Apostila_Parte2

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Descrição de um fluido em Movimento:
a. Método de Lagrange - Neste método, as variáveis físicas de um determinado movimento de fluido são descritas a medida que ele atravessa o escoamento (ao longo da trajetória). As coordenadas x,y,z são as coordenadas do elemento fluido e são funções do tempo (x = x(t); y = y(t); z = z(t)), conseqüentemente, são variáveis dependentes no método lagrangeano. O elemento de fluido é identificado por sua posição em um tempo arbitrário (usualmente t = to); o campo de velocidade neste caso é escrito numa forma funcional como: v = v(So,t); So ( vetor posição do elemento de fluido em t = to. As outras variáveis do escoamento (ex.: massa específica (), podem ser representadas em uma forma similar.
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b. Método de Euler - O método Euleriano fornece o valor de uma variável em um determinado ponto do escoamento em um dado tempo. Na forma funcional o campo de velocidades é dado como: v = v(x,y,z,t) onde x,y,z,t são variáveis independentes.
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Regimes de Escoamento:
a. Regime Permanente - As variáveis não dependem do tempo. Ex.: 
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b. Regime não Permanente ou Transiente - Existe variação com o tempo. Ex.:
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c. Linha de corrente - Linha contínua traçada sobre o escoamento tangente em todos pontos aos vetores velocidade. Ex.:
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Em regime permanente as linhas de corrente coincidem com as trajetórias, em regime transiente isto não ocorre.
d. Sistema - Quantidade fixa de matéria isolada do meio para o estudo de um certo fenômeno. Obs.: em termodinâmica os sistemas podem ser abertos, fechados e isolados.
e. Volume de controle - Região do espaço escolhida para análise de um determinado acontecimento, sua fronteira é a superfície de controle. Possui tamanho e forma arbitrários conforme a vontade do pesquisador (Sistema aberto).
Características Fenomenológicas dos Escoamentos:
Escoamento Laminar e Turbulento:
Pode-se ter uma idéia sobre escoamento laminar e turbulento se observarmos por exemplo, a fumaça de um cigarro, inicialmente, a fumaça propaga-se uniformemente; em seguida inicia um movimento de oscilação e por fim, num movimento irregular, espalha-se completamente misturando-se com o ar. No início, escoamento laminar, no final escoamento turbulento, onde porções macroscópicas de fluido (“pacotes”) são deslocadas entre as camadas.
O conceito de turbulência remonta do ano de 1883, quando Osborne Reynolds publicou um artigo, descrevendo uma experiência que se tornou clássica.
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A transição de escoamento laminar para turbulento em tubos é portanto função da velocidade do fluido. Reynolds observou que além da velocidade, também o diâmetro do tubo, a viscosidade e a massa específica influenciam a natureza do escoamento. Estas quatro variáveis, combinadas em um único parâmetro adimensional, Re ( D(v/(, formam o número de Reynolds, simbolizado como Re em homenagem a Osborne Reynolds. Para escoamento em tubos com Re < 2300, o escoamento é laminar, acima deste valor, o escoamento pode ser laminar ou turbulento (observou-se escoamento laminar para Re até 40000, quando perturbações externas são minimizadas). 
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O motivo pelo qual o escoamento laminar torna-se subitamente turbulento não é completamente entendido até a atualidade. Muitas teorias foram propostas para explicar o fenômeno. A teoria das pequenas perturbações, isto é, as forças viscosas são maiores do que as forças de inércia associadas com as perturbações e estas são prontamente amortecidas. Entretanto, acima do Re crítico o escoamento é instável e as perturbações eventuais são prontamente amplificadas e difundidas.
No escoamento turbulento as variáveis do fluido e do escoamento variam com o tempo. O vetor “velocidade instantânea” por exemplo, será diferente do vetor “velocidade média” tanto em magnitude como em direção. 
Camada Limite
A observação de uma região onde a influência das tensões cisalhantes diminui a medida que o número de Reynolds aumenta levou a Ludwig Prandtl em 1904 ao conceito de camada limite. De acordo com a hipótese de Prandtl os efeitos de atrito do fluido no número de Re elevados são limitados a uma fina camada próxima a superfície do corpo denominada camada limite. Pode-se demonstrar que não há variação significativa da pressão através da camada limite. Isto significa que a pressão na camada limite é a mesma que a do fluido fora da camada limite.
A importância da teoria de Prandtl reside na simplificação que ela permite no tratamento analítico de escoamentos viscosos. A pressão por exemplo pode ser obtida de experimentação ou da teoria dos fluidos invíscidos para o escoamento fora da camada limite. Então somente os componentes da velocidade necessitam ser determinados. A camada limite sobre uma placa plana é apresentada na figura a seguir:
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Espessura da camada limite ( é arbitrariamente tomada como a distância da superfície. 
