Concreto 1 - Cap 05

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2006 5-1 ufpr/tc405 
5 
5FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA 
5.1 Introdução 
Uma viga reta, desde que não possua carregamentos horizontais ou inclinados, será 
solicitada por momentos fletores e 
forças cortantes, como mostrado na 
Figura 5.1. 
 
Figura 5.1 – Solicitações em viga 
Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as forças cortantes são 
responsáveis pela existência de dois tipos de armadura (Figura 5.2): 
− longitudinal, para resistir 
aos momentos fletores; e 
− transversal, para resistir 
às forças cortantes. 
Neste capítulo só serão 
estudadas as armaduras 
longitudinais, ou seja, as armaduras 
necessárias para resistir aos 
momentos fletores. 
 
Figura 5.2 – Armaduras de viga de concreto armado 
Segundo o item 18.3.1 da ABNT NBR 6118, as vigas ficam caracterizadas quando: 
− l/h ≥ 3 para vigas isostáticas; e 
− l/h ≥ 2 para vigas contínuas; 
onde: 
l é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de 
balanço); e 
h é a altura total da viga. 
Vigas com relações l/h menores devem ser tratadas como vigas-parede. 
força 
cortante 
momento 
fletor 
A 
A 
corte 
AA 
armadura para 
momento fletor 
armadura para 
momento fletor 
armadura para 
força cortante 
2006 5-2 ufpr/tc405 
5.2 Vãos efetivos de vigas 
Segundo a 6118, item 14.6.2.4, o vão efetivo (Figura 5.3) pode ser calculado pela seguinte 
expressão: 
210ef aa ++= ll Equação 5.1 
com 






=






=
h3,0
t5,0
mina
h3,0
t5,0
mina
2
2
1
1
 
onde: 
lef vão efetivo da viga; 
l0 distância entre faces de dois apoios consecutivos; 
t comprimento do apoio paralelo ao vão da viga analisada; 
h altura da viga. 
 
Figura 5.3 – Vão efetivo de viga 
5.3 Estado limite último – domínios da ABNT NBR 6118 
5.3.1 Domínios 2, 3 e 4 
Quando da apresentação dos domínios da ABNT NBR 6118 (Figura [4.7]) foi visto que as 
peças de concreto armado solicitadas somente por momento fletor (vigas) seriam possíveis 
apenas nos domínios 2, 3 e 4, como reproduzido na Figura 5.4. Desta Figura deve ser observado 
que: 
− no domínio 2 
! o concreto não chegou ao seu encurtamento limite (3,5‰), possuindo, ainda, 
uma certa reserva de capacidade resistente; 
! o aço chegou ao seu alongamento máximo (10‰), tendo esgotado sua 
capacidade resistente; e 
! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar 
um quadro de fissuração intensa devido ao excessivo alongamento da armadura 
(e do concreto adjacente); 
− no domínio 3 (seção subarmada) 
! o concreto chegou ao seu encurtamento limite (3,5‰), tendo esgotado sua 
capacidade resistente; 
! o aço tem seu alongamento compreendido entre εyd e 10‰, possuindo, ainda, 
uma boa reserva de capacidade resistente; e 
! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar 
um quadro de fissuração expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto 
adjacente) apresentar alongamento considerável; 
h 
t2 t1 
l0 
lef 
viga 
pilar 
2006 5-3 ufpr/tc405 
− no domínio 4 (seção superarmada) 
! o concreto pode estar próximo de ultrapassar seu encurtamento limite (3,5‰), 
tendo esgotado, por inteiro, sua capacidade resistente; 
! o aço tem seu alongamento compreendido entre 0‰ e εyd, possuindo uma 
grande reserva de capacidade resistente; e 
! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, não deve 
apresentar um quadro de fissuração tão perceptível quanto aos dos domínios 2 e 
3 devido ao pequeno alongamento da armadura (e do concreto adjacente). 
 
Figura 5.4 – Domínios possíveis para vigas de concreto armado 
As vigas, quando dimensionadas no domínio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma 
eventual sobrecarga imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frágil (sem aviso prévio pois o 
concreto rompe bruscamente sem que a armadura tenha esgotado sua capacidade resistente). As 
vigas dimensionadas nos domínios 2 e 3 (subarmadas) têm, devido a condições mais adequadas 
da posição da linha neutra, garantida boas condições de dutilidade, sendo conduzidas, para uma 
condição adversa de carregamento, a rupturas com aviso prévio (a armadura escoa antes do 
rompimento do concreto mostrando um quadro visível de deterioração da viga). 
O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada1, fica definido pela passagem do 
domínio 3 para o domínio 4 (Figura 5.4), que corresponde à reta 3-4 definida pela Equação [4.8]. 
Desta forma é possível estabelecer, matematicamente, a condição para comportamento de viga 
subarmada (desejado) e superarmada (a ser evitado), ou seja: 
 
1 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (daí o super, no sentido de 
excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas têm uma distribuição mais equilibrada de 
materiais (daí o sub, no sentido de menos quantidade de armadura). 
sub- 
armada super- 
armada 
x 
σs 
d
x
x =β 
MSd 
βx 
10‰ εyd 
εs 
εc = 3,5‰ 
4 
2 
3 d 
As 
fyd 
3 4 
2 
0,259 βx,34 1,000 
βx,34 
 
CA-25: 0,772 
CA-50: 0,628 
CA-60: 0,585 
0,000 
0,259 
1,000 
βx,34 
2006 5-4 ufpr/tc405 





⇒β>
⇒β≤
β⇒








−
−
−
=β
erarmadasup
subarmada
60CA585,0
50CA628,0
25CA772,0
34,x
34,x
xx,34 Equação 5.2 
5.3.2 Recomendações da ABNT NBR 6118 
ABNT NBR 6118, item 16.2.3: 
“Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança adequada, isto é, uma 
probabilidade suficientemente pequena de ruína, é necessário garantir uma boa 
dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, 
alertando os usuários.” 
ABNT NBR 6118, item 17.2.3: 
“Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de 
esforços, é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se 
necessário, armadura de compressão que garanta a posição da linha neutra (x), 
respeitando-se os limites de 14.6.4.3. 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores 
menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz 
a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). 
A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem 
armadura de compressão.” 
ABNT NBR 6118, item 14.6.4.3: 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha 
neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões dos apoios das vigas ou de 
ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas 
redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve 
obedecer aos seguintes limites: 
− x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou 
− x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de 
armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.” 
O dimensionamento e detalhamento de vigas de concreto armado ficam mais simples se for 
seguido, para todas as regiões da viga (regiões de apoios e afastadas deles), o prescrito no 
item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118. Desta forma, a melhora nas condições de dutilidade das 
estruturas fica garantida se for adotado, para a posição da linha neutra, os valores limites (daí o 
βx.lim) mostrados na Figura 5.5 e na Equação 5.3. 





>
≤
=β
MPa35f400,0
MPa35f500,0
ck
ck
limx, Equação 5.3 
2006 5-5 ufpr/tc405 
 
Figura 5.5 – Condições de dutilidade da ABNT NBR 6118 
5.4 Distribuição de tensõesna região de concreto comprimido 
Conforme visto em [4.1], o diagrama tensão-deformação simplificado de cálculo 
(Figura [4.3]) permite, ao longo da altura y, a distribuição constante de tensões σc (região de 
concreto comprimido), 
como mostrado na 
Figura 5.6. 
 
Figura 5.6 – Distribuição de tensões na região de concreto comprimido 
y 
∆l 
εs 
MSd 
esforços resistentes 
de cálculo 
solicitações de 
cálculo 
x 
εc 
σc 
Rsd 
MRd 
d 
As 
Rcd 
0,7‰ 
x 
σs 
d
x
x =β 
MSd 
βx 
10‰ εyd 
εs 
εc = 3,5‰ 
4 
2 
d 
As 
fyd 
4 
2 
0,259 1,000 
βx,lim 
 
0,500 ⇒ fck ≤ 35 MPa 
0,400 ⇒ fck > 35 MPa 
0,000 
0,259 
1,000 
βx,lim 
dútil 
3 
βx,lim 
frágil 
3 
2006 5-6 ufpr/tc405 
Da Figura 5.6, tem-se: 
 x‰7,0y
c
c






ε
−ε
= Equação 5.4 
Tendo em vista que nos domínios 3 e 4 o encurtamento do concreto εc é igual a 3,5‰ 
(Figura 5.4), a Equação 5.4 resulta: 
 x
‰5,3
‰7,0‰5,3y 




 −= 
x8,0y = Equação 5.5 
ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e: 
“a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo, definido em 8.2.10, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd 
definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 
0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: 
− 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir desta para a borda comprimida; 
− 0,80 fcd no caso contrário. 
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e 
aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.” 
Como pode ser observado, a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, estende o resultado 
alcançado pela Equação 5.5 a todos os domínios, inclusive o domínio 2, deixando de ser 
necessário representar o valor de y como função da deformação εc (Equação 5.4). 
Cabe ao engenheiro responsável pelo projeto estrutural a opção em adotar o procedimento 
mostrado Capítulo [4]1, onde a altura do retângulo de tensões de compressão é estabelecida em 
função do encurtamento da fibra de concreto mais comprimida e da posição da linha neutra 
(y = y(εc, x) ⇒ Equação 5.4), ou adotar a simplificação prevista no item 17.2.2-e da 
ABNT NBR 6118, onde a altura do retângulo de tensões de compressão é estabelecida em função 
apenas da posição da linha neutra (y = 0,8 x ⇒ Equação 5.5). 
Tendo em vista que o prescrito no item 17.2.2-e da ABNT NBR conduz a uma 
sistemática de cálculo mais simples, a Equação 5.5 será usada na determinação das 
equações de dimensionamento e verificação de armadura longitudinal de vigas de concreto 
armado. 
Ainda, seguindo o que prescreve o item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, o valor da tensão de 
compressão (σc) deve obedecer ao mostrado na Figura 5.7, para a condição y = 0,8 x. 
 
