral
ΦF =
∫
S
F·nˆ dS,
onde dS e´ um elemento infinitesimal de a´rea e nˆ um vetor unita´rio normal a dS. E´ claro que ΦF e´
um escalar. O sentido de nˆ e´ para fora da superf´ıcie, se S for uma superf´ıcie fechada;
r ��3
nˆ
l
→
←
S
Fig. 8
se S for aberta e finita, ela possui um contorno l; por
convenc¸a˜o o sentido de nˆ e´ indicado pelo polegar da ma˜o
direita quando os demais dedos abrac¸am l no sentido
escolhido com positivo para sua orientac¸a˜o (ver Figura
8)
6
nˆ1 dS1
J
J]
�
�
��7
nˆi
θi
Fi
l
dSi
Fig. 9
O ca´lculo da integral e´ semelhante ao caso anteri-
ormente considerado da integral de linha:
∫
S
F·nˆ dS = lim
N→∞
N∑
i=1
Fi·nˆi ∆Si
= lim
N→∞
N∑
i=1
Fi cos θi ∆Si
=
∫
S
F cos θ dS
De forma ana´loga, o fluxo de F atrave´s de uma superf´ıcie fechada S e´ denotado por∮
S
F·nˆ dS.
4.2.3 Integral de Volume
Aqui na˜o ha´ nada de especial: a integral de volume de um vetor F atrave´s de um volume V definido
por uma superf´ıcie fechada S, ∫
V
F dv
reduz-se simplesmente a treˆs integrais escalares, uma para cada direc¸a˜o do espac¸o. Se F for expresso
em coordenadas cartesianas, por exemplo, teremos∫
V
F dv = xˆ
∫
V
Fx dv + yˆ
∫
V
Fy dv + zˆ
∫
V
Fz dv.
4.3 Divergeˆncia
Um outro importante operador, essencialmente uma derivada, e´ o operador divergente. O divergente
(ou a divergeˆncia) de um campo vetorial F, denotado por ∇·F ou div F e´ definido como o limite do
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fluxo de F atrave´s de uma superf´ıcie fechada S por unidade de volume, quando o volume V delimitado
por S tende a zero:
∇·F = lim
V→0
1
V
∮
S
F·nˆ dS
Vemos claramente que o divergente e´ uma func¸a˜o escalar de ponto(campo escalar) — ele representa,
em cada ponto, o fluxo por unidade de volume que nasce de um elemento de volume coincidente com
o ponto.
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
(x0, y0, z0) ∆y
∆x
∆z
Fig. 10
A definic¸a˜o acima e´ independente da escolha
do sistema de coordenadas, podendo pois ser
usada para encontrar a forma espec´ıfica de
∇·F em qualquer sistema de coordenadas par-
ticular. Em coordenadas cartesianas retangu-
lares, por exemplo, tomamos um elemento de
volume ∆v = ∆x∆y∆z, localizado no ponto
(x0, y0, z0). O fluxo ΦF de um campo veto-
rial F atrave´s deste paralelep´ıpedo sera´, de-
sprezando infinite´simos de ordem superior:
∮
S
F·nˆ dS =
∫
Fx(x0 + ∆x, y, z) dy dz −
∫
Fx(x0, y, z) dy dz
+
∫
Fy(x, y0 + ∆y, z) dx dz −
∫
Fy(x, y0, z) dx dz
+
∫
Fz(x, y, z0 + ∆z) dx dy −
∫
Fz(x, y, z0) dx dy,
De acordo com o teorema de Taylor, desprezando novamente infinite´simos superiores:
Fx(x0 + ∆x, y, z) = Fx(x0, y, z) + ∆x
∂Fx
∂x
∣∣∣∣
(x0,y,z)
Fy(x, y0 + ∆y, z) = Fy(x, y0, z) + ∆y
∂Fy
∂y
∣∣∣∣
(x,y0,z)
Fz(x, y, z0 + ∆z) = Fz(x, y, z0) + ∆z
∂Fz
∂z
∣∣∣∣
(x,y,z0)
,
de modo que
∇·F = lim
V→0
1
∆x∆y∆z
{
∆x
∫
∂Fx
∂x
∣∣∣∣
(x0,y,z)
dy dz
+∆y
∫
∂Fy
∂y
∣∣∣∣
(x,y0,z)
dx dz + ∆z
∫
∂Fz
∂z
∣∣∣∣
(x,y,z0)
dx dy
}
.
