Listas 1/2016 c1

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Listas/semana 1/semana_01ap_gab.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 01 – Soluc¸o˜es
Temas abordados : Func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante
t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel
da a´gua s(t) no recipiente e´ dada por
s(t) =
{
2t, para 0 ≤ t ≤ 5
8t− 30, para 5 < t ≤ 6
onde a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
(b) Determine, caso existam, os instantes
τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ) = 15.
(c) Determine a imagem da func¸a˜o s.
12
6
10
10
Soluc¸o˜es:
(a) Para 0 ≤ t ≤ 5, o gra´fico e´ um segmento de reta de inclinac¸a˜o 2 que passa pela
origem; para 5 < t ≤ 6, o gra´fico e´ um segmento de reta de inclinac¸a˜o 8 que se
conecta ao segmento de reta de inclinac¸a˜o 2. Usando essas informac¸o˜es, o gra´fico e´
como ilustrado abaixo.
(b) Do gra´fico de s(t) vemos que s(t) e´ crescente, com s(0) = 0, s(5) = 10 e s(6) = 18.
Um vez que 15 esta´ entre 10 e 18, um instante τ em que s(τ) = 15 deve estar,
portanto, no intervalo (5, 6), no qual temos que s(t) = 8t− 30. Resolvendo para τ
a equac¸a˜o
8τ − 30 = 15,
obtemos que τ = 45/8 e´ o u´nico instante para o qual s(τ) = 15.
(c) A ana´lise do gra´fico mostra que a imagem da func¸a˜o s e´ o intervalo fechado [0, 18].
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 1 de 6
2) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/√x. Pode-se mostrar que a
inclinac¸a˜o da reta La, que e´ tangente ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), e´ dada
por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o, a reta La e os pontos Qa e Ra
em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir,
justificando suas respostas.
(a) A reta La tem equac¸a˜o y =
−x
2a
√
a
+
3
2
√
a
.
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).
(c) A a´rea do triaˆngulo ∆OPaRa e´ igual a
1
2
2af(a).
(d) A a´rea do triaˆngulo ∆O PaQa e´ igual a 1
2
3
2
√
a
a.
(e) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo ∆OPaQa e´ o
dobro da a´rea do triaˆngulo ∆O PaRa.
Pa
Qa
O Ra
Soluc¸o˜es: Lembre que a equac¸a˜o da reta r que tem inclinac¸a˜o m e passa pelo ponto
(x0, y0) e´ dada por r(x) = ym +m(x− x0).
(a) Correto. A reta La tem inclinac¸a˜o −1/(2a
√
a) e passa pelo ponto (a, f(a). Desse
modo, se denotarmos por La(x) a sua equac¸a˜o, temos que
La(x) = −
1
2a
√
a
(x− a) + f(a) = − 1
2a
√
a
(x− a) + 1√
a
.
(b) Errado. Veja que Ra = (xa, 0). Uma vez que esse ponto pertence a` reta La temos
que
0 = La(xa) = − 1
2a
√
a
(xa − a) + 1√
a
,
de modo que −xa + a = −2a, ou ainda, xa = 3a. Assim Ra = (3a, 0).
(c) Errado. A base do triaˆngulo ∆OPaRa mede 3a e sua altura mede f(a). Como a
a´rea de um triaˆngulo e´ igual a` metade do produto entre a base e a altura, a a´rea
em questa˜o e´ igual a 1
2
3af(a) = 3
2
√
a
a.
(d) Correto. Observe que Qa = (0, y) e pertence a` reta La. Assim,
y = La(0) = − 1
2a
√
a
(0− a) + 1√
a
=
1
3
√
a
.
Como o triaˆngulo ∆O PaQa tem base medindo y e altura medindo x = a, conclu´ımos
que sua a´rea e´ dada por 1
2
3
2
√
a
a
(e) Errado. Pelos itens (c) e (d), a a´rea de ∆O PaQa vale a metade da a´rea de ∆OPaRa.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 2 de 6
3) Uma amostra radioativa emite part´ıculas alfa e, consequentemente, sua massa M =
M(t) e´ uma func¸a˜o decrescente do tempo. Suponha que, para um determinado material
radioativo, essa func¸a˜o seja dada por M(t) = M0e
−k1t, onde M0 > 0 e´ a massa inicial,
k1 > 0 e´ uma constante e t > 0 e´ o tempo medido em anos. A meia-vida do material e´ o
tempo necessa´rio para que a massa se reduza a` metade da massa inicial.
(a) Calcule k1 sabendo que, depois de um ano e meio, a massa restante e´ 1/8 da inicial.
(b) Usando o item anterior, determine a meia-vida do material.
(c) Calcule quantos anos devemos esperar para que 99% da amostra tenha se desinte-
grado (use as aproximac¸o˜es ln 2 = 0, 7 e ln 5 = 1, 6).
(d) Suponha que outra amostra radioativa tenha massa N(t) = M0e
−k2t, com k2 > 0.
Estabelec¸a uma relac¸a˜o entre k1 e k2 sabendo que a meia-vida desse segundo material
e´ igual ao triplo da meia-vida do primeiro.
Soluc¸o˜es:
(a) Note que
M0
8
=M(3/2) = M0e
−k1 32 .
Cancelando o termo M0 e aplicando o logaritmo dos dois lados obtemos
−3
2
k1 = ln(1/8) = − ln 8 = − ln 23 = −3 ln 2.
(b) Basta notar que, se t0 e´ a meia-vida do material, enta˜oM(t0) =M0e
−2ln2 t0 = M0/2.
Dessa forma, mais uma vez cancelando o termoM0 e aplicando o logaritmo dois lados
obtemos
t0 =
ln 2
k1
. (1)
(c) Procuramos o instante t1 para o qual M(t1) = 0, 01M0. Utilizando o fato de que
ln 100 = ln(4 · 25) = 2(ln 2 + ln 5)
e procedendo como em (b) encontramos t1.
(d) Considere agora o material cuja massa e´ N(t). Procedendo de forma ana´loga ao
item (b), conclu´ımos que a sua meia vida e´ dada por
t0 =
ln 2
k2
. (2)
Como t0 = 3t0, combinando-se (1) e (2) obtemos que k2 = k1/3.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 3 de 6
4) Uma espira circular esta´ imersa em uma regia˜o de campo magne´tico uniforme e constante.
O fluxo magne´tico pela espira e´ dado por φ(α) = AB cos(α), onde A e´ a a´rea da espira,
B e´ a intensidade do campo e α ∈ [0, 2pi] e´ o aˆngulo entre o vetor normal ao plano da
espira e as linhas de campo. Supondo inicialmente que, em unidades f´ısicas apropriadas,
AB = 4, resolva os itens a seguir.
(a) Calcule o menor e o maior valor que o fluxo φ pode assumir.
(b) Determine um aˆngulo α0 ∈ [0, 2pi] tal que φ(α0) = 2.
(c) Se a espira tivesse o dobro do diaˆmetro e estivesse imersa no mesmo campo, qual
seria o valor do produto AB ?
(d) Para uma espira com o dobro do diaˆmetro, use o valor encontrado no item (c) para
determinar um aˆngulo α1 ∈ [0, pi] tal que o fluxo magne´tico seja igual a 4.
Soluc¸o˜es:
(a) Como para todo aˆngulo α temos −1 ≤ cos(α) ≤ 1, ∀α, segue que −4 ≤ φ(α) ≤ 4.
Ale´m disso, φ(0) = φ(2pi) = AB = 4 e φ(pi) = −AB = −4. Desse modo
max
α∈[0,2pi]
φ(α) = 4 e min
α∈[0,2pi]
φ(α) = −4.
(b) Procuramos por α0 ∈ [0, pi] tal que 4 cos(α0) = 2 ou, equivalentemente, cos(α0) =
1/2. Basta enta˜o escolher α0 = pi/3 ou α = 5pi/3.
(c) Sejam A0 e A, respectivamente, as a´reas da espira inicial e da espira com o diaˆmetro
dobrado. Note que se A0 = pir
2, onde r > 0 e´ o raio da espira inicial, enta˜o:
A = pi(2r)2 = 4pir2 = 4A0.
Logo,
AB = 4A0B = 16.
(d) Aqui, basta resolver a equac¸a˜o 16 cos(α) = 4. Observe que a func¸a˜o
cos : [0, pi]→ [−1, 1]
e´ invert´ıvel. Sua inversa, chamada de arco-cosseno, e´ dada por
arccos : [−1, 1]→ [0, pi],
onde
arc cos y = x⇔ cosx = y.
Desse modo, para que 16 cos(α) = 4, devemos ter α = arccos(1/4).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 4 de 6
5) O objetivo desse exerc´ıcio e´ usar as propriedades da func¸a˜o exponencial ex para investigar
as propriedades das func¸o˜es cosseno e seno hiperbo´licos dadas por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
.
Lembrando que ex+y = exey, onde e e´ a base Neperiana, resolva os itens abaixo.
(a) Mostre que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
Fazendo x = cosh(t) e y = senh(t), isso mostra que
o ponto (x, y) esta´ sobre a hipe´rbole unita´ria dada
por
x2 − y2 = 1.
(b) Verifique a fo´rmula do
cosseno hiperbo´lico da soma
cosh(s+ t) = cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t).
(c) Verifique a fo´rmula do seno hiperbo´lico da soma
senh(s+ t) = senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s).
(d) Verifique que cosh(t) e´ uma func¸a˜o par enquanto senh(t) e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(e) Prove que na˜o existe t ∈ R tal que senh(t) = cosh(t).
Compare as propriedades dos itens acima com as suas ana´logas para as func¸o˜es trigo-
nome´tricas.
