Medidas_Dispersao_EDPsi_2013_2

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
MEDIDAS DE DISPERSAO 
OU DE 
VARIABILIDADE
Vimos até aqui, que a moda, a mediana e a média podem ser utilizadas para sintetizar em um único número o que é médio ou aquilo que é típico (moda) de uma distribuição. Quando empregada individualmente, entretanto, qualquer medida de tendência central produz somente um quadro incompleto de um conjunto de dados e, portanto, pode tanto enganar ou distorcer quando esclarecer, dependendo da conclusão que queira chegar.
 
São necessários dois tipos de medidas para descrever adequadamente um conjunto de dados: 
medidas de tendência central
- média
- mediana
- moda
medidas de dispersão
Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para caracterizar totalmente uma seqüência numérica. Podem surgir perguntas do tipo: 
Onde a maior parte dos dados se encontra?
Os dados variam muito ou pouco em relação à média?
Até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações?
Estas perguntas impõem algumas novas necessidades. Para além de expressar através de um único valor em torno do qual tende a se concentrar um conjunto de dados numéricos, importa saber como estas observações estão distribuídas em nossa população de estudo – são elas bastantes próximas entre si ou variam muito? 
Isto ocorre porque duas ou mais distribuições podem apresentar médias aritméticas idênticas e, ao mesmo tempo, possuir valores que se distribuem de maneiras completamente diferentes em relação a ela. Por exemplo, considere as três distribuições X, Y e Z.
X : 70 – 70 – 70 – 70 – 70 ( 
Y: 68 – 69 – 70 – 71 – 72 ( 
Z: 05 – 15 – 50 – 120 – 160 ( 
Observe que as três distribuições têm médias aritméticas idênticas, mas seus valores se distribuem de maneira diferente. O conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z. O conjunto Y por sua vez é mais homogêneo que o conjunto Z, pois apresenta menor variação ou dispersão dos valores em relação à média.
Observe que, se conhecêssemos apenas a média e não tivéssemos o conjunto de onde veio a média, não teríamos como fazer observações a respeito da variabilidade dos dados.
Para ilustrar melhor, considere que a média de temperatura em Brasília e Goiânia nos últimos 15 dias foi de 25 ºC. Podemos presumir que a temperatura é basicamente a mesma durante os 15 dias nas duas cidades? Na verdade, não podemos. O fato das médias de temperaturas serem iguais, não quer dizer que a cada dia a temperatura foi a mesma nas duas cidades. Elas oscilaram de maneira diferente. 
 
Quando se trata de interpretar dados estatísticos, é necessário ter-se uma idéia de o quão distante ou disperso está um dado valor em relação à média. Ou seja, necessitamos de uma medida capaz de expressar a forma como as observações se distribuem em um conjunto de dados. Com as medidas de tendência central apenas, não é possível fazer estas observações.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se definem as principais medidas de dispersão. 
DEFINIÇÃO 1 - Medidas de Dispersão – São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. Quanto mais próximos os valores uns dos outros, mais representativa é a média.
 DISPERSÃO
 