Figura 5.7 – Valor de tensão de compressão na região de concreto comprimido 
5.5 Variáveis adimensionais - ELU 
5.5.1 Elementos geométricos de seções retangulares 
Seja a Figura 5.8 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo (Rcd 
e Rsd), a posição da linha neutra (x), a altura do retângulo de tensões de compressão (y), a 
distância entre os esforços resistentes de cálculo (z) e a altura útil da viga (d). 
 
1 Ver Exemplo [4.1], item c e Exemplo [4.2], item c. 
σc = 0,85 fcd 
x 
linha neutra y = 0,8 x 
σc = 0,80 fcd 
y = 0,8 x linha neutra 
x 
2006 5-7 ufpr/tc405 
 
Figura 5.8 – Solicitação e esforços resistentes em vigas de concreto armado 
Da Figura 5.8 e levando-se em conta a Equação 5.5, tem-se: 
− posição da linha neutra1 
dx
sc
c






ε+ε
ε
= 
sc
c
x d
x
ε+ε
ε
==β 
− altura do retângulo de tensões σc2 





==
d
xd8,0x8,0y 
xy 8,0d
y
β==β 
− braço de alavanca entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd 
y5,0dz −= 
( )x8,05,0dz −= 





 −=−=
d
x4,01dx4,0dz 
xz 4,01d
z
β−==β 
Agrupando todas as variáveis geométricas β, e criando a variável auxiliar βc, tem-se: 
( ) auxiliar variável4,0168,068,0
R e R entre alavanca de braço4,01
d
z
 tensões de retângulo do altura8,0
d
y
neutra linha da posição
d
x
xxzxc
sdcdxz
cxy
sc
c
x
β−β=ββ=β
β−==β
σβ==β
ε+ε
ε
==β
 Equação 5.6 
A Equação 5.6 mostra que as variáveis adimensionais βy, βz e βc são funções diretas de βx. 
Desta forma, uma vez conhecida a posição da linha neutra (βx), todos os demais elementos 
 
1 Ver Equação [4.3]. 
2 Ver Equação 5.5. 
∆l 
εs 
MSd 
esforços resistentes 
de cálculo 
solicitação de 
cálculo 
x 
εc 
σc 
Rsd 
MRd 
d 
bw 
As 
z h 
y = 0,8 x 0,5 y 
Rcd 
2006 5-8 ufpr/tc405 
geométricos (βy, βz e βc) ficam igualmente definidos. A Equação 5.6 permite agrupar os valores de 
β como mostrado na Tabela 5.1. 
βx βy βz βc 
 
0,100 0,080 0,960 0,065 
 
0,259 0,207 0,896 0,158 
 
0,585 0,468 0,776 0,305 
 
0,628 0,502 0,749 0,320 
 
0,772 0,618 0,691 0,363 
 
Tabela 5.1 – Valores de βy, βz, e 
βc como função de βx 
5.5.2 Diagrama adimensional tensão-deformação do aço 
Conforme visto em [4.2.2], o diagrama tensão-deformação do aço tem o aspecto mostrado 
na Figura 5.9. Nesta Figura optou-se por 
apresentar este diagrama de forma adimensional, 
com a introdução dos valores de βs e β’s dados 
pela Equação 5.7. 
 
Figura 5.9 – Diagrama adimensional tensão-
-deformação do aço 
0,1
f
E
f
0,1
f
E
f
yd
s
'
s
yd
'
s'
s
yd
ss
yd
s
s
≤
ε
=
σ
=β
≤
ε
=
σ
=β
 Equação 5.7 
Seja a Figura 5.10 onde são mostrados, dentre outros: os esforços resistentes de cálculo 
(Rcd, R’sd e Rsd), a posição da linha neutra (x), a altura útil da viga (d), a posição da armadura 
comprimida (d’), o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (εc), o encurtamento da 
armadura comprimida (ε’s) e o alongamento da armadura tracionada (εs). 
yd
ss
s f
Eε
=β 
εyd 
yd
'
s'
s f
σ
=β
yd
s
s f
σ
=β
ε's εs 
1,0 
1,0 
10‰ 
εyd 
Es = 210.000 MPa 
3,5‰ 
2006 5-9 ufpr/tc405 
 
Figura 5.10 – Alongamento e encurtamento da armadura 
Da Figura 5.10 e levando-se em consideração a Equação 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9, 
tem-se: 
− alongamento da armadura tracionada1 
ccs
d
x
d
x1
x
xd
ε











 −
=ε




 −=ε 
c
x
x
s
1
ε





β
β−
=ε 








>β
×





β
β−
≤β
=ε
4 e 3 domínios
259,0
‰5,31
2 domínio
259,0
‰10
X
x
x
X
s Equação 5.8 
− encurtamento da armadura comprimida2 
s
'
c
'
'
s xd
dx 
x
dx
ε





−
−
=ε




 −
=ε 
s
'
c
'
'
s
d
x1
d
d
d
x
 
d
x
d
d
d
x
ε












−
−
=ε












−
=ε 
s
x
'
x
c
x
'
x
'
s 1
d
d
 d
d
ε












β−
−β
=ε












β
−β
=ε 
 
1 Ver Equação [4.15], Equação [4.16] e Equação [4.17]. 
2 Ver Equação [4.12], onde foi considerada a convenção de sinais da Figura [4.8]. 
d' 
σc 
Rcd 
y 
∆l 
εs 
MSd 
esforços resistentes 
de cálculo 
solicitações de 
cálculo 
x 
εc 
Rsd 
MRd 
d 
As 
R’sdA’s 
ε’s 
2006 5-10 ufpr/tc405 













>β
×












β
−β
≤β
×












β−
−β
=ε
4 e 3 domínios
259,0
‰5,3d
d
2 domínio
259,0
‰10
1
d
d
X
x
'
x
X
x
'
x
'
s Equação 5.9 
A associação da Equação 5.7 com a Equação 5.8 e com a Equação 5.9 resulta: 













>β
≤×












β
−β
≤β
≤×












β−
−β
=
σ
=β








>β
≤×





β
β−
≤β
=
σ
=β
4 e 3 domínios
259,0
0,1‰5,3d
d
f
E
2 domínio
259,0
0,1‰10
1
d
d
f
E
f
4 e 3 domínios
259,0
0,1‰5,31
f
E
2 domínio
259,0
0,1
f
X
x
'
x
yd
s
X
x
'
x
yd
s
yd
'
s'
s
X
x
x
yd
s
X
yd
s
s
 
Equação 5.10 
A Equação 5.10 demonstra que βs e β’s são funções de βx, da relação d/d’ e da categoria do 
aço (fyk). Assim como feito para as variáveis βy, βz, e βc (Tabela 5.1), é possível associar os 
valores βs e β’s a valores pré-fixados de βx e (d’/d), como mostrado na Tabela 5.2, feita para o aço 
CA-501. 
CA-50 β’s para (d’/d) = 
βx βy βz βc βs 0,05 0,10 0,15 
 
0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,268 
 
0,259 0,207 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 0,712 
 
0,628 0,502 0,749 0,320 1,000 1,000 1,000 1,000 
 
0,800 0,640 0,680 0,370 0,422 1,000 1,000 1,000 
 
Tabela 5.2 – Flexão simples – CA-50 
A Figura 5.4 pode, também, ser apresentada com o diagrama adimensional 
tensão-deformação do aço, como mostrado na Figura 5.11. 
 
1 As tabelas completas são apresentadas em 5.16. 
2006 5-11 ufpr/tc405 
 
Figura 5.11 – Vigas - domínios e diagrama adimensional do aço 
5.6 Indexação de áreas comprimidas 
Para a caracterização de áreas comprimidas e correspondentes esforços resistentes de 
cálculo (forças e momentos), será usada a seguinte indexação (Figura 5.12): 
− índice 1 
! área de concreto comprimido de largura bw e altura y; 
! força resistente de cálculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) σc; e 
! momento resistente de cálculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z. 
− índice 2 ou plica (‘) 
! área de armadura comprimida (A’s); 
! força resistente de cálculo (R’sd) definida pelo produto A’s σ’s; e 
! momento resistente de cálculo (MRd2) definido pelo produto R’sd (d – d’). 
− índice 3 
! área de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf; 
! força resistente de cálculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] σc; e 
! momento resistente de cálculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d – hf/2). 
x 
βs 
d
x
x =β 
MSd 
βx 
10‰ εyd 
εs 
εc = 3,5‰ 
4 
2 
d 
As 
1,0 
3 4 
2 
0,259 1,000 
βx,lim 
 
0,500 ⇒ fck ≤ 35 MPa 
0,400 ⇒ fck > 35 MPa 
0,000 
0,259 
1,000 
βx,lim 
dútil 
3 
βx,lim 
frágil 
2006 5-12 ufpr/tc405 
 
Figura 5.12 – Indexação de áreas comprimidas 
5.7 Armaduras longitudinais máximas e mínimas 
5.7.1 Armadura mínima 
A ruptura frágil de seções transversais de vigas de concreto armado pode, também, ocorrer 
devida a pouca quantidade de armadura. Vigas com baixa taxa de armadura longitudinal têm 
comportamento semelhante ao das vigas de concreto simples, onde a ruptura sem aviso prévio 
pode ocorrer imediatamente após o aparecimento das primeiras fissuras decorrentes de 
solicitações normais (momento fletor). 
A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define a taxa de armadura longitudinal mínima como 
sendo: 
c
min,s
min A
A
=ρ Equação 5.11 
e adota os seguintes valores: 
tracionada mesa
T seções 
%15,0
f
f031,0
max
comprimida mesa
T seções 
%15,0
f
f024,0
max
esretangular seções
%15,0
f
f035,0
max
yd
cd
min
yd
cd
min
yd
cd
min










