12 EXERCICIOS RESOLVIDOS 26 ABRIL

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PROB B 26-05-2016:Assunto: Ainda sobre funções Beta e Gama e distribuições Beta e Gama 
1- Escreva )()(  em termos de produto de integrais. em u e v respectivamente.
)( =  0 x1 dueu e   0 v1 dvev)(
)()(  =     0 v10 u1 dvevdueu =
dvduevudvdueveu 0 0 )vu(110 v10 u1         
Seja feita a seguinte mudança nas variáveis antigas u e v para novas z e t :
 u=zt v=z(1-t) .
Observar que 
t
t1
zt
)t1(z
u
v 


 
.Então u(1-t) =vt e u-ut=vt u=t(u+v) ⇒ t= 
vu
u

 0<t<1 porque u e v são positivos
de modo que u<u+v
 
vu
vu
u
u
t
uz 


 . Portanto 0<z<∞ pois é soma de u com v, sendo que ambas vão de 0 a ∞.
Exemplo: (u=2; v=5) corresponde ao par (z,t) sendo
 7vuz  e .28570
7
2
52
2t 


O Jacobiano da transformação é z)ztz(tz
zt1
zt
t
v
z
v
t
u
z
u
J 





















$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
)()(  = dtdzze))t1(z()zt(dvduevu 10 0 )z(110 0 )vu(11        
)()(  = )(),(dtdzez))t1(()t(10 0 )z(111   
Finalmente a relação procurada pode também ser escrita como abaixo:
)(
)()(),( 

 .
Se e forem números inteiros positivos , por exemplo n;m 
)!1nm(
)!1n()!1m()n,m(


 ;
60.00119047 1/840
840
1
7*8*9*10
!3
!10
!6!3
)!111(
)!17()!14()7,4( 



No software R pode ser calculado esse valor com o comando a=beta(4,7)=0.001190476 $$$$$$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
2-Calcular 



s
w
dwwswA
0
2
1
2
1
)( (Fazer a transformação w=st ).
Observação: s é uma constante e é maior que 0 neste exercício porque o caminho de w é de 0 a s.
Se a variável “ antiga” w é dada em termos da nova variável t pela igualdade w=st, significa que 
uma transformação linear leva de w a t. A transformação é biunívoca , então t varia de 0 até 1.
dw=sdt 
Então 





1
0t
2
1
2
1s
0w
2
1
2
1
sdt)sts()st(dw)ws(wA
 





1
0t
2
1
2
11
0t
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1,2
1Betadt)t1)(t(sdt)t1(s)ts(A
Pelo exercício anterior
      


 













!01
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1,2
1BetaA
2
2
3-Calcular o valor da função de t dada para todo t real por f(t)= = 


0
2
1
22
)2(
2
2
dyye
yt

Observe que nesta integral t é fixo.
Como o expoente de e é linear em y, e há uma potência de y multiplicando a função exponencial, 
tudo leva a crer que haja relação com a função Gama.
Para que isso fique evidente, que tal chamar todo o expoente de –z?
Isso corresponde a definir uma nova variável 2
2
4
y)2t(z


 .
Esta variável “nova” é uma transformação linear da variável “antiga” y e por isso tem variação de 0
a ∞ também.
A variável antiga y pode ser escrita em termos da nova z: )2t(
dz4dy;
)2t(
z4y 2
2
2
2






f(t)= = 


0
2
1
22
)2(
2
2
dyye
yt
 =      











0 2
1
z2
12
3
2
2
0 2
22
1
2
2
z dzzez
2t
4dz
2t
z4
2t
z4e
f(t) 
2
3
2
22
3
2
2
0
z
2
3
2
2
2t
4)2(
2t
4zdze
2t
4 