Soluc¸o˜es:
(a) Uma vez que exe−x = e0 = 1, segue que
cosh2(t) =
(
et + e−t
2
)2
=
(et)2 + 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
+
1
2
e
senh2(t) =
(
et − e−t
2
)2
=
(et)2 − 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
− 1
2
.
Isso que mostra que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
(b) Usando que ex+y = exey, temos que
cosh(s)cosh(t) =
(
es + e−s
2
)(
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t + e−s+t + e−s−t
4
e que
senh(s)senh(t) =
(
es − e−s
2
)(
et − e−t
2
)
=
es+t − es−t − e−s+t + e−s−t
4
.
Isso mostra que
cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t) =
2es+t + 2e−s−t
4
=
es+t + e−(s+t)
2
= cosh(s+ t).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 5 de 6
(c) Usando que ex+y = exey, temos que
senh(s)cosh(t) =
(
es − e−s
2
)(
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t − e−s+t − e−s−t
4
logo, trocando s por t, temos que
senh(t)cosh(s) =
et+s + et−s − e−t+s − e−t−s
4
=
es+t + e−s+t − es−t − e−s−t
4
.
Isso mostra que
senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s) =
2es+t − 2e−s−t
4
=
es+t − e−(s+t)
2
= senh(s+ t).
(d) Temos que
cosh(−t) = e
−t + e−(−t)
2
=
e−t + et
2
=
et + e−t
2
= cosh(t)
e
senh(−t) = e
−t − e−(−t)
2
=
e−t − et
2
= −e
t − e−t
2
= −senh(t).
(e) Suponha que, para algum t ∈ R, tenhamos senh(t) = cosh(t). Enta˜o
et − e−t
2
=
et + e−t
2
,
o que implica que
e−t = 0.
Mas a igualdade acima nunca se verifica, visto que a imagem da func¸a˜o exponencial
e´ o intervalo (0,+∞).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 6 de 6
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Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01
Temas abordados : Introduc¸a˜o ao Ca´lculo e Revisa˜o
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) Se a posic¸a˜o de um carro no instante t > 0 e´ dada por s(t) = (4+ t2), enta˜o a velocidade
me´dia entre os instantes t = 2 e t = 2 + h e´ dada por (veja Texto 1 e/ou v´ıdeo)
s(2 + h)− s(2)
h
=
[4 + (2 + h)2]− [4 + 22]
h
= · · · = h(4 + h)
h
= 4 + h.
Quanto mais pro´ximo h estiver de zero, mais perto a velocidade me´dia estara´ da veloci-
dade em t = 2, de modo que essa velocidade vale
v(2) = lim
h→0
s(2 + h)− s(2)
h
= lim
h→0
(4 + h) = (4 + 0) = 4.
Para cada func¸a˜o abaixo, simplifique o quociente (s(t0+h)−s(t0))/h que da´ a velocidade
me´dia entre os instantes t = t0 e t = t0+h. Em seguida, calcule a velocidade v(t0) fazendo
h se aproximar de zero.
(a) s(t) = t2, no ponto t0 = 3 (b) s(t) = t
3, no ponto t0 = 1
(c) s(t) =
√
t, no ponto t0 = 9
(d) s(t) = s0 + v0t +
a
2
t2, com s0, v, a ∈ R, em um ponto t0 > 0 gene´rico
Dica: para o item (b), lembre que (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador
por (
√
9 + h+ 3)
2) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma func¸a˜o. Dado a ∈ I, a reta tangente
ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a (u´nica) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem
inclinac¸a˜o igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou v´ıdeo). Neste caso, a equac¸a˜o da reta tangente
y = y(x) e´ dada por y − f(a) = f ′(a)(x− a). A expressa˜o acima significa que, quando x
se aproxima de a, o quociente (f(x)− f(a))/(x− a) se aproxima do nu´mero f ′(a).
Por exemplo, se f(x) = x3 e a = 1, enta˜o
f ′(1) = lim
x→1
x3 − 13
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1) = limx→1(x
2 + x+ 1) = (12 + 1 + 1) = 3,
de modo que a equac¸a˜o da reta tangente no ponto (1, f(1)) = (1, 1) e´ y − 1 = 3(x− 1).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a inclinac¸a˜o f ′(a) para o valor de a indicado.
Em seguida, calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a))
(a) f(x) = x2, para a = 2
(b) f(x) =
1
x
, para a = 3
(c) f(x) = mx+ b, com m, b ∈ R, para um valor gene´rico de a
Dica: para calcular f ′(2) no item (a), fatore o numerador (x2 − 4) de modo a cancelar o denominador (x − 2); no item
(b), calcule a diferenc¸a (1/x)− (1/3) reduzindo as frac¸o˜es a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
(x− 3)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 1 de 4
Revisa˜o
Nos exerc´ıcios abaixo sa˜o lembrados alguns conteu´dos estudados no Ensino Me´dio. Espera-
se que voceˆ consiga resolver todos eles. Se na˜o for esse o caso, este e´ o momento de pegar os
livros antigos e recordar as coisas!
1) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto
ate´ o ponto 0. Determine para quais valores de x as igualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| = 4 (b) |2− x| = −1 (c) |x| = −|x|
(d) |2x+ 5| = 4 (e) |x− 3| = |2x+ 1|
2) Determine para quais valores de x as desigualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| < 2 (b) |5x| ≥ 20 (c) |x| > 0
(d) |x+ 3| ≥ 2 (e) |3x− 8| < 4
3) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√|x| − x
ex − 1
(d) r(x) =
x√|x| − 1 (e) p(x) =
√
1−√1− x2 (f) f(x) = ln(−x2 + 4x− 3)
4) Definimos a soma de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀ x ∈ dom(f + g) := dom(f) ∩ dom(g).
Observe que o domı´nio da func¸a˜o soma e´ a intersecc¸a˜o dos domı´nio de f e g, pois para
somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f : R→ R e g : R \ {7} → R sa˜o dadas por
f(x) = 2x2 − 8, g(x) = 2
x− 7 ,
enta˜o (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 − 8 + 2
x− 7, para todo x ∈ dom(f + g) = R \ {7}.
De maneira ana´loga definimos subtrac¸a˜o, produto e quociente de duas func¸o˜es. Neste
u´ltimo caso e´ importante excluir do domı´nio os pontos que anulam o denominador.
Para f e g como acima, determine a expressa˜o e domı´nio de
(a) (f − g)(x) := f(x)− g(x) (b) (f · g)(x) := f(x)g(x)
(c)
(
f
g
)
(x) :=
f(x)
g(x)
(d)
(
g
f
)
(x) :=
g(x)
f(x)
5) Definimos a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f ◦ g)(x) := f(g(x)), ∀ x ∈ dom(f ◦ g) := {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)}.
Para o ca´lculo de (f ◦g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, e´ preciso que y = g(x)
esteja no domı´nio de f , da´ı a explicac¸a˜o do domı´nio da composic¸a˜o.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 2 de 4
Por exemplo, considerando as func¸o˜es f e g do exerc´ıcio anterior, temos que
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2
f(x)− 7 =
2
(2x2 − 8)− 7 =
2
2x2 − 15 , ∀ x 6= ±
√
15
2
.
Veja que, no domı´nio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) 6∈ dom(g) = R \ {7}.
Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x2 − 8 = 7.
Ainda considerando as func¸o˜es f e g como no exerc´ıcio anterior, determine a expressa˜o e
domı´nio de cada uma das composic¸o˜es abaixo.
(a) (f ◦ g) = f(g(x)) (b) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) (c) (g ◦ g)(x) = g(g(x))
6) Considerando f(x) = (4 − x)/x, determine a expressa˜o e o domı´nio de cada uma
das
func¸o˜es abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
7) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias
apresentadas (veja v´ıdeo).
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13
8) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o
domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo
em func¸a˜o de x.
9) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da
caixa em func¸a˜o de x.
10) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que
o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece
a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
11) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 3 de 4
RESPOSTAS
1) (a) v(3) = 6 (b) v(1) = 3 (c) v(9) = 1
6
(d) v(t) = v0 + at
2) (a) f ′(2) = 4, y − 4 = 4(x− 2)
(b) f ′(3) = −1
9
, y − 1
3
= −1
9
(x− 3)
(c) f ′(a) = m, y = mx+ b
Revisa˜o
1)
(a) x ∈ {−4, 4} (b) nenhum valor de x, pois |x| ≥ 0 (c) x = 0
(d) x ∈ {−9
2
,−1
2
}
(e) x ∈ {−4, 2
3
}
2)
(a) x ∈ (−2, 2) (b) x ∈ R \ (−4, 4) (c) x 6= 0
(d) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞) (e) x ∈ (4
3
, 4)
3)
(a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R \ {0}
(d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1] (f) (1, 3)
4) (a) (f − g)(x) = 2x2 − 8− 2
(x− 7), para x 6= 7
(b) (f · g)(x) = 4x
2 − 16
x− 7 , para x 6= 7
(c) (f
g
)(x) = (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d) ( g
f
)(x) =
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
5) (a) (f ◦ g)(x) = 8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(b) (f ◦ f)(x) = 8x4 − 64x2 + 120, para x ∈ R
(c) (g ◦ g)(x) = 2(x− 7)−7x+ 51, para x 6∈ {7,
51
7
}
6) (a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
=
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x , para x 6∈ {0, 4}
(b) f(x2)− f(x)2 = −2(x
2 − 4x+ 6)
x2
, para x 6= 0
(c) f(f(x)) =
5x− 4
4− x , para x 6∈ {0, 4}
7) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
8) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
9) V (x) = x(22 − 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
10) A(x) = 9− 3x
11) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 4 de 4
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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos; regra de L’Hospital
Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.5
1) Durante o processo de tosse, provocado pela presenc¸a na traque´ia de algum corpo es-
tranho, a traque´ia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar atrave´s dela, e
assim tornar mais eficiente o me´todo de expulsa˜o do corpo estranho. Segundo Poiseuille,
indicando por r0 o raio da traque´ia em estado normal e por r ≤ r0 o seu raio durante a
tosse, o fluxo de ar V = V (r) na traque´ia pode ser modelado por
V (r) =


K
r0
2
r4 se 0 ≤ r ≤ r0/2,
K(r0 − r) r4 se r0/2 ≤ r ≤ r0,
onde K e´ uma constante positiva.
