Apostila de números índices

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
NÚMEROS ÍNDICES 
 
 
 
Ana Maria Lima de Farias 
Luiz da Costa Laurencel 
 
 
 
Com a colaboração dos monitores 
 
 
Maracajaro Mansor Silveira 
Artur Henrique da Silva Santos 
 
 
 
 
 
 
Maio 2005
 
Conteúdo
PREFÁCIO	iv
Números índices	1
	1.1	Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	1
ii
CONTEÚDO	iii
Solução dos exercícios propostos	59
Bibliografia	90
CONTEÚDO	iv
PREFÁCIO
.
Estas notas de aula foram preparadas pelos autores para a disciplina Introdução à Estatística Econômica, ministrada pelo Departamento de Estatística da UFF a alunos do curso de graduação em Ciências Econômicas. Trata-se de uma abordagem quantitativa simplificada da teoria de Números Índices. Uma seção especial sobre a metodologia de cálculo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor foi elaborada pelo monitor da disciplina no ano de 2003, Maracajaro Mansor Silveira.
No primeiro capítulo apresenta-se a teoria que se pretende abordar, incluindo relativos ou índices simples; índices compostos ou agregativos, simples e ponderados, dentre os quais os índices de Laspeyres, Paasche, Fisher, Divisia e Marshall-Edgeworth. Apresenta-se também uma discussão sobre mudança de base e deflacionamento de séries de valores. No segundo capítulo é dado o gabarito detalhado de todos os exercícios propostos; estas soluções devem servir de guia para conferência do aluno, que, no entanto, deverá tentar resolver os exercícios sozinho.
Niterói, maio de 2005
.
Ana Maria Lima de Farias
Luiz da Costa Laurencel
Capítulo 1
Números índices
1.1	Introdução
De uma forma simplificada, podemos dizer que o índice ou número índice é um quociente que expressa a variação relativa entre os valores de qualquer medida. Mais especificamente, vamos lidar com índices que medem variações verificadas em uma dada variável ao longo do tempo.
Quando lidamos com grandezas simples (um único item ou variável), o índice é chamado índice simples; por outro lado, quando pretendemos fazer comparações de um conjunto de produtos ou serviços, estamos lidando com o que é chamado índice sintético ou composto. É neste segundo caso que temos a parte mais complexa do problema, uma vez que desejamos “uma expressão quantitativa para um conjunto de mensurações individuais, para as quais não existe uma medida física comum”.[1: Ragnar Frisch (1936). The problem of index numbers, Econometrica.]
Nestas notas de aula, nossa ênfase está nos índices econômicos, que envolvem variações de preços, quantidades e valores ao longo do tempo.
1.2	Relativos
Os relativos (ou índices simples) fazem comparação entre duas épocas - época atual e época base para um único produto.
Relativo de preço
Denotando por p0 e pt os preços na época base e na época atual (de interesse), define-se o relativo de preço - p0,t - como:
		(1.1)
Relativo de quantidade
Analogamente, denotando por q0 e qt as quantidades na época base e na época atual (de interesse), define-se o relativo de qauntidade - q0,t - como:
		(1.2)
Relativo de valorVale lembrar que
1
	Valor = Preço × Quantidade	(1.3)
1. Denotando por v0 e vt os valores na época base e na época atual (de interesse), define-se o relativo de valor - v0,t - como:
		(1.4)
Atente para a notação: p0,t faz a comparação entre o preço no mês t com relação ao preço no mês 0; definições análogas para q0,t e v0,t. Então, o primeiro subscrito indica o período base e o segundo subscrito, o período “atual”. Essas notações podem variar em diferentes livros; assim, é importante prestar atenção nas definições apresentadas. Das definições acima, podemos ver que:
		(1.5)
O relativo de preço nos diz quanto o preço de hoje é maior ou menor que o preço da época base. A partir dele podemos obter a taxa de variação, que mede a variação relativa. A variação relativa é definida como
	p% =	(1.6)
e normalmente é apresentada em forma percentual, ou seja, multiplica-se o valor por 100. No numerador da taxa de variação temos a variação absoluta de preços: pt − p0. Definições análogas valem para quantidade e valor.
Exemplo 1.1
Na tabela a seguir temos o preço e a quantidade de arroz consumida por uma família no último trimestre de 2001:
	
	Outubro
	Novembro
	Dezembro
	
	Preço	Quant.
	Preço	Quant.
	Preço	Quant.
	Arroz (kg)
		2	5
		2	8
		3	8
	Valor
		2	5 = 10
		2	8 = 16
		3	8 = 24
	×	×	×
Tomando Outubro como base, temos os seguintes relativos:
	pO,N 	
	pO,D 	
Não houve variação de preços entre Novembro e Outubro, isto é, o preço de Novembro é igual ao preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e meia o preço de Outubro, o que corresponde a um aumento de 50% - essa é a taxa de variação dos preços no período em questão, obtida de acordo com a equação (1.6):
50% = (1,5 − 1) × 100%
Com relação à quantidade, tanto em novembro como em dezembro, houve um aumento de 60% com relação a outubro.
Os relativos são, em geral, apresentados multiplicados por 100. Assim, as séries de relativos de preço e quantidade com base Outubro = 100 são:
	Relativos - Out=100
	Out
	Nov
	Dez
	Preço
	100
	100
	150
	Quantidade
	100
	160
	160
Com relação ao valor, temos que
vO,N	vO,D	
Se mudarmos a base para Dezembro, teremos:
p
	pD,O	O	2	33%
	pD,N	33%
q q
	qD,O	O	5	5%
	qD,N	=1) × 100% = 0%
1.3	Critérios de avaliação da fórmula de um índice
Os relativos satsifazem uma série de propriedades, que são propriedades desejadas e buscadas quando da construção de fórmulas alternativas de números índices. Vamos representar por I0,t um índice qualquer: pode ser um relativo de preço ou um índice de preços qualquer, por exemplo (nas seções seguintes veremos a definição de outros índices). As propriedades ideais básicas são:
Identidade
	It,t = 1	(1.7)
Se a data-base coincidir com a data atual, o índice é sempre 1 (ou 100, no caso de se trabalhar com base 100).
Reversão (ou inversão) no tempo
		(1.8)
Invertendo-se os períodos de comparação, os índices são obtidos um como o inverso do outro. 3. Circular
	I0,1 × I1,2 × I2,3 × ··· × It−1,t = I0,t ⇔ I0,1 × I1,2 × I2,3 × ··· × It−1,t × It,0 = 1	(1.9)
Se o intervalo de análise é decomposto em vários subintervalos, o índice pode ser obtido como o produto dos índices nos subintervalos. A propriedade circular é importante no seguinte sentido: se um índice a satisfaz e se conhecemos os índices nas épocas intermediárias, o índice de todo o período pode ser calculado sem que haja necessidade de recorrer aos valores que deram origem aos cálculos individuais. Note que, como decorrência desta propriedade, podemos escrever:
	I0,t = I0,t−1 × It−1,t	(1.10)
Se o índice satisfizer também o princípio de reversibilidade, então (1.9) é equivalente a
I0,1 × I1,2 × I2,3 × ··· × It−1,t × It,0 = 1
Decomposição das causas (ou reversão dos fatores)
Denotando por IV , IP e IQ os índices de valor, preço e quantidade respectivamente, o critério da decomposição das causas requer que
	IV = IP × IQ	(1.11)
Homogeneidade
Mudanças de unidade não alteram o valor do índice.
Proporcionalidade
Se todas as variáveis envolvidas no índice tiverem a mesma variação, então o índice resultante terá a mesma variação.
Todas essas propriedades são satisfeitas pelos relativos. De fato:
identidade
reversibilidade
circular
decomposição das causas
Mudanças de unidade envolvem multiplicação por uma constante (quilo para tonelada, reais para milhões de reais, etc). Tais operações não alteram o valor do relativo, uma vez que numerador e denominador são multiplicados pelo mesmo valor.
Exemplo 1.2 (continuação)
pO,N 
pD
⇒ pO,D = 1,0 × 1,5 = 1,5 = =
pO
pN,D 
qD
⇒ qO,D = 1,6 × 1,0 = 1,6 = = qO
1.4	Elos de relativo e relativos em cadeia
Na apresentação da propriedade circular, aparecem índices envolvendo épocas adjacentes. No caso de relativos, tais relativos são, às vezes,denominados elos relativos, ou seja, os elos relativos estabelecem comparações binárias entre épocas adjacentes
Esta mesma propriedade envolve a multiplicação desses índices; para os relativos, tal operação é denominada relativos em cadeia e como a propriedade circular é satisfeita pelos relativos, tal multiplicação resulta no relativo do período.
	elos relativos :	p1,2;	p2,3;	p3,4;	...;	pt−1,t
	relativos em cadeia :	p1,2 × p2,3 × p3,4 × ··· × pt−1,t = p1,t
Exemplo 1.3
Na tabela a seguir temos dados de preço para 5 anos e calculam-se os elos de relativos e os relativos em cadeia, ano a ano.
	Ano
	Preço
	Elos relativos pt/pt−1
	Relativos em cadeia
	1995
	200
	
	
	1996
	250
	250/200 = 1,25
	1,25 = p95,96
	1997
1998
1999
	300
390
468
	300/250 = 1,20
390/300 = 1,30
468/390 = 1,20
	1,2 × 1,25 = 1,5 = p95,97
1,2 × 1,25 × 1,3 = 1,95 = p95,98
1,2	1,25	1,3	1,2 = 2,34 = 995,99
	×	×	×
o que está em concordância com:
	Ano
	Relativo de preço Base: 1995 = 100
	1995
	100
	1996
1997
1998
1999
	× 250/200 = 125 ⇒ 25%
× 300/200 = 150 ⇒ 50%
× 390/200 = 195 ⇒ 95%
468/200 = 234	134%
	×	⇒
1.5	Índices agregativos simples
Consideremos agora a situação em que temos mais de um produto e estamos interessados em estudar variações de preços ou quantidade para todos os produtos conjuntamente. Vamos utilizar a seguinte notação:
 - preço, quantidade e valor do produto i no mês t;
 - relativos de preço, quantidade e valor do produto i no mês t com base em t = 0.
Note que o sobrescrito i indica o produto; vamos assumir que temos n produtos.
1.5.1	Índice agregativo simples (Bradstreet)
Uma primeira tentativa para resolver o problema de agregação de produtos diferentes foi o índice agregativo simples, que é a razão entre o preço, quantidade ou valor total na época atual e o preço, quantidade ou valor total na época base. Mais precisamente,
Então, o índice de Bradstreet é um relativo das médias aritméticas simples.
O índice de Bradstreet tem sérias limitações, a principal sendo o fato de se estar somando preços ou quantidades expressas em diferentes unidades. Note que apenas o índice de valor não apresenta esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos na mesma unidade monetária. Em função disso, esse é o índice usado para comparar valores em diferentes épocas, ou seja, o índice de valor é definido como
		(1.12)
Uma solução para resolver essa limitação do índice agregativo foi a proposta de se trabalhar com os relativos de preço e quantidade, que são números puros, adimensionais.
1.5.2	Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck)
Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a média aritmética dos relativos, dando origem aos seguintes índices:
• p0,t - índice de preço baseado na média aritmética simples dos relativos
		(1.13)
 - índice de quantidade baseado na média aritmética simples dos relativos
		(1.14)
1.5.3	Índice da média harmônica simples
A mesma idéia se aplica, trabalhando com a média harmônica dos relativos.
 - índice de preço baseado na média harmônica simples dos relativos
		(1.15)
 - índice de quantidade baseado na média harmônica simples dos relativos
		(1.16)
1.5.4	Índice da média geométrica simples
Aqui considera-se a média geométrica dos relativos.
 - índice de preço baseado na média geométrica simples dos relativos
		(1.17)
 - índice de quantidade baseado na média geométrica simples dos relativos
		(1.18)
Exemplo 1.4
Considere os dados da tabela a seguir:
	Produto
	1999
	2000
	2001
	
	P
	Q
	P
	Q
	P
	Q
	Carne (kg)
	8,50
	10
	8,50
	12
	9,00
	15
	Feijão (kg)
	1,20
	5
	1,80
	6
	1,80
	7
	Pão (unid.)
	0,10
	200
	0,12
	220
	0,14
	240
Vamos calcular os índices de preço, quantidade e valor, com base em 1999, baseados nas três médias vistas.
Os valores gastos com cada produto estão calculados na tabela abaixo.
	