 
As principais medidas de dispersão são:
Amplitude Total - R
Desvio médio - Dm
Variância - s2 (amostral) e (2 (populacional) 
Desvio padrão - s (amostral) e ( (populacional)
Coeficiente de Variação – CV
Assimetria - AS
Para os métodos estatísticos, a medida de dispersão é de fundamental importância, pois a necessidade do uso da estatística é devido à existência de variabilidade nos dados observados. Por exemplo, 
O peso, a altura, o tempo de gestação dos recém-nascidos nem sempre é o mesmo, ou seja, variam.
Os homens com exatamente 20 anos não possuem a mesma altura.
Os rendimentos dos cidadãos variam.
O tempo de vida do ser humano varia.
A inflação, a temperatura, a pressão sanguínea, o tipo sanguíneo variam.
O Q.I varia de indivíduo para indivíduo.
Etc.
Caso não houvesse variabilidade nos dados pesquisados, boa parte das medidas estatísticas seria desnecessária.
1.1 - AMPLITUDE TOTAL
Corresponde à diferença entre o valor máximo e mínimo de uma distribuição, ou seja: 
- 
 = limite superior (maior valor da amostra)
-
 = limite inferior (menor valor da amostra)
A amplitude fornece apenas uma idéia do campo de variação dos elementos. Quanto maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabilidade dos valores da variável. 
Exemplo - Considere os conjuntos X, Y e Z, dado anteriormente. A amplitude total de cada conjunto é:
X ( R = Ls – Li = 70 – 70 = 0
Y ( R = Ls – Li = 72 – 68 = 4
Z ( R = Ls – Li = 160 – 05 = 155
Amplitude zero indica nenhum grau de variabilidade.
Exemplo - Considere a distribuição relativa de 40 pessoas, tomando para variável estatura de cada uma. 
	ESTATURAS
	Número de pessoas 
	150 |--154
154 |--158
158 |--162
162 |--166
166 |--170
170 |--174
	4
9
11
8
5
3
	TOTAL
	40
Temos duas maneiras de calcular a Amplitude Total:
1º - Subtraímos o último valor da última classe (174) e o primeiro valor da primeira classe ( 150 ).
R = Ls – 
 = 174 – 150 = 24
2º - Subtraímos o ponto médio da última classe do ponto médio da primeira classe:
R = 172 – 152 = 20
A utilização da R como medida de dispersão é muito limitada, pois sendo uma medida que depende apenas dos valores extremos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos. Ela só leva em conta o mínimo e o máximo dos dados, ignorando todo o resto. Por exemplo, poderíamos ter o seguinte conjunto de dados:
X: 23 – 30 – 30 – 30 – 30 – 120
A amplitude total é R = 120 – 23 = 97 indicando uma alta dispersão, mas observe que entre 23 e 120, os dados são todos iguais, o que não foi revelado pela amplitude.
Precisamos de medidas que fogem a esta falha. Precisamos de medidas que levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É o que veremos nas próximas medidas.
1.2 - DESVIO MÉDIO
Esta medida será apresentada aqui, mas nao será cobrada na prova e nem nas listas de exercicios. É apenas de carater informativo.
O desvio médio absoluto (Dm) mede o desvio médio dos valores em relação à média do grupo. Corresponde, em módulo, à média aritmética da diferença entre cada elemento e sua média aritmética, ou seja: 
Para dados resumidos em uma distribuição de freqüências simples ou em classes,
Para simplificar, chamamos 
.
Exemplo 1 - Dada a seguinte distribuição salarial, determinar o desvio médio dos salários de 100 funcionários de uma empresa que tem apenas o segundo grau de formação.
 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DOS SALÁRIOS
	SALÁRIO 
	
	
	 |
 - 
| =
	
.
	600
	20
	12000
	| 600 – 794 | =194
	3880
	750
	18
	13500
	| 750 – 794 | = 44
	792
	800
	22
	17600
	| 800 – 794 | = 6
	132
	850
	10
	8500
	| 850 – 794 | = 56
	560
	900
	14
	12600
	| 900 – 794 | =106
	1484
	950
	16
	15200
	| 950 – 794 | =156
	2496
	TOTAL
	100
	79400
	
	9344
1º - Calcular a média:
2º - Calcular as diferença modular entre 
 e 
, isto é 
 = |
 - 
| e 
.
(olhar tabela acima):
3º - Calcular o Desvio Médio:
 
 =
 Logo, o Desvio Médio é Dm = 93,44.
1.3 – VARIÂNCIA AMOSTRAL
 
É a média
das diferenças quadráticas de n valores em relação à sua média aritmética. É uma das medidas de dispersão mais usada e mais importante. Mede a concentração dos dados em torno da média, levando em consideração no seu cálculo, todos os dados da amostra, ao contrário da amplitude.
Serão apresentadas abaixo, as fórmulas da variância amostral e populacional. Vamos trabalhar apenas com a amostral. A populacional é apenas para conhecimento.
Se 
 são oriundos de uma amostra, então
Variância amostral (
) ( sem frequência.
 
Variância amostral (
) ( com frequência.
Para a variância, o princípio básico é analisar os desvios das observações em relação à média aritmética. Em cada caso, o valor zero para a variância, indica ausência de variação. A variação vai aumentando à medida que aumenta o valor da medida de dispersão. 
Exemplo – Dado o Q.I de 8 estudantes de Física, determinar a variância dos dados.
 