Assim, tomando o limite e simplificando
∇·F = ∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
Podemos agora enunciar um teorema extremamente importante da ana´lise vetorial envolvendo o
divergente:
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Teorema do Divergente (Gauss): a integral do divergente de um campo vetorial sobre um volume
V e´ igual ao fluxo deste vetor atrave´s da superf´ıcie S que limita V :∫
V
∇·F dv =
∮
S
F·nˆ dS
Exemplo Determine ∇·r e ∇·[rf(r)].
Soluc¸a˜o Aplicando diretamente a expressa˜o encontrada acima,
∇·r =
(
xˆ
∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
)
·(xxˆ + yyˆ + zzˆ) = ∂x
∂x
+
∂y
∂y
+
∂z
∂z
=⇒∇·r = 3
De modo mais gene´rico:
∇·[rf(r)] = ∂
∂x
[xf(r)] +
∂
∂y
[yf(r)] +
∂
∂z
[zf(r)]
= 3f(r) +
x2
r
df(r)
dr
+
y2
r
df(r)
dr
+
z2
r
df(r)
dr
= 3f(r) + r
df
dr
.
Em particular, se f(r) = rn−1, ou seja, rf(r) = rn,
∇·(rˆrn) = 3rn−1 + (n− 1)rn−1 = (n+ 2)rn−1.
Vemos que o divergente se anula para n = 2, fato que sera´ importante futuramente:
∇·
(
rˆ
r2
)
= 0, para r 6= 0
4.4 Rotacional
Outro importante operador diferencial da ana´lise vetorial e´ o rotacional , denotado por∇×F ou rot F,
quando aplicado a um vetor F. Analogamente ao modo como definimos o divergente, na sec¸a˜o anterior,
por
∇·F = lim
V→0
1
V
∮
S
nˆ·F dS,
definimos o rotacional de um campo vetorial F, nas mesmas condic¸o˜es, por:
∇×F = lim
V→0
1
V
∮
S
nˆ×F dS.
Esta definic¸a˜o, entretanto, e´ equivalente, pode-se mostrar, a uma outra que nos sera´ mais u´til: con-
sidere no ponto P uma trajeto´ria l fechada e contida num plano cuja normal e´ nˆ (o sentido de nˆ
e´, como sempre, definido pela regra da ma˜o direita aplicada ao sentido convencionado como positivo
para a trajeto´ria l); a componente do vetor ∇×F na direc¸a˜o de nˆ e´ enta˜o definida como o limite da
relac¸a˜o entre a circulac¸a˜o de F ao longo de l e a a´rea S delimitada por l, quando S tende a zero:
nˆ·∇×F = lim
S→0
1
S
∮
l
F· dl.
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 12
Exerc´ıcio Mostre a equivaleˆncia dessas duas definic¸o˜es.
Podemos determinar as componentes do vetor rotacional de um dado campo F em qualquer siste-
ma de coordenadas, atrave´s de uma das duas definic¸o˜es apresentadas. Em coordenadas cartesianas o
resultado e´:
∇×F =
(
∂Fz
∂y
− ∂Fy
∂z
)
xˆ +
(
∂Fx
∂z
− ∂Fz
∂x
)
yˆ +
(
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
)
zˆ,
ou, numa forma mnemoˆnica, como a expansa˜o de um determinante:
∇×F =
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣∣∣
O teorema de Stokes, enunciado a seguir, e´ tambe´m um resultado de importaˆncia na ana´lise vetorial:
Teorema de Stokes: A circulac¸a˜o de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada l e´ igual
a` integral de superf´ıcie de seu rotacional sobre qualquer superf´ıcie limitada pela curva:∮
l
F· dl =
∫
S
∇×F·nˆ dS
Exemplo 1 Mostre que ∇× (fV) = f∇×V + (∇f)×V.
Soluc¸a˜o De acordo com a expressa˜o para o rotacional,
∇× (fV) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
fVx fVy fVz
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
assim:
(∇×(fV))x =
∂(fVz)
∂y
− ∂(fVy)
∂z
= f
∂Vz
∂y
+
∂f
∂y
Vz − f ∂Vy
∂z
− ∂f
∂z
Vy =
= f
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+
(
∂f
∂y
Vz − ∂f
∂z
Vy
)
=
= (f∇×V)x + (∇f×V )x ,
de modo que
∇× (fV) = f∇×V + (∇f)×V
Exemplo 2 Encontre ∇×[rf(r)].