	
	Valor
	
	
	1999
	2000
	2001
	Carne
Feijão
Pão
	8,5 × 10 = 85
1,2 × 5 = 6
0,1 × 200 = 20
	8,5 × 12 = 102,0
1,8 × 6 = 10, 8
0,12 × 220 = 26, 4
	9 × 15 = 135
1,8 × 7 = 12, 6 0,14 × 240 = 33, 6
	Total
	85 + 6 + 20 = 111
	102 + 10,8 + 26,4 = 139, 2
	135 + 12,6 + 33,6 = 181, 2
Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, no ano base todos são iguais a 1 ou 100, se estivermos trabalhando com base 100. Para os oustros anos, os relativos com base 1999=1 são:
Relativos -1999 = 1
	Produto
	2000
	2001
	
	P
	Q
	P
	Q
	Arroz (kg)
	8,5/8,5 = 1,0
	12/10 = 1,2
	9/8,5 = 1,0588
	15/10 = 1,5
	Feijão (kg)
	1,8/1,2 = 1,5
	6/5 = 1,2
	1,8/1,2 = 1,5
	7/5 = 1,4
	Pão (unid,)
	0,12/0,10 = 1,2
	220/200 = 1,1
	0,14/0,10 = 1,4
	240/200 = 1,2
e os índices, com base 1999=100, baseados nas três médias são:
Já o índice agregativo de Bradstreet é:
e o índice de valor é
Resumindo:
	
	
	Preço
	
	Quantidade
	
	Valor
	
	
	1999
	2000
	2001
	1999
	2000
	2001
	1999
	2000
	2001
	Média aritmética
	100
	123,33
	131,96
	100
	116,67
	136,67
	
	
	
	Média geométrica
	100
	121,64
	130,52
	100
	116,57
	136,08
	
	
	
	Média harmônica
	100
	120,00
	129,01
	100
	116,47
	135,48
	
	
	
	Agregativo
	100
	106,33
	111,63
	100
	110,7
	121,86
	100
	125, 41
	163, 24
Como visto na parte inicial do curso,
p ≥ pG ≥ pH
1.5.5	Propriedades dos índices agregativos simples
A propriedade de identidade é obviamente satisfeita por todos os índices agregativos simples.
Vamos mostrar com os dados do exemplo anterior que os índices das médias simples e harmônica não satisfazem a propriedade de reversibilidade. Vamos calcular esses índices com base em 2000.
Note que
Logo,
Analogamente, obtemos que
Com relação à média geométrica simples, temos que
ou seja, o índice baseado na média geométrica simples satisfaz a propriedade de reversibilidade.
Com relação ao índice agregativo simples de Bradstreet, temos que esse índice também satisfaz a reversibilidade, como se mostra a seguir:
Os índices da média aritmética e da média harmônica simples não satisfazem a propriedadecircular. Vamos mostrar este resultado através de um contra-exemplo, baseado nos dados do exemplo 1.4.
Com relação ao índice da média geométrica, temos que:
Para o índice agregativo de Bradstreet, temos que:
Logo, o índice da média geométrica simples e o índice agregativo de Bradstreet satisfazem o princípio da circularidade.
Vamos analisar agora a propriedade da decomposição das causas para esses índices. Estapropriedade exige que o produto do índice de preço pelo índice de quantidade seja igual ao índice simples de valor
Usando os dados do exemplo 1.4, temos:
Logo, o índice de média aritmética simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
Analogamente, concluímos que o índice de média harmônica simples também não satisfaz o critério de decomposição das causas.
Logo, o índice de média geométrica simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
Para o índice de Bradstreet, temos:
	PA99,00 × QA99,00 = 1.0633 × 1.107 × 100 = 117,71 =6	V A99,00 = 125,41
ou seja, este índice também não satisfaz a propriedade da decomposição das causas. A seguir temos o resumo das propriedades dos índices:
	Índice agregativo simples
	
	
	Critério
	
	
	Identidade
	Reversibilidade
	Circularidade
	Decomposição das causas
	Média Aritmética
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Média Harmônica
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Média Geométrica
	SIM
	SIM
	SIM
	NÃO
	Bradstreet
	SIM
	SIM
	SIM
	NÃO
1.6	Índices agregativos ponderados
Uma forte limitação dos índices baseados em médias simples é o fato de se dar o mesmo peso para todos os produtos. Surgem, então, os índices agregativos ponderados, onde cada produto tem um peso diferente. A forma mais comum de se definir os pesos é tomar a participação de cada bem no valor total, ou seja, os pesos são definidos como
		(1.19)
Como um número índice compara preços e quantidades em dois instantesde tempo, uma questão relevante aqui é definir a que momento se referem os preços e quantidades que aparecem na definição dos pesos. Temos, então, que especificar a base de ponderação.
1.6.1	Índice de Laspeyres ou índice da época base
O índice de Laspeyres é definido como uma média aritmética ponderada dos relativos, com os pesos sendo definidos na época base. Então, os pesos são
		(1.20)
onde é o valor total na época base, um valor constante. Note que
		(1.21)
Índice de Laspeyres de preço
O índice de preços de Laspeyres é definido por:
		(1.22)
Essa expressão pode ser simplificada, bastando para isso substituir os termos envolvidos pelas respectivas definições:
		.
Logo,
		(1.23)
Vamos analisar essa última expressão: no denominador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os valores das quantidades da época base aos preços atuais. Então, comparando esses dois termos, estamos comparando a variação de preços da mesma cesta de produtos, a cesta da época base, nos dois instantes de tempo.
Note que as quantidades ou a cesta de produtos é a cesta da época base e, portanto, fica fixa, enquanto não houver mudança de base. Note também que o fato de os pesos serem fixados na época base não significa que temos um sistema fixo de ponderação, o que só acontece quando os pesos independerem da base de comparação. No caso do índice de Laspeyres, os pesos mudam quando mudamos a base de comparação.
Índice de Laspeyres de quantidade
O índice de Laspeyres de quantidade é definido por:
		(1.24)
Como antes, essa expressão pode ser simplificada, substituindo-se os termos envolvidos pelas respectivas definições:
Logo,
		(1.25)
Como antes, no denominador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os valores das quantidades da época atual aos preços da época base. Então, comparando esses dois termos, estamos comparando a variação no valor gasto para se comprar as diferentes quantidades aos mesmos preços da época base. Os preços aqui são os preços da época base, também permanecendo fixos enquanto não houver mudança de base.
No índice de preços, a variação no valor gasto é devida à variação de preços, enquanto no índice de quantidade, o valor total varia em função da variação nas quantidades.
1.6.2	Índice de Paasche ou índice da época atual
O índice de Paasche é uma média harmônica dos relativos, ponderada na época atual, isto é, os pesos são definidos como
		(1.26)
n
onde Vt = P vtj é o valor total da época atual. Como antes,.
	j=1	=1
Índice de preços de Paasche
O índice de preços de Paasche é definido como
		(1.27)
Note a inversão dos relativos, uma vez que. A simplificação é feita da seguinte forma:
ou seja,
		(1.28)
Nessa fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação de preços da cesta atual. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o valor que seria gasto para comprar a cesta atual (quantidade atual) aos preços da época base.
Uma séria limitação no emprego dos índices de Paasche é o fato de as ponderações variarem em cada período; note que os pesos são dados pelo valor da época atual.
Índice de Paasche de quantidade
O índice de quantidades de Paasche é definido como
		(1.29)
A simplificação é feita da seguinte forma:
ou seja,
		(1.30)
Nesse fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação da quantidade aos preços atuais. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o valor que seria gasto para comprar a cesta da época base (quantidade da época base) aos preços atuais. A ponderação é definida pelos valores atuais, mudando a cada período.
1.6.3	Índice de Fisher
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche.
(1.31)
(1.32)
1.6.4	Índice de Marshall-Edgeworth
Com os índices de Laspeyres e Paasche de quantidades, estamos analisando a variação no valor gasto, em função da variação das quantidades, para adquirir os produtos aos preços da época base e da época atual, respectivamente.
O índice de Marshall-Edgeworth considera as médias desses preços e quantidades. Mais precisamente, define-se o índice de preços de Marshall-Edgeworth como um índice que mede a variação no valor gasto, em função da variação dos preços, para adquirir a quantidade definida pela quantidade média da época base e da época atual: , ou seja, o índice de preços é:
		(1.33)
Para o índice de quantidade, toma-se o preço médio da época base e da época atual .
Logo,
		(1.34)
1.6.5	Índice de Divisia
Esse índice é definido como uma média geométrica ponderada dos relativos, com sistema de pesos fixo na época base.
(1.35)
(1.36)
Exemplo 1.5
Vamos considerar os seguintes dados:
	Produto
	1999
	2000
	2001
	
	P
	Q
	P
	Q
	P
	Q
	Arroz (kg)
	2,50
	10
	3,00
	12
	3,25
	15
	Feijão (kg)
	1,20
	5
	1,80
	6
	1,80
	7
	Pão (unid.)
	0,10
	200
	0,12
	220
	0,14
	240
Com base nesses dados, vamos calcular os índices de Laspeyres, Paasche, Fisher, Marshall-Edgeworth e Divisia, tanto de preços quanto de quantidade. Vamos tomar 1999 como base. Na tabela a seguir, temos os valores em forma absoluta e relativa (pesos).
	Produto
	1999
	
	2000
	
	Valor
	Peso
	Valor
	Peso
	Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
	2,5 × 10 = 25,0
1,2 × 5 = 6,0
0,10 × 200 = 20,0
	25/51 = 0,490196
6/51 = 0,117647
20/51 = 0,392157
	3 × 12 = 36,0
1,8 × 6 = 10,8 0,12 × 220 = 26,4
	36,0/73,2 = 0,491803
10,8/73,2 = 0,147541
26,4/73,2 = 0,360656
	Soma
	51,0
	1,000000
	73,2
	1,000000
	Produto
	