 75 – 84 - 89 – 90 – 100 – 110 – 115 - 130
-Solução-
Para facilitar os cálculos, vamos colocar os dados numa tabela.
 TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DOS QI’s
	Q.I
	(
 - 
)
	
	75
	( 75 – 100) = - 25
	(-25)² = 625
	84
	( 84 – 100) = -16
	(-16)² = 256
	89
	( 89 – 100) = -11
	(-11)² = 121
	97
	( 97 – 100) = -3
	(-3)² = 9
	100
	(100 – 100) = 0
	(0)² = 0
	110
	(110 – 100) = 10
	(10)² = 100
	115
	(115 – 100) = 15
	(15)² = 225
	130
	(130 – 100) = 30
	(30)² = 900
	TOTAL
	800
	
	2236
Observe que temos duas fórmulas para o cálculo da variância amostral. Vamos fazer o cálculo da variância utilizando as duas. Utilize a fórmula que achar mais fácil.
1ª FÓRMULA
1º PASSO – Calcular a média aritmética.
Em média, os estudantes têm Q.I igual a 100.
2º PASSO – Calcular a diferença de cada Q.I em relação à média, ou seja, (
 - 
). Será calculado na 2ª coluna.
3º PASSO – Elevar as diferenças ao quadrado, ou seja, 
. Será calculado na 3ª coluna.
4º PASSO – Somar as diferenças quadráticas 
.
5º PASSO – Calcular a variância. 
Portanto, a variância dos Q.I’s em relação à média é de 319,43.
OBS.: Os cálculos anteriores foram feitos em 5 passos, mas poderiam ter sido feitos mais rapidamente. Os passos 2, 3 e 4 poderiam ter sido feitos em apenas 1 passo, na segunda coluna.
2ª FÓRMULA A diferença desta fórmula para a primeira é que nesta não precisamos saber o valor da média.
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DOS QI’s
	Q.I
	
	75
	(75)² = 5625
	84
	(84)² = 7056
	89
	(89)² = 7921
	90
	(90)² = 8100
	100
	(100)² = 10000
	110
	(110)² = 12100
	115
	(115)² = 13225
	130
	(130)² = 16900
	TOTAL
	800
	82236
1º PASSO – Elevar as variáveis ao quadrado, ou seja, 
 (2ª coluna)
2º PASSO – Somar 
.
3º PASSO – Calcular a variância. 
Portanto, a variância dos Q.I’s em relação à média é de 319,43.
1.4 - DESVIO PADRÃO 
A variância é uma boa medida de dispersão, mas tem uma desvantagem: é difícil de interpretar o valor numérico da variância, pois ela é medida em unidade que é o quadrado da unidade original. Por exemplo, se a unidade da variável em estudo for 
metro (m), teremos como resultado da variância “metro ao quadrado” (m²). 
quilo (Kg), teremos como resultado da variância, “quilo ao quadrado” (kg²).
Moeda (R$), teremos como resultado da variância, “reais a quadrado” (R$²).
Para se trabalhar com a unidade original, define-se outra medida de dispersão: Desvio padrão.
O desvio-padrão é amplamente utilizado na literatura científica como medida de dispersão dos dados. Ele estima o quanto, em média, cada valor se distancia da própria média aritmética de uma distribuição, com a vantagem de preservar a unidade de mensuração original das observações, algo que não ocorre com a variância. 
O desvio padrão é definido pela raiz quadrada positiva da variância.
Desvio padrão amostral
Desvio padrão populacional
É uma medida de variabilidade absoluta, expressa na mesma unidade dos valores originais. Quanto maior, mais dispersos estão os dados em torno da média, ou seja, a amostra é mais heterogênea.
Considere o exemplo dos Q.I’s da seção anterior. A variância amostral foi 
= 319,43. O desvio padrão é a raiz quadrada de 319,43, ou seja,
Logo, em média cada valor da amostra se distancia de 17,87 da média aritmética dos Q.I’s.
OBSERVAÇÃO: A variância e o desvio padrão medem a representatividade da média aritmética. A média aritmética de uma amostra é considerada representativa se o desvio padrão da amostra de dados é no máximo 1/3 (um terço) da média. 
Considere o exemplo dos Q.I’s. Em média, os estudantes têm QI igual a 100. Vejamos se o desvio padrão é no máximo 1/3 da média:
 
da média = 
Portanto, como o desvio padrão é 17,87, ou seja, não ultrapassa 33,33, podemos afirmar que a média dos Q.I’s é representativa. 
 17,87 < 33,33
Ou seja, é uma média representativa e confiável.
Exemplo – Para tratar o trauma sofrido por crianças que sofreram com a separação dos pais, o departamento de psicologia de uma universidade desenvolveu uma nova técnica psicoterápica e aplicou em 60 crianças, e verificou o tempo em semanas em que as crianças levaram para superar sono profundo de pelo menos cinco horas por noite, depois de aplicado esta técnica. Os dados estão na tabela abaixo. 
Calcule o tempo médio em que os pacientes levaram para ter um sono de no mínimo de 5 horas e o desvio padrão do tempo.
	SEMANAS
	Nº de crianças
	
