Gabarito q2ad2 2016 1

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AD2 - GABARITO DA QUESTA˜O 2 - 2016–1
Esta questa˜o possui dois itens.
A) Determine o conjunto soluc¸a˜o de
i) (1.1 pt) 2x2 + 3x+ 1 > 0
ii) (0.9 pt) x2 + 6x+ 12 < 0.
B) (0.5 pt) Dados divulgados pelo Ministe´rio da Sau´de tem mostrado que a obesidade cresceu muito,
e continua crescendo, atingindo tambe´m as crianc¸as e os jovens. Alguns estudiosos chegam a
afirmar que no Brasil a obesidade chega a ser uma epidemia silenciosa. O fato e´ que a obesidade
e´ considerada um problema de sau´de pu´blica e sabe-se que ela pode provocar va´rias doenc¸as.
Voceˆ ja´ deve ter ouvido falar do IMC, o ı´ndice de massa corporal. Ele e´ uma medida que aponta o
grau de obesidade ou de baixo peso de uma pessoa. Conhecendo o IMC de uma pessoa, pode-se
afirmar se um indiv´ıduo esta´ acima ou abaixo do peso ideal.
O IMC e´ calculado levando em considerac¸a˜o o peso e a altura da pessoa. Voceˆ sabe como ele e´
calculado? Ha´ um modelo matema´tico (uma fo´rmula) que fornece o IMC.
IMC× (altura)2 − (peso) = 0.
Se o valor obtido do IMC e´:
• menor que 18,5 - o indiv´ıduo esta´ abaixo do peso normal;
• entre 18,5 e 24,9 - o indiv´ıduo esta´ com peso normal;
• entre 25 e 29,9 - o indiv´ıduo esta´ com sobrepeso (acima do peso desejado);
• igual ou maior que 30 - o indiv´ıduo esta´ obeso.
Uma pessoa cujo IMC e´ igual a 20 e pesa 60 kg, tem que altura?
Soluc¸a˜o:
A) i) Para determinar os valores de x que satisfazem 2x2 + 3x+ 1 > 0, vamos fazer o estudo de
sinal da expressa˜o y = 2x2+3x+1. Para isso, tomamos como refereˆncia os pontos em que
2x2 + 3x+ 1 = 0. Isto e´,
x =
−(3)±
√
(3)2 − 4(2)(1)
2(2)
=
−3± 1
4
⇐⇒ x = −1
2
, x = −1.
Assim, temos que y = 2x2 + 3x+ 1 = 2
(
x+
1
2
)
(x+ 1)
Logo,
2x2 + 3x+ 1 > 0 ⇐⇒ 2
(
x+
1
2
)
(x+ 1) > 0
⇐⇒
(
x+
1
2
)
(x+ 1) > 0.
Assim, vamos fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o
(
x+
1
2
)
(x+ 1) > 0.
Para isso, vamos estudar o sinal de x+
1
2
e de x+ 1;
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
Estudo do sinal de x+
1
2
• x+ 1
2
= 0⇐⇒ x = −1
2
• x+ 1
2
> 0⇐⇒ x > −1
2
• x+ 1
2
< 0⇐⇒ x < −1
2
Estudo do sinal de x+ 1
• x+ 1 = 0⇐⇒ x = −1
• x+ 1 > 0⇐⇒ x > −1
• x+ 1 < 0⇐⇒ x < −1
Vamos determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada, com a ajuda da tabela
a seguir
(−∞,−1)
(
−1,−1
2
) (
−1
2
,∞
)
sinal de x+
1
2
− − +
sinal de x+ 1 − + +
sinal de
(
x+
1
2
)
(x+ 1) + − +
Enta˜o
(
x+
1
2
)
(x+ 1) > 0 ⇐⇒ x < −1 ou x > −1
2
.
Portanto, 2x2 + 3x + 1 > 0 quando x ∈ (−∞,−1) ∪
(
−1
2
,∞
)
, ou seja,
S = (−∞,−1) ∪
(
−1
2
,∞
)
.
ii) Ao tentar resolver a equac¸a˜o x2 + 6x + 12 = 0 por Bhaskara, percebemos que a equac¸a˜o
na˜o possui ra´ızes reais, pois ∆ = (6)2 − 4(1)(12) = −12, isto e´, ∆ < 0. Isso significa que
na˜o existe valor de x que faz com que x2+6x+12 = 0, isto e´, x2+6x+12 nunca se anula,
sendo enta˜o, ou sempre positivo ou sempre negativo.
Para descobrir qual e´ o caso em questa˜o, vamos substituir x por um real qualquer na expressa˜o
x2 + 6x+ 12. Por exemplo, substituindo x = 0, temos que (0)2 + 6(0) + 12 = 12 > 0. Por
causa disso, a expressa˜o x2 + 6x+ 12 e´ sempre maior que zero para qualquer valor de x.
Portanto, na˜o existe nu´mero real x que satisfaz x2 + 6x+ 12 < 0.
Ou seja, S = ∅.
B) Substituindo IMC=20 e peso = 60 na fo´rmula “ IMC × (altura)2 − (peso) = 0 ”, obtemos a
equac¸a˜o do segundo grau
20 (altura)2 − 60 = 0.
Logo,
20 (altura)2 = 60⇐⇒ (altura)2 = 60
20
= 3⇐⇒ altura = ±
√
3 ≈ ±1, 73.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3
Como a altura e´ uma medida positiva, segue que a altura da pessoa e´ aproximadamente igual a
1m e 73 cm.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