A figura acima ilustra como a espessura da camada limite aumenta com a distância x da borda de ataque. Com este aumento fica fácil de se ver que o gradiente de velocidade dvx/dy diminui, e obviamente a tensão cisalhante também diminui, isto implica que com o aumento da espessura da camada limite as forças viscosas não conseguem mais amortecer as forças de inércia, tornando o escoamento turbulento. Então, para valores relativamente pequenos de x, o escoamento no interior da camada limite é laminar, em valores maiores de x, tem-se a região de transição, onde flutuações entre escoamento laminar e turbulento ocorrem no interior da camada limite. Finalmente, a partir de um determinado valor de x acima, a camada limite será sempre turbulenta. Da região na qual, a camada limite é turbulenta, existe, conforme indicado na figura, um filme muito fino de fluido chamado de subcamada laminar, onde existem elevados gradientes de velocidade.
O critério para o tipo de camada limite é baseado no Rex, conhecido como o número de Reynolds local, baseado na distância x a partir da borda de ataque. Rex é definido como:
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Para escoamento sobre uma placa plana, os dados experimentais indicam que:
( Rex < 200000 ( camada limite laminar;
( 200000 < Rex <3000000 ( camada limite laminar ou turbulenta (transição);
( Rex > 3000000 ( camada limite turbulenta.
Para escoamento em dutos (escoamento confinado) o desenvolvimento da camada limite está registrado na figura a seguir:
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Le: comprimento de entrada, necessário para o estabelecimento de um perfil laminar, completamente desenvolvido, foi expresso por Langhar:
Le/d = 0,0575 Re d = diâmetro do tubo, Re < 2300
Não há relação disponível para prever comprimento de entrada de um perfil turbulento completamente desenvolvido. Quando a superfície sobre o qual o fluido escoa como por exemplo asa de avião e capota de automóvel, o escoamento na camada limite é qualitativamente semelhante ao de uma placa plana. Entretanto, isto é verdade apenas na parte frontal da superfície sólida, na parte posterior pode ocorrer o fenômeno de deslocamento da camada limite.
Na figura abaixo ilustra-se o descolamento (separação) da camada limite no escoamento de ar sobre um cilindro.
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Analogamente a camada limite hidrodinâmica, pode-se supor a existência de uma camada limite térmica e uma camada limite de concentração.
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em (T = ((T - Ts)/(T( - Ts)) = 0.99
Obs.: 
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Pr ( Número de Prandtl ( 
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em (Ca = ((Ca - Cas)/(Ca( - Cas)) = 0.99
Obs.: 
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Sc ( Número de Schmidt ( 
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Soluções das Equações da Camada Limite
Utilizando-se a equação da continuidade, e fazendo-se uma análise da ordem de grandeza do tipo:
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onde 
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Usando esta ordem de grandeza para Vy na equação do movimento em x:
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Dividindo-se a expressão acima por x para obter a grandeza adimensional, tem-se:
Fundamentos da Camada Limite
O conceito de camada limite foi introduzido por Prandtl, em 1904. Serviu como artifício fundamental parasolução das equações do movimento. Basicamente a camada limite divide o escoamento em partes distintas:
( escoamento potencial
( escoamento na camada limite
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Escoamento potencial: região acima da camada limite, onde os efeitos viscosos, não influenciam o escoamento e a velocidade é a própria velocidade da corrente livre
Escoamento na camada limite: região próxima a superfície (camada muito fina), onde há predominância das forças viscosas.
A camada limite foi determinada pela espessura da camada limite hidrodinâmica, (h, que corresponde a posição do escoamento relativa a 99% do escoamento potencial.
A forma do perfil de velocidade da camada limite depende da natureza do escoamento. Esquematicamente, podemos representar um escoamento sob uma placa plana, composto pelos seguintes regimes:
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Regime Laminar: Forças viscosas conseguem amortecer as perturbações do escoamento. Há predominância das forças de inércia sobre as viscosas.
Regime de transição: Com o aumento da espessura da camada limite laminar a relação entre as forças de inércia e forças viscosas (maior Re) e as perturbações não mais são amortecidas dando origem a um movimento desordenado.
Região turbulenta: Turbilhões e vórtices formam-se e destroem a regularidade laminar. A influência viscosa praticamente desaparece a menos a uma extremamente fina camada adjacente a superfície, conhecida como subcamada limite laminar.
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Os conceitos apresentados para a camada limite hidrodinâmica (transporte de quantidade de movimento) também são válidos para transporte de calor, ou seja, aliada a camada limite hidrodinâmica tem-se uma camada limite térmica.
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Se Pr = ( = ( então (h = (T : similaridade entre os fenômenos de transferência de calor e os de transferência de quantidade de movimento. Para quantificar-se a quantidade de calor transferida da placa para o fluido, tem-se:
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Considerando que o calor conduzido nas primeiras camadas seja transferido por condução para as demais porções do fluido, tem-se:
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Como o valor de gradiente de temperatura no fluido será o mesmo, qualquer que seja a temperatura de referência, pode-se escrever:
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Introduzindo uma dimensão para especificar a geometria do objeto através do qual o calor flui:
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Conhecendo-se o perfil de temperatura na camada limite, podemos determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção.
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a)Equação da Continuidade:
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b)Equação do Movimento em x:
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c)Equação do Movimento em y:
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Pela análise da ordem de grandeza (Prandtl) concluiu-se que o movimento em y(a) é muito inferior ao movimento em x(b), sendo assim, desprezado.
Equações da Camada Limite
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Solução exata (Blasius):
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Solução aproximada (Karman-Pohlhausen):
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