	
	(
 - 
)
	
	
.
	1 ׀— 2
	9
	1,5
	13,5
	1,5 – 3,3 = -1,8
	
= 3,24
	3,24 . 9 = 29,16
	2 ׀— 3
	15
	2,5
	37,5
	2,5 – 3,3 = -0,8
	
= 0,64
	0,64 . 15 = 9,6 
	3 ׀— 4
	21
	3,5
	73,5
	3,5 – 3,3 = 0,2
	
 = 0,04
	0,04 . 21 = 0,84
	4 ׀— 5
	9
	4,5
	40,5
	4,5 – 3,3 = 1,2
	
 = 1,44
	1,44 . 9 = 12,96
	5 ׀— 6
	6
	5,5
	33
	5,5 – 3,3 = 2,2
	
 = 4,84
	4,84 . 6 = 29,04
	TOTAL
	60
	
	198
	
	
	81,6
Observe que agora os dados estão relacionados com frequência. Temos que utilizar a fórmula com frequência.
1ª FÓRMULA 
1º PASSO – Calcular a média aritmética. Para isso precisamos calcular 
 e depois 
. Será calculado na 3ª e 4ª colunas, respectivamente.
Portanto, em média, os pacientes levaram 3,3 semanas (ou 3 semanas e dois dias) para ter um sono de pelo menos 5 horas depois de aplicada a técnica psicoterápica.
2º PASSO – Calcular a variância. Para isso vamos calcular a diferença de cada valor 
 em relação à média, ou seja, (
 - 
). Será calculado na 5ª coluna.
3º PASSO – Elevar as diferenças ao quadrado, ou seja, 
. Será calculado na 6ª coluna.
4º PASSO – Multiplicar as diferenças quadráticas 
 pelas frequências
, ou seja, 
.
. Será calculado na 7ª coluna.
5º PASSO – Somar 
.
.
6º PASSO – Calcular a variância. 
7º PASSO – Calcular o desvio padrão. 
 semanas.
Portanto, o desvio padrão das semanas de tratamento foi de 1,18 semanas.
2ª FÓRMULA 
	SEMANAS
	Nº de adolescentes
	
	
	
	
.
	1 ׀— 2
	9
	1,5
	13,5
	2,25
	2,25 . 9 = 20,25
	2 ׀— 3
	15
	2,5
	37,5
	6,25
	6,25 . 15 = 93,75
	3 ׀— 4
	21
	3,5
	73,5
	12,25
	12,25 . 21 = 257,25
	4 ׀— 5
	9
	4,5
	40,5
	20,25
	20,25 . 9 = 182,25
	5 ׀— 6
	6
	5,5
	33
	30,25
	30,25 . 6 = 181,5
	TOTAL
	60
	
	198
	
	735
1º PASSO – Ponto médio de cada intervalo (3ª coluna).
2º PASSO – Multiplicar cada valor 
 por 
 (4ª coluna).
3º PASSO - Elevar as variáveis ao quadrado, ou seja, 
 (5ª coluna).
4º PASSO – Multiplicar cada valor 
 por 
 (6ª coluna).
5º PASSO – Calcular a variância. 
6º PASSO – Calcular o desvio
padrão. 
 semanas.
Portanto, o desvio padrão das semanas de tratamento foi de 1,18 semanas.
1.4.1 SIGNIFICADO DO DESVIO PADRÃO 
O desvio padrão depende das distâncias dos dados da variável em relação à média aritmética dos mesmos. Considere 
, 
 , 
, 
, 
,
 e 
 sete dados de uma variável qualquer. Calculando a média deste dados, podemos verificar a distância de cada dado em relação à média.
 