	2001
	
	Valor
	Peso
	Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
	3,25 × 15 = 48,75
1,8 × 7 = 12,60 0,14 × 240 = 33,60
	48,75/94,95 = 0,513428
12,60/94,95 = 0,132701
33,60/94,95 = 0,353870
	Soma
	94,95
	1,000000
Os relativos são:
Relativos -1999 = 100
	Produto
	1999
	
	P
	Q
	Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
	2,5/2,5 × 100 = 100
1,2/1,2 × 100 = 100 0,10/0,10	100 = 100
	10/10 × 100 = 100
5/5 × 100 = 100 200/200	100 = 100
	×	×
	Produto
	2000
	
	P
	Q
	Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
	3/2,5 × 100 = 120
1,8/1,2 × 100 = 150 0,12/0,10	100 = 120
	12/10 × 100 = 120
6/5 × 100 = 120 220/200	100 = 110
	×	×
	Produto
	2001
	
	P
	Q
	Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
	3,25/2,5 × 100 = 130
1,80/1,2 × 100 = 150
0,14/0,10	100 = 140
	15/10 × 100 = 150
7/5 × 100 = 140 240/200	100 = 120
	×	×
Usando ambas as fórmulas (1.22) e (1.23), temos que:
Usando as fórmulas (1.24) e (1.25), temos que:
Analogamente, usando as fórmulas (1.27), (1.28), (1.29) e (1.30), temos que:
Note que é mais fácil (e mais preciso numericamente) calcular os índices de Laspeyres e Paasche pelas fórmulas (1.23), (1.25), (1.28) e (1.30).
D99P ,00 = (120)0,490196 × (150)0,117647 × (120)0,392157 = 123,191977
D99P ,01 = (130)0,490196 × (150)0,117647 × (140)0,392157 = 136,105701
Como exercício, você deve calcular esses mesmos índices com base 2000 = 100; o resultado é dado na tabela abaixo, onde se excluem os resultados para o ano base:
	
	Índices - 2000=100
	
	1999
	2001
	
	P
	Q
	P
	Q
	Laspeyres
	
	
	
	
	Paasche
	
	
	
	
	Fisher
	
	
	
	
	Marshall-Edgeworth
	
	
	
	
	Divisia
	
	
	
	
1.6.6	Propriedades dos índices agregativos ponderados
Vamos verificar agora quais critérios os índices acima satisfazem.
Identidade
É fácil verificar que todos os índices vistos satisfazem o princípio da identidade.
Reversibilidade • Laspeyres e Paasche
Com os dados do exemplo 1.5, vamos mostrar que esses índices não satisfazem a propriedade de reversão. De fato:
	LP99,00 × LP00,99
P99P,00 × P00P,99
	=
=
	1,23529412 × 0,808743 = 99, 90354725 6= 1
1,23648649 × 0,809524 = 100, 0965489 6= 1
Fisher
índice de Fisher satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
De forma análoga, prova-se para o índice de quantidade.
Marshall-Edgeworth
índice de Marshall-Edgeworth satisfaz ocritério de reversibilidade, como provamos a seguir:
Divisia
importante a notar aqui é que o sistema de pesos, no índice de Divisia, é fixo. Sendo assim, o índice de Divisia satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
Note que temos o mesmo peso, independente da base de comparação!
Circularidade
Laspeyres e Paasche
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esses índices não satisfazem o princípio da circularidade. Temos que:
	LP99,00 × LP00,01 = 1,23529412 × 1,10109 × 100 = 136,017 = 1366	,274510 = L99P,01
	P99P,00 × P00P,01 = 1,23648649 × 1,09896 × 100 = 135,88 = 1356	,836910 = P99P,01
Fisher
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esse índice também não satisfaz o princípio da circularidade. Temos que:
Marshall-Edgeworth
Com os dados do mesmo exemplo, temos:
Divisia
Como na propriedade de reversão, note que os pesos são fixos, independente da época de comparação. Assim, o índice de Divisia satisfaz o princípio da circularidade, como se mostra a seguir:
Decomposição das Causas • Laspeyres e Paasche
Esses índices não satisfazem esse critério, conforme se mostra a seguir com os dados do exemplo:
No entanto, esses índices satisfazem a propriedade de decomposição das causas, desde que se mescle os índices. Mais precisamente,
		(1.37)
conforme se mostra a seguir:
Fisher
Esse índice satisfaz o critério da decomposição das causas, como se mostra a seguir:
Uma maneira mais elegante de provar este resultado é dada a seguir, onde se usa o resultado
(1.37):
Marshall-Edgeworth
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, como mostra o contra-exemplo abaixo.
Divisia
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, conforme mostra o contraexemplo a seguir:
No quadro a seguir apresentamos o resumo das propriedades dos índices:
	Índice
	
	
	Critério
	
	
	Identidade
	Reversibilidade
	Circularidade
	Decomposição das causas
	Laspeyres
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Paasche
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Fisher
	SIM
	SIM
	NÃO
	SIM
	Marshall-Edgeworth
	SIM
	SIM
	NÃO
	NÃO
	Divisia
	SIM
	SIM
	SIM
	NÃO
1.7	Relações entre índices
1.7.1	Laspeyres e Paasche
Vamos, agora, analisar a relação entre os índices de Laspeyres e Paasche. Para isso, recordemos que o estimador do coeficiente de correlação para dados agrupados é dado por
		(1.38)
onde ni é a freqüência absoluta e σx e σy são, respectivamente, os desvios padrão de X e Y . Sabemos também que a covariância pode ser reescrita como
	 .	(1.39)
onde é a freqüência relativa (lembre-se: covariância é a média dos produtos menos o produto das médias).
Para o caso específico dos números índices, consideremos que os X’s e Y ’s sejam, respectivamente, os relativos de preço e quantidade e as frequências relativas sejam os pesos definidos pelos valores. Mais precisamente,
		.	(1.40)
Substituindo (1.40) em (1.39), obtemos:
Mas sabemos que
		;
substituindo em (1.41), obtemos que
ou seja,
		.	(1.42)
Analisando essa equação, podemos ver que os índices de Laspeyres e Paasche serão idênticos quando rxy = 0 ou σx = 0 ou σy = 0. As duas últimas condições significam que, tanto os relativos de preço, quanto os relativos de quantidade são constantes (não têm variabilidade), uma hipótese bastante irrealista. A condição rxy = 0 significa que os relativos de preço e de quantidade são não correlacionados, hipótese também bastante improvável de ocorrer na prática. Assim, na prática, os índices de Laspeyres e Paasche serão diferentes. Nesse caso, como σx > 0, σy > 0 e V0,t > 0, a relação entre os índices dependerá de rxy. Se rxy > 0 (relativos de preço positivamente correlacionados com os relativos de quantidade, o que acontece quando estamos analisando um problema pelo lado da oferta, por exemplo), o índice de Laspeyres será menor que o de Paasche. Caso contrário, isto é, relativos de preço negativamente correlacionados com os relativos de quantidade (análise pelo lado da demanda), o índice de Laspeyres será maior que o de Paasche.
A situação mais comum, na prática, é termos rxy < 0 e, portanto,. Neste caso, temos que
ou
Analogamente,
ou
Vemos, assim, que, em geral
ou seja, o índice de Paasche tende a subestimar o valor, enquanto o índice de Laspeyres tende a superestimar.
1.7.2	Fisher, Laspeyres e Paasche
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche. Então
	P	.
Pelo resultado anterior, temos que, em geral, os índices de Laspeyres e Paasche são diferentes. Se eles são iguais, obviamente temos F = L = P.
	Das propriedades da função segue que	 para 0 < x < 1.
Consideremos inicialmente que L < P. Então, como L e P são positivos, segue que . Então
ou seja, L < F < P. Se P < L, obtemos, de forma análoga, que P < F < L. Em resumo, se os índices de Laspeyres e Paasche são diferentes, então o índice de Fisher está compreendido entre eles:
	L
	<
	P
	⇒
	L < F < P
	(1.43)
	P
	<
	L
	⇒
	P < F < L
	
	L
	=
	P
	⇒
	L = F = P
	
1.7.3	Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche
O índice de Marshall-Edgeworth é definido como
		.
Vamos provar que esse índice se encontra sempre entre os índices de Laspeyres e Paasche. Mas para isso vamos provar que, se X1,X2,Y1 e Y2 são números positivos tais que
		então		.
De fato: como os números são positivos, temos que
Analogamente,
Note que esse resultado não vale quando algum dos números é negativo. Por exemplo, se fizermos X1 = −2, X2 = 3, Y1 = 1 e Y2 = −2, então
mas	
Para provar a relação entre os índices de Laspeyres, Paasche e Marshall-Edgeworth, basta fazer
Nesse caso, os índices de Laspeyres e Paasche de preço são:
e se L < P, então
ou seja, L < M < P. Se, ao contrário , temos P < L então ¢
e, portanto, P < M < L. E se L = P, então L = P = M. Resumindo, o índice de Marshall-
Edegeworth está entre os índices de Laspeyres e Paasche:
	L
	<
	P
	⇒
	L < M < P
	(1.44)
	P
	<
	L
	⇒
	P < M < L
	
	L
	=
	P
	⇒
	P = M = L
	
1.8	Mudança de base
Considere a seguinte série de relativos de preço com base em 1997:
	Ano
	1997
	1998
	1999
	2000
	2001
	Relativo
	100
	110
	115
	116
	118
Isso significa que
Suponhamos, agora, que queiramos colocar essa série com base em 2001, para atualizar o sistema de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é
Como os relativos satisfazem as propriedades de reversão e circular, temos que:
Logo, a série de relativos na nova base é obtida dividindo-se a série original pelo valor do relativo no ano da base desejada. Esse procedimento, ilustrado para relativos, será sempre válido se o índice satisfizer as propriedades circular e de reversão.
No entanto, vários índices utilizados na prática não satisfazem tal propriedade. Os índices de Laspeyres e Paasche são um exemplo. Para fazer a mudança de base de uma série de índices de Laspeyres, por exemplo, é necessário mudar os pesos e isso significa trazer a antiga cesta base para a época atual. Esse procedimento, além de caro, nem sempre é viável. Assim, na prática, a mudança de base é feita como se o índice satisfizesse a propriedade circular, ou seja, obtém-se a série na nova base dividindo a antiga pelo valor do índice no ano da base desejada.
Vamos ilustrar os procedimentos correto e aproximado com os dados utilizados anteriormente.
Exemplo 1.6
	Produto
	1999
	2000
	2001
	
	P
	Q
	P
	Q
	P
	Q
	Arroz (kg)
	2,50
	10
	3,00
	12
	3,25
	15
	Feijão (kg)
	1,20
	5
	1,80
	6
	1,80
	7
	Pão (unid.)
	0,10
	200
	0,12
	220
	0,14
	240
Anteriormente, calculamos os índices de Laspeyres com base em 1999, obtendo para os preços a seguinte série:
	Ano t
	1999
	2000
	2001
	
	100
	123,529412
	136,274510
Vamos calcular o índice com base em 2001 pelo método exato e pelo método aproximado.
Logo, pelo método exato a série de índices com base em 2001 é:
	Ano t
	1999
	2000
	2001
	