  
FIM DO EXERCÌCIO
4-Calcular f(t)=    








dvve
2
1
2
3
)2(
t12 22
2v
2
3
2
3
22t
6
2
3
 
IMPORTANTE!!! CALCULAR PRIMEIRO O VALOR DA INTEGRAL que 
aparece na expressão de f(t)


 dvveH 22
2v
=2 

0
22
2v
dvve =2B
Usando integração por partes, segue que:
 























 0
2
2x
0
2
2x
0
2
2x
0
2
2x
2 dxeexdxxexdxexB = 
B= 





 0
2
2x
dxe0
dydxedyedxeB 0 0 2
2y2x
0
2
2y
0
2
2x
2    















A mudança das variáveis cartesianas “antigas” (x,y) para “novas” coordenadas (as polares) (r,θ),é:
x=rcos(θ) y=rsen(θ) e inversamente 22 yxr  e portanto r varia de 0 a ∞.









22 yx
xarccos
r
xarccos ;Como 0< 22 yx
x

<1 (porque mesmo???)
o ângulo θ satisfaz a desigualdade 
2
0  ,
O jacobiano da transformação de (x,y) para (r,θ) é:
r)(rsen)(cosr
)cos(r)(sen
)(rsen)cos(
y
r
y
x
r
x
J 22 






















2
0
0
2
2r
20 0
2
2r
0 0
2
2y2x
0
2
2y
0
2
2x
2 edrdredydxedyedxeB





 














   
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Para terminar o exercício que pede para
 
calcular f(t)=    






dvve
2
1
2
3
)2(
t12 22
2v
2
3
2
3
22t
6
2
3
 
substituímos o valor de H na expressão de f(t)


 2
2
2B2H2
B;
2
B2 
   
      
2
3
22
3
2
2
3
22
3
22
3
2
3
3
2
3
62t3
22t
3
3
2
3
22t
6
2
3
2
3
2
3
22t
6
2
3
21
2
t3*21
2
t33)t(f
3*21
2
t
33
32t
33
6t3
33t33)t(f
t33
2
2
1
2
3
)2(
t12
)t(f

















 





 






 

















OBSERVAÇÃO:ESTA É A FUNÇÃO DENSIDADE DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT com 2 
graus de liberdade.
 
5-Calcular 
  
dwe)s(f )d(2
2sbaw










Se for definida uma variável “nova” t através da seguinte transformação linear
d2
sbawt 
 .e sendo a>0 , d>0 e b um números real qualquer, t toma valores de -∞ a∞.
e a variável “antiga” é relacionada com t da seguinte forma: 
dt
a
d2dw;
a
sbd2tw 
 


 dte
a
d2)s(f
2t dte
a
d2)s(f
2t




 Como a função integranda é par:
dte
a
d22)s(f
0
2t



 dxdyedyedxeGdteG 0 0
)2y2x(
0
2y
0
2x2
0
2t  









Usando transformação para coordenadas polares como já explicado em exercício anterior,
2
drdredxdyeG
2
0 0
)2r(
0 0
)2y2x(2 
   





Portanto 
2
G  e 
2a
d22)s(f 
Então f(s) é constante .
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
5-1-Coeficientes binomiais para n=2: [1; 2;1]
Segundo momento central de uma distribuição Gama(a,b)
2 = a(a+1)/b^2-2*(a/b)(a/b)+(a/b)^2)=
 5-2-Coeficientes binomiais para n=3: [1; 3;3;1]
Terceiro momento central de uma distribuição Gama(a,b)
3 = a(a+1)(a+2)/b^3-3(a(a+1)/b^2)(a/b)+3(a/b)a^2/b^2-a^3/b^3)=
 5-3-Coeficientes binomiais para n=4: [1; 4;6;4;1].
Quarto momento central de uma distribuição Gama(a,b)
4 =((a(a+1)(a+2)(a+3)/b^4)
-4(a(a+1)(a+2)/b^3)a/b+
6(a(a+1)/b^2)a^2/b^2
-4(a/b)a^3/b^3
+a^4/b^4)=