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Laboratório 6 - Métodos iterativos e autovalores 1 Resolva as seguintes questões. Leia e entenda o problema antes de resolvê-lo. Use simplificações sempre que possível para tornar a solução numérica mais simples. Exercício 1 Considere o problema de 5 incógnitas e cinco equações dado por x1 − x2 = 1 −x1 + 2x2 − x3 = 1 −x2 + (2 + ε)x3 − x4 = 1 −x3 + 2x4 − x5 = 1 x4 − x5 = 1 a) Escreva na forma Ax = b e resolva usando Eliminação Gaussiana para ε = 10−3 no Scilab. b) Obtenha o vetor incógnita x usando o comando A\b. c) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Gauss-Jacobi. Compare o resultado com o resultado obtido no item a. d) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Gauss-Seidel. Compare o resultado com o resultado obtido no item a. Exercício 2 (Burden & Faires) 1. Considerem os problemas dados por x+ 2y − 2z = 7 x+ y + z = 2 2x+ 2y + z = 5 e 2x− y + z = −1 2x+ 2y + 2z = 4 −x− y + 2z = −5 a) Resolva os problemas usando eliminação gaussiana encontre as soluções exatas. b) Use o método de Gauss-Jacobi e verifique se o método converge para cada problema. c) Use o método de Gauss-Seidel e verifique se o método converge para cada problema. Exercício 3 Considere o seguinte sistema de equações lineares: x1 − x2 = 0 −xj−1 + 5xj − xj+1 = cos(j/10), 2 ≤ j ≤ 10 x11 = x10/2 (1) Construa a iteração para encontrar a solução deste problema pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss- Jacobi. Usando esses métodos, encontre uma solução aproximada com erro absoluto inferior a 10−5. 1Exercícios criados pelos professores Fabio S. de Azevedo e Esequia Sauter 1 Vinicios Realce Vinicios Texto digitado 1.0e+03 *null x1= 3.0030null x2=3.0020null x3= 3.0000null x4= 3.0000null x5= 2.9990 Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado após muitas iterações a resposta converge para o mesmo resultado obtido antes Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado também converge após muitas iterações Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado nullx=1null nully=2null nullz=-1 Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado x=1null y=2null z=-1 Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Jacobi converge para o primeiro e nulldiverge para o segundo problema. Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Seidel diverge para o primeiro e nullconverge para o segundo problema Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado x1=0.324295387448029nullx2=0.324295387448029nullx3=0.317114971950875nullx4=0.305942983180741nullx5=0.291538949949945nullx6=0.274169204678611nullx7=0.253971458533434nullx8=0.230845900704068nullx9=0.203551335639741nullx10=0.165300809223974nullx11=0.082650404611987 Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Vinicios Texto digitado Exercício 4 Faça uma permutação de linhas no sistema abaixo e resolva pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel: x1 + 10x2 + 3x3 = 27 4x1 + x3 = 6 2x1 + x2 + 4x3 = 12 Exercício 5 Considere a matriz: 4 41 78 48 28 21 26 13 11 • Calcule o autovalor dominante (maior autovalor em valor absoluto) e o autovetor associado. • Calcule o autovalor com menor valor absoluto e o autovetor associado. • Calcule os autovalores com maior e menor valor e os autovetores associados. Expresse suas respostas com seis dígitos significativos. Exercício 6 A norma L2 de um matriz A é dada pela raiz quadrada do autovalor dominante da matriz ATA, isto é: ‖A‖2 = √ max{|λ| : λ ∈ σ(ATA)} : Use o método da potência para obter a norma L2 da seguinte matriz: A = 69 84 88 15 −40 11 70 41 20 Expresse sua resposta com seis dígitos significativos 2 Vinicios Texto digitado
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