	73,618
	90,995
	100
Pelo métodoprático, temos:
1.9	Deflacionamento e poder aquisitivo
Suponhamos que em 1999 um quilo de carne custasse 8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2 anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para comprar essa carne, em 1999 poderíamos comprar
250R$
 = 31,25 kg 8R$/kg
e em 2000
250R$
 = 25kg 10R$/kg
Logo, a relação entre as quantidades é
que corresponde a uma taxa de variação de
20%
Então, com esse aumento de preço, mantido o mesmo valor disponível, houve uma queda de 20% na quantidade de carne adquirida.
Consideremos, agora, uma situação mais geral, onde o salário de uma pessoa se mantém fixo em R$2.500,00 nos anos de 1999 e 2000 mas a inflação em 2000, medida pelo INPC, foi de 5,27%. Como avaliar a perda salarial desta pessoa? Primeiro, vamos interpretar o significado da inflação de 5,27% em 2000. Isto significa que o preço de uma cesta de produtos e serviços aumentou 5,27% em 2000, comparado com 1999, ou seja, o índice de preços de 2000 com base em 1999 é 1,0527. Por outro lado, como o salário é o mesmo, o índice de valor (salário) de 2000 com base em 1999 é 1. Usando a relação aproximada IV = IP ×IQ, resulta que o índice de quantidade de 2000 com base em 1999 é
ou seja, esta pessoa, com o mesmo salário em 2000, consegue comprar 0,94994 do que comprava em 1999, o que representa uma taxa de (0,94994 − 1) × 100 = −5,006. O índice 0,94994 é chamado índice do salário real, já que ele representa o que a pessoa pode realmente adquirir em 2000, com base em 1999.
Uma outra forma de olhar este mesmo problema é a seguinte: dizer que houve uma variação de preços de 5,27% em 2000 é o mesmo que dizer que 1,0527 reais em 2000 equivalem (em poder de compra) a 1 real em 1999. Então, para determinar quanto valem os 2500 reais de 2000 a preços de 1999, basta aplicarmos a regra de três simples:
	1999
	2000
	1 R$
	1,0527 R$
	x
	2500 R$
Logo,
o que significa que o salário de 2500 reais em 2000 equivale a um salário de 2374,85 reais em 1999, o que é lido como 2374,85 reais a preços de 1999. A perda salarial pode ser obtida como
mesmo valor obtido através do índice do salário real.
Estes exemplos ilustram o conceito de deflacionamento de uma série de valores, que permite equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma época base, ou ainda, o deflacionamento permite eliminar uma das causas de variação de uma série de valores monetários, qual seja, a variação de preços.
1.9.1	Deflator
Um índice de preços usado para equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma época base é chamado deflator.
Como visto acima, para obter a série de valores deflacionados ou valores a preços da época base, basta dividir a série de valores pelo respectivo índice de preços. Os valores estarão a preços constantes do ano base do índice de preços.
Podemos também dividir a série de índices de valores pelo respectivo índice de preço para obter o índice do valor real (quantidade) com base no período base do deflator.
Exemplo 1.7
Considere a série do faturamento nominal de uma empresa e o índice de preço apropriado, dados na tabela abaixo.
	Ano
	Faturamento nominal
	Índice de preços
	
	(Mil R$)
	1999=100
	1999
	1600
	100,000
	2000
	1800
	105,272
	2001
	2400
	115,212
	2002
	2800
	132,194
	2003
	3000
	145,921
	2004
	3200
	154,870
Para obter o faturamento real a preços de 1999, basta fazer, como antes, uma regra de três, tendo em mente a interpretação do índice de preços: 100 R$ em 1999 equivalem a 105,272 R$ em 2000, a 115,212 em 2001, etc. Por exemplo, para o ano de 2002 temos:
	
	1999
	2002
	100 R$
	132,194 R$
	x
	2800 R$
	
Com o mesmo procedimento para os outros anos, obtemos a série do faturamento a preços de 1975 dada por:
	Ano
	Faturamento (Mil R$ de 1999)
	1999
2000
2001
2002
2003
2004
	(1600/100) × 100 = 1600,0 (1800/105,272) × 100 = 1709, 9
(2400/115,212) × 100 = 2083, 1
(2800/132,194) × 100 = 2118, 1
(3000/145,921) × 100 = 2055, 9
(3200/154,870)	100 = 2066, 2
×
Para obter o índice do faturamento real com base em 1999 temos que calcular o índice do faturamento nominal e dividí-lo pelo respectivo índice de preços. Para o ano de 2002, por exemplo, temos:
Completando para os outros anos obtemos:
	Ano
	Índice do faturamento real (quantidade)
1999=100
	1999
	
	2000
	
	2001
	
	2002
	
	2003
	
	2004
	
Note a seguinte equivalência (ano de 2002):
O termo no numerador é o faturamento de 2002 a preços de 1999, enquanto o termo no denominador é o faturamento de 1999 a preços de 1999. Ou seja, podemos obter a série de índices do faturamento real a preços de 1999 simplesmente dividindo a série de faturamento a preços de 1999 pelo faturamento real do ano base:
	Ano
	Índice do faturamento real 1999=100
	1975
	
	1976
	
	1977
	
	1978
	
	1979
	3000
145.921 × 100	100 = : 128.49
	1600	×
	1980
	
Se no exemplo tivessem sido dadas as taxas de variação do faturamento e do preço, o deflacionamento seria feito, primeiro transformando as taxas em índices.
	Taxa	Índice
(taxa nominal)	→ 1 + i	Deflacionamento:	
(taxa de inflação) → 1 + j
Exemplo 1.8
Na tabela abaixo temos o salário de um funcionário nos meses de janeiro a maio de 2002 e as respectivas taxas de inflação mensal medidas pelo INPC:
	Mês
	Salário (R$)
	INPC (%)
	dez-01
	3868,81
	0,74
	jan-02
	4060,03
	1,07
	fev-02
	4797,79
	0,31
	mar-02
	4540,89
	0,62
	abr-02
	4436,14
	0,68
	mai-02
	4436,14
	0,09
Vamos calcular o salário real a preços de dezembro de 2001 e também o índice do salário real com base em dez-01. As taxas de inflação medem a variação mês t/mês t − 1. O primeiro passo, então, consiste em calcular a série do INPC com base em dezembro de 2001. Em janeiro de 2002 a taxa de inflação foi de 1,07%, com relação a dezembro de 2001, ou seja,
Em fevereiro, temos que
e	
Para março, temos:
Para abril:
e para maio:
Obtida a série do INPC com base em dezembro de 2001, para obter o salário real basta dividir o salário nominal de cada mês pelo respectivo valor do índice:
	Mês
	Salário (R$)
	INPC
	Salário real
	
	
	%
	dez-01=100
	a preços de dez-01
	dez-01=100
	dez-01
	3868,81
	0,74
	100,000
	3868
,
81
100
×
100=3868
,
81
	3868
,
81
3868
,
81
×
100=100
,
00
	jan-02
	4060,03
	1,07
	101,070
	4060
,
03
101
,
070
×
100=4017
,
05
	4017
,
05
3868
,
81
×
100=103
,
83
	fev-02
	4797,79
	0,31
	101,383
	4797
,
79
101
,
383
×
100=4732
,
34
	4732
,
34
3868
,
81
×
100=122
,
323
	mar-02
	4540,89
	0,62
	102,012
	4540
,
89
102
,
012
×
100=4451
,
33
	4451
,
33
3868
,
81
×
100=115
,
06
	abr-02
	4436,14
	0,68
	102,706
	4436
,
14
102
,
706
×
100=4319
,
26
	4319
,
26
3868
,
81
×
100=111
,
64
	mai-02
	4436,14
	0,09
	102,798
	4436
,
14
102
,
798
×
100=4315
,
40
	4315
,
40
3868
,
81
×
100=111
,
54
Ao deflacionarmos esses salários, estamos colocando todos eles na “mesma moeda”, ou seja, eles são comparáveis para efeitos de poder de compra. É como se tivéssemos duas pessoas em dezembro de 2001 ganhando, por exemplo, uma R$ 3668,81 e a outra R$ 4315,40; com essa comparação fica claro que a segunda pessoa ganha mais que a primeira, ou seja, em termos reais, o salário de maio de 2002 é maior que o salário de dezembro de 2001.
1.9.2	Poder aquisitivo
O poder aquisitivo de um determinado volume de unidades monetárias, com relação a uma certa época base, é o seu valor deflacionado com referência a essa época base.
Consideremos novamente o exemplo visto no início da seção: em 1999 um quilo de carne custava 8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2 anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para comprar essa carne, em 1999 poderíamos comprar
250 R$
 = 31,25 kg 8R$/kg
e em 2000
250R$
 = 25kg
10R$/kg
Logo, a relação entre as quantidadesé
Isso significa que o poder aquisitivo (para esse único produto) caiu 20%. Note que:
No denominador temos o relativo de preço da carne com base em 1999, ou seja, o poder aquisitivo é obtido tomando-se o inverso do índice de preço escolhido.
Exemplo 1.9
Considere a série do IGP dada a seguir. Calcule o poder aquisitivo de 1Cr$ com base no cruzeiro de 1977.
	Ano
	IGP - 2000=100
	Poder aquisitivo de 1R$ (2000=100)
	2000
	100
	(1/100) × 100 = : 1.0
	2001
	110
	(1/110) × 100 = : 0.90909
	2002
	140
	(1/140) × 100 = : 0.71429
	2003
	150
	(1/150) × 100 = : 0.66667
	2004
	168
	(1/168)	100 = : 0.59524
×
Em 2002, 1R$ tem o mesmo poder aquisitivo de 0,71429 R$ de 2000, enquanto em 2004, 1R$$ tem o poder aquisitivo de 0,59524 R$ em 1977.
Exemplo 1.10
O salário de um trabalhador foi reajustado em 80% em um dado período, enquanto a inflação foi de 92% no mesmo período. Qual foi a perda do poder aquisitivo desse trabalhador?
Para resolver esse problema, temos que colocar ambas as taxas em forma de índice. Assim o índice do salário real é
Logo, o poder aquisitivo do salário no final do período é igual a 0,9375 do poder aquisitivo no início do período, o que equivale a uma perda de 6,25%.
1.10	Análise dos dados da PME
Nesta seção vamos analisar dois artigos publicados no jornal Folha de São Paulo, reproduzidos mais adiante. Ambos se baseiam em resultados da Pesquisa Mensal de Emprego do IBGE e foram publicados quando da divulgação dos resultados da PME referentes ao mês de dezembro de 2001. A ênfase dos dois artigos é a queda do rendimento médio real do trabalhador. Vamos, então, analisar as informações dadas nos artigos e descrever como os resultados foram obtidos a partir da PME.
.
Uma das variáveis publicadas na PME é o rendimento médio nominal do trabalho principal, estimado como uma média dos rendimentos individuais dos informantes da amostra. Estima-se também o rendimento nominal médio dos trabalhadores com carteira assinada. Para estimar o salário médio real, os salários nominais são deflacionados pelo INPC.
Na tabela 1 temos os dados necessários para a análise. Na primeira coluna temos os dados oriundos da PME, onde os salários são dados na moeda corrente. Note que no período em estudo houve duas mudanças de moeda: uma em agosto de 93 (cruzeiro para cruzeiro real) e outra em julho de 94 (cruzeiro real para real).
A análise é feita com base nos salários reais, dando-se ênfase ao período do Plano Real (início em julho de 1994). Vamos, então, calcular os salários médios reais com base em julho de 1994. Para isso, temos inicialmente que calcular o INPC com base em julho de 1994. A forma mais fácil de fazer isso é calcular, primeiro, o índice com base dez-92=1 e depois fazer a mudança de base. Os dados e cálculos de mudança de base estão na Tabela 2.
INPC- base: dez-92=1
Temos que acumular as inflações mensais, ou seja, primeiro transformamos as taxas em índices e depois acumulamos mês a mês (ver exemplo 1.8).
INPC - base: jul-94=1
Para mudar a base, basta dividir toda a série pelo valor do índice (com base em dez-92) no mês de julho de 1994, ou seja, temos que dividir toda a série pelo valor 239,68148900.
Podemos ver da Tabela 2 que a inflação acumulada desde o Plano Real até dezembro de 2001 é de 97,71%. Esta é a taxa correspondente ao índice do mês de dezembro, com base em julho de 1994. Este mesmo resultado pode ser obtido a partir do índice com base em dezembro de 1992, simplesmente dividindo o índice de dezembro pelo índice de julho:
Como a série foi construída acumulando os índices mensais, esta divisão nos dá:
Figura 1.1: Artigos sobre a PME
Tabela 1
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME
	