=ρ










=ρ










=ρ
 Equação 5.12 
Nas seções T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma 
acrescida da mesa colaborante. 
Para vigas de seção retangular, a taxa de armadura mínima pode ser expressa por: 










==ρ
%15,0
f
f
035,0
max
hb
A
yd
cd
w
min,s
min Equação 5.13 
εs 
esforços resistentes 
de cálculo 
Rsd 
MRd 
∆l bw 
bf d' 
As 
σc 
εc 
y 
x 
Rcd1 
Rcd3 
R’sd 
A’s 
z 
d 
hf 
solicitação 
de cálculo 
MSd 
h 
1 
3 3 
2 
MRd = MRd1 + MRd2 + MRd3 
ε’s 
2006 5-13 ufpr/tc405 
5.7.2 Armadura máxima 
O Capítulo [4] mostrou expressões para a determinação de armadura tracionada (As) e de 
armadura comprimida (A’s), sem nenhuma limitação de valores. Esta não limitação para as 
quantidades de armaduras pode dar a falsa impressão de que sempre seria possível determinar 
um conjunto delas (As e A’s) que, compondo com as dimensões da seção transversal e com as 
resistências dos materiais (fcd e fyd), seria capaz de resistir a qualquer solicitação de cálculo. A 
ABNT NBR 6118 apresenta valores máximos para as armaduras longitudinais tracionadas ou 
comprimidas. 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1: 
”A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de 
se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos 
ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto 
aço-concreto.” 
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.4: 
”A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) não devem ter valor maior 
que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas.” 
O item 17.3.5.2.4 da ABNT NBR 6118 pode ser representado por: 
( )
%4
A
AA
c
max
'
ss
max =
+
=ρ Equação 5.14 
A aplicação direta da Equação 5.14, para seções T, pode conduzir a vigas de difícil 
concretagem (excesso de armadura). A Figura 5.13 
mostra uma seção retangular e uma seção T, de 
mesma altura (h) e mesma armadura tracionada (As). 
Admitindo-se que a armadura comprimida (A’s) seja de 
pequena monta a seguinte situação pode vir a ocorrer: 
( ) ( )
%4
hb
AA
A
AA
w
'
ss
c
'
ss
ret <
+
=
+
=ρ 
( ) ( )
( ) %4hbbhb
AA
A
AA
fwfw
'
ss
c
'
ss
T <−+
∑+
=
∑+
=ρ 
 
Figura 5.13 – Comparativo entre seções 
retangulares e T 
Como pode ser observado na Figura 5.13, no retângulo bw h as quantidades de armadura 
são iguais tanto para seção retangular como para a seção T. Isto nos leva a concluir que a 
verificação da taxa máxima de armadura em seções T deve ser feita tanto para a seção total como 
para a seção bw h., de tal forma que: 
( )
( )
( )








≤
+
≤
−+
∑+
=ρ
%4
hb
AA
%4
hbbhb
AA
w
'
ss
fwfw
'
ss
T 
Como a concentração de armadura sempre ocorre no retângulo bw h, a verificação da taxa 
máxima de armadura em seções retangulares e seções T pode, de modo simplificado, ser feita da 
seguinte forma: 
( )
%4
hb
AA
w
max
'
ss
max =
+
=ρ Equação 5.15 
hf 
bw 
bf 
As 
h 
bw 
As 
A’s A’s 
2006 5-14 ufpr/tc405 
5.8 Vigas de seção retangular sem armadura de compressão 
Seja a Figura 5.14 onde são mostrados, dentre outros, a solicitação de cálculo (MSd), os 
esforços resistentes de cálculo (Rcd e Rsd), os elementos geométricos referentes à seção 
transversal da viga (x, y, z, d, bw e h), as deformações (εc e εs) e a área de armadura (As). 
 
Figura 5.14 – Viga de seção retangular sem armadura de compressão 
Da Figura5.14 e considerando as equações anteriormente apresentadas, tem-se: 
− elementos geométricos da seção retangular (Equação 5.6) 
dx xβ= 
dy yβ= 
dz zβ= 
− valores geométricos adimensionais (Equação 5.6) 
zxc
xz
xy
68,0
4,01
8,0
ββ=β
β−=β
β=β
 
− valor adimensional da tensão na armadura tracionada (Equação 5.10) 








>β
≤×





β
β−
≤β
=
σ
=β
4 e 3 domínios
259,0
0,1‰5,31
f
E
2 domínio
259,0
0,1
f
X
x
x
yd
s
X
yd
s
s 
− condição de segurança 
SdRd MM ≥ 
− esforços resistentes de cálculo 
sd1cd RR = 
− momento fletor (binário) devido aos esforços resistentes de cálculo 
1RdRd MM = 
zRzRM sd1cd1Rd == 
− esforço resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido de largura bw 
( ) cw1cd ybR σ= 
( )( )( )cdw1cd f85,0x8,0bR = 
( )( )( )cdxw1cd fdb68,0R β= 
( )( )cdwx1cd fdb68,0R β= 
As 
∆l 
εs 
MSd 
esforços resistentes 
de cálculo 
solicitação de 
cálculo 
x 
εc 
σc 
Rsd 
MRd = MRd1 
d 
bw 
Rcd = Rcd1 
z h 1 
y = 0,8 x 
2006 5-15 ufpr/tc405 
− esforços resistentes de cálculo atuantes nas armaduras tracionadas 
sssd AR σ= 
ydsssd fAR β= 
ydsssd fAR β= 
− binário MRd1/Rcd1 
zRM 1cd1Rd = 
( )( )cdwx1cd fdb68,0R β= 
dz zβ= 
xz 4,01 β−=β 
( )xxzxc 4,0168,068,0 β−β=ββ=β 
( )( )[ ]( )dfdb68,0M zcdwx1Rd ββ= 
( )( )cd2wzx1Rd fdb68,0M ββ= 
cd
2
wc1Rd fdbM β= 
( )( )( )cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M β−β= 
( )( )( )cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M β−β= 
( ) ( )2xx
cd
2
w
1Rd 272,068,0
fdb
M
β−β= 
0
fdb272,0
M
5,2
cd
2
w
1Rd
x
2
x =+β−β 
cd
2
w
1Rd
x fdb272,0
M5625,125,1 −−=β 
− binário MRd1/Rsd 
zRM sd1Rd = 
ydsssd fAR β= 
dz zβ= 
( )( )dfAM zydss1Rd ββ= 
ydsz
1Rd
s fd
MA
ββ
= 
− equilíbrio dos esforços resistentes de cálculo 
( )( )cdwx1cd fdb68,0R β= 
ydsssd fAR β= 
1cdsd RR = 
( )( )cdwxydss fdb68,0fA β=β 
x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
2006 5-16 ufpr/tc405 
− equações principais 
x
yds
cdw
s
ydsz
1Rd
s
x
x
x
yd
s
x
s
zxc
xz
xy
cd
2
w
1Rd
x
cd
2
wc1Rd
1RdRd
SdRd
fA
fdb68,0
fd
MA
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
68,0
4,01
8,0
fdb272,0
M5625,125,1
fdbM
MM
MM
β







=β
ββ
=





>β≤×





β
β−
≤β
=β





ββ=β
β−=β
β=β
⇒−−=β
β=
=
≥
 
Equação 5.16 
5.8.1 Dutilidade 
A dutilidade de uma viga fica garantida pela condição estabelecida na Equação 5.3, ou seja: 





>
≤
=β≤β
MPa35f400,0
MPa35f500,0
ck
ck
limx,x 
A associação da Equação 5.6 com a Equação 5.3 torna possível estabelecer, também, 
valores limites de βc que garantam a condição de dutilidade de uma viga, ou seja: 





>
≤
=β≤β
MPa35f228,0
MPa35f272,0
ck
ck
limc,c Equação 5.17 
Por outro lado, associando MRd1 da Equação 5.16 com a Equação 5.17 torna-se possível 
estabelecer, também, valores limites para MRd1 que garantam a condição de dutilidade de uma 
viga, ou seja: 





>
≤
=≤
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
MM
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd1Rd Equação 5.18 
Tanto a Equação 5.3, como a Equação 5.17, como a Equação 5.18 representam a condição 
de dutilidade de uma viga de concreto armado. 
5.8.2 Equações para dimensionamento 
Considerando as condições de: 
− equilíbrio, compatibilidade e segurança (Equação 5.16); 
− dutilidade (Equação 5.3 ou Equação 5.17 ou Equação 5.18); 
− armadura mínima (Equação 5.13); e 
− armadura máxima (Equação 5.15), 
o dimensionamento ou a verificação de vigas de seção retangular, sem armadura de compressão, 
pode ser representado por: 
2006 5-17 ufpr/tc405 
x
yds
cdw
s
wmax,s
w
w
yd
cd
min,s
ydsz
1Rd
s
x
x
x
yd
s
x
s
xz
ck
ck
cd
2
w
1Rd
x
sz
ck
ck
cd
2
w
1Rd
c
1RdRdSd
lim,1RdSd
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd
fA
fdb68,0
hb04,0A
hb0015,0
hb
f
f035,0
maxA
fd
MA
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e tab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMM
compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
β