(a) Determine os pontos cr´ıticos de V (r) no intervalo (0, r0).
(b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V (r).
(c) Determine os intervalos em que o gra´fico de V (r) e´ coˆncavo para cima ou para baixo.
(d) Use os itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico de V (r) no caso em que K = 1.
2) Conforme ilustra a figura abaixo, as a´reas dos retaˆngulos inscritos na circunfereˆncia
x2+y2 = 16 podem ser calculadas por meio da func¸a˜o A(x) = 4 x
√
16− x2, com x ∈ [0, 4].
(a) Calcule os pontos cr´ıticos da func¸a˜o A(x) no intervalo (0, 4).
(b) Determine os intervalos de crescimento e os
de decrescimento da func¸a˜o A(x).
(c) Determine os intervalos em que a concavi-
dade do gra´fico de A(x) e´ voltada para baixo
e os intervalos em que concavidade e´ voltada
para cima.
(d) Esboce o gra´fico de A(x).
x
y
3) Suponha que o nu´mero de milhares de pessoas infectadas por um v´ırus seja modelado
pela func¸a˜o N(t) = −2t3+at2+bt+c, em que a, b e c sa˜o constantes e o tempo t e´ medido
em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0, nove mil pessoas estavam infectadas,
um ano depois esse nu´mero atingiu um valor mı´nimo e, em seguida, cresceu ate´ atingir
um valor ma´ximo para t = 2.
(a) Determine as constantes a, b e c a partir das informac¸o˜es dadas.
(b) Determine o nu´mero de pessoas infectadas 1, 2 e 3 anos depois do instante t = 0.
(c) Determine a concavidade de N(t) e, em seguida, esboce o seu gra´fico para t ∈ [0, 3].
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 1 de 4
4) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sistema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa
m em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de
Hooke, por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a
velocidade instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Como
a forc¸a resultante e´ F +R, pela Segunda Lei de Newton, temos que
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para t > 0. Suponha que, em unidades adequadas, m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que a equac¸a˜o (∗) e´
satisfeita.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine seus
extremos locais e seus intervalos de crescimento e
decrescimento.
(c) Determine os pontos de inflexa˜o de s(t) e os interva-
los onde a concavidade e´ voltada para cima e onde e´
voltada para baixo.
(d) Determine as ass´ıntotas de s(t) e, em seguida, esboce
o seu gra´fico.
5) Considere duas cargas ele´tricas com carga unita´ria e positiva, fixadas num eixo perpen-
dicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial ele´trico gerado por essas
duas part´ıculas num ponto x ao longo desse eixo e´ dado, em unidades convenientes, pela
seguinte func¸a˜o
V (x) =
1
|x+ 1| +
1
|x− 1| , x > −1.
(a) Verifique que o potencial ele´trico e´ dado por
V (x) =


− 2
x2 − 1 , −1 < x < 1
2x
x2 − 1 , x > 1
(b) Calcule a forc¸a exercida numa part´ıcula de carga unita´ria posicionada em x, dada
por F (x) = −V ′(x).
(c) Calcule os pontos cr´ıticos de V (x) e determine seus extremos locais e seus intervalos
de crescimento e decrescimento. A forc¸a F (x) se anula em algum ponto?
(d) Determine os pontos de inflexa˜o de V (x) e seus intervalos de concavidade para cima
e para baixo.
(e) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais de V (x) e esboce seu gra´fico.
Lista
de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 2 de 4
Gabarito
1. (a) {r0/2, 4r0/5}
(b) cresce em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 4r0/5); decresce em (4r0/5, r0)
(c) coˆncava para cima em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 3 r0/5); coˆncava para baixo em (3 r0/5, r0)
2. (a) {√8}
(b) cresce em (0,
√
8); decresce em (
√
8, 4)
(c) coˆncava para baixo em (0, 4)
3. (a) a = 9; b = −12; c = 9
(b) 4000, 5000 e 0, respectivamente
(c) coˆncava para cima em (0, (3/2)); coˆncava para baixo em ((3/2), 3)
4. (a) v(t) = s′(t) = −3(1− 2t)e−2t, a(t) = v′(t) = 12(1− t)r−2t
(b) ponto cr´ıtico: t = 1/2; cresce em (1
2
,∞); decresce em (0, 1
2
)
(c) ponto de inflexa˜o: t = 1; coˆncava para cima em (0, 1); coˆncava para baixo em
(1,∞)
(d) s = 0 e´ ass´ıntota horizontal
5. (a) lembre que |y| = y se y ≥ 0, e |y| = −y se y < 0
(b)
F (x) = −V ′(x) = −
{
4x(x2 − 1)−2, −1 < x < 1
−2(x2 + 1)(x2 − 1)−2, x > 1
(c) ponto cr´ıtico: x = 0 e´ mı´nimo local; cresce em (0, 1); decresce em (−1, 0)∪(1,+∞)
(d) coˆncava para cima em todo o domı´nio
(e) ass´ıntotas verticais: x = −1 e x = 1; ass´ıntota horizontal: y = 0
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 3 de 4
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 10 – Soluc¸o˜es
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos; regra de L’Hospital
Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.5
1) Durante o processo de tosse, provocado pela presenc¸a na traque´ia de algum corpo es-
tranho, a traque´ia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar atrave´s dela, e
assim tornar mais eficiente o me´todo de expulsa˜o do corpo estranho. Segundo Poiseuille,
indicando por r0 o raio da traque´ia em estado normal e por r ≤ r0 o seu raio durante a
tosse, o fluxo de ar V = V (r) na traque´ia pode ser modelado por
V (r) =


K
r0
2
r4 se 0 ≤ r ≤ r0/2,
K(r0 − r) r4 se r0/2 ≤ r ≤ r0,
onde K e´ uma constante positiva.
(a) Determine os pontos cr´ıticos de V (r) no intervalo (0, r0).
(b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V (r).
(c) Determine os intervalos em que o gra´fico de V (r) e´ coˆncavo para cima ou para baixo.
(d) Use os itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico de V (r) no caso em que K = 1.
Soluc¸o˜es:
(a) Observe que o u´nico ponto onde a func¸a˜o pode na˜o ser deriva´vel e´ r = r0/2. De
fato, calculando os limites laterais do quociente de Newton nesse ponto temos que
lim
r→
r0
2
−
V (r)− V ( r0
2
)
r − r0
2
= lim
r→
r0
2
−
1
r − r0
2
(
Kr0
2
r4 − Kr0
25
r4
0
)
=
Kr4
0
4
,
e
lim
r→
r0
2
+
V (r)− V (r0)
r − r0
2
= lim
r→
r0
2
+
1
r − r0
2
(
K(r0 − r)r4 −K(r0 − r)r
4
0
24
)
=
3Kr4
0
16
,
e portanto V na˜o e´ deriva´vel em r = r0/2. A derivada nos intervalos (0, r0/2) e
(r0, r) pode ser feita de maneira usual e tem a seguinte expressa˜o
V ′(r) =
{
2Kr0r
3 se 0 < r < r0/2,
K(4r0r
3 − 5r4) se r0/2 < r < r0. (1)
Como a func¸a˜o acima se anula somente no ponto r = 4r0/5, os pontos cr´ıticos de f
sa˜o r0/2 e 4r0/5.
(b) Note que por (1) observa-se que V ′(r) > 0 em (0, r0/2). Ale´m disso, fazendo o
estudo do sinal do polinoˆmio 4r0r
3−5r4 observamos que V ′(r) > 0 em (r0/2, 4r0/5)
e V ′(r) < 0 em (4r0/5, r0). Dessa forma, a func¸a˜o e´ crescente em (0, r0/2) e
(r0/2, 4r0/5), e decrescente em (4r0/5, r0).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 1 de 9
(c) A derivada segunda pode ser calculada como acima e, apo´s as devidas simplificac¸o˜es,
obtemos
V ′′(r) =
{
6Kr0r
2 se 0 < r < r0/2,
4Kr2(3r0 − 5r) se r0/2 < r < r0. (2)
Procedendo de maneira ana´loga a feita do item (b), via estudo do sinal de cada parte
da derivada segunda dada em (2), conclu´ımos que a func¸a˜o e´ coˆncava para cima nos
intervalos (0, r0/2) e (r0/2, 3 r0/5), e coˆncava para baixo no intervalo (3 r0/5, r0).
(d) O gra´fico tem o aspecto mostrado abaixo. Observe que, apesar de na˜o ser deriva´vel
r0
2
3r0
5
4r0
5
r0
x
ma´xy
infl.
em r0/2, a func¸a˜o V (r) e´ cont´ınua nesse ponto, sendo portanto crescente em todo o
intervalo (0, 4r0/5).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 2 de 9
2) Conforme ilustra a figura abaixo, as a´reas dos retaˆngulos inscritos na circunfereˆncia
x2+y2 = 16 podem ser calculadas por meio da func¸a˜o A(x) = 4 x
√
16− x2, com x ∈ [0, 4].
(a) Calcule os pontos cr´ıticos da func¸a˜o A(x) no intervalo (0, 4).
(b) Determine os intervalos de crescimento e os
de decrescimento da func¸a˜o A(x).