 
 
Portando, quanto menor a distância dos valores em relação à média aritmética, menor é o desvio padrão. Ou seja, quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável se aproximarão de sua média. Sendo assim, podemos chegar a algumas conclusões:
Qualquer dado da amostra ou variável com desvio menor do que o desvio padrão da variável estará mais próximo da média do que qualquer outro valor com desvio menor.
Quanto mais os dados se afastarem da média, maiores serão os desvios e, conseqüentemente, maior será o desvio padrão da variável.
Duas variáveis com médias iguais e desvios padrão diferentes têm distribuições com formas diferentes. A distribuição da variável com maior desvio padrão será mais aberta do que a da variável com menor desvio padrão.
PROPRIEDADES
De uma distribuição normal, podemos dizer o seguinte:
68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão, ou seja, entre 
 
95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão, ou seja, entre 
 
99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão, ou seja, entre 
 
Esta informação é conhecida como a regra dos "68-95-99,7".
OBSERVAÇÃO:
O símbolo
é a notação de média populacional (os dados vieram de uma população), enquanto 
é a notação de média amostral (os dados vieram de uma amostra). Mas o significado é o mesmo. 
Assim como 
é o desvio padrão populacional e s é o desvio padrão amostral. Mas o significado é o mesmo. 
1.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.V(%))
Com freqüência, queremos comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados. Podemos fazer isto facilmente usando as variâncias ou os desvios padrões, mas apenas quando todas as observações têm a mesma unidade de medida (m, Kg, velocidade, etc.). 
Quando queremos comparar o grau de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados com unidades diferentes, por exemplo, comparar dois grupos de alunos segundo o seu peso (Kg) e altura (m), e observar o que está variando mais, devemos usar uma medida relativa de variabilidade, chamada de coeficiente de variação. 
Trata-se de uma medida de dispersão útil, para comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries com unidades distintas. Esta medida consiste em uma forma simples de avaliar a dispersão de uma variável, uma vez que não possui unidade de medida. Assim, é possível comparar a dispersão entre duas variáveis, mesmo que tenham sido mensuradas em escalas de medida diferentes e possuam médias diferentes. 
O coeficiente de variação é a razão entre o valor do desvio padrão em relação à média. É dado em porcentagem.
 
Coeficiente de variação amostral
 
Coeficiente de variação populacional
 
 INTERPRETAÇÃO
	 C.V < 15 % 
	Tem-se baixa dispersão dos dados.
	15 % < C.V < 30 % 
	Tem-se média dispersão dos dados.
	 C.V > 30 % 
	Tem-se elevada dispersão dos dados.
Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio padrão de R$ 1.500,00, e o salário médio das mulheres é de R$ 3.000,00, com desvio padrão de R$ 1.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior para os homens ou para as mulheres?
- Solução –
 
 = 4.000 
 = 1.500
 
 = 3.000 
 = 1.200
HOMENS MULHERES
 
= 37,5 % 
= 40 %
CONCLUSÃO - Os salários das mulheres têm maior dispersão relativa do que os salários dos homens. Ou seja, os homens têm salários mais próximos da média salarial do que as mulheres de sua média salarial. As duas distribuições apresentam elevada dispersão (C.V. > 30 %).
1.6 ESCORE PADRONIZADO
Outra medida de dispersão é o escore padronizado para uma medida 
. É dado por:
 
onde
é a média amostral e s é o desvio padrão amostral.
 
Um escore negativo indica que a observação 
 está à esquerda da média, enquanto um escore positivo indica que a observação está à direita da média.
1.6.1 – DETECTANDO OUTLIERS
 
Depois de uma coleta, podem ocorrer observações que fogem das dimensões esperadas – os outliers. Por exemplo, se a média de altura dos alunos de uma turma com 30 alunos é de 1,65 m e entra um aluno transferido com 2,15 m de altura, a média da turma aumentará a tal ponto que esta nova média não será representativa, ou seja, não representará a real altura média da turma. Então este valor terá que ser descartado. 
 
Para detectar estes valores e descartá-los, pode-se calcular o escore padronizado Z e considerar outliers as observações cujos escores, em valor absoluto (em módulo), sejam maiores do que 3.
Exemplo: Os dados de uma pesquisa revelam média 
= 0,243 e desvio padrão S = 0,052 para determinada variável. Verificar se os dados 
= 0,380 e 
= 0,455 podem ser considerados observações da referida variável.
( para
= 0,380: 
 = 2,63
( para
= 0,455: 
 = 4,08
Resposta: O dado
= 0,380 pode ser considerado normal, por outro lado, 
= 0,455 pode ser um outliers, portando descartável.
EXERCÍCIOS
1- Dois grupos de ratos de laboratório com 4 ratos cada, foram submetidos a um mesmo teste para determinar quanto tempo os ratos levariam para atender um determinado comando para tomar água. Cada rato de cada grupo deveria tomar água em aproximadamente 5 minutos. A tabela abaixo descreve o tempo em minutos em que cada rato levou para atender o comando. Qual grupo foi mais regular?
	TORNEIROS
	RATOS
	