=β






=≤










=≥
ββ
=


















>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β




>
≤
≤−−=β








β⇒⇒
>
≤
≤=β
==
⇒≤




>
≤
=
 
Equação 5.19 
Exemplo 5.1: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 125 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – aço: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19. A solução 
fica facilitada se for feita a utilização da tabela de flexão simples do CA-50 
(item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
20 cm 
5 cm 
45 cm 
MSd = 125 kNm 
As 
2006 5-18 ufpr/tc405 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E === 
 cm 20bw = 
 cm 45d = 
 cm 50h = 
 










=
hb0015,0
hb
f
f035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s 
 2
2
2
min,s cm50,1
cm50,150200015,0
cm15,15020
5,43
43,1035,0maxA =








=××
=×××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,040502004,0A =××= 
 kNcm50012kNm125MSd == 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 kNcm7531543,14520272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm75315
lim,1Rd
kNcm50012
Sd ⇒< 321
 
 kNcm50012MMM 1RdRdSd === 
b. Linha neutra (βx) 
 500,0
fdb272,0
M5625,125,1
cd
2
w
1Rd
x ≤−−=β 
 OK500,0373,0
43,14520272,0
500125625,125,1 2x <=×××
−−=β 
c. Braço de alavanca (βz) 
 xz 4,01 β−=β 
 ( ) 851,0373,04,01z =×−=β 
d. Tensão na armadura (βs) 
 0,2590,1‰5,31
f
E
x
x
x
yd
s
s >β≤×





β
β−
=β 
 000,1000,1840,2
0001
5,3
373,0
373,01
5,43
00021
ss =β⇒>=×




 −×=β 
e. Cálculo da armadura (As) 
 



≤
≥
ββ
=
max,s
min,s
ydsz
1Rd
s A
A
fd
MA 
 OK
cm0,40
cm50,1cm50,7
5,43000,145851,0
50012A 2
2
2
s



<
>
=
×××
= 
 2cal,s cm50,7A = ◄ (armadura calculada) 
2006 5-19 ufpr/tc405 
f. Resolução com uso de tabela 
 272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c ≤=β 
 OK272,0216,0
43,14520
50012
2c <=××
=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒=β
000,1
851,0
373,0
216,0
s
z
x
tabela
c 321
 
 



≤
≥
ββ
=
max,s
min,s
ydsz
1Rd
s A
A
fd
MA 
 OK
cm0,40
cm50,1cm50,7
5,43000,145851,0
50012A 2
2
2
s



<
>
=
×××
= 
 2cal,s cm50,7A = ◄ (armadura calculada) 
g. Verificação 
 x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
 OK000,1001,1373,0
5,4350,7
43,1452068,0
s ≅=×





×
×××
=β5.9 Disposição da armadura 
A distribuição e o posicionamento corretos das armaduras dentro da seção transversal de 
uma viga constitui fator de suma importância para a 
durabilidade das estruturas de concreto. A disposição da 
armadura dentro da seção transversal da viga não pode 
obstruir a colocação do concreto fresco, devendo permitir, 
com relativa folga, a introdução de equipamentos de 
vibração (Figura 5.15). 
 
Figura 5.15 – Espaçamento horizontal e 
vertical de barras 
longitudinais 
ABNT NBR 6118, item 18.3.2.2: 
”O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano 
da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
a) na direção horizontal (ah): 
− 20 mm; 
− diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
− 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado1; 
b) na direção vertical (av): 
− 20 mm; 
− diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
− 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado. 
 
1 O correto seria dizer dimensão máxima do agregado. Ver Equação [2.2]. 
ah 
av 
φt 
dmax 
φl 
2006 5-20 ufpr/tc405 
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: φn = φ √ n. 
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras.” 
O item 18.3.2.2 da ABNT NBR 6118 pode ser expresso pela Equação 5.20. 










φ≥










φ≥
max
v
max
h
d5,0
cm2
maxa
d2,1
cm2
maxa
l
l
 Equação 5.20 
Exemplo 5.2: Determinar o máximo momento fletor solicitante de cálculo (MSd) que a viga 
abaixo representada pode suportar. 
 Dados: 
 – concreto: C20; 
 – aço: CA-50; 
 – armadura longitudinal: 5 φ 16 mm; 
 – armadura transversal: 6,3 mm; 
 – cobrimento: 3 cm; e 
 – dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.19 e 
Equação 5.20, com o auxílio da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 45h = 
 cm 3cnom = 
 cm0,63mm 3,6t ==φ 
20 cm 
45 cm 
MSd 
As 
2006 5-21 ufpr/tc405 
 cm 1,9mm 19dmax == 
 2
2
efs,s cm 05,104
6,15AA =×π×== (armadura efetiva) 
 










=
hb0015,0
hb
f
f035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s 
 2
2
2
min,s cm35,1
cm35,145200015,0
cm04,14520
5,43
43,1035,0maxA =








=××
=×××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,036452004,0A =××= 
 OKcm00,36cm05,10cm35,1
max,ssmin,s A
2
A
2
A
2
434214342143421
<< 
b. Verificação de ah e av 
 ( )
1n
n2c2ba tnomwh −
φ+φ+−
= l 
 bw largura da viga 
 cnom cobrimento nominal da armadura 
 φt diâmetro da armadura transversal (estribo) 
 φl diâmetro da armadura longitudinal 
 n número de barras na camada 
 ( ) cm97,3
13
6,1363,020,3220ah =−
×+×+×−
= 
 










φ≥
max
h
d2,1
cm2
maxa l 
 cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm6,1
cm2
maxa
max
h ≥










=×=
=φ≥ l 
 
{
OKaa
cm28,2
min,h
cm97,3
cal,h 321
> 
 










φ≥
max
v
d5,0
cm2
maxa l 
 cm0,2
cm95,09,15,0d5,0
cm6,1
cm2
maxa
max
v ≥










=×=
=φ≥ l 
 cm0,2av = (valor adotado) 
c. Determinação da altura útil (d)1 
 
10
hycg < 
 cm5,4
10
45ycg =< 
 
1 ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados no centro de gravidade 
correspondente, se a distância deste cento ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida 
normalmente a esta, for menor que 10%.” (Ver Figura 5.26) 
φt 
cnom 
φl 
av 
ah 
cg 
d 
φt 
cnom 
φl 
ycg 
(ycg + φt + cnom) 
h 
d = h - (ycg + φt + cnom) 
2 cm 
(av) 
2006 5-22 ufpr/tc405 
 
∑
∑ ×=
si
isi
cg A
yA
y 
 OKcm4,5cm 24,2
4
6,12
4
6,13
2
6,10,26,1
4
6,12
2
6,1
4
6,13
y
22
22
cg <=













 ×π
×+













 ×π
×













 ++×




 ×π
×+













×




 ×π
×
= 
 ( )nomtcg cyhd +φ+−= 
 ( ) cm93,380,363,044,245d =++−= 
d. Momento limite (MRd1,lim) 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 kNcm7901143,193,3820272,0fdb272,0M 2cd
2
wlim,1Rd =×××== 
e. Verificação para valores efetivos 
 x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
 xxs 732,15,4305,10
43,193,382068,0
β=β×





×
×××
=β 
 d.1 1ª tentativa 
 577,0
732,1
1
x ==β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒=β
000,1
302,0
769,0
577,0
s
c
z
tabela
x 321
 
 Ok000,1577,0732,1732,1 xs =×=β=β 
f. Momento solicitante de cálculo (MSd) 
 1RdRdSd MMM == 
 cd
2
wc1Rd fdbM β= 
 
4434421
lim,1RdM
2
1Rd kNcm79011kNcm0901343,193,3820302,0M >=×××= 
 Como o valor MRd1 calculado (13 090 kNcm) resultou maior que o valor limite MRd1,lim 
(11 790 kNcm) isto significa que a viga esta com excesso de armadura. Para que sejam 
mantidas as condições de dutilidade da seção transversal apresentada é necessário que o 
valor de MSd fique limitado ao valor limite. Portanto: 
 kNm9,117kNcm79011MM lim,1RdSd === 
 kNm9,117MSd = ◄ 
 O valor assumido obedece ao item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118 que limita a 0,500 o 
valor de βx (βx,lim) para regiões de vigas próximas a apoios, onde ocorrem momentos 
negativos como é o caso deste exemplo. 
 
5.10 Vigas de seção retangular com armadura de compressão 
Conforme visto em 5.8, vigas com dimensões adequadas e sem armadura de compressão, 
tem comportamento dútil desde que sejam projetadas para suportar momentos solicitantes 
inferiores a um determinado limite (MSd ≤ MRd1,lim). Quando os momentos solicitantes ultrapassam 
o valor limite, a dutilidade das vigas pode ser garantida com o uso de armadura de compressão, 
como mostrado na Figura 5.16. Para tal basta forçar que a linha neutra mantenha-se no domínio 2 
ou no domínio 3. 
2006 5-23 ufpr/tc405 
A manutenção da linha neutra no domínio 2 (0,000 ≤ βx ≤ 0,259) ou no domínio 3 
(0,259 ≤ βx ≤ βx,lim) pode ser alcançada com a definição do valor de βx que conduza ao 
dimensionamento mais econômico, ou seja, aquele que definir a menor quantidade total de 
armadura (menor As + A’s). Em termos práticos, isto nem sempre é possível. A prática comum é 
simplesmente adotar para βx o seu valor limite (βx = βx.lim que corresponde a MRd1 = MRd1,lim), 
independentemente de qualquer estudo econômico. 
 