	
	Salário
	
	
	Salário
	
	
	Salário
	
	
	nominal
	
	
	nominal
	
	
	nominal
	
	Moeda
	(Moeda
	
	Moeda
	(Moeda
	
	Moeda
	(Moeda
	
	corrente
	corrente)
	e
	corrente
	corrente)
	
	corrente
	corrente)
	jan/93
	Cr$
	4287933,73
	jan/96
	R$
	576,38
	jan/99
	R$
	687,15
	fev
	Cr$
	5143301,54
	frv
	R$
	587,91
	fev
	R$
	678,78
	mar
	Cr$
	6619473,88
	mar
	R$
	587,37
	mar
	R$
	677,90
	abr
	Cr$
	8981479,19
	abr
	R$
	594,71
	abr
	R$
	676,92
	mai
	Cr$
	11389161,90
	mai
	R$
	609,63
	mai
	R$
	676,78
	jun
	Cr$
	14389468,98
	jun
	R$
	619,36
	jun
	R$
	683,35
	jul
	Cr$
	18710695,94
	jul
	R$
	639,63
	jul
	R$
	674,76
	ago
	CR$
	26478,71
	ago
	R$
	644,18
	ago
	R$
	676,05
	set
	CR$
	36674,12
	set
	R$
	636,43
	set
	R$
	679,52
	out
	CR$
	47894,50
	out
	R$
	636,95
	out
	R$
	688,36
	nov
	CR$
	67997,71
	nov
	R$
	641,44
	nov
	R$
	707,15
	dez
	CR$
	96592,30
	dez
	R$
	686,66
	dez
	R$
	757,68
	jan/94
	CR$
	130445,49
	jan/97
	R$
	641,75
	jan/00
	R$
	707,66
	fev
	CR$
	187295,51
	fev
	R$
	642,73
	fev
	R$
	702,00
	mar
	CR$
	288739,80
	mar
	R$
	634,11
	mar
	R$
	698,34
	abr
	CR$
	401208,65
	abr
	R$
	649,94
	abr
	R$
	699,57
	mai
	CR$
	558514,64
	mai
	R$
	666,70
	mai
	R$
	711,64
	jun
	CR$
	726230,00
	jun
	R$
	664,50
	jun
	R$
	727,58
	jul
	R$
	341,21
	jul
	R$
	675,23
	jul
	R$
	723,91
	ago
	R$
	363,88
	ago
	R$
	684,17
	ago
	R$
	731,50
	set
	R$
	374,09
	set
	R$
	618,18
	set
	R$
	733,99
	out
	R$
	371,02
	out
	R$
	689,63
	out
	R$
	745,84
	nov
	R$
	405,56
	nov
	R$
	695,49
	nov
	R$
	743,99
	dez
	R$
	440,53
	dez
	R$
	744,11
	dez
	R$
	805,07
	jan/95
	R$
	420,34
	jan/98
	R$
	700,70
	jan/01
	R$
	738,50
	fev
	R$
	435,78
	fev
	R$
	696,29
	fev
	R$
	742,25
	mar
	R$
	450,71
	mar
	R$
	685,00
	mar
	R$
	740,08
	abr
	R$
	467,60
	abr
	R$
	679,52
	abr
	R$
	746,12
	mai
	R$
	487,02
	mai
	R$
	675,01
	mai
	R$
	740,40
	jun
	R$
	499,44
	jun
	R$
	682,89
	jun
	R$
	750,80
	jul
	R$
	509,48
	jul
	R$
	678,72
	jul
	R$
	758,05
	ago
	R$
	521,96
	ago
	R$
	685,74
	ago
	R$
	749,53
	set
	R$
	530,43
	set
	R$
	685,86
	set
	R$
	746,35
	out
	R$
	537,86
	out
	R$
	695,24
	out
	R$
	752,82
	nov
	R$
	561,62
	nov
	R$
	715,28
	nov
	R$
	750,92
	dez
	R$
	600,62
	dez
	R$
	758,10
	dez
	R$
	803,45
Tabela 2
INPC - Taxas de variação e índices dez-92=1 e jul-94=1
	Mês
	
	INPC
	
	
	
	INPC
	
	
	%
	dez-92=1
	jul-94=1
	
	%
	dez-92=1
	jul-94=1
	dez/92
	
	1,0000
	0,0042
	
	
	
	
	jan/93
	28,77
	1,2877
	0,0054
	jan/96
	1,46
	329,8291
	1,3761
	fev
	24,79
	1,6069
	0,0067
	fev
	0,71
	332,1709
	1,3859
	mar
	27,58
	2,0501
	0,0086
	mar
	0,29
	333,1342
	1,3899
	abr
	28,37
	2,6317
	0,0110
	abr
	0,93
	336,2323
	1,4028
	mai
	26,78
	3,3365
	0,0139
	mai
	1,28
	340,5361
	1,4208
	jun
	30,37
	4,3498
	0,0181
	jun
	1,33
	345,0653
	1,4397
	jul
	31,01
	5,6987
	0,0238
	jul
	1,20
	349,2060
	1,4570
	ago
	33,34
	7,5986
	0,0317
	ago
	0,50
	350,9521
	1,4642
	set
	35,63
	10,3060
	0,0430
	set
	0,02
	351,0223
	1,4645
	out
	34,12
	13,8224
	0,0577
	out
	0,38
	352,3561
	1,4701
	nov
	36,00
	18,7985
	0,0784
	nov
	0,34
	353,5542
	1,4751
	dez
	37,73
	25,8911
	0,1080
	dez
	0,33
	354,7209
	1,4800
	jan/94
	41,32
	36,5893
	0,1527
	jan/97
	0,81
	357,5941
	1,4920
	fev
	40,57
	51,4336
	0,2146
	fev
	0,45
	359,2033
	1,4987
	mar
	43,08
	73,5912
	0,3070
	mar
	0,68
	361,6459
	1,5089
	abr
	42,86
	105,1324
	0,4386
	abr
	0,60
	363,8158
	1,5179
	mai
	42,73
	150,0555
	0,6261
	mai
	0,11
	364,2160
	1,5196
	jun
	48,24
	222,4422
	0,9281
	jun
	0,35
	365,4907
	1,5249
	jul
	7,75
	239,6815
	1,0000
	jul
	0,18
	366,1486
	1,5276
	ago
	1,85
	244,1156
	1,0185
	ago
	-0,03
	366,0387
	1,5272
	set
	1,40
	247,5332
	1,0328
	set
	0,10
	366,4048
	1,5287
	out
	2,82
	254,5137
	1,0619out
	0,29
	367,4674
	1,5331
	nov
	2,96
	262,0473
	1,0933
	nov
	0,15
	368,0186
	1,5354
	dez
	1,70
	266,5021
	1,1119
	dez
	0,57
	370,1163
	1,5442
	jan/95
	1,44
	270,3397
	1,1279
	jan/98
	0,85
	373,2623
	1,5573
	fev
	1,01
	273,0701
	1,1393
	fev
	0,54
	375,2779
	1,5657
	mar
	1,62
	277,4939
	1,1578
	mar
	0,49
	377,1167
	1,5734
	abr
	2,49
	284,4035
	1,1866
	abr
	0,45
	378,8138
	1,5805
	mai
	2,10
	290,3759
	1,2115
	mai
	0,72
	381,5412
	1,5919
	jun
	2,18
	296,7061
	1,2379
	jun
	0,15
	382,1135
	1,5943
	jul
	2,46
	304,0051
	1,2684
	jul
	-0,28
	381,0436
	1,5898
	ago
	1,02
	307,1059
	1,2813
	ago
	-0,49
	379,1765
	1,5820
	set
	1,17
	310,6991
	1,2963
	set
	-0,31
	378,0010
	1,5771
	out
	1,40
	315,0489
	1,3144
	out
	0,11
	378,4168
	1,5788
	nov
	1,51
	319,8061
	1,3343
	nov
	-0,18
	377,7357
	1,5760
	dez
	1,65
	325,0829
	1,3563
	dez
	0,42
	379,3222
	1,5826
Continua...
Tabela 2 (Conclusão)
	Mês
	INPC
	
	
	
	INPC
	
	
	