	Rato 1
	Rato 2
	Rato 3
	Rato 4
	GRUPO I
	4,8 
	5,2
	5,0
	5,0
	GRUPO II
	4,7
	5,3
	5,0
	5,0
RESPOSTA
GRUPO I - 
 e GRUPO II - 
2- Um Psicólogo submeteu 100 soldados americanos, que voltaram da guerra e tiveram um quadro de depressão confirmado, a três técnicas psicoterápicas para curar a depressão. Testaram estas técnicas nos soldados, determinando o tempo em semanas que eles levaram para curar a depressão. São os seguintes resultados dos testes:
	
	TÉCNICAS 
	DADOS
	A
	B
	C
	Tempo em semanas
	15
	20
	30
	Desvio padrão das semanas
	4
	5
	6
Qual técnica apresenta a menor variação relativa no tempo de cura?
Qual técnica apresenta a maior variação relativa no tempo de cura?
Resposta - CV de A = 26,66% , CV de B = 25% e CV de C = 20%
3- Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
	 
	
	S
	ESTATURA 
	175 cm 
	5,0 cm
	PESO 
	68 Kg 
	2,0 Kg
Qual medida apresenta maior dispersão?
Resposta - CV da Estatura = 2,86% e CV do Peso = 2,94%
4- A tabela abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos:
	Nº DE ACIDENTES
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Nº DE MOTORISTAS
	15
	11
20
	9
	6
	5
	3
	1
Qual a média de acidentes?
Calcule a variância, desvio padrão e coeficiente de variação do número de acidentes.
(a) media = 2,17     (b) Var = 3,19 , desvio = 1,79 e CV = 82.5%
5– Um teste psicotécnico foi aplicado em 57 pacientes observando tempo em minutos para responder o teste, obtendo a tabela abaixo:
	TEMPO
	Nº DE PESSOAS
	0 ((5
5 ((10
 10 ((15
 15 ((20
 20 ((25
	10
25
9
7
6
	TOTAL
	57
Determine o tempo médio para responder o teste. 
Calcule o desvio padrão.
RESPOSTA
	(a)Média
	10,22
	(b) DES.
	6,13
6 – Com o objetivo de estudar o temperamento dos estudantes do sexo feminino e masculino praticantes de esporte coletivo, criou-se uma escala de 0 a 80, onde valores próximos de 80 indicam instabilidade emocional e valores baixos indicam estabilidade emocional. Dez adolescentes foram selecionados de cada sexo foram selecionados. Os resultados estão na tabela abaixo.
	