Figura 5.16 – Vigas de seção retangular com armadura de compressão 
Como mostrado na Figura 5.16, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd ≥ MSd) é 
composto por dois momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações 
apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.16, um raciocínio semelhante ao 
apresentado em 5.8, chega-se: 
− valor adimensional da tensão na armadura comprimida (Equação 5.10) 













>β
≤×











β
−β
≤β
≤×












β−
−β
=
σ
=β
4 e 3 domínios
259,0
0,1‰5,3d
d
f
E
2 domínio
259,0
0,1‰10
1
d
d
f
E
f
X
x
'
x
yd
s
X
x
'
x
yd
s
yd
'
s'
s 
− armadura comprimida 
( ) yd's'
2Rd'
s fdd
M
A
β−
= 
− armadura tracionada 
yds
'
2Rd
z
1Rd
s f
1
)dd(
M
d
MA
β




−
+
β
= 
− equação de verificação 
'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s A
A
fA
fdb68,0
β







+β







=β 
Rsd 
σc 
As 
∆l 
εs 
MSd 
esforços resistentes 
de cálculo 
solicitação de 
cálculo 
x 
εc 
MRd = 
MRd1 + MRd2 
d' 
d 
bw 
R'sd 
Rcd1 
d-d’ z 
Rsd 
Rsd2 + Rsd1 
(R’sd) (Rcd1) 
v 
As 
v 
As2 + As1 
h 
A's 
2 
1 
y = 0,8 x 
ε's 
2006 5-24 ufpr/tc405 
Desta forma, as vigas de seção retangular com armadura de compressão, podem ser 
representadas por: 
( )
( )
( )
'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s
w
'
ss
yd
'
s
'
2Rd'
s
w
w
yd
cd
min,s
yds
'
2Rd
z
1Rd
s
x
x
'
x
yd
s
x
x
'
x
yd
s
'
s
x
x
x
yd
s
x
s
xz
ck
ck
cd
2
w
1Rd
x
'
ssz
ck
ck
cd
2
w
1Rd
c
1RdRd2Rd
2Rd1RdRdSd
lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd
lim,1RdSd
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd
A
A
fA
fdb68,0
hb04,0AA
fdd
MA
hb0015,0
hb
f
f035,0
maxA
f
1
dd
M
d
MA
259,00,1‰5,3d
d
f
E
259,00,1‰10
1
d
d
f
E
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e β ,βtab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMM
MMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMM
compressão de armadura de enecessidad háMM
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
β





+β







=β
≤+
β−
=










=≥
β




−
+
β
=


































>β≤×












β
−β
≤β≤×












β−
−β
=β





>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β




>
≤
≤−−=β








⇒⇒
>
≤
≤=β
−=
+==
=⇒≤
⇒>




>
≤
=
 
Equação 5.21 
Exemplo 5.3: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; 
 – aço: CA-50; 
 – armadura transversal: 6,3 mm; 
 – cobrimento: 3 cm; e 
 – dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
2006 5-25 ufpr/tc405 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 5.19 ou Equação 5.21 
e da tabela de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 50h = 
 (assumido)cm 44d = 
 (assumido)cm 4d' = 
 cm 3cnom = 
 cm0,63mm 3,6t ==φ 
 cm 1,9mm 19dmax == 
 










=
hb0015,0
hb
f
f035,0
maxA
w
w
yd
cd
min,s 
 2
2
2
min,s cm50,1
cm50,150200015,0
cm15,15020
5,43
43,1035,0maxA =








=××
=×××
= 
 ( ) 2wmax'ss cm,040502004,0hb04,0AA =××==+ 
 kNcm00022kNm220MSd == 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 
{
compressão de armadura de enecessidad háMM
kNcm06115
lim,1Rd
kNcm00022
Sd ⇒> 321
 
 kNcm06115MM limRd1,1Rd =≤ 
 ) a de(correspon adotado valorkNcm06115M limc,Rd1 β⇒= 
 kNcm00022MMMM 2RdRd1RdSd =+== 
 1RdRd2Rd MMM −= 
 kNcm93960611500022M 2Rd =−= 
20 cm 
50 cm 
MSd = 220 kNm 
As 
2006 5-26 ufpr/tc405 
b. Tabela CA-50 
 272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c ≤=β 
 limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14420
06115
⇒=
××
=β 
 {







=β
=β
=β
=β
⇒⇒







==
=β
000,1
000,1
800,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
x
tabela'
c
 
 ( ) min,syds'
2Rd
z
1Rd
s Af
1
dd
M
d
MA ≥
β




−
+
β
= 
 OKcm50,1cm82,13
5,43000,1
1
)444(
9396
44800,0
06115A 22s >=×




−
+
×
= 
 2cal,s cm82,13A = ◄ 
 2
2
ef,s cm71,154
0,25mm20 5A =×π×=φ= (2 camadas) 
 ( ) yd's'
2Rd'
s fdd
MA
β−
= 
 2's cm99,35,43000,1)444(
9396A =
××−
= 
 2' cal,s cm99,3A = ◄ 
 2
2
'
ef,s cm02,44
6,12mm16 2A =×π×=φ= 
 OKcm0,40cm73,1902,471,15AA 22' ef,sef,s <=+=+ 
c. Verificação para valores calculados 
 's
s
'
s
x
yds
cdw
s A
A
fA
fdb68,0
β







+β







=β 
 OK000,1000,1
82,13
99,3500,0
5,4382,13
43,1442068,0
s =×




+×





×
×××
=β 
d. Verificação de ah e av para as barras de 20 mm 
 ( )
1n
n2c2ba tnomwh −
φ+φ+−
= l 
 bw largura da viga 
 cnom cobrimento nominal da armadura 
 φt diâmetro da armadura transversal (estribo) 
 φl diâmetro da armadura longitudinal 
 n número de barras na camada 
 ( ) cm37,3
13
0,2363,020,3220ah =−
×+×+×−
= 
 










φ≥
max
h
d2,1
cm2
maxa l 
 cm28,2
cm28,29,12,1d2,1
cm2
cm2
maxa
max
h ≥










=×=
=φ≥ l 
φt 
φl 
ah 
cnom 
av 
2006 5-27 ufpr/tc405 
 
{
OKaa
cm28,2
min,h
cm37,3
cal,h 321
> 
 










φ≥
max
v
d5,0
cm2
maxa l 
 cm0,2
cm95,09,15,0d5,0
cm2
cm2
maxa
max
v ≥










=×=
=φ≥ l 
 cm0,2av = (valor adotado) 
e. Determinação da altura útil (d) 
 
10
hycg < 
 cm0,5
10
50ycg =< 
 
∑
∑ ×=
si
isi
cg A
yA
y 
 OKcm5,0cm 60,2
4
0.22
4
0,23
2
0,20,20,2
4
0,22
2
0,2
4
0,23
y
22
22
cg <=













 ×π
×+













 ×π
×













 ++×




 ×π
×+













×




 ×π
×
= 
 ( )nomtcg cyhd +φ+−= 
 ( ) cm44cm77,430,363,060,250d <=++−= 
f. Determinação de d’ 
 
2
cd tnom
' lφ+φ+= 
 cm4cm43,4
2
6,163,00,3d' >=++= 
g. Cálculo da armadura para novos valores de d e d’ 
 kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2cd
2
w1Rd =×××== 
 kNcm09779031400022M 2Rd =−= 
 limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,177,4320
14903
⇒=
××
=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒







==
=β
000,1
000,1
800,0
101,0
77,43
43,4
d
d
272,0
'
s
s
z
tabela
'
c
321
 
 OKcm50,1cm93,13
5,43000,1
1
)43,477,43(
0977
77,43800,0
90314A 22s >=×




−
+
×
= 
 2cal,s cm93,13A = ◄ 
 2
2
ef,s cm71,154
0,25mm20 5A =×π×=φ= 
cg 
d 
φt 
cnomφl 
ycg 
(ycg + φt + cnom) 
h 
d = h - (ycg + φt + cnom) 
2 cm 
(av) 
d 
φt 
cnom 
φl 
h 
d' = cnom + φt + 0,5φl 
2006 5-28 ufpr/tc405 
 2's cm15,45,43000,1)43,477,43(
0977A =
××−
= 
 2' cal,s cm15,4A = ◄ 
 2
22
'
ef,s cm81,44
0,1
4
6,12mm10 1mm16 2A =




 ×π
+




 ×π
×=φ+φ= 
 OKcm0,40cm52,2081,471,15AA 22' ef,sef,s <=+=+ 
h. Resolução para MRd1 <MRd1,lim 
 (assumido)cm 77,43d = 
 (assumido)cm 43,4d' = 
 kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2cd
2
wlim,1Rd =×××== 
 kNcm90314MM limRd1,1Rd =≤ 
 adotado valorkNcm95810MRd1 ⇒= 
 kNcm04211kNcm9581000022M 2Rd =−= 
 OK272,0200,0
43,177,4320
95810
2c <=××
=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒







==
=β
000,1
000,1
864,0
101,0
77,43
43,4
d
d
200,0
'
s
s
z
tabela
'
c
321
 
 OKcm50,1cm11,13
5,43000,1
1
)43,477,43(
04211
77,43864,0
95810A 22s >=×




−
+
×
= 
 2cal,s cm11,13A = ◄ 
 2
2
ef,s cm71,154
0,25mm20 5A =×π×=φ= 
 2's cm45,65,43000,1)43,477,43(
04211A =
××−
= 
 2' cal,s cm45,6A = ◄ 
 2
22
'
ef,s cm07,74
0,1
4
0,22mm 10 1mm 20 2A =×π+×π×=φ+φ= 
 OKcm0,40cm78,2207,771,15AA 22' ef,sef,s <=+=+ 
i. Comparação de resultados 
 g.1 valores teóricos (valores calculados de As e A’s) 
 kNcm90314MM lim,1Rd1Rd == 
 2cal,s cm93,13A = 
 2' cal,s cm15,4A = 
 2' cal,scal,s cm08,1815,493,13AA =+=+ 
 kNcm95810M 1Rd = 
 2cal,s cm11,13A = 
 2' cal,s cm45,6A = 
 %2,8cm56,1945,611,13AA 2' cal,scal,s +=+=+ 
 g.2 valores reais (valores efetivos de As e A’s) 
 kNcm90314MM lim,1Rd1Rd == 
 2ef,s cm71,15A = 
2006 5-29 ufpr/tc405 
 2' ef,s cm81,4A = 
 2' ef,sef,s cm52,2081,471,15AA =+=+ 
 kNcm95810M 1Rd = 
 2ef,s cm71,15A = 
 2' ef,s cm07,7A = 
 %11cm78,2207,771,15AA 2' ef,sef,s +=+=+ 
 
5.11 Vigas de seção T sem armadura de compressão 
5.11.1 Região de concreto comprimido 
A região de concreto comprimido, em uma viga de seção T, pode ocorrer de três modos 
distintos como apresentado na Figura 5.17. 
 