(c) Determine os intervalos em que a concavi-
dade do gra´fico de A(x) e´ voltada para baixo
e os intervalos em que concavidade e´ voltada
para cima.
(d) Esboce o gra´fico de A(x).
x
y
Soluc¸o˜es:
(a) A derivada de A e´ dada por
A′(x) = 4
√
16− x2 − 4x
2
√
16− x2 =
64− 8x2√
16− x2 , 0 < x < 4, (3)
e se anula somente no ponto x =
√
8.
(b) Como
√
16− x2 > 0 em (0, 4), fazendo o estudo do sinal de 64 − 8x2, conclu´ımos
que A(x) e´ crescente em (0,
√
8) e decrescente em (
√
8, 4).
(c) Fazendo a derivada com relac¸a˜o a x em (3), obtemos pela regra do quociente
A′′(x) =
−16x√
16− x2 +
x(64− 8x2)
(16− x2)3/2 =
8x(−24 + x2)
(16− x2)3/2 , 0 < x < 4. (4)
Agora observe que como x/(16 − x2)3/2 > 0 em 0 < x < 4, estudando-se o sinal do
polinoˆmio (64− 8x2), conclu´ımos que o gra´fico tem concavidade voltada para baixo
em (0, 4).
(d) Com base em (a)-(c), conclu´ımos que o
gra´fico de A(x) e´ como ao lado.
√
8 4
x
ma´xy
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 3 de 9
3) Suponha que o nu´mero de milhares de pessoas infectadas por um v´ırus seja modelado
pela func¸a˜o N(t) = −2t3+at2+bt+c, em que a, b e c sa˜o constantes e o tempo t e´ medido
em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0, nove mil pessoas estavam infectadas,
um ano depois esse nu´mero atingiu um valor mı´nimo e, em seguida, cresceu ate´ atingir
um valor ma´ximo para t = 2.
(a) Determine as constantes a, b e c a partir das informac¸o˜es dadas.
(b) Determine o nu´mero de pessoas infectadas 1, 2 e 3 anos depois do instante t = 0.
(c) Determine a concavidade de N(t) e, em seguida, esboce o seu gra´fico para t ∈ [0, 3].
Soluc¸o˜es:
(a) Uma vez que N(0) = c e 9 mil pessoas esta-
vam infectadas no instante t = 0 conclu´ımos
que c = 9. Segue das informac¸o˜es do enun-
ciado que N ′(1) = N ′(2) = 0. Uma vez que
N ′(t) = −6t2+2at+b, substituindo os valo-
res t = 1 e t = 2 conclu´ımos que a e b devem
satisfazer o sistema linear{
2a+ b = 6
4a+ b = 24,
e portanto a = 9 e b = −12. Desse modo
N(t) = −2t3 + 9t2 − 12t.
y
ma´x. loc.
9
5
4.5
4
mı´n. loc.
1 1.5 2
x
3
(b) Basta usar a expressa˜o de N(t).
(c) Como N ′′(t) = −12t+18, estudando o sinal de N ′′ conclu´ımos que N e´ coˆncava para
cima em (0, 3
2
) e coˆncava para baixo em (3
2
, 3). Pelos dados do enunciado ja´ sabemos
que t = 1 e t = 2 sa˜o pontos cr´ıticos de N(t). Como N(t) e´ deriva´vel, e N ′(t) e´
um polinoˆmio do segundo grau, conclu´ımos que estes sa˜o os u´nicos pontos cr´ıticos
de N(t). Ainda pelo enunciado, ja´ sabemos que estes sa˜o pontos de ma´ximo local
e mı´nimo local, respectivamente. Note que o item (b) confirma esta´ informac¸a˜o.
Agora, como N ′′(t) troca de sinal em t = 1.5, segue que este e´ um ponto de inflexa˜o.
Notando que N(3/2) = 9/2, e usando as informac¸o˜es dos itens (a)-(d) obtemos o
gra´fico ao lado.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 4 de 9
4) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sistema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa
m em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de
Hooke, por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a
velocidade instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Como
a forc¸a resultante e´ F +R, pela Segunda Lei de Newton, temos que
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para t > 0. Suponha que, em unidades adequadas, m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que a equac¸a˜o (∗) e´
satisfeita.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine seus
extremos locais e seus intervalos de crescimento e
decrescimento.
(c) Determine os pontos de inflexa˜o de s(t) e os interva-
los onde a concavidade e´ voltada para cima e onde e´
voltada para baixo.
(d) Determine as ass´ıntotas de s(t) e, em seguida, esboce
o seu gra´fico.
Soluc¸o˜es:
(a) Temos que
v(t) = −3(te−2t)′ = −3((t)′e−2t + (e−2t)′t) = −3(e−2t − 2te−2t) = −3(1− 2t)e−2t
e tambe´m que
a(t) = −3((1− 2t)e−2t)′ = −3((1− 2t)′e−2t + (e−2t)′(1− 2t)) = 12(1− t)e−2t.
Segue enta˜o que
−4s(t)− 4v(t) = −4(−3te−2t +−3(1− 2t)e−2t) = 12(1− t)e−2t = a(t),
verificando a equac¸a˜o (∗).
(b) Temos que s′(t) = v(t) = 0 se e so´ se t = 1/2, que e´ o u´nico ponto cr´ıtico. Ale´m
disso, como e−2t > 0, segue que o sinal s′(t) e´ igual ao sinal de −3(1 − 2t). Logo
temos que s′(t) > 0, se t > 1
2
e tambe´m s′(t) < 0, se 0 ≤ t < 1
2
. Portanto a func¸a˜o s
cresce em (1
2
,∞) e decresce em [0, 1
2
). Temos enta˜o que t = 1/2 e´ ponto de mı´nimo
global de s.
(c) Como e−2t > 0, segue que o sinal s′′(t) = a(t) e´ igual ao sinal de 12(1 − t). Logo
s′′(t) > 0, se 0 ≤ t < 1 e tambe´m s′′(t) < 0, se t > 1. Portanto a func¸a˜o s tem
concavidade para cima em [0, 1) e tem concavidade para baixo em (1,∞). Temos
enta˜o que t = 1 e´ um ponto de inflexa˜o de s.
(d) Na˜o existem ass´ıntotas verticais nem ass´ıntota horizontal pela esquerda, uma vez
que s(t) e´ cont´ınua e esta´ definida em [0,∞). Para determinar se existe ass´ıntota
horizontal pela direita, calculamos o limite
lim
t→∞
s(t) = lim
t→∞
−3t
e2t
= lim
t→∞
−3
2e2t
= 0,
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 5 de 9
onde usamos L’Hospital, de modo que s = 0 e´ ass´ıntota horizontal pela direita.
Usando essas informac¸o˜es, podemos esboc¸ar o gra´fico de s(t) como ilustrado abaixo.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 6 de 9
5) Considere duas cargas ele´tricas com carga unita´ria e positiva, fixadas num eixo perpen-
dicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial ele´trico gerado por essas
duas part´ıculas num ponto x ao longo desse eixo e´ dado, em unidades convenientes, pela
seguinte func¸a˜o
V (x) =
1
|x+ 1| +
1
|x− 1| , x > −1.
(a) Verifique que o potencial ele´trico e´ dado por
V (x) =


− 2
x2 − 1 , −1 < x < 1
2x
x2 − 1 , x > 1
(b) Calcule a forc¸a exercida numa part´ıcula de carga unita´ria posicionada em x, dada
por F (x) = −V ′(x).
(c) Calcule os pontos cr´ıticos de V (x) e determine seus extremos locais e seus intervalos
de crescimento e decrescimento. A forc¸a F (x) se anula em algum ponto?
(d) Determine os pontos de inflexa˜o de V (x) e seus intervalos de concavidade para cima
e para baixo.
(e) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais de V (x) e esboce seu gra´fico.
Soluc¸o˜es:
(a) Para −1 < x < 1 temos que x+ 1 > 0 e que x− 1 < 0, portanto
V (x) =
1
x+ 1
− 1
x− 1 = −
2
x2 − 1 = −2(x
2 − 1)−1.
Para x > 1 temos que x+ 1 > 0 e que x− 1 > 0, portanto
V (x) =
1
x+ 1
+
1
x− 1 =
2x
x2 − 1 = 2x(x
2 − 1)−1.
(b) Basta obter V ′(x). Como V (x) na˜o esta´ definida no ponto x = 1 onde muda sua
expressa˜o alge´brica, para derivar V (x) basta derivar cada expressa˜o alge´brica
(−2(x2 − 1)−1)′ = 4x(x2 − 1)−2,
(2x(x2 − 1)−1)′ = 2(x2 − 1)−1 − 4x2(x2 − 1)−2 = −2(x2 + 1)(x2 − 1)−2,
de modo que
V ′(x) =
{
4x(x2 − 1)−2, −1 < x < 1
−2(x2 + 1)(x2 − 1)−2, x > 1
(c) Nas ana´lises de sinal, vamos usar diversas vezes que x2 − 1 e´ negativo para −1 <
x < 1 e positivo para x > 1 e que (x2 − 1)2 e´ positivo para x 6= ±1.
Pelo item (b), o sinal de V ′(x) em (−1, 1) e´ o sinal de x. Segue que x = 0 e´ ponto
cr´ıtico, que V (x) e´ decrescente em (−1, 0) e crescente em (0, 1). Em particular,
x = 0 e´ um mı´nimo local. O sinal de V ′(x) em (1,∞) e´ o sinal de −(x2 + 1) que e´
sempre negativo. Segue que V (x) e´ decrescente em (1,∞).