Soluc¸a˜o De acordo com a fo´rmula obtida no axemplo anterior, temos:
∇×[rf(r)] = f∇×r +∇f×r.
Mas
∇×r =
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x y z
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
Universidade Federal de Itajuba´ Eduardo O. Resek
Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 13
e, ale´m disso,
∇f(r) = df
dr
rˆ,
donde resulta, levando em conta que rˆ×r = 0, que
∇×[rf(r)] = 0
4.5 Aplicac¸o˜es sucessivas de ∇
Vejamos o que resulta da aplicac¸a˜o sucessiva do operador ∇, de diversas formas e a diversos tipos de
quantidades.
4.5.1 Laplaciano
E´, por definic¸a˜o, o divergente do gradiente de uma func¸a˜o escalar φ:
∇2φ =∇·∇φ
O laplaciano de um campo escalar resulta numa outra func¸a˜o escalar. Em coordenadas cartesianas,
por exemplo, temos
∇2φ = ∂
2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
4.5.2 Divergente do rotacional
Nesse caso, teremos:
∇·∇×V = ∇·
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Vx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∂
∂x
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+
∂
∂y
(
∂Vx
∂z
− ∂Vz
∂x
)
+
∂
∂z
(
∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)
Considerando que V e´ uma func¸a˜o cont´ınua e lisa das varia´veis x, y, z, as suas derivadas segundas
com relac¸a˜o a estas varia´veis podem ser tomadas em qualquer ordem, isto e´, por exemplo,
∂2Vz
∂x∂y
=
∂2Vz
∂y∂x
,
o mesmo acontecendo com as demais derivadas. Desse modo, resulta que
∇·∇×V =∇·
∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Vx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
4.5.3 Rotacional do gradiente
Pela expressa˜o para o ca´lculo do rotacional, temos:
∇×∇φ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂φ
∂x
∂φ
∂y
∂φ
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 14
4.5.4 Rotacional do rotacional e gradiente do divergente
Em geral, nenhuma dessas duas operac¸o˜es sa˜o nulas, mas existe a seguinte relac¸a˜o entre elas:
∇×∇×V =∇∇·V −∇2V,
onde o laplaciano de um vetor e´ o vetor cujas coordenadas cartesianas sa˜o os laplacianos das compo-
nentes correspondentes do vetor original:
∇2V = (∇·∇Vx)xˆ + (∇·∇Vy)yˆ + (∇·∇Vz)zˆ
= ∇2Vx xˆ +∇2Vy yˆ +∇2Vz zˆ.
Deve-se observar que esta u´ltima relac¸a˜o so´ e´ va´lida no sistema de coordenadas cartesianas. Nos
demais sistemas, ∇2V e´ definido pela primeira expressa˜o.
Muitas vezes, escrevemos tambe´m, simbolicamente,
∇2V =∇·∇V.
4.6 Algumas Relac¸o˜es U´teis
Fornecemos, a seguir, algumas identidades frequ¨entemente necessa´rias no manuseio de expresso˜es em
ca´lculo vetorial.
∇(uv) = u∇v + v∇u
∇·(fV) = f∇·V +∇f ·V
∇·(A×B) = B·∇×A−A·∇×B
∇× (fV) = f∇×V + (∇f)×V∮
S
φnˆ dS =
∫
V
∇φdv∮
l
φdl =
∫
S
nˆ×∇φdS∫
V
(ϕ∇2φ− φ∇2ϕ) dv =
∮
S
(ϕ∇φ− φ∇ϕ)·nˆ dS
Exerc´ıcios
1) Mostre que, se A e´ um vetor constante,
∇(A·r) = A.
2) Mostre que, se ∇×A = 0, enta˜o ∇·(A×r) = 0.
3) Se ∇×f 6= 0 mas ∇×(gf) = 0, onde g = g(x, y, z) e f = f(x, y,z), mostre que
f ·∇×f = 0.
4) Se A e B sa˜o vetores constantes, mostre que ∇(A·B×r) = A×B.