Figura 5.17 – Regiões de concreto comprimido em vigas de seção T 
A situação em que toda a mesa está comprimida, corresponde a: 
fhy = 
d
h
d
y f= 
Considerando a Equação 5.6, tem-se: 
d
h
d
y f
y ==β 
d8,0
h
8,0
fy
x =
β
=β 
( ) 




 −




=











−





=β−β=β
2
hd
d
h85,0
d8,0
h4,01
d8,0
h68,04,0168,0 f2
fff
xxc 
Levando-se em conta as condições estabelecidas na Figura 5.14, cuja região comprimida é 
definida pelo retângulo de dimensões bw y, tem-se, pela Equação 5.16: 
cd
2
wc1Rd fdbM β= 
( ) cdffwcd2wf2f1Rd f2
hdhb85,0fdb
2
hd
d
h85,0M 




 −=




 −




= 
No caso particular em que bw (da Figura 5.14) for igual a bf (da Figura 5.17), e definindo, 
para este caso, MRd1 como sendo o momento resistente de cálculo resistido pela mesa 
comprimida da seção T, tem-se: 
( ) cdfffmesa,Rd1Rd f2
hdhb85,0MM 





−== 
y 
bw 
bf 
As 
hf 
y < hf 
y 
bw 
bf 
As 
y = hf 
y 
bw 
bf 
As 
y > hf 
2006 5-30 ufpr/tc405 
( ) cdfffmesa,Rd f2
hdhb85,0M 




 −= Equação 5.22 
Desta forma, para as regiões de concreto comprimido em vigas de seções T, têm-se: 
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
MMhy
MMhy
MMhy
>⇔>
=⇔=
<⇔<
 Equação 5.23 
5.11.2 Seções T sem armadura de compressão: y ≤ hf 
Seja Figura 5.18 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de 
cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto somente pelo binário 
das forças Rcd e Rsd, sem a necessidade de armadura de compressão. 
 
Figura 5.18 – Vigas de seção T sem armadura de compressão – y ≤ hf 
Comparando a Figura 5.14 com a Figura 5.18 pode-se concluir que a viga de seção T sem 
armadura de compressão, com y ≤ hf, é equivalente a uma viga de seção retangular de base bf. 
Desta forma, introduzindo valores de bf nos lugares de bw apresentados na Equação 5.19 e 
considerando: 
− a relação entre y e hf (Equação 5.23); 
− armadura mínima (Equação 5.12); e 
− armadura máxima (Equação 5.15), 
as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y ≤ hf, podem ser representadas por: 
x 
εs 
esforços resistentes 
de cálculo 
Rsd 
MRd = MRd1 
∆l 
bf 
As 
σc 
εc 
Rcd = Rcd1 
z 
d 
solicitação 
de cálculo 
MSd 
h 1 
y = 0,8 x 
bw 
hf 
2006 5-31 ufpr/tc405 
( )
x
yds
cdf
s
wmax,s
c
c
yd
cd
min,s
ydsz
1Rd
s
fy
x
x
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd
2
f
1Rd
x
szy
ck
ck
cd
2
f
1Rd
c
1RdRdSd
lim,1RdSd
ckcd
2
f
ckcd
2
f
lim,1Rd
ffmesa,RdSd
cd
f
ffmesa,Rd
fA
fdb68,0
hb04,0A
A0015,0
A
f
f024,0
maxA
fd
MA
hdy
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
8,0
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e β ,βtab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMM
compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
b base de eequivalent retangular seçãohyMM
f
2
hdhb85,0M
β







=β






=≤










=≥
ββ
=
≤β=



















>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β
β=β




>
≤
≤−−=β








⇒⇒
>
≤
≤=β
==
⇒≤




>
≤
=
⇒≤⇒≤





 −=
 
Equação 5.24 
Exemplo 5.4: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 220 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – aço: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
 
10 cm 
40 cm 
20 cm 
MSd = 220 kNm 
As 
60 cm 
2006 5-32 ufpr/tc405 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.24 e da tabela 
de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 06bf = 
 cm 44d = (assumido) 
 cm 50h = 
 cm 10hf = 
 ( ) fwfwc hbbhbA −+= 
 ( ) 2c cm 00411020-605020A =×+×= 
 










=
c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f024,0
maxA 
 2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1024,0maxA =








=×
=××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,040502004,0A =××= 
 kNcm00022kNm220MSd == 
 ( ) cdfffmesa,Rd f2
hdhb85,0M 




 −= 
 ( ) kNcm4432843,1
2
1044106085,0M mesa,Rd =×




 −×××= 
 { ff
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00022
Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM ⇒<⇒< 43421 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
flim,1Rd ≤= 
 kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 
{
compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm18245
lim,1Rd
kNcm00022
Sd ⇒< 321
 
 kNcm00022MMM 1RdRdSd === 
b. Tabela CA-50 
 272,0
fdb
M
cd
2
f
1Rd
c ≤=β 
 OK272,0132,0
43,14460
00022
2c <=××
=β 
bf 
As 
d h 
hf 
2006 5-33 ufpr/tc405






=β
=β
=β
=β
⇒⇒=β
000,1
915,0
170,0
213,0
132,0
s
z
y
x
tabela
c 321
 
 OKcm0,10cm48,744170,0dy
fh
y 43421
<=×=β= 
 



≤
≥
ββ
=
max,s
min,s
ydsz
1Rd
s A
A
fd
M
A 
 OK
cm0,40
cm10,2cm56,12
5,43000,144915,0
00022A 2
2
2
s



<
>
=
×××
= 
 2cal,s cm56,12A = ◄ 
 2
2
ef,s cm57,124
0,24mm20 4A =×π×=φ= 
c. Verificação para valores calculados 
 x
yds
cdf
s fA
fdb68,0
β







=β 
 OK000,1001,1213,0
5,4356,12
43,1446068,0
s ≅=×





×
×××
=β 
d. Comparação com o Exemplo 5.3, para d igual a 44 cm 
 
e. Observação 
 Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição 
da armadura definida por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da 
armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado 
graúdo. 
 
MSd = 220 kNm Seção Retang. Seção T ∆ 
Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0% 
Acc 352,0 cm2 448,8 cm2 27,5% 
A’s 3,99 cm2 # # 
As 13,82 cm2 12,56 cm2 -9,1% 
As + A’s 17,81 cm2 12,56 cm2 -29,5% 
βx 0,500 0,213 
Domínio 3 2 
 
17,6 cm 
20 cm 
As 
A’s 
As = 13,82 cm2 
A’s = 3,99 cm2 
6 cm 
10 cm 
34 cm 
20 cm 
As 
60 cm 
7,48 cm 
As = 12,56 cm2 
2006 5-34 ufpr/tc405 
5.11.3 Seções T sem armadura de compressão: y > hf 
Seja Figura 5.19 onde está representada uma viga de seção T em que a solicitação de 
cálculo MSd é resistida pelo momento resistente de cálculo MRd, composto pelos binários das 
forças Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade de armadura de compressão. 
 
Figura 5.19 – Vigas de seção T sem armadura de compressão – y > hf 
Como mostrado na Figura 5.19, o momento fletor resistente de cálculo MRd (MRd ≥ MSd) é 
composto por dois momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 valem todas as considerações 
apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.19, um raciocínio semelhante ao 
apresentado em 5.8, chega-se: 
− armadura tracionada 
ydsf
3Rd
z
1Rd
s f
1
2
hd
M
d
MA
β

















 −
+
β
= 
− equação de verificação 
( )[ ]







 −
+β







=β
yds
cdfwf
x
yds
cdw
s fA
fhbb85,0
fA
fdb68,0
 
Desta forma, as vigas de seção T, sem armadura de compressão, com y > hf, podem ser 
representadas por: 
Rsd3 + Rsd1 
(Rcd3) (Rcd1) 
εs 
esforços resistentes 
de cálculo 
Rsd 
MRd = 
MRd1 + MRd3 
∆l bw 
bf 
As 
σc 
εc 
x 
Rcd1 
Rcd3 
z 
d 
hf 
solicitação 
de cálculo 
MSd 
Rsd 
v 
As 
v 
As3 + As1 
h 
1 
3 3 
y = 0,8 x 
2006 5-35 ufpr/tc405 
( )
( )
( )
( )[ ]







 −
+β







=β






=≤










=≥
β

















 −
+
β
=
>β=



















>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β
β=β




>
≤
≤−−=β








⇒⇒
>
≤
≤=β
−=
+==
⇒+≤











 −−=




>
≤
=
⇒>⇒>





 −=
yds
cdfwf
x
yds
cdw
s
wmax,s
c
c
yd
cd
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rd
s
fy
x
x
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd
2
w
1Rd
x
szy
ck
ck
cd
2
w
1Rd
c
3RdRd1Rd
3Rd1RdRdSd
3Rdlim,1RdSd
cd
f
fwf3Rd
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd
fmesa,RdSd
cd
f
ffmesa,Rd
fA
fhbb85,0
fA
fdb68,0
hb04,0A
A0015,0
A
f
f024,0
maxA
f
1
2
hd
M
d
MA
hdy
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
8,0
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e β ,βtab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMM
MMMM
compressão de armadura
de enecessidad há não
MMM
f
2
hdhbb85,0M
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
T seçãohyMM
f
2
hdhb85,0M
 