Como x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de V (x), segue esse e´ o u´nico ponto onde a forc¸a
F (x) se anula.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 7 de 9
(d) Uma vez que V ′(x) na˜o esta´ definida no ponto x = 1 onde muda sua expressa˜o
alge´brica, para obter V ′′(x) basta derivar cada expressa˜o alge´brica
(4x(x2 − 1)−2)′ = 4(x2 − 1)−2 − 16x2(x2 − 1)−3 = −4(3x2 + 1)(x2 − 1)−3
(−2(x2+1)(x2−1)−2)′ = −4x(x2−1)−2+8(x2+1)x(x2−1)−3 = 4x(x2+3)(x2−1)−3
de modo que
V ′′(x) =
{ −4(3x2 + 1)(x2 − 1)−3, −1 < x < 1
4x(x2 + 3)(x2 − 1)−3, x > 1
O sinal de V ′′(x) em (−1, 1) e´ o sinal de −(x2 − 1)−3, que e´ o sinal de −(x2 − 1),
que e´ positivo para −1 < x < 1. Segue que V possui concavidade para cima em
(−1, 1). O sinal de V ′′(x) em (1,∞) e´ o sinal de x(x2 − 1)−3, que e´ o sinal de
x2 − 1, que e´ positivo para x > 1. Segue que V possui concavidade para cima em
(1,∞). Portanto V (x) sempre possui concavidade para cima e na˜o possui pontos
de inflexa˜o.
(e) Uma vez que V (x) e´ cont´ınua em (−1, 1)∪(1,∞), os candidatos a ass´ıntotas verticais
sa˜o x = −1 e x = 1. Temos que
lim
x↓−1
V (x) = lim
x↓−1
− 2
x2 − 1 = +∞,
uma vez que x2−1 se anula em x = −1 e que o sinal de −2/(x2−1) quando x ↓ −1
e´ positivo. Com uma ana´lise ana´loga, conclu´ımos que
lim
x↑1
V (x) = lim
x↑1
− 2
x2 − 1 = +∞.
Segue que ambas x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas verticais de V (x). Temos por u´ltimo
que
lim
x↓1
V (x) = lim
x↓1
2x
x2 − 1 = +∞,
uma vez que x2−1 se anula em x = 1, que 2x na˜o se anula em x = −1 e que o sinal
de 2x/(x2 − 1) quando x ↓ 1 e´ positivo.
Pela forma do domı´nio de V (x) ela so´ pode ter ass´ıntota horizontal a` direita. Temos
que
lim
x→∞
V (x) = lim
x→∞
2x
x2 − 1 = limx→∞
2
2x
= 0,
onde usamos L’Hospital no limite indeterminado ∞/∞. Segue que y = 0 e´ uma
ass´ıntota horizontal a` direita de V (x).
Para esboc¸ar o gra´fico de V (x) primeiro notamos que V (x) e´ sempre positivo, o
que segue da sua expressa˜o no enunciado da questa˜o. Do item (c) segue que V ′′(x)
e´ sempre positivo. Assim, o gra´fico de V (x) esta´ sempre acima do eixo x com
concavidade para cima. O item (b) nos diz que V (x) e´ decrescente em (−1, 0),
crescente em (0, 1) e novamente decrescente em (1,∞). Juntando essa informac¸a˜o
com a informac¸a˜o das ass´ıntotas, temos que o esboc¸o do gra´fico de V (x) abaixo.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 8 de 9
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Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos
Sec¸o˜es do livro: 4.4
1) Para as func¸o˜es f abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais, intervalos
de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava para cima
e para baixo, ass´ıntotas verticais. Note que as derivadas ja´ esta˜o dadas.
(a) f(x) =
16− x2
4(x− 2)2 ,
f
′(x) =
x− 8
(x− 2)3 , f
′′(x) =
2(11− x)
(x− 2)4
(b) f(x) =
x2 − x+ 1
x− 1 , f
′(x) =
x(x− 2)
(x− 1)2 , f
′′(x) =
2
(x− 1)3
(c) f(x) =
3
4
3
√
x(x− 4), f ′(x) = x− 1
3
√
x2
, f ′′(x) =
1
3
(x+ 2)
3
√
x5
2) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo. Determine ainda as (poss´ıveis) ass´ıntotas e, finalmente, fac¸a um
esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = −2x3 − 3x2 + 12x+ 4 (b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(c) f(x) = ln(x) (d) f(x) = ex
(e) f(x) = tan(x2), x ∈ (−
√
pi/2,
√
pi/2) (f) f(x) = arctan(x)
(g) f(x) = arccos(x), x ∈ (−1, 1) (h) f(x) = x
3 − 2
x
(i) f(x) =
2x2 − 8
x2 − 16 (j) f(x) = e
−x − e−2x
(k) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2pi) (l) f(x) = x
2 − 1
x3
3) Repita o que foi feita no exerc´ıcio acima para as func¸o˜es seguintes.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 1 de 5
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 2); (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 2); (2, 11)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ coˆncava para cima em (−∞, 11) porque 2 6∈ dom(f)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntota vertical: x = 2
ass´ıntota horizontal: y = −1/4
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 0); (2,+∞)
decrescente em: (0, 1); (1, 2)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ decrescente em (0, 2) porque 1 6∈ dom(f) concavidade
volta para cima em: (1,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 1)
ass´ıntota vertical: x = 1
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em: (1,+∞)
decrescente em: (−∞, 1)
concavidade volta para cima em: (−∞,−2); (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−2, 0)
pontos de inflexa˜o: x = −2; x = 0
2) (a) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1/2)
concavidade voltada para baixo em: (−1/2,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1/2
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local); x = 1 (na˜o e´ extremo local)
crescente em (0,+∞)
decrescente em (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 1/3) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (1/3, 1)
pontos de inflexa˜o: x = 1/3 e x = 1
(c) pontos cr´ıticos: na˜o existem
sempre crescente
concavidade sempre voltada para baixo
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntota vertical: x = 0
(d) pontos cr´ıticos: na˜o existem
sempre crescente
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 2 de 5
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntota horizontal: y = 0
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em : (0,
√
pi/2)
decrescente em: (−
√
pi/2, 0)
concavidade sempre voltada para cima
pontos de inflexa˜o: na˜o existem ass´ıntotas verticais: x = −
√
pi/2; x = +
√
pi/2
(f) sempre crescente
concavidade voltada para cima em: (−∞, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas horizontais: y = −pi/2; y = pi/2
(g) sempre decrescente
concavidade voltada para cima em: (−1, 0)
concavidade voltada para baixo em: (0, 1)
ponto de inflexa˜o: x = 0
(h) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−1, 0; (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexa˜o: x = 21/3
ass´ıntotas verticais: x = 0
(i) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−4); (−4, 0)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (0, 4); (4,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−4, 4)
pontos de inflexa˜o: nenhum
Observe que estaria incorreto dizer que x = −4 ou x = 4 sa˜o pontos de infleca˜o porque, ainda que
a concavidade troque, a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua nestes pontos
ass´ıntotas verticais: x = −4; x = 4
ass´ıntotas horizontais: y = 2
(j) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, ln 2)
decrescente em: (ln 2,+∞)
concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4)
pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(k) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 3 de 5
crescente em: (0, 2pi)
decrescente em: nunca
concavidade volta para cima em: (pi, 2pi)
concavidade volta para baixo em: (0, pi)
pontos de inflexa˜o: x = pi
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(l) pontos cr´ıticos: x = −√3 (mı´nimo local); x = √3 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−√3, 0); (0,√3)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (−∞,−√3); (√3,+∞)
concavidade volta para cima em: (−√6, 0) ∪ (√6,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞,−√6) ∪ (0,√6)
pontos de inflexa˜o: x = −√6; x = √6
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: y = 0
3) (a) pontos cr´ıticos: x = −10 (ma´ximo local); x = 10 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−10); (10,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−10, 0); (0, 10)
concavidade voltada para cima em: (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
(b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em: (−1, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−√3, 0) ∪ (√3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−√3) ∪ (0,√3)
pontos de inflexa˜o: x = −√3, x = 0 e x = √3
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(c) pontos cr´ıticos: na˜o existem
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 1)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 1
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(d) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1, 1)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 4 de 5
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em: (0,+∞)
decrescente em: (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−1, 1)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
Apresentamos abaixo o gra´fico de cada uma das func¸o˜es do exerc´ıcio.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) = (x+1)
2
1+x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Figura 1: Gra´ficos do exerc´ıcio 4
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 5 de 5
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Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11
Temas abordados : Regra de L’Hoˆpital
Sec¸o˜es do livro: 4.6
1) Resolva as indeterminac¸o˜es abaixo usando a Regra de L’Hoˆpital. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→1
ex−1 − 1
x− 1 (b) limx→0+
ln(x+ 1)
x
(c) lim
x→+∞
ln x
x
(d) lim
x→+∞
x2 − 1
ex2
2) Em alguns casos, e´ necessa´rio aplicar a Regra de L’Hoˆpital mais de uma vez. Por exemplo,
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞.
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite sa˜o indeterminac¸o˜es do tipo ∞/∞,
enquanto o u´ltimo pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(d) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
3) A Regra de L’Hoˆpital se aplica somente a indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 e ∞/∞. Em
alguns casos, quando temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0·∞, uma manipulac¸a˜o alge´brica
adequada nos permite aplicar L’Hoˆpital. Por exemplo,
lim
x→−∞
(x− 3)ex = lim
x→−∞
x− 3
e−x
= lim
x→−∞
1
−e−x = 0.
