4._Integrais_Complexas

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INTEGRAL COMPLEXA E TEOREMA DE CAUCHY
I. Integrais de Linhas Complexas
Seja f(z) uma função contínua em todos os pontos de uma curva C que vamos supor ter comprimento finito, isto é, C é uma curva retificável.
 
Subdividimos C em n partes por meio dos pontos z1, z2, ..., zn-1 escolhidos arbitrariamente e chamados de a = z0, b = zn. Em cada arco ligando zk-1 a zk (onde k varia de 1 a n), escolhemos um ponto (k. Formamos a soma:
Pondo zk – zk-1 = (zk, podemos escrever:
Façamos o número de subdivisão crescer de tal modo que o comprimento da maior corda ((zk( tenda a zero. Então, a soma Sn tende a um limite que independe do número de subdivisões. Este limite denotamos por: 
 ou 
e denominamos a integral de linha complexa ou simplesmente integral de linha de f(z) ao longo da curva C, ou ainda a integral de f(z) de a a b ao longo da curva C. neste caso, f(z) diz-se integrável ao longo de C. Observe que se f(z) é analítica em todos os pontos de uma região R e se C é uma curva contida em R, então f(z) é certamente integrável ao longo de C.
II. Relação entre as Integrais Real e Complexa
Se f(z) = u(x, y) + i(v(x, y) = u + i(v, a integral de linha complexa 
 pode ser expressa em termos das integrais de linhas reais por:
Por isso, a expressão acima também é considerada uma definição da integral de linha complexa.
III. Arcos e Contornos
Um arco contínuo é o conjunto parametrizado
 onde z(t) é contínua. Observamos que z(t) é contínua se, e somente se, u(t) e v(t) são contínuas.
O mesmo arco, com orientação oposta, é denotado por –C e pode ser parametrizado por z1(t) = z(-t), -b ( t ( -a, como está mostrado nas figuras (a) e (b) acima. Um arco simples ou arco de Jordan é um arco sem auto-intersecções. Uma curva fechada é aquela que satisfaz z(t1) = z(t2), com t1 ( t2. As curvas da figura acima são simples enquanto que na figura abaixo as curvas são: (a) não simples, com intersecção, (b) fechada simples, também chamada curva de Jordan, (c) fechada, com auto-intersecção.
Um arco C, parametrizado por z(t) = u(t) + i(v(t) é dito regular se a derivada z´(t) = u´(t) + i(v´(t) existe, é contínua e z´(t) ( 0, (t no intervalo de definição da curva. Isto garante que a curva possui tangente em qualquer um dos seus pontos. O ângulo formado pela tangente com o eixo Ox é arg(z´).
Um contorno ou caminho é um arco regular por partes, ou seja, um arco composto por sub-arcos regulares, C = C1 ( C2 ( ... ( Cn.
Exercício: Faça um esboço dos arcos de curva parametrizados por (todos no intervalo 0 ≤ t ≤ 1):
(a) z1 = 1 + it			(b) z2 = t + it			(c) z3 = t2 + it			(d) z4 = t + it2
IV. Convenção para Orientação de um Caminho Fechado
A fronteira ou contorno de uma região diz-se orientada no sentido ou direção positiva se um observador, percorrendo-a no sentido indicado (e perpendicular ao plano), tiver a região à sua esquerda. Esta convenção está de acordo com as direções indicadas pelas flechas nas figuras abaixo:
Usamos o símbolo especial 
para indicar a integração de f(z) ao longo da fronteira C no sentido positivo. Observe que no caso de um círculo, a direção positiva é a anti-horária. A integral ao longo de C é uma integral de contorno.
V. Integral de Contorno
Definimos a integral de contorno, ou integral curvilínea, 
, onde C é um caminho qualquer e f(z) = u + i(v é uma função contínua em a ≤ t ≤ b como 
.
Observe que f(z) pode ser definida para qualquer ponto do plano complexo, mas, na avaliação da integral, somente são considerados seus valores sobre a curva C. Estas integrais são avaliadas da seguinte forma: 
( descrevemos o caminho C por meio de alguma parametrização z(t) = u(t) + iy(t), 
( encontramos a diferencial de z: dz = [u'(t) + i(v'(t)]dt e os valores da função sobre este caminho transformando a integral de caminho em uma integral definida complexa, que, por sua vez, se reduz a duas integrais definidas ordinárias. 
Se f = u + i(v então 
Lembramos que o contorno deve ser composto por um número finito de arcos regulares, onde z' ≠ 0. Fica mais fácil visualizar esta operação através de um exemplo.
Exemplo: Calcule a integral de contorno
, onde f(z) = 2x – y + ix2 e C é o segmento de reta ligando os pontos 0 a 1+ i. 
Solução: O primeiro passo é parametrizar este segmento. Ele pode ser descrito como C: z = (1+i)(t, 0 ≤ t ≤1. Sobre este segmento x = t e y = t e, portanto f(z) = 2t – t + it2, enquanto dz = z'dt = (1+i)dt. A integral pode ser assim avaliada: 
.
Exercício: Vamos calcular a integral de contorno
, onde o integrando f e o caminho fechado C são dados, respectivamente, por: f(z) = z e 
.
VI. Integral de Cauchy (Teorema)
Seja f(z) uma função analítica em R e sobre sua fronteira C. Então:
(i) 
para todo contorno fechado C;
(ii) a integral ao longo de um contorno ligando z0 a z1 não depende do contorno de integração, ou seja, se C1 e C2 são dois contornos que ligam z0 a z1, então 
.
VII. Exercícios
01. Identifique as curvas dadas abaixo:
a) z = 3t + i(t2, -( < t < (.					b) z = 3t2 + 5i(t, -( < t < (.
c) z = r((cost + isent), -(/4 < t < (, r > 0.			d) z = 
, 1 < t < (.
e) z = t + 
, -( < t < 0.					f) z = t + i(
, -1 < t < 1.
g) (z – 2i( = 2
02. Calcule 
 onde:
a) f(z) = z2; C = { z = r(ei(, 0 ( ( ( (}			
b) f(z) = z2; C = { z = r(ei(, -( ( ( ( (}	
c) f(z) = 
; C = { z = r(ei(, 0 ( ( ( 2(}			
d) f(z) = 
; C = { z = r(ei(, -( ( ( ( (}
e) f(z) = (z(, ao longo do segmento de reta de zero até -2 + 3i
f) f(z) = x2 – y2 + i(x – y2), ao longo do segmento de reta de zero até 3 + 2i.
g) f(z) = y – x2, ao longo dos caminhos OAC e OBC, onde O(0, 0), A(2, 0), B(0, 1) e C(2, 1).
03. Calcule 
 onde f(z) = ez e C é o caminho poligonal formado pelos segmentos de reta de z = 0 para z = 2 e de z = 2 para z = 1 + i(.
04. Mostre que 
, sendo f(z) = z(ez e C é o quadrado com vértices z = 0, z = 1 + i e z = i.
05. Calcular 
, onde C é (a) a reta a partir de (1 + i) para (2 + 3i); (b) o caminho fechado x4 + y4 = 1.
06. Calcular a integral 
ao longo do caminho indicado C: (z( = 2.
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU.
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV.
Curso: Engenharia Química. Professora: Maricélia Soares.
�
x
y
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