	%
	dez-92=1
	jul-94=1
	
	%
	dez-92=1
	jul-94=1
	jan/99
	0,65
	381,7878
	1,5929
	jul/00
	1,39
	421,7458
	1,7596
	fev
	1,29
	386,7128
	1,6134
	ago
	1,21
	426,8489
	1,7809
	mar
	1,28
	391,6628
	1,6341
	set
	0,43
	428,6844
	1,7886
	abr
	0,47
	393,5036
	1,6418
	out
	0,16
	429,3703
	1,7914
	mai
	0,05
	393,7003
	1,6426
	nov
	0,29
	430,6154
	1,7966
	jun
	0,07
	393,9759
	1,6437
	dez
	0,55
	432,9838
	1,8065
	jul
	0,74
	396,8913
	1,6559
	jan/01
	0,77
	436,3178
	1,8204
	ago
	0,55
	399,0742
	1,6650
	fev
	0,49
	438,4557
	1,8293
	set
	0,39
	400,6306
	1,6715
	mar
	0,48
	440,5603
	1,8381
	out
	0,96
	404,4767
	1,6876
	abr
	0,84
	444,2610
	1,8535
	nov
	0,94
	408,2788
	1,7034
	mai
	0,57
	446,7933
	1,8641
	dez
	0,74
	411,3000
	1,7160
	jun
	0,60
	449,4741
	1,8753
	jan/00
	0,61
	413,8090
	1,7265
	jul
	1,11
	454,4632
	1,8961
	fev
	0,05
	414,0159
	1,7274
	ago
	0,79
	458,0535
	1,9111
	mar
	0,13
	414,5541
	1,7296
	set
	0,44
	460,0689
	1,9195
	abr
	0,09
	414,9272
	1,7312
	out
	0,94
	464,3936
	1,9375
	mai
	-0,05
	414,7197
	1,7303
	nov
	1,29
	470,3843
	1,9625
	jun
	0,30
	415,9639
	1,7355
	dez
	0,74
	473,8651
	1,9771
Para obter a série dos índices do salário nominal com base em julho de 1994, vamos transformar todos os salários para R$. Lembrando que 1CR$ = 1000 Cr$ e que 1R$ = 2750 CR$, as transformações se fazem da seguinte forma: os salários em Cr$ devem ser divididos por 1000 × 2750 e os salários em CR$ devem ser divididos por 2750. Com todos os salários na mesma moeda, podemos calcular os índices do salário nominal com base em julho de 1994 simplesmente dividindo todos os salários pelo salário do mês de julho de 1994, que é igual a 341,21. Na tabela 3 temos os resultados.
Para obter a série de índices do salário real, basta dividir mês a mês a série de índices do salário nominal pelo INPC com base em julho de 94. O resultado está na Tabela 4. Pequenas diferenças podem ocorrer em função de arredondamentos, uma vez que os valores da tabela foram obtidos no EXCEL, trabalhando com muitas casas decimais e depois arredondando para 6 casas decimais.
Tabela 3
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME - R$ e índice jul-94=1
	Mês
	Salário
	Mês
	Salário
	Mês
	Salário
	
	R$
	jul-94=1
	
	R$
	jul-94=1
	
	R$
	jul-94=1
	jan/93
	1,559249
	0,004570
	jan/96
	576,38
	1,689224
	jan/99
	687,15
	2,013862
	fev
	1,870291
	0,005481
	frv
	587,91
	1,723015
	fev
	678,78
	1,989322
	mar
	2,407081
	0,007055
	mar
	587,37
	1,721433
	mar
	677,90
	1,986753
	abr
	3,265992
	0,009572
	abr
	594,71
	1,742944
	abr
	676,92
	1,983881
	mai
	4,141513
	0,012138
	mai
	609,63
	1,786671
	mai
	676,78
	1,983471
	jun
	5,232534
	0,015335
	jun
	619,36
	1,815187
	jun
	683,35
	2,002726
	jul
	6,803889
	0,019940
	jul
	639,63
	1,874593
	jul
	674,76
	1,977550
	ago
	9,628622
	0,028219
	ago
	644,18
	1,887928
	ago
	676,05
	1,981331
	set
	13,336044
	0,039085
	set
	636,43
	1,865215
	set
	679,52
	1,991501
	out
	17,416182
	0,051042
	out
	636,95
	1,866739
	out
	688,36
	2,017409
	nov
	24,726440
	0,072467
	nov
	641,44
	1,879898
	nov
	707,15
	2,072477
	dez
	35,124473
	0,102941
	dez
	686,66
	2,012426
	dez
	757,68
	2,220568
	jan/94
	47,434724
	0,0139019
	jan/97
	641,75
	1,880807
	jan/00
	707,66
	2,073972
	fev
	68,107458
	0,199606
	fev
	642,73
	1,883679
	fev
	702,00
	2,057384
	mar
	104,996291
	0,307718
	mar
	634,11
	1,858416
	mar
	698,34
	2,046657
	abr
	145,894055
	0,427578
	abr
	649,94
	1,904809
	abr
	699,57
	2,050262
	mai
	203,096233
	0,595224
	mai
	666,70
	1,953929
	mai
	711,64
	2,085636
	jun
	264,083636
	0,773962
	jun
	664,50
	1,947481
	jun
	727,58
	2,132353
	jul
	341,21
	1,000000
	jul
	675,23
	1,978928
	jul
	723,91
	2,121597
	ago
	363,88
	1,066440
	ago
	684,17
	2,005129
	ago
	731,50
	2,143841
	set
	374,09
	1,096363
	set
	618,18
	1,996366
	set
	733,99
	2,151139
	out
	371,02
	1,087366
	out
	689,63
	2,021131
	out
	745,84
	2,185868
	nov
	405,56
	1,188887
	nov
	695,49
	2,038305
	nov
	743,99
	2,180446
	dez
	440,53
	1,291082
	dez
	744,11
	2,180798
	dez
	805,07
	2,359456
	jan/95
	420,34
	1,231910
	jan/98
	700,70
	2,053574
	jan/01
	738,50
	2,164356
	fev
	435,78
	1,277161
	fev
	696,29
	2,040649
	fev
	742,25
	2,175347
	mar
	450,71
	1,320917
	mar
	685,00
	2,007561
	mar
	740,08
	2,168987
	abr
	467,60
	1,370417
	abr
	679,52
	1,991501
	abr
	746,12
	2,186689
	mai
	487,02
	1,427332
	mai
	675,01
	1,978283
	mai
	740,40
	2,169925
	jun
	499,44
	1,463732
	jun
	682,89
	2,001377
	jun
	750,80
	2,200404
	jul
	509,48
	1,493157
	jul
	678,72
	1,989156
	jul
	758,05
	2,221652
	ago
	521,96
	1,529732
	ago
	685,74
	2,009730
	ago
	749,53
	2,196682
	set
	530,43
	1,554556
	set
	685,86
	2,010082
	set
	746,35
	2,187363
	out
	537,86
	1,576331
	out
	695,24
	2,037572
	out
	752,82
	2,206325
	nov
	561,62
	1,645966
	nov
	715,28
	2,096304
	nov
	750,92
	2,200756
	dez
	600,62
	1,760265
	dez
	758,10
	2,221799
	dez
	803,45
	2,354708
Tabela 4
Rendimento Médio Real - Índice jul-94=1
	Mês
	Salário Real
	Mês
	Salário Real
	Mês
	Salário Real
	Mês
	Salário Real
	
	jul-94=1
	
	jul-94=1
	
	jul-94=1
	
	jul-94=1
	jan/93
	0,850577
	abr/95
	1,154921
	jul/97
	1,295410
	out/99
	1,195460
	fev
	0,817575
	mai
	1,178146
	ago
	1,312955
	nov
	1,216655
	mar
	0,824758
	jun
	1,182414
	set
	1,305911
	dez
	1,294017
	abr
	0,871741
	jul
	1,177224
	out
	1,318287
	jan/00
	1,201261
	mai
	0,871928
	ago
	1,193883
	nov
	1,327498
	fev
	1,191058
	jun
	0,844998
	set
	1,199225
	dez
	1,412250
	mar
	1,183310
	jul
	0,838680
	out
	1,199234
	jan/98
	1,318654
	abr
	1,184328
	ago
	0,890108
	nov
	1,233584
	fev
	1,303317
	mai
	1,205365
	set
	0,908971
	dez
	1,297832
	mar
	1,275932
	jun
	1,228677
	out
	0,885080
	jan/96
	1,227532
	abr
	1,260054
	jul
	1,205720
	nov
	0,923958
	fev
	1,243260
	mai
	1,242743
	ago
	1,203796
	dez
	0,952954
	mar
	1,238526
	jun
	1,255368
	set
	1,202722
	jan/94
	0,910657
	abr
	1,242449
	jul
	1,251206
	out
	1,220187
	fev
	0,930166
	mai
	1,257523
	ago
	1,270372
	nov
	1,213641
	mar
	1,002215
	jun
	1,260825
	set
	1,274545
	dez
	1,306095
	abr
	0,974796
	jul
	1,286648
	out
	1,290557
	jan/01
	1,188941
	mai
	0,950742
	ago
	1,289354
	nov
	1,330151
	fev
	1,189151
	jun
	0,833944
	set
	1,273587
	dez
	1,403883
	mar
	1,180011
	jul
	1,000000
	out
	1,269803jan/99
	1,264277
	abr
	1,179732
	ago
	1,047069
	nov
	1,274421
	fev
	1,232972
	mai
	1,164052
	set
	1,061586
	dez
	1,359777
	mar
	1,215811
	jun
	1,173363
	out
	1,023998
	jan/97
	1,260632
	abr
	1,208374
	jul
	1,171688
	nov
	1,087415
	fev
	1,256901
	mai
	1,207520
	ago
	1,149438
	dez
	1,161148
	mar
	1,231668
	jun
	1,218390
	set
	1,139547
	jan/95
	1,092204
	abr
	1,254887
	jul
	1,194237
	out
	1,138722
	fev
	1,121001
	mai
	1,285832
	ago
	1,189975
	nov
	1,121382
	mar
	1,140924
	jun
	1,277119
	set
	1,191436
	dez
	1,191014
A partir dos dados do salário real da Tabela 4 podemos obter os vários resultados citados nos artigos. Vamos analisar inicialmente o artigo do economista Lauro Ramos. A questão levantada por ele tem a ver com as possibilidades de se trabalhar com a taxa média ou com a taxa ponta a ponta. Trabalhar com a taxa anual média significa considerar a taxa de variação dos salários médios de dois anos consecutivos, isto é, para cada ano calcula-se a média dos índices do salário real e depois calcula-se a taxa de variação anual. Na tabela 5 temos esses resultados.
Tabela 5
	Ano
	Média anual
	Variação anual %
	1993
	0,873444
	
	1994
	0,998645
	14,3
	1995
	1,180883
	18,3
	1996
	1,268642
	7,4
	1997
	1,294946
	2,07
	1998
	1,289732
	-0,4
	1999
	1,219094
	-5,5
	2000
	1,212180
	-0,6
	2001
	1,165587
	-3,8
Por exemplo, o valor 0,873444 foi obtido como
e a taxa de variação para 1994 é
Estas são as taxas que aparecem no gráfico superior. Há diferenças para os anos de 1994 e 1995 em função de inconsistências nos dados, provavelmente por causa da mudança de moeda.
No segundo gráfico temos as taxas ponta a ponta, que se referem a variações de cada mês com relação ao mesmo mês do ano anterior. Para os meses de dezembro, que aparecem no gráfico, estes valores são obtidos dividindo-se os índices do salário real de dezembro de um ano pelo de dezembro do ano anterior, conforme ilustrado na tabela 6.
Tabela 6
	Mês
	Taxa ponta a ponta
	dez-95
dez-96
dez-97
dez-98
dez-99
dez-00
dez-01
	
