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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 
 
Unidade 1 - HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 
Às vezes o engenheiro se defronta com situações em que é necessário controlar o 
movimento de água através do solo e, evidentemente, proporcionar uma proteção contra os 
efeitos nocivos deste movimento. 
 
 Do ponto de vista prático, a água pode ser considerada incompressível e sem 
nenhuma resistência ao cisalhamento, o que lhe permite, sob a ação de altas pressões, 
penetrar em micro fissuras e poros, e exercer pressões elevadas que levam enormes 
maciços ao colapso. 
 
 Um aspecto importante em qualquer projeto em que se tenha a presença de água é a 
necessidade do reconhecimento do papel que os pequenos detalhes da natureza 
desempenham. Assim, não basta apenas realizar verificações matemáticas, mas também 
recorrer a julgamentos criteriosos dessas particularidades, pois que elas nem sempre 
podem ser suficientemente quantificadas. 
 
O objetivo básico deste capítulo é fornecer as informações necessárias para o 
entendimento físico da presença da água nos solos e para a resolução de problemas que 
envolvem percolação de água no solo. 
 
 
1.1 – Ocorrência de água subterrânea 
 
 
 Segundo CHIOSSI (1989), o interior da Terra, composto de diferentes rochas, 
funciona como um vasto reservatório subterrâneo para a acumulação e circulação das 
águas que nele se infiltram. As rochas que formam o subsolo da Terra, raras vezes, são 
totalmente sólidas e maciças. Elas contêm numerosos vazios (poros e fraturas) 
denominados também de interstícios, que variam dentro de uma larga faixa de dimensões e 
formas, dando origem aos aqüíferos. Apesar desses interstícios poderem atingir dimensões 
de uma caverna em algumas rochas, deve-se notar que a maioria tem dimensões muito 
pequenas. São geralmente, interligados, permitindo o deslocamento das águas infiltradas. 
 
A água subterrânea é originada predominantemente da infiltração das águas das 
chuvas, sendo este processo de infiltração de grande importância na recarga da água no 
subsolo. A recarga depende do tipo de rocha, cobertura vegetal, topografia, precipitação e 
da ocupação do solo. A utilização desta água é feita através de poços caseiros e profundos, 
conforme a profundidade alcançada. O processo de formação do lençol freático é mostrado 
na Figura 1.1. 
 4 
 
Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
Figura 1.1 – Ciclo Hidrológico: Infiltração e formação de lençol freático 
 
 
 Problemas relativos às águas subterrâneas são encontrados em um grande 
número de obras de Engenharia. A ação e a influência dessas águas têm causado 
numerosos imprevistos e acidentes, sendo os casos mais comuns verificados em cortes de 
estradas, escavações de valas e canais, fundações para barragens, pontes, edifícios, etc. As 
obras que necessitam de escavações abaixo do lençol freático, como por exemplo, a 
construção de edifícios, barragens, túneis, etc; pode ser executado um tipo de drenagem ou 
rebaixamento do lençol freático. A água existente no subsolo pode ser eliminada por vários 
os métodos. 
 
 
1.2 – Fenômenos capilares 
 
 
 A posição do lençol freático no subsolo não é, entretanto, estável, mas bastante 
variável. Isso representa dizer que, em determinada região, a profundidade do lençol 
freático varia segundo as estações do ano. Essa variação depende do clima da região, e 
dessa maneira, nos períodos de estiagem, a posição do lençol freático sofre normalmente 
um abaixamento, ao contrário do período das cheias, quando essa posição se eleva. 
 
 A ocorrência de leitos impermeáveis (argila, por exemplo) ocasiona aprimoramento 
localizado de certas porções de água, formando um lençol freático ou nível d’água 
suspenso, que não corresponde ao nível d’água principal. 
 
 5 
 
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Mecânica dos Solos II 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 Em conseqüência da infiltração, a água precipitada sobre a superfície da terra 
penetra no subsolo e através da ação da gravidade sofre um movimento descendente até 
atingir uma zona onde os vazios, poros e fraturas se encontram totalmente preenchidos 
d’água. Esta zona é chamada zona saturada ou freática. Essa zona é separada por uma 
linha conhecida como nível freático ou lençol freático, abaixo da qual estará o solo na 
condição de submersão (se em condição de água livre), e acima estará o solo saturado até 
uma determinada altura. 
 
 Nos solos, por capilaridade, a água se eleva por entre os interstícios de pequenas 
dimensões deixados pelas partículas sólidas, além do nível do lençol freático. A altura 
alcançada depende da natureza do solo. 
 