Equação 5.25 
Exemplo 5.5: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 320 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – aço: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
2006 5-36 ufpr/tc405 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.25 e da tabela 
de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 06bf = 
 cm 44d = (assumido) 
 cm 50h = 
 cm 10hf = 
 ( ) fwfwc hbbhbA −+= 
 ( ) 2c cm 00411020-605020A =×+×= 
 










=
c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f024,0
maxA 
 2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1024,0maxA =








=×
=××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,040502004,0A =××= 
 kNcm00032kNm320MSd == 
 ( ) cdfffmesa,Rd f2
hdhb85,0M 




 −= 
 ( ) kNcm4432843,1
2
1044106085,0M mesa,Rd =×




 −×××= 
 { T seçãohyMM f
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00032
Sd ⇒>⇒> 43421
 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××= 
bf 
bf 
As 
d h 
hf 
10 cm 
40 cm 
20 cm 
MSd = 320 kNm 
As 
60 cm 
2006 5-37 ufpr/tc405 
 ( ) cdffwf3Rd f2
hdhbb85,0M 










 −−= 
 ( ) kNcm9621843,1
2
104410206085,0M 3dR =×










 −××−×= 
 kNcm3402396218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+ 
 
{
compressão de armadura de enecessidad há nãoMMM
kNcm02334
3Rdlim,1Rd
kNcm00032
Sd ⇒+< 44 344 21
 
 kNcm00032MMMM 3Rd1RdRdSd =+== 
 3RdRd1Rd MMM −= 
 kNcm038139621800032M 1Rd =−= 
b. Tabela CA-50 
 272,0
fdb
M
cd
2
w
1Rd
c ≤=β 
 OK272,0235,0
43,14420
03813
2c <=××
=β 
 







=β
=β
=β
=β
⇒⇒=β
000,1
834,0
332,0
415,0
235,0
s
z
y
x
tabela
c 321
 
 OKcm0,10cm61,1444332,0dy
fh
y 43421
>=×=β= 
 



≤
≥
β

















 −
+
β
=
max,s
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rd
s A
A
f
1
2
hd
M
d
MA 
 OK
cm0,40
cm10,2cm34,19
5,43000,1
1
2
1044
96218
44834,0
03813A 2
2
2
s



<
>
=
×

















 −
+
×
= 
 2cal,s cm34,19A = ◄ 
 2
2
ef,s cm63,194
5,24mm25 4A =×π×=φ= 
c. Verificação para valores calculados 
 ( )[ ]







 −
+β







=β
yds
cdfwf
x
yds
cdw
s fA
fhbb85,0
fA
fdb68,0 
 ( )[ ] OK000,1
5,4334,19
43,110206085,0415,0
5,4334,19
43,1442068,0
s =






×
××−×
+×





×
×××
=β 
d. Observação 
 Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em função da disposição 
da armadura definida por As,ef. Esta verificação pressupõe o conhecimento do diâmetro da 
armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimensão máxima do agregado 
graúdo. 
 
2006 5-38ufpr/tc405 
5.12 Vigas de seção T com armadura de compressão 
5.12.1 Seções T com Armadura de Compressão: y ≤ hf 
Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.20) pode vir a ser 
necessária, em alguns casos, quando a relação hf / d assume valores maiores que 0,4 para 
concretos de classe igual ou inferior a C35, ou 0,32 para concretos de classe superior a C35. 
 
Figura 5.20 – Vigas de seção T com armadura de compressão – y ≤ hf 
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de 
seção T, com armadura de compressão, com y ≤ hf, podem ser representadas por: 
εs 
esforços resistentes 
de cálculo 
Rsd 
∆l bw 
bf d' 
As 
σc 
εc 
x 
Rcd1 
R’sd 
z 
d 
hf 
solicitação 
de cálculo 
MSd 
Rsd 
 Rsd2 + Rsd1 
 (R’sd) (Rcd1) 
v 
As 
v 
As2 + As1 
h 
A’s 
1 
2 
ε’s 
y = 0,8 x 
MRd = MRd1 + MRd2 
2006 5-39 ufpr/tc405 
( )
( )
( )
( )
'
s
s
'
s
x
yds
cdf
s
w
'
ss
yd
'
s
'
2Rd'
s
c
c
yd
cd
min,s
yds
'
2Rd
z
1Rd
s
fy
x
x
'
x
yd
s
x
x
'
x
yd
s
'
s
x
x
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd
2
f
1Rd
x
'
sszy
ck
ck
cd
2
f
1Rd
c
1RdRd2Rd
2Rd1RdRdSd
lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd
lim,1RdSd
ckcd
2
f
ckcd
2
f
lim,1Rd
ffmesa,RdSd
cd
f
ffmesa,Rd
A
A
fA
fdb68,0
hb04,0AA
fdd
MA
A0015,0
A
f
f024,0
maxA
f
1
dd
M
d
MA
hdy
259,00,1‰5,3d
d
f
E
259,00,1‰10
1
d
d
f
E
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
8,0
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e β ,β ,βtab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMM
MMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMM
compressão de armadura de enecessidad háMM
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
b base de eequivalent retangular seçãohyMM
f
2
hdhb85,0M
β





+β







=β
≤+
β−
=










=≥
β




−
+
β
=
≤β=



































>β≤×












β
−β
≤β≤×












β−
−β
=β





>β≤×





β
β−
≤β
=β
β−=β
β=β




>
≤
≤−−=β








⇒⇒
>
≤
≤=β
−=
+==
=⇒≤
⇒>




>
≤
=
⇒≤⇒≤





 −=
 
Equação 5.26 
Exemplo 5.6: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – aço: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
2006 5-40 ufpr/tc405 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.26 e da tabela 
de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 06bf = 
 cm 44d = (assumido) 
 cm 4d' = (assumido) 
 cm 50h = 
 cm 52hf = 
 ( ) fwfwc hbbhbA −+= 
 ( ) 2c cm 00022520-605020A =×+×= 
 










=
c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f024,0
maxA 
 2
2
2
min,s cm00,3
cm00,300020015,0
cm58,10002
5,43
43,1024,0maxA =








=×
=××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,040502004,0A =××= 
 kNcm00050kNm500MSd == 
 ( ) cdfffmesa,Rd f2
hdhb85,0M 




 −= 
 ( ) kNcm4325743,1
2
2544256085,0M mesa,Rd =×




 −×××= 
 { ff
kNcm43257
mesa,Rd
kNcm00050
Sd b base de eequivalent retangular seçãohyMM ⇒<⇒< 43421 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
flim,1Rd ≤= 
bf 
As 
d h 
hf 
25 cm 
25 cm 
20 cm 
MSd = 500 kNm 
As 
60 cm 
2006 5-41 ufpr/tc405 
 kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 { compressão de armadura de enecessidad háMM
kNcm18245
lim,1Rd
kNcm00050
Sd ⇒> 321
 
 kNcm18245MM limRd1,1Rd =≤ 
 ) a de(correspon adotado valorkNcm18245M limx,Rd1 β⇒= 
 kNcm00050MMMM 2Rd1RdRdSd =+== 
 1RdRd2Rd MMM −= 
 kNcm81841824500050M 2Rd =−= 
b. Tabela CA-50 
 272,0
fdb
M
cd
2
f
1Rd
c ≤=β 
 limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14460
18245
⇒=
××
=β 
 








=β
=β
=β
=β
=β
⇒⇒







==
=β
000,1
000,1
800,0
400,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
y
x
tabela
'
c
321
 
 OKcm0,25cm60,1644400,0dy
fh
y 43421
<=×=β= 
 ( ) 



≥
β




−
+
β
=
c
c
yd
cd
yds
'
2Rd
z
1Rd
s
A0015,0
A
f
f024,0
f
1
dd
M
d
MA 
 OKcm00,3cm28,32
5,43000,1
1
)444(
8184
44800,0
18245A 22s >=×




−
+
×
= 
 2cal,s cm28,32A = ◄ 
 2
2
ef,s cm36,344
5,27mm25 7A =×π×=φ= 
 ( ) ( ) hb04,0AAfdd
MA w
'
ss
yd
'
s
'
2Rd'
s ≤+⇒β−
= 
 2's cm77,25,43000,1)444(
8184A =
××−
= 
 2' cal,s cm77,2A = ◄ 
 2
2
'
ef,s cm68,34
25,13mm25 ,1 3A =×π×=φ= 
 OKcm0,40cm04,3868,336,34AA 22' ef,sef,s <=+=+ 
c. Verificação para valores calculados 
 's
s
'
s
x
yds
cdf
s A
A
fA
fdb68,0
β







+β







=β 
 OK000,1000,1
28,32
77,2500,0
5,4328,32
43,1446068,0
s =×




+×





×
×××
=β 
d. Observação 
 Devem ser verificados os valores de d e d’ em função de As,ef e A’s,ef. Esta verificação 
pressupõe o conhecimento do diâmetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da 
armadura e dimensão máxima do agregado graúdo. 
 
2006 5-42 ufpr/tc405 
5.12.2 Seções T com Armadura de Compressão: y > hf 
Nas seções T, a necessidade da armadura de compressão (Figura 5.21) pode vir a ser 
necessária, em casos, que a altura da região de concreto comprimido (y) ocupe boa parte da 
nervura, além da ocupação total da mesa. 
 