5) Mostre que ∇×(φ∇φ) = 0.
6) Mostre que a integral de linha de um campo F antre dois pontos a e b do espac¸o,
∫ b
a F· dl, e´
independente da trajeto´ria se a condic¸a˜o ∇×F = 0 for satisfeita.
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 15
5 Sistemas de Coordenadas Curvil´ıneas
Nas primeiras sec¸o˜es, embora tenhamos introduzido o vetor posic¸a˜o radial r, restringimo-nos quase que
inteiramente ao uso de coordenadas cartesianas, cuja grande vantagem e´ a sua simplicidade, devida
ao fato de serem seus vetores unita´rios constantes e os mesmos em todos os pontos do espac¸o.
Infelizmente nem todos os problemas em f´ısica e engenharia se adaptam a uma soluc¸a˜o desenvolvida
em um sistema de coordenadas cartesianas. Por exemplo, num problema de forc¸a central, tal como
a gravitacional ou a eletrosta´tica, a simetria praticamente exige que fac¸amos uso de um sistema de
coordenadas em que a distaˆncia radial seja uma das coordenadas, ou seja, um sistema de coordenadas
esfe´ricas.
A escolha do sistema de coordenadas deve estar portanto, ligada a` simetria presente na situac¸a˜o
analisada. Uma escolha adequada sempre facilita enormemente a soluc¸a˜o do problema.
Estudaremos basicamente dois tipos de sistemas de coordenadas, por serem os mais comuns e os
mais trata´veis: o sistema de coordenadas esfe´ricas e o de coordenadas cil´ındricas.
Poder´ıamos desenvolver a teoria de forma a obter expresso˜es gene´ricas va´lidas em qualquer sistema
de coordenadas curvil´ıneas, como e´ feito na maioria dos livros-texto sobre o assunto, particularizando
depois os resultados para os sistemas de interesse. Na˜o seguiremos essa abordagem por considerarmos
que, analisando cada um deles separadamente e deduzindo ‘in loco’ as expresso˜es desejadas, podemos
obter uma maior familiariedade com o sistema em questa˜o.
5.1 Sistemas de Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z)
A figura 11 ilustra os elementos do sistema de coordenadas cil´ındricas. Dado um ponto P de coorde-
nadas (ρ, ϕ, z), temos as seguintes interpretac¸o˜es:
ρ: distaˆncia perpendicular do ponto P ao eixo z (0 ≤ ρ <∞);
ϕ: aˆngulo azimutal, isto e´, o aˆngulo formado com o eixo x pela projec¸a˜o do vetor
posic¸a˜o do ponto P sobre o plano xy (0 ≤ ϕ < 2pi);
z: distaˆncia de P ao plano xy, ou seja, o mesmo que no sistema de coordenadas
cartesianas.
5.1.1 Transformac¸a˜o de coordenadas
A figura 11(b) mostra a projec¸a˜o no plano xy da figura 11(a). Dela podemos escrever as seguintes
relac¸o˜es entre as coordenadas cil´ındricas e as cartesianas:
Transformac¸a˜o de coordenadas cil´ındricas para cartesianas:
x = ρ cosϕ,
y = ρ senϕ,
z = z.
Transformac¸a˜o de coordenadas cartesianas para cil´ındricas:
ρ =
√
x2 + y2, 0 ≤ ρ <∞,
ϕ = arctan
y
x
, 0 ≤ ϕ < 2pi,
z = z.
Universidade Federal de Itajuba´ Eduardo O. Resek
Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 16
-
6
�
�
�
�
�
�
�
��=x
y
z
�
�
�
�
�
�
�
���
P
HHHHHHHHH�
�
�
�
��
6
HHHj
��
�*
ρˆ
ϕˆ
zˆ
HH
HH
HH
HH
H
HH
.