O corte, na Figura 1.2, mostra-nos uma distribuição de umidade do solo e os 
diferentes níveis e condições da água subterrânea em uma massa de solo. Verifica-se que o 
solo não se apresenta saturado ao longo de toda a altura de ascensão capilar. Observa-se 
que o fenômeno de capilaridade ocorre em maiores proporções em solos argilosos. A altura 
capilar é calculada pela teoria do tubo capilar, que considera o solo um conjunto de tubos 
capilares. 
 
 
Figura 1.2 – Distribuição de umidade no solo 
 
 
1.3 – Fluxo de água nos solos 
 
 
 A fundamentação teórica para resolução dos problemas de fluxo de água foi 
desenvolvida por Forchheimer e difundida por Casagrande (1937). 
 
 O estudo de fluxo de água nos solos é de vital importância para o engenheiro, pois 
a água ao se mover no interior de um maciço de solo exerce em suas partículas sólidas 
forças que influenciam o estado de tensão do maciço. Os valores de pressão neutra e como 
isso os valores de tensão efetiva em cada ponto do maciço são alterados em decorrência de 
alterações de regime de fluxo. De uma forma geral, os conceitos de fluxo de água nos solos 
são aplicados nos seguintes problemas: 
 6 
 
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Mecânica dos Solos II 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 
• Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através 
da zona de fluxo; 
• Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático; 
• Problemas de colapso e expansão em solos não saturados; 
• Dimensionamento de sistemas de drenagem; 
• Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos; 
• Previsão de recalques diferidos no tempo (adensamento de solos moles – baixa 
permeabilidade); 
• Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo 
(estabilidade de taludes); 
• Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão, arraste de material 
sólido no interior do maciço, “piping”, etc. 
 
 
O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos se apóia em três pilares: 
conservação da energia (Bernoulli), permeabilidade dos solos (Lei de Darcy) e 
conservação da massa. Alguns conceitos sobre os dois primeiros pontos são aqui 
abordados: 
 
 
i – Conservação da energia 
 
 
A água ocupa a maior parte ou a totalidade dos vazios do solo e quando submetidas 
a diferenças de potenciais, ela se desloca no seu interior. A água pode atuar sobre 
elementos de contenção, obras de terra, estruturas hidráulicas e pavimentos, gerando 
condições desfavoráveis à segurança e à performance destes elementos. 
 
O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado 
nas disciplinas de Fenômenos dos Transportes e Mecânica dos Fluidos. A equação 1.1 
apresenta a proposta de Bernoulli para representar a energia total ou carga total em um 
ponto do fluido, expressaem termos de energia/peso. 
 
g2
vuzh
2
a
total +γ+= 
 
⇒ carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + 
carga cinética 
 
Onde: 
htotal – energia total do fluido 
z – diferença de cota entre o ponto considerado e o nível de referência (referencial 
padrão) 
u – valor da pressão neutra 
v – velocidade de fluxo da partícula de água 
g – valor da aceleração da gravidade 
 7 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
Para a maioria dos problemas envolvendo fluxo de água nos solos, a parcela 
referente à energia cinética pode ser desprezada. Logo a equação toma a seguinte forma: 
 
a
total
uzh γ+= 
 
 A pressão neutra no ponto é a carga piezométrica, expressa em altura de coluna 
d’água. 
 Para que haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a energia total em 
cada ponto seja diferente. A água fluirá sempre de um ponto de maior energia para o ponto 
de menor energia total. 
 
 
ii – Lei de Darcy 
 
 Permeabilidade: é a propriedade que o solo apresenta de permitir o escoamento da 
água através dele, sendo o grau de permeabilidade expresso numericamente pelo 
“coeficiente de permeabilidade”. 
 
Importância: O estudo da percolação de água no solo, ou seja, a permeabilidade, é 
importante porque intervêm num grande número de problemas práticos, tais como 
drenagem, rebaixamento do nível d’água, cálculo de vazões, análise de recalques, estudo 
de estabilidade, etc. 
 
 Grau com que isto ocorre ⇒ Expresso por um coeficiente “k” maior ou menor. 
 
A determinação do coeficiente de permeabilidade é feita tendo em vista a lei 
experimental de Darcy (proposta em 1856 por esse engenheiro francês). Darcy realizou 
um experimento com um arranjo similar ao mostrado na Figura 1.3 para estudar as 
propriedades do fluxo de água através de uma camada de filtro de areia: 
 
 
Figura 1.3 – Esquema do experimento realizado por Darcy 
 8 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
Este experimento deu origem a uma lei que correlaciona a taxa de perda de energia 
da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade de escoamento (Lei de Darcy). 
 
