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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
ISOSTÁTICA ENG 2031 
Professor: Helen Oliveira Tenório 
 
Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em 
vigas. 
 
 
 
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Mudando-se a seção transversal em geral os esforços solicitantes associados a esta nova seção serão diferentes. 
É conveniente, portanto, expressar a variação da grandeza dos esforços internos ao longo do eixo da estrutura. 
Esta variação, seção por seção, pode ser mostrada graficamente utilizando-se o eixo da estrutura como eixo das 
abscissas, com as ordenadas representando a grandeza do esforço solicitante. 
 
TRAÇADO DOS DIAGRAMAS ATRAVÉS DE EXPRESSÕES ANALÍTICAS DAS FUNÇÕES DOS 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES: 
 
 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES: 
 
 
 
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Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em 
vigas. 
 
 
 
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Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em 
vigas. 
 
 
 
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RELAÇÕES ENTRE CARGA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
DOS MOMENTOS 
 
Supondo a carga, a força cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo do eixo da estrutura, para 
um elemento de comprimento infinitesimal dx em equilíbrio sob efeito da carga, p = p(x), e dos esforços 
solicitantes, M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer as seguintes relações diferenciais: 
 
 
 
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Assunto: Diagrama de esforços solicitantes em 
vigas. 
 
 
 
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��
� �� 
 
���
��
� ����	 
 
 
Constata-se então, que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um 
carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao esforço cortante nela 
atuante e que a derivada deste em relação a esta abscissa igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S 
com o sinal trocado. 
A partir de q(x) obteremos, então, as funções Ms e QS que nos dão os valores dos momentos fletores e 
esforços cortantes atuantes em qualquer seção da viga. Representando graficamente estas funções MS e QS 
perpendicularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de momentos fletores e de 
esforços cortantes atuantes. Para traçar o momento fletor, no caso de carregamentos distribuídos é preciso 
estabelecer as cordas (linha que liga os valores do momento e a partir da mesma traçar no ponto de aplicação da 
resultante do carregamento a flecha da parábola (ver anexo 1). 
Adotando como positivo o carregamento distribuído de cima para baixo (o que é usual), que um esforço 
cortante é positivo quando, calculado pelas forças da esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas 
forças da direita,der para baixo) e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras inferiores da 
viga. 
A força cortante é constante no trecho onde p(x) = O e o momento fletor é linear. 
Se o momento fletor é constante, a força cortante é nula no trecho. 
 
 
 
 
TRAÇADO DIRETO 
 
1. Viga simplesmente apoiada 
 
a) Carga concentrada 
 
 
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Sob uma carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de 
esforços cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao valor desta carga. 
 
 
 
 
 
Se o diagrama de momentos fletores apresenta um ângulo, ou ponto singular, isto significa uma 
descontinuidade da derivada, ou seja, uma descontinuidade do diagrama da cortante. Isto indica uma carga 
concentrada aplicada e o salto no diagrama da cortante tem a magnitude da força aplicada. No ponto onde a 
cortante muda de sinal tem-se um valor máximo ou mínimo do momento fletor. 
 
b) Carga distribuída uniformemente 
 
Sendo a taxa de carregamento constante (grau zero), o diagrama de esforços cortantes é retilíneo (grau um) e o 
de momentos fletores é parabólico (grau 2). O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta e o diagrama 
de momentos fletores será dado por uma parábola do 2 grau, 
 
A força cortante é função linear e o momento fletor, função do segundo grau. Se a inclinação da curva de 
momentos diminui da esquerda para a direita, temos cortante positiva. Se aumentar da esquerda para a direita, 
têm-se cortante negativa. 
 
 
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c) Carregamento distribuído variável 
Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama de esforço cortante parabólico do 2 
grau e o diagrama de momentos fletores parabólico do 3 grau, 
 
Quando o esforço cortante uma função do segundo grau e o momento é função do terceiro grau (parábola do 
terceiro grau). Se a inclinação da curva do momento fletor diminui da esquerda para a direita, temos cortante 
positiva. Se a inclinação aumenta da esquerda para a direita, temos cortante negativa. 
Se a carga cresce da esquerda para a direita, a inclinação da curva da força cortante aumenta da esquerda para a direita. 
 
 
 
 
 
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Marcando, a partir da seção M posição da resultante do carregamento triangular, o segmento MN = pl² /9, 
tem-se: 
 tgα = MN/AM = pl/6 = QA 
tgβ = -MN/MB = = QB = -pl/3 
. 
Logo, AN e BN são tangentes ao diagrama de momentos fletores em suas origens. 
 