Fig. 11
(a)
ρ
P ′
ϕ
z
-
6
x
x
y
y
ρ
�
�
�
�
�
�
�
��3
�
��3
J
J
J] ρˆ
ϕˆ
P ′(b)
ϕ
5.1.2 Transformac¸a˜o dos vetores unita´rios:
Os vetores unita´rios dos sistemas de coordenadas curvil´ıneas na˜o sa˜o em geral constantes, por isso
merecem atenc¸a˜o especial quando envolvidos em operac¸o˜es como derivac¸a˜o e integrac¸a˜o. Vejamos como
se relacionam os versores do sistema de coordenadas cil´ındricas com os de coordenadas cartesianas:
Versores cartesianos para cil´ındricos: Da figura 11(b), decompondo os versores ρˆ e ϕˆ nos
eixos x, y, observando que os aˆngulos indicados na figura sa˜o iguais a ϕ, obtemos:
ρˆ = xˆ cosϕ+ yˆ senϕ
ϕˆ = −xˆ senϕ+ yˆ cosϕ
zˆ = zˆ
Note que os versores ρˆ, ϕˆ, zˆ formam um sistema triortogonal: o produto escalar entre qualquer par
desses versores (distintos entre si) e´ nulo e, ale´m disso:
ρˆ×ϕˆ = zˆ, ϕˆ×zˆ = ρˆ, zˆ×ρˆ = ϕˆ.
Versores cil´ındricos para cartesianos: As transformac¸o˜es inversas sa˜o tambe´m facilmente
obtidas e sa˜o deixadas como exerc´ıcio. O resultado e´:
xˆ = ρˆ cosϕ− ϕˆ senϕ
yˆ = ρˆ senϕ+ ϕˆ cosϕ
Vetor posic¸a˜o: O vetor posic¸a˜o de um ponto P gene´rico do espac¸o, cujas coordenadas cil´ındricas
sa˜o (ρ, ϕ, z) e cartesianas (x, y, z), pode ser escrito, usando apenas elementos de coordenadas cil´ındricas,
com:
r = ρρˆ+ zzˆ;
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 17
se expressarmos ρˆ em termos dos versores cartesianos, teremos a forma mais adequada para o uso em
integrac¸o˜es e derivadas,
r = ρ cosϕxˆ + ρ senϕyˆ + zzˆ.
5.1.3 Elementos de a´rea e volume
A fim de entendermos mais facilmente como determinar os elementos de volume e superf´ıcie nos
sistemas de coordenadas curvil´ıneas, vamos examinar como eles sa˜o formados no nosso velho siste-
ma de coordenadas cartesianas. O elemento de a´rea no plano xy, por exemplo, e´ obtido mantendo
z = cte. e imprimindo pequenas variac¸o˜es dx e dy nas coordenadas (x, y) de um ponto P gene´rico
(figura 12(a)). Temos enta˜o constru´ıdo um elemento de a´rea no plano xy (ou paralelo a ele), ou seja,
num plano z = constante. E´ claro que
(dS)z=cte = dx dy.
Um elemento de volume e´ facilmente obtido a partir da´ı, acrescentando agora uma variac¸a˜o infinites-
imal dz da coordenada z: teremos um pequeno cubo de arestas dx, dy e dz, cujo volume e´
dv = dx dy dz.
-
6
x
dx
y
dy
dS = dx dy
(a)
Fig. 12
-
6
x
y
��
��
���
#
#
#
#
##
dρ
dS = ρ dρ dϕ
dϕ
ρ dϕ
(a) (b)
Em coordenadas cil´ındricas basta agora repetirmos o racioc´ınio, acompanhando a figura 12(b). No
plano z = cte, imprimimos a`s coordenadas ρ e ϕ variac¸o˜es infinitesimais dρ e dϕ. Obtemos portanto
um retaˆngulo infinitesimal cujos lados sa˜o dados por dρ e ρ dϕ; sua a´rea sera´ portanto igual a
(dS)z=cte = ρ dρ dϕ.
Podemos igualmente escrever os elementos de a´rea obtidos quando mantemos cada uma das demais
coordenadas constantes e permitimos a`s outras uma pequena variac¸a˜o. Temos:
(dS)ρ=cte = ρ dϕdz,
correspondente a ρ = cte (elemento de a´rea lateral do cilindro) e
(dS)ϕ=cte = dρ dz.
correspondente a ϕ = cte.