Os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre no 
sentido descendente através do corpo-de-prova. Medindo o valor da taxa de fluxo que 
passa através da amostra (vazão de água) q, para vários comprimentos de amostra (L) e de 
diferença de potencial (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional à razão 
L
h∆ (ou gradiente hidráulico da água, i). 
 
k.i.A.A
L
∆hk.q =

−= 
 
A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo-de-prova (A) indica a 
velocidade com que a água percola pelo solo. O valor da velocidade de fluxo da água no 
solo (v) é dado por: 
k.i
L
∆hk.v =

−= 
 
Esta velocidade é conhecida como velocidade de descarga (v), sendo, portanto 
diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Aplicando-se as noções 
desenvolvidas em índices físicos pode-se admitir que a relação entre a área transversal de 
vazios e a área transversal total seja dada pela porosidade (n). Desse modo, a velocidade de 
percolação real da água no solo é: 
 
n
vv real = 
 
Chama-se de velocidade de percolação (vp), a velocidade com que a água escoa nos 
vazios do solo. Considera-se a área efetiva de escoamento ou área de vazios (Av). 
 
vP = kP . i 
 
Obs: A existência do gradiente hidráulico fará com que haja percolação. 
 
 
 – Validade da Lei de Darcy 
 
 
A lei de Darcy é válida para um escoamento “laminar”, tal como é possível e deve 
ser considerado o escoamento na maioria dos solos naturais. 
 
Um escoamento se define como laminar quando as trajetórias das partículas d’água 
não se cortam; em caso contrário, denomina-se turbulento. 
 
 
 9 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
1.4 – Coeficiente de permeabilidade 
 
 
O valor de k é comumente expresso como um produto de um número por uma 
potência negativa de 10. Exemplo: k = 1,3 x 10-8 cm/seg, valor este, aliás, característico de 
solos considerados como impermeáveis para todos os problemas práticos. 
 
Na Figura 1.4 apresentamos, segundo A. Casagrande e R. E. Fadum, os intervalos 
de variação de k para os diferentes tipos de solos e na Tabela 1.1, segundo Casagrande. 
 
 
Figura 1.4 – Intervalos de variação de K para diversos solos 
 
 
K 
 cm/seg m/dia Material 
Características 
de escoamento 
1 a 100 864 a 86400 Pedregulho limpo 
0,001 a 1 0,86 a 864 Areia limpas, misturas de areia limpas e pedregulho 
Aqüíferos bons 
10-7 a 10-3 8,64 x 10
-5 a 
0,86 
Areias muito finas; siltes; 
misturas de areia, silte e argila; 
argilas estratificadas 
Aqüíferos pobres 
10-2 
 
10-3 
 
 
10-7 
 
 
10-9 
10-9 a 10-7 8,64 x 10
-7 a 
8,64 x 10-5 Argilas não alteradas Impermeáveis 
Tabela 1.1 – Coeficientes de permeabilidade de solos típicos (Bas. Casagrande) 
 
 
 É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de vazios 
geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de 
coeficientes de permeabilidade bastante inferiores a estes. 
 
 
1.5 - Fatores que influem na permeabilidade 
 
 
A permeabilidade é uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de 
valores e é função de diversos fatores, dentre os quais podemos citar o índice de vazios, 
temperatura, estrutura do solo, grau de saturação e estratificação do terreno. 
 
 A) Índice de vazios: 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 A equação de Taylor correlaciona o coeficiente de permeabilidade com o índice de 
vazios do solo. Quanto mais fofo o solo, mais permeável ele é. Conhecido o k para um 
certo tipo de solo, pode-se calcular o k para o outro solo pela proporcionalidade da 
equação apresentada (mais utilizada para areias). 
 
2
3
2
1
3
1
2
1
e1
e
e1
e
k
k
+
+= 
 
A influência do índice de vazios sobre a permeabilidade, em se tratando de areias 
puras e graduadas, pode ser expressa pela equação de A. Casagrande: 
 
2
85,0 e.k.4,1k = , sendo k0.85 → Coeficiente de permeabilidade quando e = 0,85. 
 
Maior índice de vazios (e) → Maior coeficiente de permeabilidade (k). 
 
 
B) Temperatura: 
 
 
 Quanto maior for a temperatura, menor a viscosidade da água e, portanto, mais 
facilmente ela escoa pelos vazios do solo com correspondente aumento do coeficiente de 
permeabilidade. Logo, k é inversamente proporcional à viscosidade da água. 
 
 Por isso, os valores de k são referidos à temperatura de 200C, o que se faz pela 
seguinte relação: 
 
VT
20
T
T20 C.k.kk =η
η= 
 
 
 Onde: 
 kT – o valor de k para a temperatura do ensaio; 
 η20 – é a viscosidade da água a temperatura de 200C; 
 ηT – é a viscosidade a temperatura do ensaio; 
 CV – relação entre as viscosidades. 
 