Com relação ao artigo de Pedro Soares, da Sucursal Rio, a queda de 3,9% refere-se à taxa de variação calculada em cima do rendimento médio (ver tabela 5). A interpretação da frase sublinhada é a seguinte: acumulando as perdas nos três anos, resulta uma perda de 9,7%. Para obter esse número, temos que acumular os índices relativos a estas taxas, ou seja:
que corresponde a uma taxa de
100 × (0,90269613 − 1) = −9,7%
A interpretação da expressão “somadas as perdas” tem que ser feita com cuidado; na verdade, estamos acumulando as variações.
Finalmente, podemos ver que, desde o início do Plano Real, há uma expansão de 19,1% (no artigo, o número que aparece é 18,6%) do salário médio real, que pode ser obtida a partir do índice de dezembro de 2001, já que esse índice tem como base julho de 1994.
1.11	O Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC
Nesta seção apresentaremos um resumo da metodologia de cálculo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC - produzido pelo IBGE. O INPC é calculado a partir dos Índices de Preços ao Consumidor Metropolitanos e um de seus principais objetivos é fornecer subsídios para as políticas de reajuste de salários. Ele é divulgado mensalmente pelo IBGE, basicamente em forma de taxa de variação mensal, que reflete a variação dos preços entre um mês qualquer e o mês imediatamente anterior. Informações sobre metodologia de cálculo, séries históricas dos índices, calendário de divulgação etc, podem ser obtidas na página do IBGE no endereço www.ibge.gov.br.
1.11.1	Índice de Custo de Vida e Índice de Preços ao Consumidor
As famílias possuem um padrão de vida e um respectivo custo de vida. O padrão de vida de uma família pode ser caracterizado pela quantidade de bens que ela consome, ou seja, pela sua cesta de compras. O custo de vida, por sua vez, corresponde ao total das despesas efetuadas para se manter um certo padrão de vida. Quando ocorrem variações nos preços das mercadorias que compõem a cesta de compras, ocorre também uma variação no custo de vida, que é medida pelo Índice do Custo de Vida.
Por definição, o custo de vida é a despesa referente à cesta de compras mais barata dentre as que refletem um mesmo padrão de vida, mas é impossível determinarmos quais cestas refletem um mesmo padrão de vida, pois essa é uma determinação social. Sendo assim, torna-se impossível medir o verdadeiro Índice do Custo de Vida. No entanto, podemos considerar que as famílias despendem seu dinheiro de forma a obter, aproximadamente, o melhor padrão de vida e, assim, o preço da cesta de compras efetivamente adquirida é aproximadamente igual ao custo de vida. Desta forma, uma variação dos preços ao consumidor é aproximadamente igual a uma variação do custo de vida e, portanto, podemos considerar o índice de preços ao consumidor como uma aproximação do índice do custo de vida.
1.11.2	Conceitos básicos
Os principais conceitos envolvidos no cálculo de um índice de preços ao consumidor são os seguintes: • População objetivo: parte da população para a qual se quer fazer o estudo da variação de preços.
Cesta de compras: é formada pelo conjunto de mercadorias e respectivas quantidades que uma famíla consome durante um certo período de tempo.
Padrão de vida: é caracterizado pela quantidade de bens que uma famíla consome, ou seja, pela sua cesta de compras.
Custo de vida: é o total das despesas efetuadas para se manter determinado padrão de vida, sendo o total dessas despesas referido à cesta mais barata dentre as cestas que refletem o mesmo padrão de vida.
Cesta padrão: é a união das cestas de compras de toda a população objetivo.
Índice de custo de vida (ICV): mede a variação percentual que o salário deve sofrer para possibilitar a manutenção do mesmo padrão de vida.
Índice de preços ao consumidor (IPC): mede a variação dos preços da cesta efetivamente adquirida pelas famílias, o que pressupõe que os consumidores não substituem os produtos, isto é, que não existe nenhuma cesta equivalente à cesta efetivamente adquirida.
Cadastro de Locais: relação dos locais onde serão coletados os preços para o cálculo do IPC. • Cadastro de Produtos: é uma relação contendo uma amostra das mercadorias consumidas pelas famílas da população objetivo e dos estabelecimentos onde essas mercadorias são adquiridas.
Equipe de coleta: é a equipe responsável pela coleta mensal dos preços.
1.11.3	Metodologia de Cálculo do INPC
A identificação da população objetivo é conseqüência da utilização que será dada ao índice e de algumas restrições de ordem prática. Em geral, o índice é utilizado para correção de salários. Como as famílias de renda mais baixa são mais sensíveis ao aumento de preços, elas devem estar seguramente representadas no índice, através de suas cestas de compras. Além disso, a grande maioria dos trabalhadores sujeitos à legislação encontra-se nos centros urbanos e apenas nesses centros urbanos é possível identificar o comércio com características definidas de modo a possibilitar o acompanhamento dos preços. Sendo assim, a população objetivo do INPC é formada pelas famílias com chefes assalariados, residentes nos centros urbanos, com rendimento monetário disponível de 1 a 8 salários mínimos.
Para calcular um índice de preços, é necessário responder duas perguntas: (1) De quais produtos devem ser coletados os preços? (2) Onde devem ser coletados os preços? Para isso, determina-se a cesta padrão a partir de uma amostra de domicílios extraída da população objetivo, obtendose a relação dos produtos a serem pesquisados. Esses produtos são classificados hierarquicamente em grupos, subgrupos, itens e subitens. Por exemplo, laranja é um subitem do item frutas, que pertence ao subgrupo alimentação no domicílio, que por sua vez faz parte do grupo alimentação.[2: Esse levantamento é feito pela Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF), também realizada pelo IBGE.]A partir de pesquisas específicas complementa-se o Cadastro de Informantes, acrescentando-se os locais de compra e a especificação completa de cada produto a ser pesquisado. Com esse cadastro, a equipe de coleta faz o levantamento mensal de preços em cada uma das 11 regiões metropolitanas contempladas pela pesquisa (ver Fig. 1.2 mais adiante), que são utilizados no cálculo dos IPCs metropolitanos. O INPC é calculado como uma média ponderada dos IPCs metropolitanos, com os pesos definidos a partir da população residente.[3: Pesquisa de Locais de Compra (PLC) e Pesquisa de Especificação de Produtos e Serviços (PEPS)]
1.11.4	Fórmulas de Cálculo dos IPCs metropolitanos
A seguir descrevem-se as fórmulas de cálculo de cada IPC metropolitano, válidas para a maioria dos produtos pesquisados. A metodologia básica consiste na aplicação da fórmula de Laspeyres, com a estrutura de pesos definida a partir Pesquisa de Orçamentos Familiares.[4: Existem alguns subitens e itens que recebem tratamento especial, dadas as suas peculiaridades. Alguns exemplos de subitens especiais são os aluguéis, serviços públicos, empregado doméstico. Nos itens Tubérculos, Raízes e Legumes; Hortaliças e Verduras; Frutas, o tratamento especial é devido à característica sazonal.]
O nível mais desagregado para o qual se tem peso explícito é o de subitem e cada peso representa a participação na despesa total. O peso Wk do subitem k é dado por:
		(1.45)
onde
n = número total de famílias
Xej = despesa da famíla e com o subitem j
Xe = despesa total da família e
Definindo o peso wek do subitem k na famíla e como
podemos escrever o peso do subitem k como
		(1.46)
ou seja, o peso agregado do subitem k é uma média ponderada dos pesos do subitem de todas as famílias, com o peso definido pela participação de cada família na despesa total das famílias.
Cálculo em nível de produto
A estimativa da variação mensal dos preços do produto j entre os meses t−1 e t é dada pelo relativo rtj−1,t do preço médio do produto, calculado como a razão do preço médio do produtot − 1 ao longo de todos os locais: j no período t pelo preço médio no período
		(1.47)
onde
 preço médio do produto j no mês t, ao longo de todos os locais
• nt = número de locais que compõem a amostra do produto j no mês t
Embora na fórmula (1.47) apareça o número de locais nos meses t e t − 1, na prática é feita (quando necessário) imputação de dados para manter o painel de informantes fixo nos dois meses consecutivos.
Cálculo em nível de subitem
Calcula-se o relativo de preços do subitem k entre os meses t−1 e t como a média geométrica dos relativos dos preços médios dos J produtos que o compõem:
		(1.48)
onde m = número de produtos que compõem o subitem k.
É interessante lembrar que o índice de média geométrica satisfaz a propriedade circular, de modo que . Esse resultado será usado no cálculo do índice em nível de item.
Cálculo em nível de item
O índice de preços do item m é calculado pela fórmula de Laspeyres, utilizando-se os relativos de preços e pesos dos K subitens que o compõem:
		(1.49)
Essa fórmula fornece a variação de preços do item m no período completo, desde o período base até o momento atual. Na prática, é necessário obter variações para períodos menores, tais como variações mensais. Neste caso, temos que
		(1.50)
onde
 índice de preços do item m entre os meses t − 1 e t peso do subitem k, referente ao período t − 1,definido para t ≥ 2 por
		(1.51)
Acumulando-se os índices mensais dados pela fórmula (1.50), obtém-se o índice do período total dado pela fórmula (1.49), conforme se demonstra a seguir para o caso de três períodos.
Note que nessa dedução foram feitas simplificações (os termos do tipo se cancelam, o que permite a simplificação dos termos restantes) e foi usada a propriedade de circularidade do índice de média geométrica.
Cálculo do IPC metropolitano
O índice de preços ao consumidor da região metropolitana A entre os meses t − 1 e t é calculado pela fórmula de Laspeyres, considerando os índices dos M itens relevantes. Novamente o índice para períodos maiores é calculado pelo encadeamento dos índices mensais t/(t − 1):
onde o peso de cada item é definido de modo análogo ao peso do subitem, considerando-se os resultados dos itens.
1.11.5	Cálculo do INPC
O INPC é uma média ponderada dos IPCs metropolitanos, com o peso de cada região sendo definido em termos da população urbana residente, com base nos dados da Contagem Populacional de 1996. A fórmula de cálculo é
Na Fig. 1.2 ilustra-se o peso de cada região metropolitana no INPC e na Fig. 1.3 exibe-se a participação dos diversos grupos no INPC.
Figura 1.2: Estruturas regionais de ponderação para cálculo do INPC
0
5
10
15
20
25
30
Alimentação
e Bebidas
Habitação
Transportes
Saúde e
Cuidados
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Figura 1.3:
1.12	Exercícios propostos do capítulo
Seções 1.1 a 1.4
Nas tabelas abaixo temos o PIB nominal do Brasil em milhões de cruzados. Determine osíndices e as taxas de crescimento nominal do PIB nos períodos.
	Ano
	PIB (1000 R$)
	Ano
	PIB (1000 R$)
	1980
	914.188
	2002
	1.346.028
	2000
	1.101.255
	2004
	1.769.202
	Fonte: www.ipeadata.gov.br
	