 
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d) Carga uniforme distribuída cuja extremidade não alcança o outro apoio 
 
Neste exemplo, temos um carregamento distribuído descontínuo e, portanto dois trechos. O trecho sem carga 
distribuída apresenta o diagrama de V constante e o de M, linear. No trecho com carga distribuída a cortante é 
linear e o e momento fletor, parábola do segundo grau. 
O diagrama de V não tem descontinuidade, pois não existe carga concentrada aplicada no vão da viga, mas 
apresenta uma angulosidade no ponto onde começa o carregamento distribuído. Fato devido à descontinuidade 
do carregamento. 
O diagrama de M é contínuo, sem angulosidades. Isto indica que a parte linear do diagrama é tangente B 
parábola. 
 
 
 
 
 
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e) Carga uniforme distribuída parcialmente 
 
 
São três os trechos a se considerar para o traçado dos diagramas. No caso da força cortante, temos dois trechos 
constantes interligados por um trecho intermediário linear. No caso do momento fletor, os trechos lineares das 
extremidades são tangentes ao trecho parabólico. 
 
 
 
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f) Carga uniforme descontínua: 
 
 
 
 
 
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Em cada trecho com carga distribuída a função de M é uma parábola do segundo grau, todas distintas entre si. 
No ponto onde ocorre a descontinuidade da carga, no entanto, a tangente às duas funções tem a mesma 
inclinação. 
Para traçar o diagrama do momento fletor basta, portanto, determinar o valor de M na seção onde p muda de 
valor. Depois constrói-se a corda e traça-se a flecha de cada trecho de carregamento. 
 
 
g) Carga momento: 
 
Na seção de aplicação de uma carga-momento numa viga, o diagrama de momentos fletores sofre uma 
descontinuidade igual ao seu valor, no seu sentido. 
 
 
 
 
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vigas. 
 
 
 
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h) Carregamentos combinados 
 
 
 
 
Para efeito do traçado dos diagramas dos esforços solicitantes consideramos dois trechos, com carga uniformemente 
distribuída, à esquerda e à direita da carga de 40kN. 
A força cortante é, portanto, linear, tendo a mesma inclinação em ambos os trechos. No ponto de aplicação da carga 
concentrada o diagrama apresenta uma descontinuidade, com "salto" numericamente igual ao valor da carga. 
O momento fletor varia parabolicamente em cada trecho. No apoio A é nulo e no apoio B é numericamente igual ao 
momento aplicado, tracionando a face superior da viga. No ponto de aplicação da carga, o diagrama de M tem uma 
angulosidade. 
Para traçar o diagrama de momentos fletores basta calcular o esforço no ponto de aplicação da carga concentrada, 
definindo a posição das cordas das parábolas. 
 
 
 
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2. Viga engastada em balanço 
 
 
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Para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga biapoiada com balanços, tratamos os balanços como 
vigas engastadas e livres. Ligam-se os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e, a partir dela, 
pendura-se o diagrama de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os apoios. 
 
 
 
 
3. Vigas biapoiadas com balanços 
 
 
No engaste, aparecerão evidentemente uma reação vertical e uma reação-momento, que equilibrará o 
carregamento atuante. O diagrama de momentos fletores se obtém imediatamente, bastando marcar os 
momentos fletores (de cálculo imediato) nas seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, 
A, C, B. D), ligá-los por segmentos de reta, e, a partir da linha assim obtida, pendurar os diagramas de viga 
biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD). 
O diagrama de esforços cortantes se obtém imediatamente a partir do carregamento e reações de apoio atuantes. 
 
 
 
 
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ANEXO1 : DETALHES IMPORTANTES NA CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE 
MOMENTO FLETOR – OBTENÇAO DAS FLECHAS 
 
CARGA DISTRIBUÍDA UNIFORMEMENTE EM VIGA BIAPOIADA 
 
 
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CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO VARIÁVEL 
 
VIGA BIAPOIADA 
 
 
 
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vigas. 
 
 
 
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CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO VARIÁVEL 
 
VIGA ENGASTADA EM BALANÇO 
 
 
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vigas. 
 
 
 
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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: 
 
Introdução à isostática I Eloy FerrazMachado Junior. -- São Carlos : EESC-USP, 1999. 
Curso de análise estnitural/ José Carlos Siissekind. - v.1-.6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981. 
Notas de aula da disciplina Resistência dos Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein ao curso 
de Engenharia Civil do Centro Universitário Nove de Julho.