 Segundo Helmholtz, a viscosidade da água em função da temperatura é dada pela 
fórmula empírica: 
 
2T0002,0T033,01
0178,0
++=η , sendo T é a temperatura do ensaio em ºC. 
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 A figura 1. 5 mostra uma planilha de ensaio, executado em um solo coletado à 
1,50m de profundidade em uma região de Igrejinha – Juiz de Fora, em área estudadapara 
possível utilização como aterro sanitário do município. 
 
 
 
Figura 1.5 – Exemplo de resultado de ensaio de permeabilidade 
(Solo argilo-arenoso, coletado em Igrejinha – JF). 
 
 
Observe os resultados de k obtidos em 4 amostras diferentes a 25,4o de temperatura 
e o valor médio (dos 4 ensaios) corrigido para 20o ( k20º ) igual a 1,24 x 10-3 cm/seg. 
 
 
 
C) Estrutura do solo: 
 
 
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 A combinação de forças de atração e repulsão entre as partículas resulta a estruturas 
dos solos, que se refere à disposição das partículas na massa de solo e as forças entre elas. 
A amostra com estrutura dispersa terá uma permeabilidade menor que a floculada. 
 
D) Grau de saturação: 
 
 
 O coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado é menor do que o que ele 
apresentaria se estivesse totalmente saturado. Essa diferença não pode, entretanto ser 
atribuída exclusivamente ao menor índice de vazios disponível, pois as bolhas de ar 
existentes, contidas pela tensão superficial da água, são um obstáculo para o fluxo. 
Entretanto, essa diferença não é muito grande. 
 
 
E) Estratificação do terreno: 
 
 
Em virtude da estratificação do solo, os valores de k são diferentes nas direções 
horizontal e vertical, como mostra a Figura 1.6. Chamando-se de k1, k2, k3, ... os 
coeficientes de permeabilidade das diferentes camadas e de e1, e2, e3, ... respectivamente as 
suas espessuras, deduzamos as fórmulas dos valores médios de k nas direções paralela e 
perpendicular aos planos de estratificação. A permeabilidade média do maciço depende da 
direção do fluxo em relação à orientação das camadas. 
 
 
Figura 1.6 – Direção do fluxo nos terrenos estratificados 
 
 
 E.1) Permeabilidade paralela à estratificação: na direção horizontal, todos os 
estratos têm o mesmo gradiente hidráulico i. Portanto demonstra-se que: 
 
∑
∑
=
== n
1i
i
n
1i
ii
H
h.
h.k
k 
 
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 E.2) Permeabilidade perpendicular à estratificação: na direção vertical, sendo 
contínuo o escoamento, a velocidade v é constante. Portanto demonstra-se que: 
∑
∑
=
=



= n
1i i
i
n
1i
i
V
k
h
h
k 
 
Para camadas de mesma permeabilidade, k1 = k2 = ...= kn, obtém-se pela aplicação 
dessas fórmulas: kh = kv. 
 Demonstra-se, ainda, que em todo depósito estratificado, teoricamente: kh > kv. 
 
 
1.6 – Determinação do coeficiente de permeabilidade 
 
 
A determinação de k pode ser feita: por meio de fórmulas que o relacionam com a 
granulometria (por exemplo, a fórmula de Hazen), no laboratório utilizando-se os 
“permeâmetros” (de nível constante ou de nível variável) e in loco pelo chamado “ensaio 
de bombeamento” ou pelo ensaio de “tubo aberto”; para as argilas, a permeabilidade se 
determina a partir do “ensaio de adensamento”. 
 
 
Figura 1.7 – Amostra indeformada retirada de um poço 
A foto apresentada na Figura 1.7, tirada da superfície para dentro de um poço com 
4,00 m de profundidade, mostra um laboratorista ao lado de uma amostra indeformada de 
solo, sob a forma de bloco aparafinado a ser encaminhado para um laboratório. 
 
 
1.6.1 – Permeâmetro de nível constante 
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 É utilizado para medir a permeabilidade dos solos granulares (solos com razoável 
quantidade de areia e/ou pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade 
elevados. 
 Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis de água são mantidos 
constantes, como mostra a Figura 1.8. Mantida a carga h, durante um certo tempo, a água 
percolada é colhida e o seu volume é medido. Conhecidas a vazão e as dimensões do corpo 
de prova (comprimento L e a área da seção transversal A), calcula-se o valor da 
permeabilidade, k, através da equação: 
 
t.A.
L
hkt.A.i.kt.A.vQ === ⇒ 
t.h.A
L.q=k 
 
 
Figura 1.8 – Permeâmetro de carga constante 
 
 
 Onde: 
 q – é a quantidade de água medida na proveta (cm3); 
 L – é o comprimento da amostra medido no sentido do fluxo (cm); 
 A – área da seção transversal da amostra (cm2); 
 h – diferença do nível entre o reservatório superior e o inferior (cm); 
 t – é o tempo medido entre o inicio e o fim do ensaio (s); 
 
Procedimento: Mede-se o volume d'água que percola pela amostra (V) em 
determinados intervalos de tempo (t). 
 