O elemento de volume, como a essa altura ja´ deve ser o´bvio, e´ conseguido juntando-se, por exemplo,
a variac¸a˜o dz a`quela correspondente a z = cte:
dv = ρ dρ dϕ dz
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 18
5.1.4 Forma dos operadores vetoriais
Para encerrar, listamos a seguir as formas assumidas no sistema de coordenadas cil´ındricas pelos
diversos operadores diferenciais vetoriais estudados:
Gradiente
∇φ = ∂φ
∂ρ
ρˆ+
1
ρ
∂φ
∂ϕ
ϕˆ+
∂φ
∂z
zˆ
Divergente
∇·V = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρVρ) +
1
ρ
∂Vϕ
∂ϕ
+
∂Vz
∂z
Rotacional
∇×V = 1
ρ
∣∣∣∣∣∣∣∣
ρˆ ρϕˆ zˆ
∂
∂ρ
∂
∂ϕ
∂
∂z
Vρ ρVϕ Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣
Laplaciano
∇2φ = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂φ
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2φ
∂ϕ2
+
∂2φ
∂z2
Laplaciano de um vetor
(∇2V)ρ = ∇2Vρ − 1
ρ2
Vρ − 2
ρ2
∂Vϕ
∂ϕ
(∇2V)ϕ = ∇2Vϕ − 1
ρ2
Vϕ +
2
ρ2
∂Vρ
∂ϕ
(∇2V)z = ∇2Vz
5.2 Sistemas de Coordenadas Esfe´ricas (r, θ, ϕ)
A figura 13 ilustra os elementos de coordenadas esfe´ricas, r, θ, ϕ de um ponto P gene´rico do espac¸o,
que possuem os seguintes significados:
r: mo´dulo do vetor posic¸a˜o do ponto, ou seja, a distaˆncia do ponto P a` origem do
sistema de coordenadas (0 ≤ r <∞);
θ: aˆngulo que o raio vetor (vetor posic¸a˜o) de P faz com o semieixo positivo z (0 ≤
θ ≤ pi), tambe´m conhecido como aˆngulo polar;
ϕ: aˆngulo azimutal, isto e´, o aˆngulo formado com o eixo x pela projec¸a˜o do vetor
posic¸a˜odo ponto P sobre o plano xy (0 ≤ ϕ < 2pi), ou seja, o mesmo significado
que no sistema de coordenadas cil´ındricas;
5.2.1 Transformac¸a˜o de coordenadas
Na figura 13 podemos extrair dois triaˆngulos retanˆgulos que nos possibilitara˜o escrever as relac¸o˜es
ligando o sistema de coordenadas esfe´ricas e o de coordenadas cartesianas; sa˜o eles o triaˆngulo OPP ′′,
onde O e´ a origem do sistema de coordenadas, que e´ retaˆngulo em P ′′ (ou OPP ′, retaˆngulo em P ′,
que e´ semelhante a OPP ′′), e o triaˆngulo OMP ′, retaˆngulo em M . A figura 14 mostra esses dois
triaˆngulos. Note que OMP ′ jaz no plano xy, enquanto OPP ′′ fica no plano ϕ = cte e que, ale´m disso,
OP ′ = PP ′′ coincide com a definic¸a˜o do elemento ρ das coordenadas cil´ındricas.
Universidade Federal de Itajuba´ Eduardo O. Resek
Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 19
Fig. 13
-
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��=x
z
y
�
�
�
�
�
�
�
���
�
���
��
�*
J
J
J^
rˆ
ϕˆ
θˆ
P
P ′
P ′′
M
θ
ϕ
r
z
x
y
HHHHHHHHHHHH
"
"
"
"
"
"
""
Transformac¸a˜o de coordenadas esfe´ricas para cartesianas: Da figura 14(b) vemos que
x = OP ′ cosϕ,
y = OP ′ senϕ,
enquanto, da figura 14(a),
z = r cos θ,
PP ′′ = r sen θ
Como OP ′ = PP ′′ , as relac¸o˜es desejadas sa˜o
x = r sen θ cosϕ,
y = r sen θ senϕ,
z = r cos θ,
Transformac¸a˜o de coordenadas cartesianas para esfe´ricas: Do ∆OPP ′′, o teorema de
Pita´goras fornece
r2 = PP ′′ 2 + z2;
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 20
o mesmo teorema, aplicado a ∆OMP ′, conduz a
OP ′ 2 = PP ′′2 = x2 + y2,
de modo que
r2 = x2 + y2 + z2,
resultado que poder´ıamos obter diretamente a partir do produto escalar de r por ele mesmo. Ainda,
cada uma das figuras fornece um dos aˆngulos θ e ϕ; as expresso˜es finais sa˜o:
r =
√
x2 + y2 + z2, 0 ≤ r <∞,
θ = arccos
z
r
, 0 ≤ θ ≤ pi,
ϕ = arctan
y
x
, 0 ≤ ϕ < 2pi.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
O
z r
θ
P ′′ P
(a) (b)
Fig. 14
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
O M
P ′
y
x
ϕ
5.2.2 Transformac¸a˜o dos vetores unita´rios:
Versores cartesianos para esfe´ricos: Da figura 13 percebemos que o versor ϕˆ e´ sempre par-
alelo ao plano xy, na˜o possuindo componente na direc¸a˜o do eixo z. Percebemos tambe´m que este vetor
e´ exatamente aquele que ja´ determinamos quando estudamos o sistema de coordenadas cil´ındricas e,
portanto ja´ temos pronta sua expressa˜o de transformac¸a˜o:
ϕˆ = −xˆ senϕ+ yˆ cosϕ.
