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Ma´ximos e Mı´nimos de Func¸o˜es e Derivada Direcional
Use a regra da cadeia para calcular as seguintes func¸o˜es:
1. f(x, y) = sen(2x + 5y);x = cost; y = sent Resp: cos(2cost + 5sent)(−2sent + 5cost)
2. z = xy ;x = e
−t; y = ln t Resp: −e
−t
lnt − e
−t
t ln2t
3. z =
√
x2 + y3, x = u2 + 1, y =
3
√
v2 Resp: 2u
3+2u√
(u2+1)2+v2
; v√
(u2+1)2+v2
Encontre as derivadas parciais de 2a ordem das seguintes func¸o˜es:
4. z = x2 − 3y3 + 4x2y2
5. z = lnxy
6. ~f(x, y) = e2x~i + xye3y~j
7. Encontrar as derivadas parciais
∂3z
∂x2∂y
e
∂3z
∂y2∂x
da func¸a˜o z = x + y + x3 − x2 − y2.
Encontrar, se existirem, os pontos criticos das seguintes func¸o˜es e classifique-os:
8. z = 4− x2 − y2
9. z =
√
2x2 + y2
10. z = x4 − 2x2 + y2 − 9
11. z = x2 − y2 − 2x + 4y + 6
12. z = x3 + 3xy + y3
13. z = x4 + y4 + 4xy
14. z =
x
x2 + y2 + 4
Resp: (2, 0) pto de max e (−2, 0) pto de min.
Verificar se o ponto (0, 0) e´ ponto cr´ıtico das func¸o˜es:
15. z = 2x2 + 2y2
16. z =
√
4− x2 − y2
Determinar os valores de ma´ximo e mı´nimo das seguintes func¸o˜es, na regia˜o indicada.
17. f(x, y) = 2x2−4x+y2−4y+1 na placa triangular fechada limitada pelas retas x = 0, y = 2, y = 2x
no primeiro quadrante. Resp: Ma´ximo absoluto e´ 1 em (0,0) e minimo absoluto e´ -5 em (1,2).
18. f(x, y) = x2 + y2 na placa triangular fechada limitada pelas retas x = 0, y = 0, y + 2x = 2 no
primeiro quadrante. Resp: Ma´ximo absoluto e´ 4 em (0,2) e minimo absoluto e´ 0 em (0,0).
19. Encontre os valores extremos de f(x, y) = xy sujeitos a` restric¸a˜o g(x, y) = x2 + y2 − 10 = 0.
20. Encontre o valor ma´ximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 sobre a reta x + 3y = 10.
21. Encontre o ponto sobre o plano x + 2y + 3z = 13 mais pro´ximo do ponto (1, 1, 1).
22. Qual o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y, z) = x2+2y−z2 sujeita a`s restric¸o˜es 2x−y = 0 e y+z = 0.
23. Encontre o ponto mais pro´ximo da origem sobre a reta de intersecc¸a˜o dos planos y + 2z = 12 e
x + y = 6.
24. Determinar o ponto do plano 3x+ 2y + 4z = 12 para o qual a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 5z2
tem um valor mı´nimo. Resp:
(
30
11 ,
5
11 ,
8
11
)
.
25. Calcular, usando a definic¸a˜o, a derivada direcional do campo escalar f(x, y) = 2x2 +2y2 no ponto
P (1, 1) na direc¸a˜o do vetor ~b = 2~i− 5~j + ~k.
Determinar o vetor normal a` curva dada no ponto indicado e representar graficamente.
26. 2x2 + 3y2 = 8;P (1,
√
2) Resp:(4, 6
√
2)
27. x2 + y2 = 8;P (2, 2) Resp:(4, 4)
2
Determinar a equac¸a˜o vetorial para a reta normal a` superficie dada, nos pontos indicados
28. z = x2 + y2 − 1;P (1, 1, 1) Resp:(1− 2t, 1− 2t, 1 + t)
29. x +
1
2
y +
1
3
z = 1;P (1, 2,−3) Resp:(1 + t, 2 + 12 t,−3 + 13 t)
30. x2 + y2 = z2;P (3, 4, 5) Resp:(3 + 6t, 4 + 8t, 5− 10t)
31. Calcular a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y, z) = 3x2+4y2+z na direc¸a˜o do vetor ~a =~i+2~j+2~k
no ponto P (1, 1, 1).
32. Calcular a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = exy em P (−1, 2) na direc¸a˜o do vetor ~a = 2~i−~j.
Encontrar a direc¸a˜o e o valor ma´ximo da derivada direcional do campo escalar dado nos pontos
indicados:
33. f(x, y) = xy2 − (y − x)2;P (1, 1) Resp: √5
34. f(x, y, z) = x2 + 2xy + z2;P0(0, 0, 0);P1(1, 2, 2) Resp: 2
√
14
Dado o campo vetorial ~f , calcule div ~f .
35. ~f(x, y) = sen2x~i + 2cosx~j Resp: 2senxcosx
36. ~f(x, y, z) = ln xy~i + x~j + z~k Resp: x+1x
Supondo que ~v representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se ~v representa um
poss´ıvel fluxo imcompress´ıvel.
37. ~v = z2~i + x~j + y2~k Resp: sim
38. ~v = (2xz)~i + (−2yz)~j + (2z)~k
Encontrar a divergeˆncia e a rotacional do campo vetorial dado.
39. ~f(x, y, z) = (2x + 4z)~i + (y − z)~j + (3x− yz)~k Resp: 3− y; (1− z, 1, 0)
40. ~f(x, y) = (excos y, exsen y) Resp: 2excosy; (0, 0, 2exseny)
Verificar se as seguintes func¸o˜es sa˜o harmoˆnicas.
41. f(x, y, z) = xz + ln xy Resp: na˜o
42. f(x, y) = excosy Resp: sim
Verificar se o campo dado e´ irrotacional.
43. ~f(x, y, z) = (yz, xz, xy) Resp: sim
44. ~f(x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz) Resp: sim
45. O que podemos afirmar sobre o campo vetorial dado pela func¸a˜o ~f(x, y) = (x2 + y, y2 − x) em
R2.
Verificar se os seguintes campos vetoriais sa˜o conservativos em algum domı´nio. Caso afirmativo,
encontrar uma func¸a˜o potencial.
46. ~f = (2x, 5yz, x2y2z2)
47. ~f = (yez, xez, xyez)
48. ~f = (yz + 2, xz + 1, xy + 2z)
49. ~f = (1 + ysenx, 1− cosx)

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