1.6.2 – Permeâmetro de nível variável 
 
 
O permeâmetro de nível variável é considerado mais vantajoso que o anterior, 
sendo preferencialmente usado para solos finos, nos quais o volume d’água que percola 
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através da amostra é pequeno. Quando o coeficiente de permeabilidade é muito baixo, a 
determinação pelo permeâmetro de carga constante é pouco precisa. 
 
 
Figura 1.9 – Permeâmetro de carga variável 
 
 
 Neste ensaio medem-se os valores h obtidos para diversos valores de tempo 
decorrido desde o início do ensaio, como mostra a Figura 1.9. São anotados os valores da 
temperatura quando da efetuação de cada medida. O coeficiente de permeabilidade dos 
solos é então calculado fazendo-se uso da lei de Darcy: 
 
A.
L
h.kq = 
 
 
 E levando-se em conta que a vazão de água passando pelo solo é igual à vazão da 
água que passa pela bureta, que pode ser expressa como: 
 
dt
dh.aq −= (conservação da energia) 
 
 Igualando-se as duas expressões de vazão tem-se: 
 
A.
L
h.k
dt
dh.a =− 
 
 Que integrada da condição inicial (h = hi, t = 0) à condição final (h = hf, t = tf): 
 
∫∫ =− 1
0
1
0
t
t
h
h
dt.
L
A.k
h
dh.a 
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 Conduz a: 
t.
L
A.k
h
h
ln.a
1
0 ∆= 
 Explicitando-se o valor de k: 
 




∆= 1
0
h
h
ln.
t.A
L.ak ou 



∆= 1
0
h
h
log.
t.A
L.a.3,2k 
 Onde: 
 a – área interna do tubo de carga (cm2) 
 A – seção transversal da amostra (cm2) 
 L – altura do corpo de prova (cm) 
 h0 – distância inicial do nível d`água para o reservatório inferior (cm) 
 h1 – distância para o tempo 1, do nível d`água para o reservatório inferior (cm) 
 ∆t – intervalo de tempo para o nível d’água passar de h0 para h1 (cm) 
 
Procedimento: faz-se leituras das alturas inicial e final da bureta e o intervalo de 
tempo correspondente. 
 
 O novo laboratório de “Ensaios Especiais em Mecânica dos Solos” da Faculdade de 
Engenharia da UFJF, dispõe de um permeâmetro combinado para solos (carga constante e 
carga variável), fornecido pela Wille Geotechnik (alemã). 
Consta basicamente de um painel, com recipiente para água e buretas graduadas 
para leituras de níveis de carga hidráulica e de um recipiente (câmara) para amostra de 
solo. O sistema é alimentado por água conduzido por mangueira, de um tanque próximo. 
 
 
Foto – Vista geral do Permeâmetro Combinado de Solos da UFJF 
 17 
 
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HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
 
 Aspecto do cilindro (câmara) recipiente 
da amostra de solo a ser ensaiada. Neste 
caso, adequado para materiais granulares,como se vê, encontra-se preenchido com 
areia. Observe a entrada de água pela 
mangueira conectada na base, e a saída pelo 
topo. Observe dois pontos ligados por 
mangueira, ao painel, para medição da carga 
hidráulica e definição do comprimento “L”. 
 
 Painel em fórmica do permeâmetro, onde 
consta: Recipiente de água com regulagem 
de altura e possibilidade de manter o nível 
da água constante, conjunto de 4 “buretas” 
com diâmetros diferentes, fixadas junto a 
régua graduada. 
 
 
 
 
1.7 – Lei de fluxo generalizada 
 
 
A equação diferencial de fluxo é a base para o estudo de percolação bi ou 
tridimensional. Tomando um ponto definido por suas coordenadas cartesianas (x,y,z), 
considerando o fluxo através de um paralelepípedo elementar em torno deste ponto, e 
assumindo a validade da lei de Darcy, solo homogêneo e solo e água incompressíveis, é 
possível deduzir a equação tridimensional do fluxo em meios não-saturados: 
 



∂
∂+∂
∂
+=∂
∂+∂
∂+∂
∂
t
e.S
t
s.e.
1e
1
z
h.k
y
h.k
x
h.k 2
2
z2
2
y2
2
x 
 
 
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Onde: 
kj – permeabilidade na direção j 
h – carga hidráulica total 
S – grau de saturação 
e – índice de vazios 
t – tempo 
 