Na tabela abaixo temos as esperanças de vida no Brasil. Determine os índices com base em1980 e as taxas de crescimento da esperança de vida nos períodos considerados.
	Ano
	Esperança de vida
	Ano
	Esperança de vida
	1980
	62,7
	2000
	70,4
	1990
	66,6
	2005
	71,9
Fonte:www.ibge.gov.br/Tábuas Completas de Mortalidade - Notas Técnicas - Tabela 10
Considere os dados da tabela abaixo.
	Anos
	1994
	1995
	1996
	1997
	1998
	Relativos de preço 1994=100
	100
	102
	112
	115
	125
	Relativos de quant. 1996=100
	90
	98
	100
	110
	120
Calcule os relativos de preço e quantidade com base 1998=1. Que propriedades vocêutilizou nos seus cálculos?
Calcule os relativos de valor com base 1998=1. Que propriedade você utilizou nos seuscálculos?
Uma empresa deseja aumentar as vendas (quantidades) em 60%. Qual deve ser a variação depreço para que o faturamento duplique?
Se a queda de vendas esperada de um produto de uma certa empresa for igual a 10% comrelação ao desempenho atual, qual o aumento percentual de preços que permitirá manter o faturamento no mesmo nível do atual?
Um jornal publicou a tabela abaixo com o seguinte comentário: “A produção de soja aumentou50% em 1978 com relação a 1976, e 117% em 1979 com relação a 1978”. Essa afirmação é correta?
	Ano
	Quantidade (t)
	1976
	750
	1977
	1.000
	1978
	1.500
	1979
	1.750
Se, em 2004, uma empresa vendeu uma quantidade de mercadoria 60% superior a de 2003,em quanto por cento a quantidade de mercadoria vendida em 2003 é inferior à de 2004? Que propriedade você usou?
Um vendedor vendeu em março 25% mais do que no mês anterior. Quanto por cento elevendeu a menos em fevereiro, com relação a março? Que propriedade você usou?
Se o preço de um produto aumentou 20% e a quantidade vendida também aumentou em 20%,qual o aumento percentual do faturamento da empresa com esse produto? Que propriedade você usou?
Uma companhia de turismo espera, para o próximo verão, um aumento de 50% na procurade seus pacotes turísticos. Em quanto ela deverá aumentar seus preços se desejar dobrar seu faturamento?
Se essa mesma companhia esperasse uma queda de 15% na procura de seus pacotes turísticos,em quanto ela deveria aumentar seus preços para manter inalterado seu faturamento?
Se essa companhia vender, este ano, 25% a menos de seus pacotes turísticos do que vendeu noano passado, quantos por cento as vendas do ano passado serão maiores que as deste ano?
Em 2004, o preço de um produto aumentou 12% com relação ao preço de 2003, enquanto aquantidade vendida no mesmo período diminuiu de 6%. Qual foi a variação percentual do valor do produto nesse período?
Um veículo utilizando gasolina consegue andar, em média, 30% maisdo que utilizando álcool.
Se o preço do álcool é 35% inferior ao da gasolina, para percorrer a mesma distância,qual o combustível mais econômico e em que porcentagem?
Se o proprietário do veículo gasta em média R$100 mensais com gasolina, qual será seugasto mensal se trocar o veículo a gasolina por outro a álcool, supondo que percorrerá os mesmos trajetos sob as mesmas condições?
Se um veículo a gasolina percorre uma distância 30% superior a outro da mesma marca quese utiliza de álcool, quanto espaço esse último anda menos do que o primeiro?
Considere as seguintes épocas: 1998, 2000 e 2004. Em 1998, o preço de um bem foi 10% menordo que o preço do mesmo bem em 2000 e, em 2004, 20% superior ao de 2000. Qual será o aumento de preço em 2004 com base em 1998? Que propriedades você usou?
Suponha que um índice de preços tenha tido as seguintes variações com relação ao ano imediatamente anterior:
	1999:	cresceu 9%
	2000:	cresceu 6%
	2001:	cresceu 8%
Qual o aumento de preço de 2001 com relação a 1998? Que propriedades você usou?
Uma funcionária tem um salário anual de R$10.000,00, mas é informada de que terá uma redução salarial de 10% em virtude da queda dos lucros da empresa. Entretanto, ela é informada de que terá um aumento de 10% no próximo ano. Ela aceita, acreditando que a situação não se afigura tão ruim, pois a redução inicial de 10% será compensada pelo aumento posterior de 10%.
Qual será a renda anual da funcionária após a redução de 10%?
No próximo ano, qual será a renda anual da funcionária após o aumento de 10%?
A redução inicial de 10% seguida do aumento posterior de 10% restitui à funcionária arenda anual de R$10.000,00?
Qual deverá ser o aumento adicional para que a funcionária volte a ter uma renda anualde R$10.000,00?
Um dono de hotel informou que, em setembro, iria reduzir o preço das diárias de seu hotel em25%, em comparação com o mês anterior. Ele não disse, mas tal medida teve que ser tomada porque, em agosto, os hóspedes o denunciaram ao Procon (é que, aí, o dono do hotel tinha reajustado as diárias em 50%, em relação a julho). Determine os preços relativos das diárias em agosto e setembro, tomando julho como mês de referência.
As lojas Pirani venderam, em novembro, 50 televisores Colorado, ao preço unitário de US$350,00. Em dezembro, os mesmos televisores eram vendidos a US$500,00 a unidade, razão pela qual só foram vendidas 30 unidades. Determine os índices de preço, quantidade e valor com base em novembro.
Dada a tabela abaixo, determine os relativos de preço, quantidade e valor, tomando comodata-base:
janeiro
julho
dezembro
	Mês
	Preço
	Quantidade
	Mês
	Preço
	Quantidade
	jan.
	5.292
	201
	jul.
	6.891
	229
	fev.
	5.436
	215
	ago.
	7.156
	226
	mer.
	5.949
	210
	set.
	7.616
	228
	abr.
	6.411
	219
	out.
	8.315
	217
	mai.
	6.407
	230
	nov.
	9.223
	225
	jun.
	6.869
	227
	dez.
	9.815
	231
Considere os seguintes elos de relativo (ou índice mês/mês anterior):
	Anos
	1995
	1996
	1997
	1998
	Índices
	122
	109
	104
	102
Calcule os índices com base em 1996 e 1994. Que propriedades você usou?
O índice constante da tabela abaixo foi calculado com base móvel, isto é, são dados os elos derelativos:
	Anos
	1998
	1999
	2000
	2001
	Índices
	102
	109
	106
	108
Calcule os índices com base em 2001, 1999 e 1997. Que propriedades você usou?
A inflação acumulada até o mês de abril (inclusive) de determinado ano foi 24,73%. Em abril, a taxa de inflação foi de 5,7% sobre março. Se essa taxa se mantiver para os próximos 8 meses, qual será a taxa de inflação do ano?
Dadas as variações mensais de um índice de preços, isto é, os elos de relativos, calcule:
a variação acumulada até o mês de dezembro;(b) a taxa média mensal de variação.
	Mês
	Jan
	Fev
	Mar
	Abr
	Mai
	Jun
	Jul
	Ago
	Set
	Out
	Nov
	Dez
	%
	2,0
	3,2
	-2,5
	5,1
	10,2
	-5,8
	-4,3
	1,5
	6,0
	7,1
	8,3
	15,1
O valor do salário de um operário em janeiro de determinado ano é de R$482,00. Segundoas planilhas da empresa, haverá aumentos de 3%, 4,2% e 5% a cada trimestre (aumentos nos salários de abril, julho e outubro). Em dezembro, qual o valor do 13o salário deste operário?
A tabela a seguir apresenta a evolução do IGP, no período de 1995 a 2004. Calcular a taxa devariação média anual do IGP no período.
	Ano
	1995
	1996
	1997
	1998
	1999
	2000
	2001
	2002
	2003
	2004
	IGP-DI (ago/94=100)
	117
	131
	141
	146
	163
	185
	205
	232
	285
	312
	Fonte: www.ipeadata.gov.br
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A tabela abaixo refere-se à produção brasileira de laminados de aço, em milhares de toneladas, no período de 1995 a 2000. Calcule os relativos de quantidade para o período considerado, tomando 2000 como base.
	Anos
	1995
	1996
	1997
	1998
	1999
	2000
	Produção de laminados (1000t)
	15889
	16733
	17452
	16336
	16810
	18202
	Fonte: www.ipeadata.gov.br (IBS/IE)
	
	
	
	
	
A quantidade relativa de certo produto no ano de 2000, referida ao de 1991, é igual a 105,enquanto que a de 2000, referida a 1995, é 140. Determine a quantidade relativa de 1995, tomando como base o ano de 1991.
Sejam os seguintes elos de relativos de preços no período de 2000 a 2004: 105, 103, 108, 110 e104.
Determinar o preço relativo de 2002, tomando por base o ano de 1999.
Encadear os elos relativos, tomando por base o ano de 2000.
Qual a interpretação do valor obtido para o ano de 2004?
Seção 1.5
Dados os preços de cinco produtos, determinar o índice de preço usando o método agregativosimples (Bradstreet) e tomando o ano de 2000 como base.
	Bens
	
	Preços
	
	
	2000
	2001
	2002
	A
	17,00
	26,01
	27,52
	B
	19,36
	41,88
	29,99
	C
	15,18
	15,81
	14,46
	D
	99,32
	101,26
	96,17
	E
	12,15
	13,49
	11,40
Com os dados do problema anterior, determine os índices de preço, com base em 2000, usandoos métodos das médias aritmética, geométrica e harmônica simples.
Dadas as tabelas abaixo, calcular os índices agregativos, com base em T0, baseados nas médias aritmética, geométrica e harmônica.
(a)
	Produtos
	Unidade
	
	T0
	
	T1
	
	
	Preço
	Quantidade
	Preço
	Quantidade
	carnes
	kg
	155,70
	2,0
	191,50
	1,3
	frutas
	un.
	15,00
	4,0
	20,00
	5,0
	azeite
	lata
	122,25
	1,0
	170,00
	1,0
	bebidas
	gr.
	42,00
	6,0
	50,00
	10,0
	limpeza
	vd.
	35,00
	2,0
	40,60
	1,0
	legumes
	bc.
	10,00
	2,0
	10,00
	3,0
	ovos
	dz.
	46,00
	1,0
	66,40
	2,0
	amendoim
	sc.
	30,00
	1,0
	35,00
	1,0
	sal
	kg
	25,00
	1,0
	28,00
	1,0
un.=unidade; vd=vidro; gr.=garrafa; bc=bacia; sc.=saco
(b)
	Produtos
	Unidade
	
	t = 0
	
	t = 1
	
	
	Preço
	Quantidade
	Preço
	Quantidade
	leite
	lt.
	36,00
	2
	42,00
	3
	pão
	un.
	6,00
	3
	8,00
	5
	café
	g.
	76,00
	500
	92,00
	500
	açucar
	kg
	19,00
	2
	25,00
	1
Verifique se os índices baseados nas médias artimética, geométrica e harmônica simples satisfazem o critério da decomposição das causas.
Usando o fato de que podemos escrever
mostre que os índices de preço baseados nas médias artimética e harmônica podem ser escritos como:
Dê uma interpretação para os termos, lembrando que valor = preço × quantidade.
Usando esse fato, interprete o significado de cada um dos índices de preço.
Resolva o exercício anterior, trabalhando agora com índices de quantidade.
Suponha que um índice de preços, comparando os preços entre o instante base t = 0 e um instante posterior t = 1, e baseado na média artimética simples, tenha sido calculado com base em n produtos. Suponha que se queira acrescentar um novo produto. Mostre como obter o novo índice.
Resolva o problema anterior, trabalhando agora com o índice baseado na média geométricasimples.
Seções 1.6 e 1.7
Considere os dados da tabela abaixo.
	Produto
	Unidade
	t = 0
	t = 1
	t = 2
	
	
	Preço
	Quant.
	Preço
	Quant.
	Preço
	Quant.
	batata
	kg
	65,00