Note que, no segundo limite acima, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞/∞, enquanto
no u´ltimo o denominador tende para infinito.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
x2 ln(x) (b) lim
x→+∞
x sen(1/x) = 1
4) O limite lim
x→0+
(1 + x)1/x e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 1∞. Ele pode ser calculado,
observando-se que
(1 + x)1/x = eln(1+x)
1/x
= e
ln(1+x)
x
Vimos no primeiro exerc´ıcio que limx→0+
ln(1+x)
x
= 1. Assim, como a func¸a˜o exponencial
e´ cont´ınua, temos que
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
x→0+
e
ln(1+x)
x = elimx→0+
ln(1+x)
x = e1 = e.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
xx (b) lim
x→∞
(1 + 2x)
1
2 ln(x)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 1 de 2
5) Calcule cada um dos limites abaixo.
(a) lim
x→0
√
1 + x− 1− (x/2)
x2
(b) lim
x→0
x
arctan(x)
(c) lim
x→0+
(
1 +
1
x
)x
(d) lim
x→0
8x2
cos(x)− 1
(e) lim
x→+∞
√
9x+ 1√
x− 1
(f) lim
x→−∞
x−2e−x
2
(g) lim
x→+∞
ln(ln(x))
ln x
(h) lim
x→0
x cos
(
1
x
)
(i) lim
x→0
(cosx)1/x
2
(j) lim
x→0+
xr ln(x), com r > 0
(k) lim
x→+∞
x2 ln(x) (l) lim
x→0
tan(x)
x
(m) lim
x→+∞
p(x)
ex
, onde p e´ um polinoˆmio (n) lim
x→0+
√
x√
sen(x)
(o) lim
x→2−
3 + x
x− 2 (p) limx→4−
√
x2 − 8x+ 16
x− 4
RESPOSTAS
1) (a) 1 (b) 1 (c) 0 (d) 0
2) (a) 0 (b) −1 (c) 3 (d) na˜o existe
3) (a) 0 (b) 1
4) (a) 1 (b) e1/2
5)
(a) −1/8 (b) 1 (c) 1 (d) −16
(e) 3 (f) 0 (g) 0 (h) 0
(i) −1/2 (j) 0 (k) +∞ (l) 1
(m) 0 (n) 1 (o) −∞ (p) −1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 2 de 2
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Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricac¸a˜o esta´ sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que e´ ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em func¸a˜o de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro ma´ximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)−20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
2) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de servic¸o fixa de R$ 50,00 para pacotes
tur´ısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa e´ de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de servic¸o
cobrada por um pacote tur´ıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gra´fico da func¸a˜o T (x) conte´m o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, na˜o e´ poss´ıvel encontrar um pacote tur´ıstico de valor R$ x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Na˜o existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) na˜o depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
3) Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o. A` medida que o pista˜o
e´ comprimido, o volume do ga´s decresce com a func¸a˜o V (P ) = 200/P litros, ate´ atingir
a pressa˜o cr´ıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela func¸a˜o
V (P ) = −0, 01P + 2 ate´ que seja atingida a nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressa˜o de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P
−
0
V (P ) e lim
P→P
+
0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existeˆncia do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P pro´ximos de zero?
4) Considere o c´ırculo unita´rio da figura abaixo, em que α denota um aˆngulo no intervalo
(0, pi/2). O triaˆngulo ∆OAB, cuja altura esta´ representada por h, esta´ contido no setor
circular SOAB, que, por sua vez, esta´ contido no triaˆngulo ∆OCB de altura H .
(a) Determine, em termos de h, α e H , as expresso˜es
das a´reas do triaˆngulo ∆OAB, do setor circular SOAB
e do triaˆngulo ∆OCB. Em seguida, use a figura para
comparar tais grandezas.
(b) Determine, com ajuda de func¸o˜es trigonome´tricas
convenientes, uma equac¸a˜o que relaciona α e h; e
outra que relaciona α e H .
(c) Use os itens (a) e (b) para mostrar que se α ∈
(0, pi/2), enta˜o vale 0 < senα < α < tgα.
(d) Use o item (c) para mostrar que limα→0+ senα = 0.
(e) Usando o mesmo me´todo para aˆngulos pertencentes
ao intervalo (−pi/2, 0), mostre que limα→0− senα =
0. Em seguida, conclua que limα→0 senα = 0.
O
A
B
C
h
H
α
OA = OB = 1
5) Ainda com respeito a` figura do exerc´ıcio acima, vamos mostrar o Limite Trigonome´trico
Fundamental.
(a) Sabendo que cosα > 0 sempre que α ∈ (−pi/2, pi/2) fac¸a cosα =
√
1− (senα)2 e
conclua que limα→0 cosα = 1.
(b) Inverta a desigualdade senα < α < tgα, va´lida para α ∈ (0, pi/2).
(c) Lembrando que se α ∈ (0, pi/2) temos senα > 0 use o item acima para mostrar que,
nesse intervalo, vale cosα <
senα
α
< 1.
(d) Mostre que limα→0+
senα
α
= 1.
(e) Use um procedimento ana´logo para aˆngulos pertencentes ao intervalo (−pi/2, 0) e
mostre que limα→0−
senα
α
= 1. Em seguida, conclua que limα→0
senα
α
= 1.
Gabarito
1. (a) V (h) = 42pih
(b) h0 = 20/(4
2pi)
(c) 1/(10× 42pi)
(d) δ ≤ ε/(42pi)
2. Itens corretos: (a), (b), (c), (f)
3. (a)
V (P ) =


200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) limP→100− V (P ) = 2, limP→100+ V (P ) = 1. Na˜o existe o limite.
(c) limP→150− V (P ) = 1/2, limP→150+ V (P ) = 1/2. O limite existe e vale 1/2
(d) se torna cada vez maior
4. (a) a´rea ∆OAB = h/2; a´rea SOAB
= α/2 ; a´rea ∆OBC = H/2
(b) h = senα ; H = tgα
5. (a)
(b)
cosα
senα
<
1
α
<
1
senα
Listas/semana 2/semana_02ap_gab.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 02 – Soluc¸o˜es
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricac¸a˜o esta´ sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que e´ ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em func¸a˜o de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro ma´ximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)−20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
Soluc¸o˜es:
(a) O volume de um cilindro reto e´ dado pela a´rea base vezes a sua altura, de modo
que V (h) = 42pih.
(b) Basta resolver a equac¸a˜o V (h0) = 20 para obter h0 = 20/(4
2pi).
(c) Para estimar o erro do volume em termos do erro na altura basta notar que
|V (h)− 20| = |V (h)− V (h0)| = |42pih− 42pih0| = 42pi|h− h0|.
Logo |V (h)− 20| < 1/10, sempre que |h− h0| < 1/(10× 42pi). Dessa forma, o erro
ma´ximo e´ dado por 1/(10× 42pi).
(d) Basta usar as ideias do item anterior, substituindo 1/10 por ε e considerando δ > 0
como o erro ma´ximo. Da fato,
|V (h)− V (h0)| = |42pih− 42pih0| = 42pi|h− h0| (1)
Logo, se
|h− h0| < ε/(42pi)
Temos por (1) que
|V (h)− V (h0)| < ε
Logo basta tomar δ < ε/(42pi).
2) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de servic¸o fixa de R$ 50,00 para pacotes
tur´ısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa e´ de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de servic¸o
cobrada por um pacote tur´ıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gra´fico da func¸a˜o T (x) conte´m o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, na˜o e´ poss´ıvel encontrar um pacote tur´ıstico de valor R$ x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Na˜o existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) na˜o depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
Soluc¸o˜es:
Note que 0, 02x e´ a maneira anal´ıtica de expressarmos 2% de um dado valor x. Logo
T (x) =


50, se x ∈ (0, 1000],
30 + 0, 02x, se x ∈ (1000, 5000],
c+ 0, 01x, se x ∈ (5000,+∞).
(a) Como T (3000) = 30 + 0, 02 × 3000 = 90 o ponto (3000, 90) pertence ao gra´fico da
func¸a˜o.
(b) Observe que se T (x0) = 140 enta˜o x0 > 5000. Da´ı considere c = 100 na expressa˜o
acima e desenhe o gra´fico de T .
Para resolver os quatro u´ltimos itens basta lembrar que limx→a T (x) existe se, e somente
se, os limites laterais no ponto existem e sa˜o iguais. Nesse caso, esse valor comum e´ igual
ao valor do limite.
(c) No ca´lculo de limx→1000+ T (x) lembre que interessam somente os valores de T (x)
quando x esta´ a` direita e pro´ximo do ponto a = 1000. Assim,
lim
x→1000+
T (x) = lim
x→1000+
(30 + 0, 02x) = 30 + 0, 02× 1000 = 50.
(d) O mesmo racioc´ınio nos permite concluir que
lim
x→1000−
T (x) = 50,
o que em conjunto com o item (c) nos garante que
lim
x→1000
T (x) = 50.
(e) Observe que
lim
x→5000+
T (x) = 50 + c
(f) Aqui precisamos verificar duas afirmac¸o˜es. De fato, queremos saber se e´ verdade
que:
(i) Se c = 80 enta˜o limx→5000 = T (5000).
(ii) Se limx→5000 = T (5000) enta˜o c = 80.
Para o subitem (i), veja que se c = 80
lim
x→5000+
80 + 0, 01x = lim
x→5000−
30 + 0, 02x = 130 = T (5000).
Para o subitem (ii), suponha que limx→5000 = T (5000).
Em particular,
T (5000) = lim
x→5000−
T (x) = 130,
pelo que vimos no subitem (i).
Assim, ja´ que por hipo´tese
T (5000) = lim
x→5000+
c+ 0, 01x = c+ 50,
segue-se que c = 80.
3) Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o. A` medida que o pista˜o
e´ comprimido, o volume do ga´s decresce com a func¸a˜o V (P ) = 200/P litros, ate´ atingir
a pressa˜o cr´ıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela func¸a˜o
V (P ) = −0, 01P + 2 ate´ que seja atingida a nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressa˜o de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P
−
0
V (P ) e lim
P→P
+
0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existeˆncia do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P pro´ximos de zero?
