Capitulo 2 (Parte 2) - Geometria das massas

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Revisão - Características Geométricas de
Superfícies Planas
27 de agosto de 2014
Profa. Patrícia Habib Hallak
Prof Afonso Lemonge
Revisão - Características Geométricas de Superfícies Planas
Centro de Gravidade
z¯ =
∫
zeldA∫
dA ⇒ z¯ =
∑n
i=1 z¯iAi∑n
i=1 Ai
y¯ =
∫
yeldA∫
dA ⇒ y¯ =
∑n
i=1 y¯Ai∑n
i=1 Ai
∑n
i=1 z¯iAi e
∑n
i=1 y¯Ai
⇓
Momentos estáticos de área em relação aos eixos y e z
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Momentos de Inércia
Jz =
∫
y2dA
Jy =
∫
z2dA
Teorema dos eixos paralelos
JAA =
∫
y2dA∫
(y′+d)2dA =
∫
y′2dA+
∫
2y′dA+
∫
d2dA
JAA = JBB+d2A
⇓
Jz = Jz¯+d2A
Jy = Jy¯+d2A
Revisão - Características Geométricas de Superfícies Planas
Retângulo
Jz =
∫
y2dA =
∫ h
0 y
2bdy
⇓
Jz = bh
3
3
Jy = b
3h
3
Jz = Jz¯+d2A→ bh
3
3 = Jz¯+
h2
4 bh
⇓
Jz¯ = bh
3
12
Jy¯ = b
3h
12
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Triângulo
Jz =
∫
y2dA =
∫ h
0 y
2 b(h−y)
h dy
⇓
Jz = bh
3
12
Jy = b
3h
12
Jz = Jz¯+d2A→ bh
3
12 = Jz¯+
h2
9
bh
2
⇓
Jz¯ = bh
3
36
Jy¯ = b
3h
36
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Momento polar de inércia
J0 = JP =
∫
r2dA
r2 = z2+ y2
J0 = JP =
∫
z2dA+
∫
y2dA
J0 = JP = Jz+ Jy
Teorema dos eixos paralelos
J0 = JP =
∫
u2dA
dA = 2piudu → J0 =
∫ r
0 u
22piudu
⇓
J0 = pir
4
2
Jz = Jy = piD
4
64 , J0 = Jp =
piD4
32
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Produto de Inércia
Jzy =
∫
zydA
Teorema dos eixos paralelos
z = z′+d2y = y′+d1
Jzy =
∫
(z′+d2)(y′+d1)dA
Jzy =
∫
d1d2dA+d1
∫
z′dA+d2
∫
y′dA+
∫
z′y′dA
Jzy = Jz¯y¯+d1d2A
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Retângulo
z = b2 ,y = y,dA = bdy
Jzy =
∫
zydA =
∫ h
0
b
2bdy
⇓
Jzy = b
2h2
4
Jzy = Jz¯y¯+d1d2A→ b
2h2
12 = Jz¯y¯+
h
2
b
2bh
⇓
Jz¯y¯ = 0
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Triângulo
y = y,z = z2
Jzy =
∫
zydA
⇓
Jzy = b
2h2
24
Jzy = Jz¯y¯+d1d2A→ b
2h2
24 = Jz¯y¯+
b
3
h
3
bh
2
⇓
Jz¯y¯ = − b
2h2
72
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Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
z′ = zcos(θ)+ ysin(θ)
y′ = ycos(θ)− zsin(θ)
Jz′ =
∫
y′2dA Jz =
∫
y2dA J′z =
Jz+Jy
2 +
Jz−Jy
2 cos(2θ)− Jzy sin(2θ)
Jy′ =
∫
z′2dA Jy =
∫
z2dA J′y =
Jz+Jy
2 −
Jz−Jy
2 cos(2θ)+ Jzy sin(2θ)
Jz′y′ =
∫
z′y′dA Jzy =
∫
zydA Jz′y′ =
Jz−Jy
2 sin(2θ)+ Jzy cos(2θ)
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J′z =
Jz+Jy
2 +
Jz−Jy
2 cos(2θ)− Jzy sin(2θ)
J′y =
Jz+Jy
2 −
Jz−Jy
2 cos(2θ)+ Jzy sin(2θ)
Jz′y′ =
Jz−Jy
2 sin(2θ)+ Jzy cos(2θ)
⇓
derivada = 0
⇓
tan(2θp) = −2 Jzy(Jz−Jy)
Jmax = J1 =
Jz+Jy
2 +
√( Jz−Jy
2
)2
+ J2zy
Jmin = J2 =
Jz+Jy
2 −
√( Jz−Jy
2
)2
+ J2zy
J12 = 0
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Exercício 5
Determine os momentos principais de inércia e a orientação dos eixos
principais em relação ao CG
Respostas: J1 = 2438,13cm4,J2 = 1393,89cm4, θp1 = −71,950 e
θp2 = 18,050
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