Figura 5.21 - Vigas de seção T com armadura de compressão – y > hf 
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de 
seção T, com armadura de compressão, com y > hf, podem ser representadas por: 
εs 
esforços resistentes 
de cálculo 
Rsd 
MRd = MRd1 
+ MRd2 + MRd3 
∆l bw 
bf d' 
As 
σc 
εc 
x 
Rcd1 
Rcd3 
R’sd 
A’s 
z 
d 
hf 
solicitação 
de cálculo 
MSd 
Rsd 
Rsd3 + Rsd2 + Rsd1 
(Rcd3) (R’sd) (Rcd1) 
v 
As 
v 
As3 + As2 + As1 
h 
1 
3 3 
2 
ε’s 
y = 0,8 x 
2006 5-43 ufpr/tc405 
( )
( )
( )
( )
( )
( )[ ]







 −
+β





+β







=β
≤+
β−
=










=≥
β

















 −
+
−
+
β
=
>β=



































>β≤×












β
−β
≤β≤×












β−
−β
=β





>β≤×




β
β−
≤β
=β
β−=β
β=β




>
≤
≤−−=β








⇒⇒
>
≤
≤=β
+−=
++==
=⇒≤



⇒+>











 −−=




>
≤
=
⇒>⇒>





 −=
yds
cdfwf'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s
w
'
ss
yd
'
s
'
2Rd'
s
c
c
yd
cd
min,s
ydsf
3Rd
'
2dR
z
1Rd
s
fy
x
x
'
x
yd
s
x
x
'
x
yd
s
'
s
x
x
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd
2
w
1Rd
x
'
sszy
ck
ck
cd
2
w
1Rd
c
3Rd1RdRd2Rd
3Rd2Rd1RdRdSd
limRd1,Rd1lim,1Rd1Rd
3Rdlim,1RdSd
cd
f
fwf3Rd
ckcd
2
w
ckcd
2
w
lim,1Rd
fmesa,RdSd
cd
f
ffmesa,Rd
fA
fhbb85,0
A
A
fA
fdb68,0
hb04,0AA
fdd
MA
A0015,0
A
f
f024,0
maxA
f
1
2
hd
M
)dd(
M
d
MA
hdy
259,00,1‰5,3d
d
f
E
259,00,1‰10
1
d
d
f
E
259,00,1‰5,31
f
E
259,00,1
4,01
8,0
MPa35f400,0
MPa35f500,0
fdb272,0
M5625,125,1
ou
β e β ,β ,βtab
MPa35f228,0
MPa35f272,0
fdb
M
MMMM
MMMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMM
compressão de armadura
de enecessidad a há
)MM(M
f
2
hdhbb85,0M
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0
M
T seçãohyMM
f
2
hdhb85,0M
 
Equação 5.27 
2006 5-44 ufpr/tc405 
Exemplo 5.7: Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está 
submetida a um momento fletor solicitante de cálculo (MSd) igual a 500 kNm. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – aço: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais (momentos fletores); e 
 – estado limite último, combinações normais (γc = 1,4 e γs = 1,15). 
 
Solução: A solução do problema consiste na aplicação direta da Equação 5.27 e da tabela 
de flexão simples do CA-50 (item 5.16). 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == 
 normal) combinação - (ELU 1,40=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
γ
= 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 normal) combinação - (ELU 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 06bf = 
 cm 44d = (assumido) 
 cm 4d' = (assumido) 
 cm 50h = 
 cm 10hf = 
 ( ) fwfwc hbbhbA −+= 
 ( ) 2c cm 00411020-605020A =×+×= 
 










=
c
c
yd
cd
min,s
A0015,0
A
f
f
024,0
maxA 
 2
2
2
min,s cm10,2
cm10,240010015,0
cm10,14001
5,43
43,1024,0maxA =








=×
=××
= 
 hb04,0A wmaxs, = 
 2maxs, cm,040502004,0A =××= 
 kNcm00050kNm500MSd == 
10 cm 
40 cm 
20 cm 
MSd = 500 kNm 
As 
60 cm 
2006 5-45 ufpr/tc405 
 ( ) cdfffmesa,Rd f2
hdhb85,0M 




 −= 
 ( ) kNcm4432843,1
2
1044106085,0M mesa,Rd =×




 −×××= 
 
{
T seçãohyMM f
kNcm44328
mesa,Rd
kNcm00050
Sd ⇒>⇒> 43421
 
 MPa35ffdb272,0M ckcd
2
wlim,1Rd ≤= 
 kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 ( ) cdffwf3Rd f2
hdhbb85,0M 










 −−= 
 ( ) kNcm9621843,1
2
104410206085,0M 3dR =×










 −××−×= 
 kNcm0233496218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+ 
 { compressão de armadura de enecessidad háMMM
kNcm02334
3Rdlim,1Rd
kNcm00050
Sd ⇒+> 44 344 21
 
 lim,1RdRd1 MM ≤ 
 adotado valorkNcm15061MRd1 ⇒= 
 kNcm00050MMMMM 3Rd2Rd1RdRdSd =++== 
 ( )3Rd1RdRd2Rd MMMM +−= 
 kNcm97715)9621806115(00050M 2Rd =+−= 
b. Tabela CA-50 
 272,0
fdb
M
cd
2
w
1d
c ≤=β 
 limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,14420
06115
⇒=
××
=β 
 









=β
=β
=β
=β
=β
⇒⇒







==
=β
000,1
000,1
800,0
400,0
500,0
091,0
44
4
d
d
272,0
'
s
s
z
y
x
tabela
'
c
321
 
 OKcm0,10cm60,1744400,0dy
fh
y 43421
>=×=β= 
 min,s
ydsf
3Rd
'
2dR
z
1Rd
s Af
1
2
hd
M
)dd(
M
d
M
A ≥
β


















−
+
−
+
β
= 
 OKcm10,2cm20,30
5,43000,1
1
2
1044
96218
)444(
97715
44800,0
06115A 22s ≥=×

















 −
+
−
+
×
= 
 2cal,s cm20,30A = ◄ 
 2
2
ef,s cm36,344
5,27mm25 7A =×π×=φ= 
bf 
bf 
As 
d h 
hf 
2006 5-46 ufpr/tc405 
 ( ) yd's'
2Rd'
s fdd
MA
β−
= 
 ( )
2'
s cm18,95,43000,1444
97715A =
××−
= 
 2' cal,s cm18,9A = ◄ 
 2
2
'
ef,s cm05,104
6,15mm16 5A =×π×=φ= 
 viga da dimensões as aumentarcm0,40cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s ⇒>=+=+ 
c. Verificação para valores calculados 
 ( )[ ]







 −
+β







+β







=β
yds
cdfwf'
s
s
'
s
x
yds
cdw
s fA
fhbb85,0
A
A
fA
fdb68,0 
 ( )[ ] 000,1
5,4320,30
43,110206085,0000,1
20,30
18,9500,0
5,4320,30
43,1442068,0
s =






×
××−×
+×




+×





×
×××
=β 
 OK 
d. Observação 
 Se para a verificação da armadura máxima fosse usada a Equação 5.14 no lugar da 
Equação 5.15, teríamos: 
 ( ) cmax'ss A04,0AA ≤+ 
 ( ) 2max'ss cm0,56400104,0AA =×≤+ 
 OKcm0,56cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s <=+=+ 
 Porém, pelas razões apresentadas em 5.7.2, é conveniente seguir a seqüência de 
calculo mostrada no item b e aumentar as dimensões da seção transversal da viga. 
 
5.13 Composição de bf 
5.13.1 Conjunto laje–viga 
Nas estruturas de concreto armado, as vigas de seção T aparecem naturalmente pois o 
conjunto laje-viga define este tipo de seção, como mostrado na Figura 5.22. 
 
Figura 5.22 – Conjunto laje-viga 
hf 
bw 
bf 
A A 
P4 
20 x 20 
P2 
20 x 20 
P3 
20 x 20 
P1 
20 x 20 
V4
 –
 2
0 
x 
50
 
V2 – 20 x 50 
V3
 –
 2
0 
x 
50
 
V1 – 20 x 50 
L1 
10 cm 
L2 
10 cm 
Corte AA 
L1 
L2 V3 
V4 
L3 
10 cm 
L3 
2006 5-47 ufpr/tc405 
Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexão), a 
viga de concreto armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na 
Figura 5.22, só poderá ser considerada como seção T, quando a mesa estiver comprimida. Caso 
contrário (mesa tracionada), a viga deverá ser considerada como de seção retangular de base bw. 
De modo geral, pode se dizer que a seção T, com a mesa posicionada na parte superior da 
viga (T em pé), pode ser usada para o dimensionamento da armadura longitudinal positiva 
(momentos fletores positivos da viga V3 da Figura 5.22). 
Eventualmente, em construções com lajes rebaixadas (apoiadas na base da viga), é 
possível configurar-se seções ⊥ (T invertido da viga V4 da Figura 5.22). Nestes casos, estas 
seções poderiam ser usadas no dimensionamento da armadura longitudinal negativa (momentos 
fletores negativos, se houverem, na viga V4 da Figura 5.22). 
5.13.2 Largura colaborante de vigas de seção T 
5.13.2.1 Distância entre pontos de momentos fletores nulos 
A consideração da largura colaborante da laje associada à viga (Figura 5.22) deve obedecer 
às prescrições da ABNT NBR 6118. 
ABNT NBR 6118, item 14.6.2.2: 
“A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no 
máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da 
viga em que houver laje colaborante. 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, 
como se apresenta a seguir: 
− viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l; 
− viga com momento em uma só extremidade: a = 0,75 l; 
− viga com momento nas duas extremidades: a = 0,60 l; 
− viga