AD2 Q4 Gabarito

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 4
1o Semestre de 2016
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Uma urna conte´m 5 bolas verdes e 10 bolas azuis. Treˆs
bolas sera˜o retiradas aleatoriamente desta urna. Seja X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero
de bolas verdes retiradas.
(a) Obtenha a distribuic¸a˜o de probabilidades de X se as retiradas sa˜o feitas sem reposic¸a˜o;
(b) Obtenha a distribuic¸a˜o de probabilidades de X se as retiradas sa˜o feitas com reposic¸a˜o;
(c) Obtenha P (X > 1) para as duas distribuic¸o˜es encontradas nos itens (a) e (b).
Soluc¸a˜o:
Considere os eventos:
A : A bola retirada e´ azul;
V : A bola retirada e´ verde.
Ao retirar treˆs bolas, existem as possibilidades de que nenhuma delas seja verde, ou uma delas seja
verde, ou duas delas sejam verdes, ou as treˆs sejam verdes.
Desta forma, teremos:
X 0 1 2 3
p(x) ? ? ? ?
(a) Quando as retiradas sa˜o feitas sem reposic¸a˜o, teremos:
P (X = 0) = P ({A,A,A}) = P (A)P (A|A)P (A|A ∩ A)
=
10
15
× 9
14
× 8
13
=
720
2.730
= 0,26374
P (X = 1) = P ({A,A, V } ∪ {A, V,A} ∪ {V,A,A})
=
(
10
15
× 9
14
× 5
13
)
+
(
10
15
× 5
14
× 9
13
)
+
(
5
15
× 10
14
× 9
13
)
=
450
2.730
+
450
2.730
+
450
2.730
=
1.350
2.730
= 0,49451
P (X = 2) = P ({A, V, V } ∪ {V,A, V } ∪ {V, V,A})
1
=
(
10
15
× 5
14
× 4
13
)
+
(
5
15
× 10
14
× 4
13
)
+
(
5
15
× 4
14
× 10
13
)
=
200
2.730
+
200
2.730
+
200
2.730
=
600
2.730
= 0,21978
P (X = 3) = P ({V, V, V } = P (V )P (V |V )P (V |V ∩ V )
=
5
15
× 4
14
× 3
13
=
60
2.730
= 0,021978
Assim, a disstribuic¸a˜o de probabilidades de X e´:
X 0 1 2 3
p(x) 0,26374 0,49451 0,21978 0,021978
(b) Quando as retiradas sa˜o feitas com reposic¸a˜o, o espac¸o amostral sera´ sempre 15 e o nu´mero de
bolas azuis sera´ sempre 10 e o nu´mero de bolas verdes e´ sempre igual a` 5.
P (X = 0) = P ({A,A,A}) = P (A)P (A)P (A)
=
10
15
× 10
15
× 10
15
=
1.000
3.375
= 0,29629
P (X = 1) = P ({A,A, V } ∪ {A, V,A} ∪ {V,A,A})
=
(
10
15
× 10
15
× 5
15
)
+
(
10
15
× 5
15
× 10
15
)
+
(
5
15
× 10
15
× 10
15
)
=
500
3.375
+
500
3.375
+
500
3.375
=
1.500
3.375
= 0,44444
P (X = 2) = P ({A, V, V } ∪ {V,A, V } ∪ {V, V,A})
=
(
10
15
× 5
15
× 5
15
)
+
(
5
15
× 10
15
× 5
15
)
+
(
5
15
× 5
15
× 10
15
)
=
250
3.375
+
250
3.375
+
250
3.375
=
750
3.375
= 0,22222
P (X = 3) = P ({V, V, V } = P (V )P (V )P (V )
=
5
15
× 5
15
× 5
15
=
125
3.375
= 0,037037
2
Assim, a disstribuic¸a˜o de probabilidades de X e´:
X 0 1 2 3
p(x) 0,29629 0,44444 0,22222 0,037037
(c)
1. P (X > 1) para o item (a).
P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 21978 + 0, 021978
= 0,24175
2. P (X > 1) para o item (b).
P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 22222 + 0, 037037
= 0,259259
3