Em muitas aplicações em geotecnia, a equação pode ser simplificada para a 
situação bidimensional, em meio saturado e com fluxo estacionário, obtendo-se: 
 



∂
∂+∂
∂
+=∂
∂+∂
∂
t
e.S
t
s.e.
1e
1
y
h.k
x
h.k 2
2
y2
2
x 
 
Observando-se os termos e (índice de vazios) e S (grau de saturação), verifica-se 
que podem ocorrer quatro tipos de fenômenos: 
 
a) e e S são constantes ⇒ Fluxo estacionário ou permanente (não varia com o 
tempo), s = 100%. 
0
y
h.k
x
h.k 2
2
y2
2
x =∂
∂+∂
∂ 
 
Se nessa equação for considerada isotropia na permeabilidade, isto é, kx = ky, 
pode-se simplificar ainda mais: 
0
y
h
x
h
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂ 
 
b) e é variável e S é constante: 
i. e decrescente – adensamento 
ii. e crescente – expansão 
 
c) e é constante e S é variável: 
i. S decrescente – drenagem 
ii. S crescente – embebimento 
 
d) e e S são variáveis ⇒ problemas de compressão e expansão, além de drenagem e 
embebimento. 
 
 
 Obs: Os casos (b), (c) e (d) são denominados fluxo transiente (quantidade de água 
que percola varia com o tempo). 
 
 Normalmente o problema de fluxo é tratado no plano, considerando-se uma seção 
típica do maciço situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessura unitária. Tal 
procedimento é justificado devido ao fato de que a dimensão longitudinal é bastante maior 
que as dimensões de seção transversal. Portanto, considerando: 
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• Fluxo é estacionário; 
• Solo saturado; 
• Não ocorre nem compressão, nem expansão durante o fluxo: 0
t
e =ϑ
ϑ 
• Solo homogêneo; 
• k igual nas duas direções kx = ky; 
• Validade da Lei de Darcy. 
 
 Temos: 0
y
h
x
h
2
22
=∂
∂
∂
∂
2 + ⇒ Equação de Laplace 
 
 Como é do conhecimento geral, a anisotropia (direção que se considera para a 
medição de uma determinada propriedade) do solo é uma condição encontrada 
freqüentemente. Entretanto existe um artifício matemático que permite estudar o fluxo 
através de um solo anisotrópico como se o mesmo estivesse ocorrendo em um solo 
isotrópico. 
 
 A solução geral que satisfizer a condição de contorno de um problema particular de 
fluxo constituirá a solução da equação para este problema específico. É importante 
observar que a permeabilidade do solo não interfere na equação de Laplace. 
 
 A solução geral da equação de Laplace é constituída por dois grupos de funções as 
quais são representadas por duas famílias de curvas ortogonais entre si. 
 
 Em uma região de fluxo as duas famílias de curvas constitui o que se denomina 
rede ou linhas de fluxo. 
 
 
1.8 – Rede de fluxo 
 
 
 A equação de Laplace tem como solução duas famílias de curvas que se 
interceptam normalmente. A representação gráfica destas famílias constitui a chamada 
rede de escoamento ou rede de fluxo (“flow net”). 
 
 A rede de fluxo é um procedimento gráfico que consiste, basicamente, em traçar na 
região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas com linhas de 
escoamento ou de fluxo, que são as trajetórias das partículas do líquido e por linhas 
equipotenciais ou linhas de igual carga total. 
 
 O trecho compreendido entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer é 
denominado canal de fluxo e representa um acerta porção ∆Q da quantidade total Q de 
água que se infiltra. Portanto, a vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para 
todos os canais. 
 
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 A perda de carga ∆h entre as linhas equipotenciais adjacentes denomina-se queda 
de potencial. 
 
 No caso de solos isotrópicos e homogêneos, as linhas de fluxo e equipotenciais 
formam figuras que são basicamente “quadrados”, em destaque na Figura 1.10. A mesma 
vazão percola entre dois pares adjacentes de linhas de fluxo. A perda de carga entre linhas 
equipotenciais sucessivas é a mesma. 
 
O método mais comum na resolução de problemas de fluxo bidimensional consiste 
na construção da REDE DE FLUXO, representação gráfica da solução da equação 
diferencial. 
 
Figura 1.10 – Destaque do traçado de uma rede de fluxo 
 
 
– Métodos de traçagem de rede de fluxo 
 
 Os métodos para a determinação das redes de fluxos são: 
 
Soluções analíticas, resultantes da integração da equação diferencial do fluxo. 
Somente aplicável em alguns casos simples, dada a complexidade do tratamento 
matemático quando se compara com outros métodos. 
• 
• Solução gráfica é o mais rápido e prático de todos os métodos, como veremos 
adiante. 
 