	VALORES DA ESCALA DE TEMPERAMENTO
	MASCULINO
	49 70 54 67 59 40 71 67 67 52
	FEMININO
	47 71 50 69 63 45 69 67 65 51
Determine a média dos temperamentos para os dois grupos.
Calcule o desvio padrão dos temperamentos.
Qual grupo tem maior variabilidade de temperamento?
Resposta.
MASCULINO FEMININO
VAR = 109,82 VAR = 104,46
DESVIO = 10,48 DESVIO = 10,22
Média = 59,6 Média = 59,7
7 - Um estudo foi realizado por um professor em três turmas, obtendo a média e o desvio padrão das notas de sua disciplina, conforme abaixo. 
Qual a turma com menor variabilidade? 
As turmas com baixa, média e elevada dispersão das notas.
	TURMA
	A
	B
	C
	MÉDIA
	6,5
	8,0
	8,0
	DESVIO PADRÃO
	2,2
	1,7
	2,0
RESPOSTA - CV DA TURMA A = 33,85%
 CV DA TURMA B = 21,25%
 CV DA TURMA C = 25 %
8- A tabela abaixo informa o número de pessoas atendidas de urgência no HPS de certa cidade no período de 22 dias. 
	Nº DE ATENDIMENTOS
	Nº DE DIAS
	0
1
2
3
4
	4
7
8
2
1
	TOTAL
	22
Qual a média dos atendimentos? 
Determine o desvio padrão do número de atendimentos. 
Calcule e interprete o correspondente coeficiente de variabilidade.
Media = 1,5		(b) desvio = 1,06 (c) CV = 70,66%
9 - Uma Distribuição A possui media aritmética igual a 50 e desvio padrão igual a 5. Outra distribuição B possui media aritmética igual a 40 e variância igual a 36. Qual delas tem a média aritmética mais representativa?
10 - As notas de estatística de uma turma estão na tabela seguinte.
	Nota
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	Nº de alunos
	2
	6
	9
	12
	14
	9
	5
	4
	1
(a) Calcule os valores da média dessas notas.
(b) Calcule o valor do desvio padrão dessas notas.
RESPOSTA - (a) 4,66129 (b) 1,846073
11- Dois grupos diferentes de uma turma de estatística fazem o mesmo teste surpresa, com as notas relacionadas a seguir. Que conclusões sobre a variação nos dois grupos o desvio-padrão sugere?
Grupo I 1 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Grupo II 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19
RESPOSTA - Grupo I –Var = 5,73 e Grupo II – Var = 6,73
12- Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?
RESPOSTA - Matemática: 10,25% e Estatística: 10,41%
13- A tabela abaixo contém as idades de pessoas pesquisadas para um estudo psicológico, no segundo semestre de 2004, na cidade de Santa Rita:
	Idade (anos)
	Nº de pessoas
	 5 |--- 9 
	18
	 9 |--- 13 
	22
	13 |--- 17 
	28
	17 |--- 21 
	19
	21 |--- 25 
	13
	TOTAL
	100
Calcular:
(A) Os pontos médios.
(B) A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
RESPOSTA - VAR = 26,39354 , DESVIO = 5,1374 e CV = 35,4797
14- Com o objetivo de analisar o tempo de permanência dos estudantes na Biblioteca Central, pesquisou-se em certo dia, um grupo de 50 estudantes. O resultado da pesquisa encontra-se na tabela a seguir:
	Tempo de permanência (min)
	Nº de estudantes
	50 |-- 70
	5
	70 |-- 90
	12
	90 |-- 110
	15
	110 |-- 130
	13
	130 |-- 150
	5
	TOTAL
	50
Calcular:
(A) Os pontos médios.
(B) A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
RESPOSTA
	VAR
	530,449
	DESVIO
	23,03148
	MEDIA
	100,4
	CV
	22,93972
15- Em uma escala projetada para medir opiniões em relação à imigração, duas turmas de uma faculdade tiveram os escores a seguir.
	TURMA A
	TURMA B
	4
	4
	6
	3
	2
	2
	1
	1
	1
	4
	1
	2
Compare a variabilidade de opiniões em relação à imigração entre os membros das duas turmas, calculando:
Amplitude
Desvio padrão
Qual turma tem maior variabilidade de escores de opinião?
Resposta (b): Turma A: Desvio padrão = 2,07
 Turma B: Desvio padrão = 1,21
16- Quanto maior a variabilidade em torno da média de uma distribuição, maior a (o):
Amplitude
Variância 
Desvio padrão
Coeficiente de variação
Todos os itens anteriores.
17 - As alturas da população de homens adultos têm média 1,75 m, desvio padrão 0,071m. O jogador de basquete Michael Jordan, que mede 1,98m, pode ser considerado excepcionalmente alto? Determine o escore padrão z para ele e diga qual a conclusão.
RESPOSTA: Z = 3,24
18 – As contas de água da CAESB têm média de gasto de R$ 70,00 por residência, com desvio padrão de R$ 8,00. Obtenha o escore correspondente a contas de R$ 60,00, R$ 71,00 e R$ 92,00. O que podemos concluir?
RESPOSTA: Z = -1,25, Z = 0,125, Z = 2,75, respectivamente.
19 – Considerando que a média de Q.I’s de 100 alunos de uma escola com alunos entre 10 e 15 anos de idade, é de 90, com desvio padrão de 10, podemos considerar os Q.I’s 98 e 125 como escores? Porque? 
RESPOSTA: Z = 0,8 e Z = 3,5
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
R = � EMBED Equation.3 ��� – � EMBED Equation.3 ���
Dm = � EMBED Equation.3 ���
Dm = � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� ou � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���ou � EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
�
 
 Distância de cada valor em relação à média
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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Estatística Descritiva – 2/2013	Página � PAGE \* MERGEFORMAT �17�
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