Gabarito q3ad2 2016 1

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AD2 - GABARITO DA QUESTA˜O 3 - 2016–1
Esta questa˜o possui dois itens.
A) (1.2 pt) Determinar um ponto P do eixo das abscissas, sabendo que P e´ equidistante dos pontos
A = (3, 8) e B = (7, 2).
B) O valor, em reais (R$), de uma ac¸a˜o negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de prega˜o
e´ dado pela expressa˜o v =
t2
2
− 10t + 66. Considere t = 0 o momento inicial do prega˜o; t = 1
apo´s 1 dia de prega˜o; t = 2 apo´s 2 dias de prega˜o, etc.
i) (1.1 pt) Esboce o gra´fico da expressa˜o indicando os principais pontos.
ii) (0.2 pt) Apo´s quanto tempo o valor da ac¸a˜o e´ m´ınimo? Qual o valor m´ınimo?
O item b) tem de ser resolvido pela ana´lise da expressa˜o de v. Resoluc¸o˜es obtidas pela simples
substituic¸a˜o de valores e comparac¸a˜o entre eles na˜o sera˜o aceitas.
Soluc¸a˜o:
A) Como o ponto P esta´ no eixo das abscissas, segue que a segunda coordenada de P e´ igual a zero.
Logo, o ponto P e´ da forma (x, 0).
Sabendo que a distaˆncia entre dois pontos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), denotada por d(P,Q),
e´ dada por
d(P,Q) =
√
(x2 − x1)2 +
(
y2 − y1)2
e que nesta questa˜o a distaˆncia entre os pontos A e P e´ igual a a distaˆncia entre os pontos B e
P , temos que
d(P,A) = d(P,B) ⇐⇒
√
(x− 3)2 +
(
0− 8
)
2
=
√
(x− 7)2 +
(
0− 2
)
2
⇐⇒
√
(x− 3)2 + 64 =
√
(x− 7)2 + 4
⇐⇒
(√
(x− 3)2 + 64
)2
=
(√
(x− 7)2 + 4
)2
⇐⇒ (x− 3)2 + 64 = (x− 7)2 + 4
⇐⇒ x2 − 6x+ 9 + 64 = x2 − 14x+ 49 + 4
⇐⇒ 8x+ 20 = 0
⇐⇒ 8x = −20
⇐⇒ x = −
20
8
⇐⇒ x = −
5
2
.
Portanto, P =
(
−
5
2
, 0
)
.
B) i) Vamos representar t no eixo das abscissas e v no eixo das ordenadas.
Assim, o gra´fico de v =
t2
2
− 10t+ 66 e´ uma para´bola no plano tv.
Notemos que ela tem a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de t2 e´ um
nu´mero positivo.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
Ale´m disso, quando v = 0, isto e´, quando
t2
2
− 10t + 66 = 0, usando Bhaskara, temos que
∆ = (10)2 − 4
(
1
2
)
(66) = −32 < 0, o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo t.
Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´
(
−
b
2a
,−
∆
4a
)
=
(
−
(−10)
2(1/2)
,−
(−32)
4(1/2)
)
=
(10, 16).
A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura a seguir.
10
t
16
66
v
ii) Pelo item a), segue que o valor da ac¸a˜o e´ m´ınimo apo´s 10 dias de prega˜o. E o valor mi´ınimo
e´ igual a R$ 16,00.
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