– Determinação gráfica da rede de fluxo 
 
 Este método foi proposto pelo físico alemão Forchheimer. Consiste no traçado, a 
mão livre, de diversas linhas de escoamento e equipotenciais, respeitando-se as condições 
de que elas se interceptem ortogonalmente e que formem figuras “quadradas”. Há que se 
atender também às “condições limites”, isto é, às condições de carga e de fluxo que, em 
cada caso, limitam a rede de percolação. 
 
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 As redes montadas por figuras com a/L constante e, em particular, “quadradas” ( )1La = , implicam no atendimento às condições que lhes são impostas, isto é, por cada 
canal de fluxo passa a mesma quantidade (∆Q) de água entre duas equipotenciais 
consecutivas a mesma queda de potencial (∆h). 
 O método exige, naturalmente, experiência e prática de quem o utiliza. Geralmente, 
o traçado baseia-se em outras redes semelhantes obtidas por outros métodos. 
 
 As Figuras 1.11 e 1.12 apresentam dois casos em que se apresenta o traçado das 
linhas de fluxo e a utilização de filtros de proteção para o controle de fluxo de água que 
ocorre. Na Figura 1.11 temos uma barragem de terra através da qual há um fluxo de água, 
graças às diferenças de carga entre montante e jusante. Com intuito de proteger a barragem 
do fenômeno de erosão interna (piping) e para permitir uma rápida drenagem da água que 
percola através da barragem, usa-se construir filtros, como, por exemplo,o filtro horizontal 
esquematizado no desenho. 
 
 
Figura 1.11 – Linhas de fluxo em uma barragem 
 
 
 Na Figura 1.12, a água percola através do solo arenoso da fundação do reservatório. 
Pelo desenho, pode-se notar que próxima à face jusante das estacas-prancha, o fluxo é 
vertical e ascendente, o que pode originar o fenômeno de areia movediça. Para combater 
este problema, faz-se um filtro de material granular, permitindo assim a livre drenagem das 
águas. 
 
Figura 1.12 – Linhas de fluxo em uma cortina de estacas–prancha 
 Tomemos, para exemplificar, o aspecto das linhas equipotenciais e de fluxo, o caso 
simples de uma cortina de estacas-prancha cravadas num terreno arenoso, onde se 
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indicam as condições limites, constituídas por duas linhas de fluxo e duas linhas 
equipotenciais, como são mostradas na Figura 1.13. 
 
 
Figura 1.13 – Representação das condições limites 
 
Para este caso, a rede de fluxo tem a configuração mostrada na Figura 1.14. 
Numerosas linhas de fluxo e linhas equipotenciais poderiam ser traçadas, como as do 
exemplo; em que se obtém Nd = 12 quedas de potencial e Nf = 5 canais de fluxo. 
 
 
Figura 1.14 – Configuração da rede de fluxo em uma cortina de estacas–prancha 
 
Obs: Ao nível da superfície, sob a coluna de água de altura h, temos a equipotencial 
de carga h. A pressão (u), neste caso corresponde à carga nesta superfície e tem valor igual 
a “h” como se verifica: 
Uma coluna de água de altura h faz em uma área unitária 1 × 1 uma pressão “u”: 
u (pressão) = 
área
(peso) Força 
 peso = vol. = 1 × 1 × h × γ a γ a
 peso = h x γ a
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 u = = γ
1x1
h.a h.aγ
 
 Neste caso, observa-se que a água percola da esquerda para a direita em função da 
diferença de carga total existente. Observa-se que as 11 linhas equipotenciais são 
perpendiculares às 4 linhas de fluxo, formando elementos aproximadamente quadrados. A 
rede é formada por 5 canais de fluxo (nf = 5) e por 12 quedas equipotenciais (nq = 12). 
Nota-se que os canais de fluxo possuem espessuras variáveis, pois a seção disponível para 
passagem de água por baixo da estaca prancha é menor do que a seção pela qual a água 
penetra no terreno. Logo, a velocidade será variável ao longo do canal de fluxo. Quando 
o canal se estreita, sendo constante a vazão, a velocidade será maior, gerando um gradiente 
hidráulico maior (Lei de Darcy). Conseqüentemente, sendo constante a perda de potencial 
de uma linha equipotencial para outra, o espaçamento entre as equipotenciais deve 
diminuir. Sendo assim, a relação entre as linhas de fluxo e equipotenciais se mantém 
constante. 
 
