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Ma´ximos e Mı´nimos de Func¸o˜es e Derivada Direcional Use a regra da cadeia para calcular as seguintes func¸o˜es: 1. f(x, y) = sen(2x + 5y);x = cost; y = sent Resp: cos(2cost + 5sent)(−2sent + 5cost) 2. z = xy ;x = e −t; y = ln t Resp: −e −t lnt − e −t t ln2t 3. z = √ x2 + y3, x = u2 + 1, y = 3 √ v2 Resp: 2u 3+2u√ (u2+1)2+v2 ; v√ (u2+1)2+v2 Encontre as derivadas parciais de 2a ordem das seguintes func¸o˜es: 4. z = x2 − 3y3 + 4x2y2 5. z = lnxy 6. ~f(x, y) = e2x~i + xye3y~j 7. Encontrar as derivadas parciais ∂3z ∂x2∂y e ∂3z ∂y2∂x da func¸a˜o z = x + y + x3 − x2 − y2. Encontrar, se existirem, os pontos criticos das seguintes func¸o˜es e classifique-os: 8. z = 4− x2 − y2 9. z = √ 2x2 + y2 10. z = x4 − 2x2 + y2 − 9 11. z = x2 − y2 − 2x + 4y + 6 12. z = x3 + 3xy + y3 13. z = x4 + y4 + 4xy 14. z = x x2 + y2 + 4 Resp: (2, 0) pto de max e (−2, 0) pto de min. Verificar se o ponto (0, 0) e´ ponto cr´ıtico das func¸o˜es: 15. z = 2x2 + 2y2 16. z = √ 4− x2 − y2 Determinar os valores de ma´ximo e mı´nimo das seguintes func¸o˜es, na regia˜o indicada. 17. f(x, y) = 2x2−4x+y2−4y+1 na placa triangular fechada limitada pelas retas x = 0, y = 2, y = 2x no primeiro quadrante. Resp: Ma´ximo absoluto e´ 1 em (0,0) e minimo absoluto e´ -5 em (1,2). 18. f(x, y) = x2 + y2 na placa triangular fechada limitada pelas retas x = 0, y = 0, y + 2x = 2 no primeiro quadrante. Resp: Ma´ximo absoluto e´ 4 em (0,2) e minimo absoluto e´ 0 em (0,0). 19. Encontre os valores extremos de f(x, y) = xy sujeitos a` restric¸a˜o g(x, y) = x2 + y2 − 10 = 0. 20. Encontre o valor ma´ximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 sobre a reta x + 3y = 10. 21. Encontre o ponto sobre o plano x + 2y + 3z = 13 mais pro´ximo do ponto (1, 1, 1). 22. Qual o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y, z) = x2+2y−z2 sujeita a`s restric¸o˜es 2x−y = 0 e y+z = 0. 23. Encontre o ponto mais pro´ximo da origem sobre a reta de intersecc¸a˜o dos planos y + 2z = 12 e x + y = 6. 24. Determinar o ponto do plano 3x+ 2y + 4z = 12 para o qual a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 5z2 tem um valor mı´nimo. Resp: ( 30 11 , 5 11 , 8 11 ) . 25. Calcular, usando a definic¸a˜o, a derivada direcional do campo escalar f(x, y) = 2x2 +2y2 no ponto P (1, 1) na direc¸a˜o do vetor ~b = 2~i− 5~j + ~k. Determinar o vetor normal a` curva dada no ponto indicado e representar graficamente. 26. 2x2 + 3y2 = 8;P (1, √ 2) Resp:(4, 6 √ 2) 27. x2 + y2 = 8;P (2, 2) Resp:(4, 4) 2 Determinar a equac¸a˜o vetorial para a reta normal a` superficie dada, nos pontos indicados 28. z = x2 + y2 − 1;P (1, 1, 1) Resp:(1− 2t, 1− 2t, 1 + t) 29. x + 1 2 y + 1 3 z = 1;P (1, 2,−3) Resp:(1 + t, 2 + 12 t,−3 + 13 t) 30. x2 + y2 = z2;P (3, 4, 5) Resp:(3 + 6t, 4 + 8t, 5− 10t) 31. Calcular a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y, z) = 3x2+4y2+z na direc¸a˜o do vetor ~a =~i+2~j+2~k no ponto P (1, 1, 1). 32. Calcular a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = exy em P (−1, 2) na direc¸a˜o do vetor ~a = 2~i−~j. Encontrar a direc¸a˜o e o valor ma´ximo da derivada direcional do campo escalar dado nos pontos indicados: 33. f(x, y) = xy2 − (y − x)2;P (1, 1) Resp: √5 34. f(x, y, z) = x2 + 2xy + z2;P0(0, 0, 0);P1(1, 2, 2) Resp: 2 √ 14 Dado o campo vetorial ~f , calcule div ~f . 35. ~f(x, y) = sen2x~i + 2cosx~j Resp: 2senxcosx 36. ~f(x, y, z) = ln xy~i + x~j + z~k Resp: x+1x Supondo que ~v representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se ~v representa um poss´ıvel fluxo imcompress´ıvel. 37. ~v = z2~i + x~j + y2~k Resp: sim 38. ~v = (2xz)~i + (−2yz)~j + (2z)~k Encontrar a divergeˆncia e a rotacional do campo vetorial dado. 39. ~f(x, y, z) = (2x + 4z)~i + (y − z)~j + (3x− yz)~k Resp: 3− y; (1− z, 1, 0) 40. ~f(x, y) = (excos y, exsen y) Resp: 2excosy; (0, 0, 2exseny) Verificar se as seguintes func¸o˜es sa˜o harmoˆnicas. 41. f(x, y, z) = xz + ln xy Resp: na˜o 42. f(x, y) = excosy Resp: sim Verificar se o campo dado e´ irrotacional. 43. ~f(x, y, z) = (yz, xz, xy) Resp: sim 44. ~f(x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz) Resp: sim 45. O que podemos afirmar sobre o campo vetorial dado pela func¸a˜o ~f(x, y) = (x2 + y, y2 − x) em R2. Verificar se os seguintes campos vetoriais sa˜o conservativos em algum domı´nio. Caso afirmativo, encontrar uma func¸a˜o potencial. 46. ~f = (2x, 5yz, x2y2z2) 47. ~f = (yez, xez, xyez) 48. ~f = (yz + 2, xz + 1, xy + 2z) 49. ~f = (1 + ysenx, 1− cosx)
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