Soluc¸o˜es:
(a) De acordo com as informac¸o˜es do enunciado temos que
V (P ) =


200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) Temos que
lim
P→100−
V (P ) = lim
P→100−
200
P
= 2
e
lim
P→100+
V (P ) = lim
P→100+
(−0, 01P + 2) = −1 + 2 = 1.
Apesar dos limites laterais existirem eles na˜o sa˜o iguais. Desse modo, conclu´ımos
que na˜o existe limite quanto P tende para 100.
(c) Temos que
lim
P→150−
V (P ) = lim
P→100−
(−0, 01P + 2) = −1, 5 + 2 = 0, 5
e
lim
P→150+
V (P ) = lim
P→100+
0, 5 = 0, 5.
Os limites laterais existirem e sa˜o iguais, de modo que o limite quanto P tende para
150 existe. Mais especificamente limP→150 V (P ) = 0, 5.
(d) Quando P esta´ pro´ximo de zero o quociente 200/P se torna cada vez maior.
4) Considere o c´ırculo unita´rio da figura abaixo, em que α denota um aˆngulo no intervalo
(0, pi/2). O triaˆngulo ∆OAB, cuja altura esta´ representada por h, esta´ contido no setor
circular SOAB, que, por sua vez, esta´ contido no triaˆngulo ∆OCB de altura H .
(a) Determine, em termos de h, α e H , as expresso˜es
das a´reas do triaˆngulo ∆OAB, do setor circular SOAB
e do triaˆngulo ∆OCB. Em seguida, use a figura para
comparar tais grandezas.
(b) Determine, com ajuda de func¸o˜es trigonome´tricas
convenientes, uma equac¸a˜o que relaciona α e h; e
outra que relaciona α e H .
(c) Use os itens (a) e (b) para mostrar que se α ∈
(0, pi/2), enta˜o vale 0 < senα < α < tgα.
(d) Use o item (c) para mostrar que limα→0+ senα = 0.
(e) Usando o mesmo me´todo para aˆngulos pertencentes
ao intervalo (−pi/2, 0), mostre que limα→0− senα =
0. Em seguida, conclua que limα→0 senα = 0.
O
A
B
C
h
H
α
OA = OB = 1
Soluc¸o˜es:
(a) Usando as fo´rmulas da a´rea de triaˆngulos e setores circulares, temos que
A∆OAB =
OB h
2
=
h
2
, ASOAB =
α OB
2
2
=
α
2
e A∆OAC =
OB H
2
=
H
2
Observe que o triaˆngulo ∆OAB esta´ contido no setor circular SOAB e, SOAB esta´
contido no triaˆngulo ∆OAC . Logo, comparando-se as a´reas
h < α < H. (2)
(b) Note que
senα =
h
OA
= h e que H =
H
OB
= tgα. (3)
(c) Veja que se 0 < α < pi/2, temos que o triaˆngulo ∆OAB esta´ contido no setor circular
SOAB e, SOAB esta´ contido no triaˆngulo ∆OAC
. Combinando-se (2) e (3) o resultado
segue.
(d) Como sen(α) = h e o triaˆngulo esta´ contido no setor circular, temos que 0 < sen α <
α, para todo α ∈ (0, pi/2). Segue do Teorema so Sandu´ıche que
lim
α→0+
senα = 0. (4)
(e) Suponha que −pi/2 < α < 0. Considerando uma
construc¸a˜o como na figura 2 (veja abaixo), temos:
De forma ana´loga a que fizemos nos itens (a)-(c) con-
clu´ımos que
0 <
−sen α
2
<
−α
2
(5)
Usando (4) e o Teorema do Sandu´ıche mostramos
que
lim
α→0−
senα = 0. (6)
Combinando-se (4) e (6) o resultado segue.
O
A′
B
C ′
h
H
α
OA′ = OB = 1
5) Ainda com respeito a` figura do exerc´ıcio acima, vamos mostrar o Limite Trigonome´trico
Fundamental.
(a) Sabendo que cosα > 0 sempre que α ∈ (−pi/2, pi/2) fac¸a cosα = √1− (senα)2 e
conclua que limα→0 cosα = 1.
(b) Inverta a desigualdade senα < α < tgα, va´lida para α ∈ (0, pi/2).
(c) Lembrando que se α ∈ (0, pi/2) temos senα > 0 use o item acima para mostrar que,
nesse intervalo, vale cosα <
senα
α
< 1.
(d) Mostre que limα→0+
senα
α
= 1.
(e) Use um procedimento ana´logo para aˆngulos pertencentes ao intervalo (−pi/2, 0) e
mostre que limα→0−
senα
α
= 1. Em seguida, conclua que limα→0
senα
α
= 1.
Soluc¸o˜es:
(a) Observe que como cos α =
√
1− sen2 α e
lim
α→0
√
1− sen2 α =
√
lim
α→0
(
1− sen2 α) =
√
1− ( lim
α→0
sen α
)2
,
usando o item (e) da questa˜o acima, obtemos que limα→0 cos α = 1.
(b) Lembre que caso x < y para x 6= 0 e y 6= 0 enta˜o
1
x
>
1
y
.
Assim, como senα < α < tgα, enta˜o:
1
senα
>
1
α
>
cosα
senα
, ∀α ∈ (0, pi/2).
(c) Lembre que caso x < y e c ≥ 0 enta˜o cx > cy, para todo x ∈ R e y ∈ R. Logo,
usando o item (b) e o fato de que senα > 0, se α ∈ (0, pi/2) temos que
senα
senα
>
senα
α
>
senα cosα
senα
, ∀α ∈ (0, pi/2).
Como senα > 0 segue que
1 >
senα
α
> cosα, ∀α ∈ (0, pi/2). (7)
(d) Basta combinar os itens (a), (b) e (c) e aplicar o Teorema do Sandu´ıche. De fato,
lim
α→0+
1 = 1 e lim
α→0+
cosα = 1. (8)
Como (7) e´ va´lida para todo 0 < α < pi/2, o resultado segue combinando (7), (8) e
o Teorema do Sandu´ıche.
(e) Lembre que caso x < y e c ≤ 0 enta˜o cx < cy, para todo x ∈ R e y ∈ R. Logo,
usando o item (b) e o fato de que senα < 0, se α ∈ (−pi/2, 0) temos que
senα
senα
<
senα
α
<
senα cosα
senα
, ∀α ∈ (−pi/2, 0).
Como senα 6= 0 segue que
1 <
senα
α
< cosα, ∀α ∈ (0, pi/2). (9)
Para provar o resultado basta usar (9) e um racioc´ınio ana´logo ao aplicado no item
(d).
Listas/semana 2/semana_02ex.pdf
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Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
(a) lim
x→2
f(x) na˜o existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) e´ positivo.
2) Calcule os limites abaixo (veja Texto 1).
(a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) (b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4 (c) limx→2
8− 2x
|x− 4|
(d) lim
x→4+
8− 2x
|x− 4| (e) limx→1−
|x− 1|
x− 1 (f) limx→1
|x− 1|
x− 1
3) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
(a) Esboce os gra´ficos de f e g.
(b) Decida sobre a existeˆncia dos limites lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Deˆ a expressa˜o de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
4) Limites do tipo limx→a
f(x)
g(x)
com o numerador e o denominador se aproximando de zero
sa˜o chamados de indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 (veja v´ıdeo). Eles sa˜o delicados porque na˜o
podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g sa˜o polinoˆmios, enta˜o f(a) = g(a) = 0,
e portanto x = a e´ uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos
fatora´-los na forma (x − a)p(x), com p sendo um polinoˆmio de grau menor. Em alguns
casos, isso permite eliminar a indeterminac¸a˜o, como no exemplo abaixo
lim
x→3
x2 − 4x+ 3
6− 2x = limx→3
(x− 3)(x− 1)
−2(x− 3) = limx→3
x− 1
−2 =
2
−2 = −1.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
z→0
z2 + 2z
z
(b) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x (c) limt→1
t− 1
t3 − 1
Dica: para fatorar o polinoˆmio (t3 − 1) divida-o por (t− 1). (veja v´ıdeo)
5) O limite trigonome´trico fundamental nos diz que lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (veja Texto 3 e/ou v´ıdeo). Use
essa informac¸a˜o para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(veja v´ıdeo) (b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
cos(x)− 1
x
Dica: para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por (cos(x) + 1)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 1 de 3
6) Algumas indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 podem ser resolvidas usando-se o artif´ıcio de mul-
tiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles, conforme o exemplo
abaixo
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)
(x− 4)
(
√
x+ 2)
(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) = limx→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9 (b) limx→7
5−√4 + 3x
7− x (c) limx→0
1− cos(x)
x2
Observac¸a˜o: vale a pena tentar o artif´ıcio acima no item (a) do exerc´ıcio 4 para se convencer de que, naquele caso, o melhor
caminho e´ mesmo a fatorac¸a˜o
7) Calcule cada um dos limites abaixo (veja Texto 2).
(a) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x3 − x2 + x− 1 (b) limx→a
√
x−√a
x− a (c) limx→0−
x sen(x)
1− cos(x)
(d) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
(e) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 (f) limx→pi
sen(x− pi)
x− pi
(g) lim
x→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1| (h) limx→a
xn − an
x− a (i) limx→a
3
√
x− 3√a
x− a
Dica: nos dois u´ltimos, use a identidade (xn − yn) = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1), para n ∈ N
8) Se a posic¸a˜o de um carro no instante t > 0 e´ dada por s(t), enta˜o a sua velocidade pode
ser calculada a partir do seguinte limite (veja v´ıdeo)
v(t) = lim
h→0
s(t+ h)− s(t)
h
.
Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.
(a) s(t) = t3 (b) s(t) =
√
t+ 1 (c) s(t) = sen(t)
Dica: para o item (c), lembre que sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e use o exerc´ıcio 5
9) Suponha que a velocidade de um carro e´ v(t), para t > 0. Usando a ideia do exerc´ıcio
acima, escreva a expressa˜o da acelerac¸a˜o a(t) em termos de um limite envolvendo a
acelerac¸a˜o me´dia. Em seguida, determine a acelerac¸a˜o no caso em que v(t) = cos(t).
Dica: para o ca´lculo do limite, lembre que cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) e use o exerc´ıcio 5
10) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma func¸a˜o. Dado a ∈ I, lembre que a
reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a (u´nica) reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinac¸a˜o igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja v´ıdeo). Neste caso, a equac¸a˜o da reta tangente y = y(x) e´ dada
por y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a inclinac¸a˜o f ′(a) em um ponto gene´rico.
Em seguida, calcule a equac¸a˜o da reta tangente no ponto indicado.
(a) f(x) = 2x2, no ponto
(3, f(3)) (b) f(x) =
5
x
, no ponto (2, f(2))
(c) f(x) = x|x|, no ponto (0, f(0)) (d) f(x) = |x|, no ponto (0, f(0))
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas. Para os dois primeiros itens um poss´ıvel contra-exemplo
e´ a func¸a˜o f(x) =
{
1 se x 6= 2
−3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) =
{ |x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2
2) (a) 5 (b) 1 (c) 2 (d) −2 (e) −1 (f) na˜o existe
3) (b) os limites na˜o existem, pois nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1, apesar
de existirem, sa˜o diferentes.
(c) h(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
, de modo que lim
x→1
h(x) = 4.
4) (a) 2 (b) −2 (c) 1/3
5) (a) 3 (b) 5/9 (c) 0
6) (a) 1/3 (b) 3/10 (c) 1/2
7) (a) −1/2 (b) 1/(2√a) (c) 2 (d) 0 (e) √5/2
(f) 1 (g) −3 (h) nan−1 (i) (1/3)a−2/3
8) (a) v(t) = 3t2 (b) v(t) = 1
2
√
t+1
(c) v(t) = cos(t)
9) A acelerac¸a˜o e´ dada pelo limite a(t) = lim
h→0
v(t+ h)− v(t)
h
. Se v(t) = cos(t), enta˜o a ela
e´ dada por a(t) = − sen(t).
10) (a) f ′(a) = 4a; reta tangente no ponto (3, 18) e´ y − 18 = 12(x− 3)
(b) f ′(a) = − 5
a2
; reta tangente no ponto (2, 5
2
) e´ y − 5
2
= −5
4
(x− 2)
(c) f ′(a) =
{
2a, se a ≥ 0
−2a, se a < 0 ; reta tangente no ponto (0, 0) e´ y = 0
(d) f ′(a) =
{
1, se a > 0
−1, se a < 0 ; a reta tangente no ponto (0, 0) na˜o existe porque os
limites laterais de (f(x)−f(0))/(x−0), quando x→ 0 pela esquerda e pela direita,
sa˜o diferentes. Observe contudo que, em qualquer outro ponto (a, f(a)), com a 6= 0,
a func¸a˜o possui reta tangente. Ela tem equac¸a˜o y = x se a > 0, e y = −x se a < 0.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 3 de 3
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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 03
Temas abordados : Continuidade
Sec¸o˜es do livro: 2.6
1) A al´ıquota da conta de a´gua e´ crescente! Isto quer dizer que quanto mais se consome,
mais caro fica o prec¸o do m3 de a´gua. Suponha que ao se consumir xm3 de a´gua/meˆs,
o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x e´ menor ou igual a 10; maior
que 10 e menor que 15; maior ou igual a 15, paga-se, respectivamente, 1, 60x; 3, 00x+ a;
6, 40x+ b, onde a e b sa˜o constantes reais. Assim,
q(x) =


1, 6x se 0 ≤ x ≤ 10,
3x+ a se 10 < x < 15,
6, 4x+ b se x ≥ 15.
(a) Determine o valor de a de forma que q(x) seja cont´ınua em x = 10.
(b) Usando o valor de a calculado acima, determine limx→15− q(x).
(c) Sabendo que q(x) e´ cont´ınua em x = 15, encontre o valor de b.
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de q(x) .
2) Suponha que um painel solar consiga gerar uma quantidade de energia E = Isen(α)
kilojoules, em que I e´ a intensidade luminosa e α o aˆngulo de incideˆncia entre os raios de
luz e o painel. Para um determinado dia, o aˆngulo α e a intensidade luminosa sa˜o dados
por α(t) = pi
12
t e I(t) = 6t − 1
2
t2, onde t e´ o tempo medido em horas a partir do nascer
do sol, 0 ≤ t ≤ 12. E´ claro que para valores de t ∈ (12, 24] a energia gerada e´ nula, pois
o painel solar na˜o funciona durante a noite.
(a) Obtenha a expressa˜o de E(t) em func¸a˜o de t, para todo t ∈ [0, 24].
(b) Determine os valores de E(2) e E(6). Em seguida, decida se existe t0 ∈ [2, 6] tal
que E(t0) = 13, justificando sua resposta .
(c) Decida se a func¸a˜o E e´ cont´ınua no ponto t = 12, justificando sua resposta.
3) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subitamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em
seu interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o
pela seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t+ 100, se 0 < t ≤ 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrissagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em
segundos.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 03 - Pa´gina 1 de 3
(a) Calcule o seguinte limite lateral direito da posic¸a˜o
lim
t→5+
s(t).
(b) A func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5?
(c) Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade
me´dia entre os instantes t e 5
lim
t→5+
s(t)− s(5)
t− 5
.
(d) Existe o limite da velocidade me´dia entre os instantes
t e 5 quando t tende a` 5?
4) Em um certo pa´ıs, o imposto de renda e´ cobrado da seguinte maneira: aqueles que ganham
ate´ R$10.000,00 sa˜o isentos; os que ganham mais de R$10.000,00 e ate´ R$20.000,00 pagam
10% sobre a renda, menos um valor fixo c e, de todos os demais, e´ cobrada uma taxa de
20% da renda. Nessas circunstaˆncias,
(a) determine a func¸a˜o I(x) que associa a renda x ao valor do imposto.
(b) calcule a parcela a deduzir c, de forma que I seja cont´ınua em x = 10.000.
(c) supondo que o valor de c e´ como acima, decida se existe algum contribuinte que
paga R$3.000,00 de imposto de renda, justificando sua resposta.
(d) ainda considerando o valor de c obtido no item (b), fac¸a um esboc¸o do gra´fico de
I(x).
5) As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o cont´ınuas? A resposta e´ sim, conforme vamos verificar!
Lembre que, na lista da semana 2, provou-se na questa˜o 4 que a func¸a˜o seno e´ cont´ınua
na origem, ou seja, que
lim
t→0
sen(t) = sen(0) = 0.
(a) Use a relac¸a˜o sen2(t) + cos2(t) = 1 para isolar cos(t) em termos de sen(t), para
valores de t ∈ (−pi/2, pi/2). Lembre que, para tais valores de t, o cosseno e´ positivo.
(b) Com ajuda do item acima, mostre que a func¸a˜o cosseno e´ cont´ınua em x = 0.
(c) Note que, para uma dada func¸a˜o f , vale
lim
x→a
f(x) = lim
t→0
f(t+ a),
desde que o primeiro limite exista. Usando a expressa˜o acima com f(x) = sen(x) e
sabendo que sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x), mostre que a func¸a˜o seno e´
cont´ınua em todo ponto a ∈ R.
(d) Usando agora f(x) = cos(x) juntamente com a fo´rmula cos(x+y) = cos(x) cos(y)−
sen(x)sen(y), mostre que a func¸a˜o cosseno e´ cont´ınua em todo ponto a ∈ R.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 03 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) a = −14
(b) lim
x→15−
q(x) = 31
(c) b = −65
2. (a) E(t) =
(
6t− t
2
2
)
sen( pi
12
t) se 0 ≤ t ≤ 12; E(t) = 0 se 12 < t ≤ 24
(b) E(2) = 5, E(5) = 18 e existe t0
(c) e´ cont´ınua em t = 12
3. (a) lim
t→5+
s(t) = 150
(b) e´ cont´ınua em t = 5
(c) o limite pedido vale 10
(d) existe e vale 10
4. (a)
I(x) =


0 se 0 ≤ x ≤ 10000,
0, 1 x− c se 10000 < x ≤ 20000,
0, 2 x se x > 20000.
(b) 1000
(c) Na˜o existe.
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Temas abordados : Continuidade
Sec¸o˜es do livro: 2.6
1) A al´ıquota da conta de a´gua e´ crescente! Isto quer dizer que quanto mais se consome,
mais caro fica o prec¸o do m3 de a´gua. Suponha que ao se consumir xm3 de a´gua/meˆs,
o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x e´ menor ou igual a 10; maior
que 10 e menor que 15; maior ou igual a 15, paga-se, respectivamente, 1, 60x; 3, 00x+ a;
6, 40x+ b, onde a e b sa˜o constantes reais. Assim,
q(x) =


1, 6x se 0 ≤ x ≤ 10,
3x+ a se 10 < x < 15,
6, 4x+ b se x ≥ 15.
(a) Determine o valor de a de forma que q(x) seja cont´ınua em x = 10.
(b) Usando o valor de a calculado acima, determine limx→15− q(x).
(c) Sabendo que q(x) e´ cont´ınua em x = 15, encontre o valor de b.
(d) Fac¸a um esboc¸o