O versor rˆ e´ facilmente encontrado lembrando que
rˆ =
r
r
=
x
r
xˆ +
y
r
yˆ +
z
r
zˆ
Assim, usando as expresso˜es obtidas para x, y e z,
rˆ = sen θ cosϕ xˆ + sen θ senϕ yˆ + cos θ zˆ.
O meio mais fa´cil de determinar θˆ e´ observando que, como os treˆs versores formam um sistema
triortogonal,
θˆ = ϕˆ×rˆ =
∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
− senϕ cosϕ 0
sen θ cosϕ sen θ senϕ cos θ
∣∣∣∣∣∣∣
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 21
Assim, desenvolvendo e simplificando,
θˆ = cos θ cosϕ xˆ + cos θ senϕ yˆ − sen θ zˆ
Como ja´ foi observado, os versores rˆ, ϕˆ, θˆ formam um sistema triortogonal: o produto escalar
entre qualquer par desses versores (distintos entre si) e´ nulo e, ale´m disso:
rˆ×θˆ = ϕˆ, ϕˆ×rˆ = θˆ, θˆ×ϕˆ = rˆ.
Versores esfe´ricos para cartesianos: As transformac¸o˜es inversas sa˜o tambe´m facilmente obti-
das e sa˜o deixadas como exerc´ıcio. O resultado e´:
xˆ = sen θ cosϕ rˆ + cos θ cosϕ θˆ − senϕ ϕˆ
yˆ = sen θ senϕ rˆ + cos θ senϕ θˆ + cosϕ ϕˆ
zˆ = cos θ rˆ− sen θ θˆ
Vetor posic¸a˜o: O vetor posic¸a˜o de um ponto P gene´rico do espac¸o, cujas coordenadas esfe´ricas
sa˜o (r, θ, ϕ) e cartesianas (x, y, z), pode ser escrito, usando apenas elementos de coordenadas esfe´ricas,
com:
r = rrˆ,
pois r e´ um dos elementos de coordenadas esfe´ricas. Expressando em termos dos versores cartesianos,
teremos a forma mais adequada para o uso em integrac¸o˜es e derivadas,
r = r sen θ cosϕ xˆ + r sen θ senϕ yˆ + r cos θ zˆ.
5.2.3 Elementos de a´rea e volume
Em coordenadas esfe´ricas o elemento de superf´ıcie mais importante e´ aquele obtido mantendo r con-
stante e permitindo a θ e ϕ variarem infinitesimalmente (figura 15). Da figura podemos determinar
os lados do retaˆngulo infinitesimal assim formado: mantendo inicialmente ϕ fixo e variando θ de dθ,
obtemos um arco de comprimento r dθ. Se, por outro lado, mantivermos θ fixo e variarmos ϕ de dϕ,
teremos um arco de uma circunfereˆncia de raio r sen θ, cujo comprimento e´ portanto r sen θ dϕ. Logo,
a a´rea do elemento considerado sera´
(dS)r=cte = r
2 sen θ dϕ dθ.