A partir do traçado da rede de fluxo pode-se calcular a vazão percolada. Assim: 
 
Isolando um elemento da rede de fluxo, como aquele mostrado na Figura 1.15, o 
qual é formado por linhas de fluxo distanciadas entre si de “b” no plano do desenho e de 
uma unidade de comprimento no sentido normal do papel. 
 
 
Figura 1.15 – Elemento individual da rede de fluxo 
 
Segundo a Lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo será: q , sendo o 
gradiente hidráulico (i) dado por: 
.i.Ak=
trecho
trecho
l
h
i
∆−= 
 A área no elemento é igual a: A = b.l. Portanto: ( )b.l.
l
∆hk. 

−=q 
 No traçado da rede de fluxo, como o elemento é um quadrado, tem-se: b = l, sendo 
assim: . hk.q ∆=
 A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante, requisito para 
que a vazão num determinado canal de fluxo também seja constante. 
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 A carga total disponível (h) é dissipada através das linhas equipotenciais (nq), de 
forma que entre duas equipotenciais consecutivas temos: 
qn
hh =∆ 
 
 Realizando as devidas substituições, tem-se a vazão em cada canal de fluxo, dada 
pela expressão abaixo: 
qn
h.kq = 
 
 A vazão total do sistema de percolação (Q), por unidade de comprimento, é dada 
pela vazão do canal (q) vezes o número de canais de fluxo (nf). Portanto: 
fn.qQ = ⇒ 
q
f
n
n
.h.kQ = 
 Onde: 
 h – perda de carga total 
 
q
f
n
n – fator de forma, que depende da rede traçada 
 
Propriedades básicas de uma rede de fluxo 
As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são perpendiculares entre si, isto é, sua 
interseção ocorre a 90º; 
• 
• 
• 
• 
A vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais; 
As linhas de fluxo não se interceptam, pois não é possível ocorrerem duas 
velocidades diferentes para a mesma partícula de água em escoamento; 
As linhas equipotenciais não se interceptam, pois não é possível se ter duas cargas 
totais para um mesmo ponto; 
A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante. 
 
A Figura 1.16 apresenta a solução gráfica para um outro exemplo semelhante ao 
mostrado anteriormente. 
 
Figura 1.16 – Rede de fluxo através de uma fundação permeável de uma cortina de 
estacas–prancha 
 
Exemplo 
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Para a cortina, com 100 m de comprimento, 
representada na figura ao lado, calcular: 
 
a) A quantidade de água que 
percola, por mês, através do 
maciço permeável, 
b) A pressão neutra no ponto A. 
 
Resolução: 
a) Tem-se: q = k i A. 
Resolvendo em função da rede de fluxo: 
Gradiente i = ∆h/L = (h/Nd) (1/L) 
Vazão para 1 canal ∆q = k (h/LNd) a 1 para 1m de cortina 
Vazão total (unitário) q = k (h/Nd) (a/L) 1 Nf a/L = 1 (~quadrado) 
 
 como anteriormente demonstrado 
q = 1,4x10-5 x 15 x 102 x 1 x (3/6) = 10,5x10-3cm3/seg 
q = k.h.1.(Nf/Nd) 
qtotal = 10,5x10-3 cm3/Seg x 104cm = 10,5 cm3/seg (considerado os 100m de cortina) 
Em um mês tem-se: t = 30 x 24 x 60 x 60 = 2592x103Seg 
272m3/mês Q = 10,5 x 2592 x 103 = 272,16x106cm3/mês = 
 
b) A pressão neutra no ponto A obtém-se da seguinte forma: 
 
 ∆h = (h/Nd) = (15/6) = 2,5m (perda de carga em cada equipotenc
O número de quedas ∆h até ao ponto A é de aproximadamente 3,5, logo
este ponto é de 3,5 x (15/6) = 8,75m e o nível de água no tubo piezométrico inst
situa-se à 8,8m abaixo do nível de água a montante, ou seja a 6,25m do nível do
que está instalado. 
 
Como demonstrado na proposta de Bernoulli para representar a ener
carga total em um ponto do fluido, tem-se, expresso em termos de energ
carga total = carga altimétrica + carga piezométrica 
 
logo a pressão no ponto é a carga, expressa em altura de colu
multiplicada pelo seu peso específico: 
ssão na água, em um ponto A, pod
ostática + pressão hidrodinâmica 
ca) (piezométrica) 
 portanto, de: 
ua = 31,2 t/m2 = 
 26 
ial) 
 a perda até 
alado em A 
 terreno em 
gia total ou 
ia/peso: 
na d’água, 
e também 
 
ua = h.aγ
 
Considerando a soma das cargas, a pre
ser assim expressa: ua = pressão hidr
 (altimétri
A tensão correspondente no ponto A é,
(6,25 + 25) x γa

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