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ME´TODOS ESTATI´STICOS I 2a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 4 1o Semestre de 2016 Prof. Moise´s Lima de Menezes Gabarito 1. (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Uma urna conte´m 5 bolas verdes e 10 bolas azuis. Treˆs bolas sera˜o retiradas aleatoriamente desta urna. Seja X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero de bolas verdes retiradas. (a) Obtenha a distribuic¸a˜o de probabilidades de X se as retiradas sa˜o feitas sem reposic¸a˜o; (b) Obtenha a distribuic¸a˜o de probabilidades de X se as retiradas sa˜o feitas com reposic¸a˜o; (c) Obtenha P (X > 1) para as duas distribuic¸o˜es encontradas nos itens (a) e (b). Soluc¸a˜o: Considere os eventos: A : A bola retirada e´ azul; V : A bola retirada e´ verde. Ao retirar treˆs bolas, existem as possibilidades de que nenhuma delas seja verde, ou uma delas seja verde, ou duas delas sejam verdes, ou as treˆs sejam verdes. Desta forma, teremos: X 0 1 2 3 p(x) ? ? ? ? (a) Quando as retiradas sa˜o feitas sem reposic¸a˜o, teremos: P (X = 0) = P ({A,A,A}) = P (A)P (A|A)P (A|A ∩ A) = 10 15 × 9 14 × 8 13 = 720 2.730 = 0,26374 P (X = 1) = P ({A,A, V } ∪ {A, V,A} ∪ {V,A,A}) = ( 10 15 × 9 14 × 5 13 ) + ( 10 15 × 5 14 × 9 13 ) + ( 5 15 × 10 14 × 9 13 ) = 450 2.730 + 450 2.730 + 450 2.730 = 1.350 2.730 = 0,49451 P (X = 2) = P ({A, V, V } ∪ {V,A, V } ∪ {V, V,A}) 1 = ( 10 15 × 5 14 × 4 13 ) + ( 5 15 × 10 14 × 4 13 ) + ( 5 15 × 4 14 × 10 13 ) = 200 2.730 + 200 2.730 + 200 2.730 = 600 2.730 = 0,21978 P (X = 3) = P ({V, V, V } = P (V )P (V |V )P (V |V ∩ V ) = 5 15 × 4 14 × 3 13 = 60 2.730 = 0,021978 Assim, a disstribuic¸a˜o de probabilidades de X e´: X 0 1 2 3 p(x) 0,26374 0,49451 0,21978 0,021978 (b) Quando as retiradas sa˜o feitas com reposic¸a˜o, o espac¸o amostral sera´ sempre 15 e o nu´mero de bolas azuis sera´ sempre 10 e o nu´mero de bolas verdes e´ sempre igual a` 5. P (X = 0) = P ({A,A,A}) = P (A)P (A)P (A) = 10 15 × 10 15 × 10 15 = 1.000 3.375 = 0,29629 P (X = 1) = P ({A,A, V } ∪ {A, V,A} ∪ {V,A,A}) = ( 10 15 × 10 15 × 5 15 ) + ( 10 15 × 5 15 × 10 15 ) + ( 5 15 × 10 15 × 10 15 ) = 500 3.375 + 500 3.375 + 500 3.375 = 1.500 3.375 = 0,44444 P (X = 2) = P ({A, V, V } ∪ {V,A, V } ∪ {V, V,A}) = ( 10 15 × 5 15 × 5 15 ) + ( 5 15 × 10 15 × 5 15 ) + ( 5 15 × 5 15 × 10 15 ) = 250 3.375 + 250 3.375 + 250 3.375 = 750 3.375 = 0,22222 P (X = 3) = P ({V, V, V } = P (V )P (V )P (V ) = 5 15 × 5 15 × 5 15 = 125 3.375 = 0,037037 2 Assim, a disstribuic¸a˜o de probabilidades de X e´: X 0 1 2 3 p(x) 0,29629 0,44444 0,22222 0,037037 (c) 1. P (X > 1) para o item (a). P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 21978 + 0, 021978 = 0,24175 2. P (X > 1) para o item (b). P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 22222 + 0, 037037 = 0,259259 3
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