Universidade Federal de Itajuba´ Eduardo O. Resek
Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 22
Fig. 15
-
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��=x
z
y
θ
ϕ
dθ
dϕ
r
PPPPPPP
l
l
l
ll
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
%
%
%
%
%
%
%
HHHHHHHHHHHH
l
l
l
l
l
l
l
l
l
O elemento de volume e´ enta˜o facilmente encontrado a partir da´ı, bastando permitir agora tambe´m
ao raio vetor uma pequena variac¸a˜o dr: teremos um cubo infinitesimal de lados dr, r sen θ dϕ e r dθ,
cujo volume e´
dv = r2 sen θ dr dϕ dθ
Podemos, ainda, novamente escrever os elementos de a´rea obtidos quando mantemos cada uma
das demais coordenadas constantes e permitimos a`s outras uma pequena variac¸a˜o. Temos:
(dS)θ=cte = r sen θ dr dϕ
correspondente a r = cte (elemento de a´rea lateral de um cone com ve´rtice na origem semi-abertura
θ) e
(dS)ϕ=cte = r dr dθ.
correspondente a ϕ = cte.
5.2.4 Forma dos operadores vetoriais
Em coordenadas esfe´ricas os operadores diferenciais vetoriais estudados assumem a seguinte forma:
Gradiente
∇φ = ∂φ
∂r
rˆ +
1
r
∂φ
∂θ
θˆ +
1
r sen θ
∂φ
∂ϕ
ϕˆ
Divergente
∇·V = 1
r2 sen θ
[
sen θ
∂
∂r
(r2Vr) + r
∂
∂θ
( sen θVθ) + r
∂Vϕ
∂ϕ
]
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Revisa˜o de Ana´lise Vetorial 23
Rotacional
∇×V = 1
r2 sen θ
∣∣∣∣∣∣∣∣
rˆ r θˆ r sen θ ϕˆ
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
Vr rVθ r sen θVϕ
∣∣∣∣∣∣∣∣
Laplaciano
∇2φ = 1
r2 sen θ
[
sen θ
∂
∂r
(r2
∂φ
∂r
) +
∂
∂θ
( sen θ
∂φ
∂θ
) +
1
sen θ
∂2φ
∂ϕ2
]
E´ interessante notar que
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂φ
∂r
)
=
1
r
∂2
∂r2
(rφ)
Laplaciano de um vetor
(∇2V)r = ∇2Vr − 2
r2
Vr − 2
r2
∂Vr
∂θ
− 2 cos θ
r2 sen θ
Vθ − 2
r2 sen θ
∂Vϕ
∂ϕ
,
(∇2V)θ = ∇2Vθ − 1
r2 sen 2θ
Vθ +
2
r2
∂Vr
∂θ
− 2 cos θ
r2 sen 2θ
∂Vϕ
∂ϕ
,
(∇2V)ϕ = ∇2Vϕ − 1
r2 sen 2θ
Vϕ +
2
r2 sen θ
∂Vr
∂ϕ
+
2 cos θ
r2 sen 2θ
∂Vθ
∂ϕ
,
Estas expresso˜es para ∇2V sa˜o inegavelmente confusas, mas algumas vezes sa˜o necessa´rias (na˜o ha´
uma garantia expressa de que a natureza seja sempre simples). Na verdade, na˜o a utilizaremos no
decorrer do nosso curso; apresentaˆmo-la aqui apenas por questa˜o de completeza.
Exerc´ıcios
1) O campo ele´trico de uma part´ıcula carregada localizada na origem do sistema de coordenadas e´
da forma:
E =
K
r3
r, K = cte.
a) Calcule o fluxo de E atrave´s da superf´ıcie esfe´rica de raio a com centro na origem.
b) Determine∇·E e integre este resultado sobre o volume definido pela superf´ıcie esfe´rica, comparando
os resultados. Voceˆ ja´ esperava por isto?
c) Calcule a integral de linha do vetor E ao longo da trajeto´ria no plano xy mostrada na figura.
d) Use o teorema de Stokes para verificar o resultado.
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-
6
x
y
(a,−a)
(a, a)
(−a,−a)
(−a, a)
6
ff
?
-
2) Usando os resultados dos teoremas integrais apresentados, encontre uma fo´rmula para o volume
deuma regia˜o em termos de uma integral sobre sua superf´ıcie. Cheque seu resultado para uma esfera
e para um paralelep´ıpedo.
Refereˆncias
[1] G. Arfken, “Mathematical Methods for Physicists”, 2nd Ed., Academic Press, New York, 1970.
[2] J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, 3rd Ed.,
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1980.
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